步步高【加练半小时】2017版高考数学（江苏专用，文科）专题复习：专题4 三角函数、解三角形 （11份打包）

训练目标 正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用. 训练题型 (1)解三角形；(2)解三角形的实际应用. 解题策略 (1)解三角形的关键是关系式的选择，应根据已知边角或关系式特点灵活使用定理；(2)根据实际问题可画出示意图，整合边角关系在适当三角形中求解. 1．(2015·河南、河北、山西考前质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asin C－ccos A. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积S＝，求b，c. 2．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac. (1)求角B的大小； (2)若2bcos A＝(ccos A＋acos C)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积． 3．(2015·陕西)△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a，b)与n＝(cos A，sin B)平行． (1)求A； (2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积． 4. 如图所示，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛． (1)求A、C两岛之间的距离； (2)求∠BAC的正弦值． 5．(2015·辽宁沈阳四校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)·sin(π－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π. (1)求f()的值； (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若有(2a－c)cos B＝bcos C，求角B的大小以及f(A)的取值范围． 答案解析 1．解　(1)由条件c＝asin C－ccos A，得sin C＝sin Asin C－sin Ccos A. ∵C∈(0，π)，∴sin C≠0， ∴＝sin A－cos A，即sin Acos－cos Asin＝，sin(A－)＝. ∵0<A<π，∴－<A－<， ∴A－＝，∴A＝. (2)由三角形面积公式得S＝bcsin＝，得bc＝4. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2＋bc＝12， ∴b＋c＝4，则b＝c＝2. 2．解　(1)由余弦定理得cos B＝＝＝. 因为B是三角形的内角，所以B＝. (2)由正弦定理得＝＝， 代入2bcos A＝(ccos A＋acos C)， 可得2sin Bcos A＝(sin Ccos A＋sin Acos C)， 即2sin Bcos A＝sin B. 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以cos A＝， 所以A＝， 则C＝π－A－B＝. 设AC＝m(m>0)，则BC＝m， 所以CM＝m. 在△AMC中，由余弦定理可知AM 2＝CM 2＋AC2－2CMACcos， 即()2＝m2＋m2－2mm (－)， 整理得m2＝4，解得m＝2. 所以S△ABC＝CACBsin＝×2×2×＝. 3．解　(1)因为m∥n， 所以asin B－bcos A＝0. 由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0. 又因为sin B≠0，所以tan A＝. 因为0＜A＜π，所以A＝. (2)方法一　由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A， 又因为a＝，b＝2，A＝， 所以7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0， 因为c＞0，所以c＝3， 故△ABC的面积为bcsin A＝. 方法二　由正弦定理，得＝， 从而sin B＝， 又由a＞b，知A＞B，所以cos B＝， 故sin C＝sin(A＋B)＝sin＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝. 所以△ABC的面积为absin C＝. 4．解　(1)在△ABC中，由已知， 得AB＝10×5＝50(海里)， BC＝10×3＝30(海里)， ∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°， 由余弦定理， 得AC2＝502＋302－2×50×30cos 120°＝4 900， 所以AC＝70(海里)． 故A、C两岛之间的距离是70海里． (2)在△ABC中，由正弦定理， 得＝， 所以sin∠BAC＝ ＝＝. 故∠BAC的正弦值是. 5．解　(1)∵f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx＝sin ωxcos ωx－cos2ωx ＝sin 2ωx－cos 2ωx－ ＝sin(2ωx－)－， 由函数f(x)的最小正周期为T＝π， 即＝π，得ω＝1， ∴f(x)＝sin(2x－)－， ∴f()＝sin(2×－)－ ＝sin－＝－1. (2)∵(2a－c)cos B＝bcos C， ∴由正弦定理可得(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C， ∴2sin Acos B＝