暑假作业06 旋转（要点梳理+7大题型+巩固强化）-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（苏科版2024）

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 旋转 要点一、旋转及相关概念 （1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. （2）旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角. （3）对应元素：旋转的盗的图性能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫对应角. 【注意】 1. 始终保持不动的点是旋转中心. 2. 旋转方向有顺时针和逆时针两种. 3. 旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角. 要点二、旋转的性质 （1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形大小和形状完全相同. （2）旋转的性质的作用：可以用来判断线段或角是否相等；可以用来计算图形的面积、线段的长短或角的大小；可以用来确定旋转中心. 【注意】因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中心是两对对应点所连接线段的垂直平分线的交点. 要点三、旋转作图 （1）旋转作图的一般步骤： a. 确定旋转中心，旋转方向和旋转角. b. 找出图形的关键点，一般是图形中的旋转点. c. 做旋转后的对应点，方法如下：“连”，连接图形的每个关键点与旋转中心；“转”，把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；“截”，在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. d. 按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 e. 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形. （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形大小和形状完全相同. 【注意】确定旋转中心的方法：首先，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上；若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心；若不在图形上，任意两对对应点所连接的垂直平分线的交点就是旋转中心. 要点四、中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. （2）中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 要点五、作已知图形成中心对称图形的一般步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心. （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等. （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形. 要点六、中心对称图形 （1）定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. （2）常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等. 【注意】中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、旋转的概念 1．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 2．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 3．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 5．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 题型二、旋转的性质 6．如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 8．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为 ． 10．如图，将三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，若，，则下列选项正确的是（    ）   A． B． C． D． 11．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 题型三、与旋转有关的作图 12．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； (2)在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 13．如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 14．用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 题型四、坐标与旋转规律问题 15．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 题型五、中心对称的概念与性质 16．如图，由与组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①；②；③线段的中点为对称中心；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 17．如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 18．如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 19．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 题型六、与中心对称有关的作图 20．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是 ； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； (3)画出关于点C成中心对称的． 21．如图，图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． 按要求分别在图①、图②、图③中画三角形． (1)把向上平移2个单位长度，得到．其中与、与是对应点． 在图①中画出； (2)在图②中画出，使与关于直线对称； (3)在图③中画出，使与关于线段的中点成中心对称． 22．如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 题型七、中心对称图形 24．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 25．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 26．纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 27．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 28．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，把一块含角的直角三角板沿边翻折得到，然后再沿边翻折得到，则可以由绕点旋转得到，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 4．如图，把绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，图中与一定相等的角有（   ）（不包含） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 6．如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 7．如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 8．一副直角三角板如图（1）摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图（2）保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，此时等于 （写出所有可能的t的值）． 9．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： (1)将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的． (2)将绕D点逆时针旋转 画出旋转后的． (3)判定与是否关于某点成中心对称；若是，画出对称中心M． 10．如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 1．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 2．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 3．综合运用：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且，点C是线段的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止，设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、_______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分，射线从出发，以每秒1°的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒2°的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 4．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． ． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 旋转 要点一、旋转及相关概念 （1）定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. （2）旋转的“三要素”：旋转中心、旋转方向和旋转角. （3）对应元素：旋转的盗的图性能与原图形重合，我们把能够重合的点叫对应点，能够重合的线段叫做对应线段，能够重合的角叫对应角. 【注意】 1. 始终保持不动的点是旋转中心. 2. 旋转方向有顺时针和逆时针两种. 3. 旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角. 要点二、旋转的性质 （1）旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形大小和形状完全相同. （2）旋转的性质的作用：可以用来判断线段或角是否相等；可以用来计算图形的面积、线段的长短或角的大小；可以用来确定旋转中心. 【注意】因为对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，因此，旋转中心是两对对应点所连接线段的垂直平分线的交点. 要点三、旋转作图 （1）旋转作图的一般步骤： a. 确定旋转中心，旋转方向和旋转角. b. 找出图形的关键点，一般是图形中的旋转点. c. 做旋转后的对应点，方法如下：“连”，连接图形的每个关键点与旋转中心；“转”，把连接线旋转中心按旋转方向旋转相同的角度（作旋转角）；“截”，在做得的角的另一边截取与关键点到旋转中心的距离相等的线段，得到各个关键点的对应点. d. 按原图形的顺序连接这些对应点，所得到的图形就是旋转后的图形 e. 写出结论，说明作出图形即为所求作的图形. （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形大小和形状完全相同. 【注意】确定旋转中心的方法：首先，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上；若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，这一点就是旋转中心；若不在图形上，任意两对对应点所连接的垂直平分线的交点就是旋转中心. 要点四、中心对称 （1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点. （2）中心对称的性质：关于中心对称的两个图形能够完全重合；关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分. 要点五、作已知图形成中心对称图形的一般步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心. （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等. （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的图形. 要点六、中心对称图形 （1）定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. （2）常见的中心对称图形：平行四边形、圆形、正方形、长方形等等. 【注意】中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一、旋转的概念 1．在常见的扑克牌中，“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的（    ） A．旋转 B．平移 C．轴对称 D．以上都对 【答案】A 【分析】本题主要考旋转，根据把图形倒过来放，看它还是和原来一样可判断出是图形是旋转变换即可． 【详解】解：“红桃J”如下图这样放置，把它倒过来放，看它还是和原来一样的，这主要是利用数学中的旋转， 故选：A． 2．下列现象中，属于旋转的是（   ） A．在笔直公路上行驶的汽车 B．在空中直线上升的氢气球 C．风力发电机叶片的转动 D．传送带上物品位置的移动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解答关键是根据相关定义进行判定．根据旋转的定义分别判断即可． 【详解】解：A、在笔直公路上行驶的汽车，属于平移，故此选项不符合题意； B、在空中直线上升的氢气球，属于平移，故此选项不符合题意； C、风力发电机叶片的转动，属于旋转，故此选项符合题意； D、传送带上物品位置的移动，属于平移，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 4．如图，在中，，将绕点C旋转得到．若点B、C、D在同一条直线上，则旋转方向和旋转角可能是（     ） A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针， 【答案】A 【分析】本题主要考查了求旋转角和旋转方向，根据平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，点B、C、D在同一条直线上， ∴， ∴旋转方向和旋转角可能是顺时针，， 故选；A． 5．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定角度得到，图中有A、B、C、D四个格点，则旋转中心是 点 【答案】 【分析】本题考查了旋转图形的性质，，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键． 根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求 【详解】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线， ，的垂直平分线的交点为， 旋转中心是点， 故答案为：． 题型二、旋转的性质 6．如图，是由绕点旋转而得，且，平分，则度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的性质、垂直的定义、角平分线的定义等知识．根据旋转的性质、角平分线得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是由绕点旋转而得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B 7．如图，在中，．将绕点A逆时针旋转得到，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的判定， 根据旋转的性质可判断①；再说明，可判断②，然后求出，可判断④；接下来说明，判断③可得答案 【详解】解：∵， ∴， 将绕点A逆时针旋转得到， ∴； 所以①正确； ∵，， ∴，， ∴，，故②，④正确； ∵ ∴， ∴不垂直；故③错误； 故选：B． 8．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ． 【答案】/33度 【分析】本题主要考查了旋转变换的性质．首先根据旋转变换的性质求出的度数，结合即可解决问题． 【详解】解：由题意及旋转变换的性质得， 又 ∵， ， 故答案为：． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质得出，，然后根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解∶∵将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上．，， ∴，， ∴， 故答案为∶6． 10．如图，将三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，若，，则下列选项正确的是（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算，涉及到图形的旋转，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． 三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形，则相对应的边和角是相等的，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：三角形绕点O顺时针旋转，得到三角形， ，， 故A选项错误，不符合题意； ， ， 故B选项正确，符合题意； ，， ， 故C选项错误，不符合题意； ，， ， 故D选项错误，不符合题意， 故选：B 11．如图，将逆时针旋转一定角度后得到，点D恰好为的中点． (1)若，指出旋转中心，并求出的值； (2)若，求的长． 【答案】(1)旋转中心为点C，的值为 (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质，掌握旋转的性质，数形结合分析是关键． （1）根据旋转的性质得到，由，即可求解； （2）由旋转知，，结合点D恰好为的中点即可求解． 【详解】（1）解：∵旋转， ∴， ∵， ∴， ∴旋转中心为点C，的值为； （2）解：由旋转知，， 又∵点D恰好为的中点， ∴． 题型三、与旋转有关的作图 12．如图，网格中每个小正方形边长为1，△ABC的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点A的对应点为，点B的对应点为，点C的对应点为），线段扫过图形的面积为 ； (2)在图（2）中画出将绕点A逆时针旋转得到的（点B的对应点为，点C的对应点为），线段与线段的位置关系为 ． 【答案】(1)图见解析，14 (2)图见解析， 【分析】本题考查图形变换—平移和旋转，熟练掌握平移的性质，旋转的性质，是解题的关键： （1）根据平移规则，画出平移后的图形，根据分割法求出线段扫过图形的面积即可； （2）根据旋转的性质，画出，判断线段与线段的位置关系即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 由图可知：线段扫过图形的面积为：； （2）如图，即为所求； 由图可知：， ∴， ∴， ∴． 13．如图．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点． (1)将绕点A逆时针旋转得到； (2)作关于点O成中心对称的； (3)四边形的面积为______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)12 【分析】本题考查了作图旋转变换，中心对称变换，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出B、C的对应点、即可； （2）利用网格特点，分别延长、、，使、、，从而得到、、，然后顺次连接即可； （3）利用平行四边形的面积公式计算四边形的面积． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，为所作； （3）解：四边形的面积． 14．用无刻度的直尺作图：如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在小正方形的格点上． (1)将先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，画出； (2)将绕点顺时针旋转90度得到，画出； (3)第（2）问中的线段也可由第（1）问中的线段旋转得到，请作出其旋转中心． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了作平移图，旋转图等知识，掌握平移以及旋转的定义和性质画出图形即可， （1）根据平移的性质作图即可； （2）利用网格根据旋转的性质作图即可； （3）连接，，两线相交点即其旋转中心O． 【详解】（1）解：如下图所示： （2）解：如下图所示： （3）解：旋转中心如下图所示： 题型四、坐标与旋转规律问题 15．如图所示的中，，，，点、在直线上，将绕着点顺时针旋转到位置①得到直线上的点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②得到直线上的点，按此规律旋转至点，则= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键．观察发现，每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加．用2024除以3求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【详解】解：∵中，，，， ∴将绕点A顺时针旋转到①，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； … 由图可知每旋转3次为一个循环组依次循环，每个循环长度增加． 又∵， ∴． 故答案为：． 题型五、中心对称的概念与性质 16．如图，由与组成的图形为中心对称图形，下列说法正确的有（　　） ①；②；③线段的中点为对称中心；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，据此可得结论． 【详解】解：由与组成的图形为中心对称图形， 可得：；；线段或的中点为对称中心；， ∴． 所以正确的有3个． 故选：B． 17．如图，与成中心对称，点是对称中心，则下列结论不正确的是（  ） A．点与点是对应点 B． C． D． 【答案】B 【分析】分析：根据成中心对称的图形的性质：“中心对称的两个图形全等，对称点到对称中心的距离相等”即可作出正确判断．此题考查了中心对称的图形的性质，注意弄清对应点、对应角、对应线段． 【详解】解：∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： A、点A与点D是对应点，原说法正确，故选项不符合题意； B、，原说法错误，故选项符合题意； C、，原说法正确，故选项不符合题意； D、，则，原说法正确，故选项不符合题意． 故选：B． 18．如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与，分别交于点M，N．，的延长线相交于点P，连接．下列三角形中，与成中心对称的是（　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的定义．根据中心对称的定义即可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的定义可知，与成中心对称． 故选：D． 19．如图，与关于点C成中心对称，则线段 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了中心对称的定义，根据中心对称的定义即对应边相等可求解， 【详解】解：∵与关于点C成中心对称， ∴ ∴ 故答案为： ． 题型六、与中心对称有关的作图 20．如图，将放在每个小正方形的边长为1的的正方形网格中． (1)的面积是 ； (2)画出以点B为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； (3)画出关于点C成中心对称的． 【答案】(1)3.5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查旋转作图，中心对称等知识，解题的关键是： （1）根据割补法求解即可； （2）根据旋转的性质找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可； （3）根据中心对称的性质找出A、B、C的对应点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）解：； （2）解：即为所求， （3）解：即为所求． 21．如图，图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的顶点均在格点（网格线的交点）上． 按要求分别在图①、图②、图③中画三角形． (1)把向上平移2个单位长度，得到．其中与、与是对应点． 在图①中画出； (2)在图②中画出，使与关于直线对称； (3)在图③中画出，使与关于线段的中点成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了平移、轴对称、中心对称的作图，读懂题意，准确作图是关键． （1）按照平移方式找到对应点，顺次连接即可； （2）按照对称轴找对应点，顺次连接即可； （3）按照中心对称的定义找到对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求， （3）如图，即为所求， 22．如图，在一个的正方形网格中有一个，的顶点都在格点上． (1)在网格中画出向下平移4个单位，再向右平移6个单位得到的； (2)在网格中画出关于点P成中心对称得到的； (3)若可将绕点O旋转得到，请在正方形网格中标出点O； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—平移变换、旋转变换，熟练掌握平移与旋转的性质是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）连接和，交点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图：点即为所求， 23．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)平移到，其中点对应点为点，请画出； (2)以点O为旋转中心，将旋转得到，请画出． (3)已知与关于某点成中心对称，则该点为_______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】考查了作图—平移变换、旋转变换，中心对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平移的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可； （3）连接、、，交点即为所求． 【详解】（1）解：∵平移到，其中点对应点为点， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， 如图：即为所求， （2）解：如图：即为所求， （3）解：如图：连接、、，交点为， 即与关于某点成中心对称，则该点为． 题型七、中心对称图形 24．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 25．我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 26．纹样是我国古代艺术中的瑰宝，下列纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 27．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别，熟悉掌握图形特点是解题的关键． 根据轴对称图形与中心对称图形的特征逐一判断即可． 【详解】解：A：是中心对称图形，但不是轴对称图形，故A错误； B：既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确； C：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故C错误； D：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故D错误； 故选：B． 28．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； 故选：C． 1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； D．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，把一块含角的直角三角板沿边翻折得到，然后再沿边翻折得到，则可以由绕点旋转得到，那么的值为（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】D 【分析】本题考查图形的翻折与旋转，根据翻折得到，进而得到，即旋转角为120度，判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵翻折， ∴， ∴， ∴可以由绕点旋转得到； 故选D． 4．如图，把绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，图中与一定相等的角有（   ）（不包含） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：根旋转的性质得，，，， ， ， 故选：B． 5．如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，结合旋转的性质可得旋转的最小角度是． 【详解】解：、、在同一条直线上， ， 绕点顺时针方向旋转到的位置， 旋转的最小角度是． 故答案为：． 6．如图，一副三角板有公共顶点C，且与重合，其中，，，将三角板绕点C逆时针旋转一周，当直线与直线互相平行时，三角板旋转的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，分在直线的上方和下方两种情况讨论，画出图形，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当在直线的上方时，如图， ∵， ∴， ∴， 即三角板旋转的度数为， 当在直线的下方时，如图， ∵， ∴， 即三角板旋转的度数为， 三角板旋转的度数为或， 故答案为：或． 7．如图，在直角中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是、，若点为线段的中点，点为线段上一动点．则在旋转过程中，线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，三角形面积计算，垂线段最短，先求出，由旋转的性质可得；连接，根据，得到当最小时，最小；由垂线段最短可得当时，最小，利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵直角中，，，， ∴， 由旋转的性质可得； 如图所示，连接， ∵， ∴当点D在上时，有最小值，最小值为， ∴当最小时，最小； 如图所示，当时，最小， 此时有， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 8．一副直角三角板如图（1）摆放在直线上，（直角三角板和直角三角板，，，，），如图（2）保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，此时等于 （写出所有可能的t的值）． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：当时；当时；当时；结合图形求出的度数，即可求出t的值．本题考查了平行线的性质，旋转的性质，关键在于数形结合，分类讨论． 【详解】解：如图1，当时， 此时与重合， ∴， ∴； 如图2，当时， ∴， ∴， ∴； 如图3，当时， ∴， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 9．如图，在小正方形组成的网格中，和的顶点都在格点上，根据图形解答下列问题： (1)将向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，画出平移后的． (2)将绕D点逆时针旋转 画出旋转后的． (3)判定与是否关于某点成中心对称；若是，画出对称中心M． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用平移变换得出平移后坐标位置，进而得出答案； （2）利用旋转的性质得出绕点D逆时针旋转后的图形，进而得出答案； （3）连接对应点，得出其交点即为所求． 此题主要考查了旋转变换以及平移变换和中心对称图形的性质等知识，熟练利用相关定义得出对应点位置是解题关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，点M即为所求． 10．如图1，为直线上一点，过点作射线，使．现将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边与射线重合，如图2． (1)如图2， ； (2)如图3，将三角板绕点逆时针旋转一定角度，此时是的角平分线，求的度数； (3)将三角板绕点逆时针旋转（）． ① ．（用含的代数式表示） ②是否有某个时刻满足？如果有，求此时的度数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)42 (2) (3)①或；②有，°或 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，角平分线的有关计算，旋转的性质以及一元一次方程的应用等知识． （1）根据三角板中，即可得到结果； （2）设旋转的角度，再根据角平分的定义即可得到，计算得到结果； （3）①分类讨论，当时，点在的右侧，或当时，点在的左侧，得到答案；②利用①的结论，进行计算，即可得到结果． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：42． （2）解：设旋转的角度，， ∵是的平分线， ， ， ， 即． （3）解：①旋转的角度， 当时，点在的右侧， ； 当时，点在的左侧， ， 或， 故答案为：或； ②满足， , ，或， 解得或， ∴的度数或． 1．把我们常用的一副三角尺按照如图方式摆放： (1)如图1，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，把以O为中心顺时针旋转，至少旋转 °，使得与重合； (2)如图2，如果把图1所示的 以O为中心顺时针旋转得到，当 为多少度时，射线平分； (3)如图3，两个三角尺的直角边、摆放在同一直线上，另一条直角边 、也在同一条直线上，如果把 以O为中心顺时针旋转一周，当旋转多少度时， 两条斜边？ 【答案】(1) (2) (3)旋转的角度为或 【分析】本题考查三角板中角度的计算，旋转的性质，平行线的性质，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合，利用三角板的性质和角度之间的关系计算即可； （2）利用旋转的性质，角平分线的性质及角度之间的关系计算即可； （3）在旋转的过程中找出时，的位置，分情况讨论，再利用角度之间的关系计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，当以O为中心顺时针旋转过，即可得到与重合， 由三角板的性质可知： ∵，， ∴， ∴至少旋转，与重合． 故答案为：75 （2）解：∵以O为中心顺时针旋转得到， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， （3）解：当与相交于点E时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当与相交于点F时，如图： ∵， ∴， ∴， ∴旋转的角度， 综上所述：旋转的角度为或． 2．平移、旋转和轴对称是图形运动的基本形式．图1、图2中的三角形①～⑤的顶点都在边长为1个单位长度的正方形网格点上． (1)如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次 得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次 得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． (2)如图2，三角形⑤可以看成由三角形④经过怎样的图形运动得到？下列结论： A. 1次轴对称   B. 1次旋转    C． 1次平移和1次旋转  D. 1次旋转和1次轴对称 其中，所有正确结论是 ． 【答案】(1)旋转，轴对称 (2)BC 【分析】本题考查几何变换的类型，轴对称图形，解题的关键是掌握轴对称变换，平移变换，旋转变换的性质． （1）根据轴对称变换，旋转变换的性质判断即可； （2）三角形⑤可以看成由三角形④绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 【详解】（1）解：如图1，三角形②可以看成由三角形①经过一次旋转得到；三角形③可以看成由三角形①经过一次轴对称得到． 故答案为：旋转，轴对称； （2）三角形⑤可以看成由三角形④经过绕点O顺时针旋转得到或先向右平移一个单位，再绕点A顺时针旋转得到． 故答案为：BC． 3．综合运用：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图1，数轴上的点A表示的数为a，B表示的数为b，且，点C是线段的中点． 【问题解决】 （1）若动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点N从点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，点M，N同时出发，当点N到达点A时，两动点的运动同时停止，设运动时间为t秒，则： ①点M、N表示的数分别是______、_______（用含t的代数式表示）； ②若在运动过程中，存在，请求出t的值． 【方法迁移】 （2）我们发现角的很多运算方法和线段一样，如图2，，平分，射线从出发，以每秒1°的速度绕点O顺时针旋转，射线从出发，以每秒2°的速度绕点O逆时针旋转．射线，同时出发，当到达时，运动同时停止．设旋转时间为t秒，若在运动过程中，存在某些时刻，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍，请求出所有符合题意的t的值． 【答案】（1）①，；②当或时，；（2）当的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、数轴上的动点问题、角平分线的定义、一元一次方程的应用等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）①先根据绝对值的非负性确定a、b的值，进而确定点A、B表示代数，结合数轴用t表示出M、N表示的数即可；②先根据题意表示出，，再说明，然后根据列绝对值方程求解即可； （2）先根据角平分线的定义求得，再表示出，，再说明，然后再分或两种情况解绝对值方程即可． 【详解】（1）①解：∵， ∴，， ∴点A表示的数为，表示的数为8， ∵点是线段的中点， ∴点表示的数是． 设运动时间为秒， 则：点表示的数为：；点表示的数为：； 故答案为：；； ②∵点表示的数为：； 点表示的数为：； ∴，， ∵， ∴， 即， ∵当点到达点时，两动点的运动同时停止． ∴；当时， 有， 解得：； 当时， 有， 解得：． 综上，当或时，； （2）解：，平分． ∴， 由题意可得：，， ∴，， ∵当到达时，运动同时停止． ∴； ①当时，， 当时， 有， 解得：；当时， 有， 解得：； ②当时，， 当时，有， 解得：，不符合题意； 当时， 有， 解得：． 综上，当的值为16或或32时，使得和两个角中，其中一个角是另一个角的3倍． 4．【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．老师让同学们将两把直角三角尺和（，，，），已知．如图①，把三角尺的直角顶点放在直线上，把三角尺的直角顶点放在直线上，经过点． ． （1）若，，求的度数； 【操作探究】 （2）如图②，绕点逆时针旋转三角尺，恰好可以使得点与点重合，此时测得，请你说明与之间的数量关系； 【深度探究】 （3）在（1）的条件下，将三角尺绕点以每秒的速度按逆时针方向，同时将三角尺绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为（）．请直接写出当与的一边平行时的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或或 【分析】本题考查平行线的性质，三角尺中的角度计算，角的和差定义等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键； （1）求出，再利用平行线的性质求解即可； （2）如图②中，设，利用平行线的性质用表示出，可得结论； （3）根据（1）可得，，，进而分类讨论，分别表示出旋转秒后和的角度，根据平行线的性质，建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：（1）如图①中， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）结论：． 理由：如图②中，设． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由（1）可得，，， ①当时，如图，设直线交于点， ∴ ∴ 解得：； ②当时，如图， ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴ 解得：， ③当时，如图， ∴ 设交于点， ∴ ∵ 过点作 ∴ ∴ ∴ 解得： 综上所述，或或 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$