精品解析：2024年河北省唐山市丰南区中考二模数学试题

2023-2024学年度九年级第二次学业质量评估 数学试卷 （本试卷总分120分．考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（ ） A. B. C. D. 3. 如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿点P的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ） A. 北偏东10° B. 北偏东30° C. 北偏东35° D. 北偏东40° 4. 在物联网时代的所有芯片中，芯片已成为需求的焦点．已知．下面将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A. 三个视图都是 B. 主视图 C. 左视图 D. 俯视图 6. 如图，数轴上的点A所表示的数为，则-10的立方根为（ ） A. -8 B. 2 C. 8 D. -2 7. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（　　　） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 9. 如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A B. C. D. 11. 综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是（ ） A. 甲和丙 B. 乙和丙 C. 甲和乙 D. 都正确 12. 如图，两个全等的正六边形的一边重合，点A，B，C为正六边形的顶点，则的值为（ ） A. B. C. D. 13. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（　　） 小聪：设共有x人，根据题意得：； 小明：设共有x人，根据题意得： 小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9 小丽：设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9 A. 小聪、小丽 B. 小聪、小明 C. 小明、小玲 D. 小明、小丽 14. 圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 0.324πm2 B. 0.288πm2 C. 1.08πm2 D. 0.72πm2 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴正半轴有交点，且当时，；当时，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 16. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17. 已知代数式与的值互为相反数，则的值为____． 18. 如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则_______，______． 19. 如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为_______． （2）点之间的距离的最小值为_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． （1）填空： _______， _________． （2）求的值． （3）按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 21. 已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． A． ；B． （1）若抽中的卡片是A． ①求整式C； ②当时，求整式C的值． （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 22. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在的错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 23. 如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l与y轴交于点A（0 , 2），与一次函数y＝x﹣3的图象l交于点E（m ,﹣5）． （1）m=__________； （2）直线l与x轴交于点B，直线l与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积； （3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l或l有交点，直接写出a的取值范围_____________________________ 24. 已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于． （1）求度数． （2）如图1，若点为中点． ①当时，的长为_________； ②求证：． （3）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 25. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． （1）求a值； （2）求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； （3）该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 26. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，延长到点M，使得，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设运动时间为t秒．连接，过点E作 (点F在右侧)，且． （1）当t=________时，点F恰好落在矩形的边上． （2）在点P运动过程中，点F到直线的距离是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由． （3）连接，作点E关于的对称点，当点恰好落在矩形的边上时，求t的值． （4）连接，请直接写出在点P运动过程中的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度九年级第二次学业质量评估 数学试卷 （本试卷总分120分．考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共16个小题，共38分．1～6小题各3分，7～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，完全平方公式的运用，单项式乘多项式，二次根式的加减法，根据运算法则逐项进行计算判断即可． 【详解】解：A、，，本选项正确，符合题意； B、，本选项故错误，不符合题意； C、，本选项故错误，不符合题意； D、，本选项故错误，不符合题意； 故选：A． 2. 要使的化简结果为单项式，则（）中可以填（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A.，是多项式，不符合题意； B.，是多项式，不符合题意； C. ，是单项式，符合题意； D.，是多项式，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，甲、乙两艘船同时从海上点P处出发，甲船沿点P的正南方向匀速航行，乙船沿点P的北偏东70°方向匀速航行，甲、乙两船的速度相同，则乙船在甲船的（ ） A. 北偏东10° B. 北偏东30° C. 北偏东35° D. 北偏东40° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，方位角，根据两船的速度相同得到，根据等边对等角得到，即可解题． 【详解】解：如图，根据题意得， ∴， ∴乙船在甲船的北偏东， 故选C． 4. 在物联网时代的所有芯片中，芯片已成为需求的焦点．已知．下面将用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：A． 5. 如图，是由6个大小相同的小正方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（ ） A. 三个视图都是 B. 主视图 C. 左视图 D. 俯视图 【答案】D 【解析】 【分析】先根据图形画出三视图，然后再根据中心对称图形的性质进行判断即可； 【详解】解：根据原图画出三视图如图所示： ∵ 中心对称图形是旋转180°之后能与自身完全重合的图形， ∴ 俯视图为中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了三视图以及中心对称图形的辨别，正确掌握知识点是解题的关键． 6. 如图，数轴上的点A所表示的数为，则-10的立方根为（ ） A. -8 B. 2 C. 8 D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据数轴可得x的值，进而可得则x2﹣10的值，再根据立方根的定义即可求得其立方根． 【详解】解：读图可得：点A表示的数为﹣， 即x＝﹣； 则x2﹣10＝2﹣10＝﹣8， 则它的立方根为﹣2； 故选：D． 【点睛】本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应注意数形结合，来判断A点表示的实数． 7. 如图，半径为1的圆O于正五边形相切于点A、C，劣弧的长度为（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得正五边形的内角的度数，然后根据弧长公式即可求得． 【详解】解：因为正五边形ABCDE的内角和是（5-2）×180=540°， 则正五边形ABCDE的一个内角==108°， 连接OA、OB、OC， ∵圆O与正五边形ABCDE相切于点A、C， ∴∠OAE=∠OCD=90°， ∴∠AOC=540°-∠E-∠D-∠OAE-∠OCD=144°， 所以劣弧AC的长度为， 故选：B. 【点睛】本题考查了正五边形的内角和的计算以及弧长的计算，难度适中． 8. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的最小整数值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由此得出，结合，计算即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， ， 实数的最小整数值为， 故选：B． 9. 如图，电路图上有个开关，电源、小灯泡和线路都能正常工作，若随机闭合个开关，则小灯泡发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图，根据树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中能使小灯泡发光的有种， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：． 10. 已知点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】点关于x轴对称的点为，根据第四象限点的坐标特征可得，求解不等式组即可得出结论． 【详解】解：∵平面直角坐标系内，两个点关于x轴对称时，横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴点P（a，2﹣a）关于x轴对称的点为（a，a﹣2）， ∵对称点在第四象限， ∴， 解得：0＜a＜2， 故选：B． 【点睛】本题考查点的对称、平面直角坐标系内点的坐标特征、解不等式组等内容，要熟记“两个点关于x轴对称时，横坐标不变、纵坐标互为相反数” ． 11. 综合实践课上，老师让同学们利用尺规借助直角三角形作矩形，如图是甲、乙、丙三名同学作的矩形，其中正确的是（ ） A. 甲和丙 B. 乙和丙 C. 甲和乙 D. 都正确 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的判定定理，甲利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形；乙和丙先构造出平行四边形，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形得以证明． 【详解】甲：对角线互相平分且相等的四边形是矩形． 乙：根据内错角相等，两直线平行，先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形． 丙：先利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，再结合有一个角是直角，说明是矩形． A、甲、丙都符合矩形的判定定理，少乙，该选项说法错误，不符合题意； B、乙、丙都符合矩形的判定定理，少甲，该选项说法错误，不符合题意； C、甲、乙都符合矩形的判定定理，少丙，该选项说法错误，不符合题意； D、甲、乙、丙都正确，故该选项说法正确，符合题意； 故选：D． 12. 如图，两个全等的正六边形的一边重合，点A，B，C为正六边形的顶点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，勾股定理，解直角三角形连接，并延长交的延长线于点F，设六边形的边长为，则，，然后利用勾股定理计算出，长即可解题． 【详解】解：如图，连接，并延长交的延长线于点F， 根据题意可得A、D、C共线，，， 由∵， ∴，， 设六边形的边长为，则，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选B． 13. 我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（　　） 小聪：设共有x人，根据题意得：； 小明：设共有x人，根据题意得： 小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9 小丽：设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9 A. 小聪、小丽 B. 小聪、小明 C. 小明、小玲 D. 小明、小丽 【答案】C 【解析】 【分析】、 分别设人和车的数量为，根据题意列出方程即可． 【详解】设共有x人，车的数量相等，根据题意得：， 设共有车y辆，人的数量相等，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9， 结合选项，小明、小玲的为正确解，符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意设出未知数，列出方程是解题的关键． 14. 圆桌面（桌面中间有一个直径为0.4m的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为1.2m，桌面离地面1m，若灯泡离地面3m，则地面圆环形阴影的面积是（　　） A. 0.324πm2 B. 0.288πm2 C. 1.08πm2 D. 0.72πm2 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：先根据AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的对应边成比例可求出BD的长，进而得出BD′=0.3m，再由圆环的面积公式即可得出结论． 如图，已知AC⊥OB，BD⊥OB，所以AC//BD，所以△AOC∽△BOC， 所以根据相似三角形的性质可得 即 解得BD=0.9m， 同理可得：AC′=0.2m，则BD′=0.3m， 所以S圆环形阴影=0.92π﹣0.32π=0.72πm2． 故选D． 考点：中心投影. 15. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴正半轴有交点，且当时，；当时，，则（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与y轴的交点问题，二次函数的对称性等等，先求出对称轴为直线，进而由对称性得到当时，抛物线在轴下方，再由当时，抛物线在轴上方，可得当时，，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵当时，抛物线在轴下方， ∴当时，抛物线在轴下方， 又∵当时，抛物线在轴上方， ∴当时，， ∴， ∴； 故选：D． 16. 如图1，在中，，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为，AP的长度为，y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分时t的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线交于点P，先证，再证，利用相似三角形的性质得出，求出，用P点移动的距离除以速度即可得出t的值． 【详解】解：如图，作的平分线交于点P，由图2知， ，， ， 平分， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 解得或（舍）， ， ， 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定等，解题的关键是证明． 二、填空题（本大题共3个小题，共10分．17小题2分，18～19小题各4分，每空2分） 17. 已知代数式与的值互为相反数，则的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相反数的性质，解分式方程，先根据两个分式互为相反数列出方程，再求出解即可． 【详解】∵代数式与互为相反数， ∴， 解得． 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 18. 如图是九宫格，在每个格子中填上一个数（图中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则_______，______． 【答案】 ①. ②. 7 【解析】 【分析】本题考查的是二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程组，根据每行、每列及对角线上三数之和相等，即可列出方程组解答． 【详解】解：由题意可得： ， 整理得：， 解得：， 故答案为：； 19. 如图，在正方形中，，点分别是边上的动点，且，连接交于点． （1）当时，连接，取的中点，则的长为_______． （2）点之间的距离的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据正方形性质，由三角形全等的判定与性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求解即可得到答案； （2）由（1）中，，可知点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示，由动点最值问题-圆弧型解法，结合勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：（1）在正方形中，，， ， ， ， 在中，， ，即， 在中，是斜边上的中线，则， 在中，，，则由勾股定理可得， ； （2）由（1）知，且， 点在以中点为圆心、为半径的圆弧上运动，如图所示： 由三角形三边关系可知，在中，， 当三点共线时，点之间的距离的最小值为， 在中，，，则由勾股定理得到， ； 故答案为：；． 【点睛】本题考查几何综合，涉及正方形性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半、动点最值问题-圆弧型、勾股定理等知识，熟练掌握正方形性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及动点最值问题-圆弧型解法是解问题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 20. 如图是蜂巢的局部图片(由大小相同的正六边形组成)，嘉嘉借助这个图片设计了一道数学题，请解答这道题． 在第1行两个正六边形内填上数字3、，规定在图案中，下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．如第2行第1个：；第2行第2个：． （1）填空： _______， _________． （2）求的值． （3）按照此规律，请直接用含n的式子表示第n行第2个数字，并判断这个数字能否为．若能，求出n的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）1； （2）14 （3）；能；9 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据下面的数字都等于其上方两个数字之和（若数字上方只有一个数字，则另一个数字按0处理）．进行列式计算，即可作答． （2）同理分别计算出，再代入，进行计算，即可作答． （3）找出规律：第n行第2个数字为，根据进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，，； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：依题意，； ； ∴； 【小问3详解】 解：第1行第2个数字为 第2行第2个数字为 第3行第2个数字为 以此类推 第n行第2个数字为 这个数字能为19 令，解得， 故n 的值为9 21. 已知，A，B两张卡片除内容外完全相同，现将两张卡片扣在桌面上，随机抽取一张，将抽中卡片上的整式各项改变符号后与未抽中卡片上的整式相加，并将结果化简得到整式C． A． ；B． （1）若抽中的卡片是A． ①求整式C； ②当时，求整式C的值． （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，请通过计算，判断抽到的是哪张卡片？ 【答案】（1）①4x2+8x+4；②0 （2）若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A． 【解析】 【分析】（1）①整式C为：-A+B，计算可得结论； ②将x=-1代入，即可得整式C的值； （2）分抽中的卡片是B或A两种情况计算整式C的值，并进行配方，可得结论． 【小问1详解】 解：①∵-A+B=-x2+9x+1+5x2-x+3 =4x2+8x+4， ∴整式C为：4x2+8x+4； ②当x=-1时， 4x2+8x+4=4×（-1）2+8（-1）+4 =4-8+4 =0； 【小问2详解】 解：若抽中的卡片是A时，由（1）知： 整式C为：4x2+8x+4=4（x+1）2， ∵4＞0，（x+1）2≥0， ∴无论x取何值，此时4x2+8x+4是非负数； 若抽中的卡片是B时， ∵-B+A=-5x2+x-3+x2-9x-1 =-4x2-8x-4， 整式C为：-4x2-8x-4=-4（x+1）2， ∵-4＜0，（x+1）2≥0， ∴无论x取何值，此时-4x2-8x-4是非正数； ∴若无论x取何值，整式C的值都是非负数，则抽到的是卡片A． 【点睛】此题考查的是整式的加减，配方法的运用，理解如何计算整式C是本题的关键． 22. 某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，：4棵；：5棵；：6棵；：7棵．将各类的人数绘制成扇形统计图和条形统计图（如图所示），经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误． 回答下列问题： （1）写出条形统计图中存在错误，并说明理由； （2）写出这20名学生每人植树量的众数、中位数； （3）在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的： 第一步：求平均数的公式是； 第二步：在该问题中，，，，，； 第三步：（棵）． ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估这260名学生共植树多少棵． 【答案】（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【解析】 【分析】（1）条形统计图中D的人数错误，利用总人数乘对应的百分比求解即可，应为20×10%； （2）根据中位数、众数的定义以及条形统计图及扇形统计图所给的数据，即可求出答案； （3）①小宇的分析是从第二步开始出现错误的； ②根据平均数的计算公式先求出正确的平均数，再乘以260即可得到结果． 【详解】解：（1）类型错误，理由如下： （名），而条形统计图中，类型的人数是3名，故类型错误； （2）众数为5棵，中位数为5棵． （3）①第二步． ②（棵）． （棵）． 故估计这260名学生共植树1378棵． 故答案为（1）类型错误；（2）众数为5棵，中位数为5棵；（3）①第二步；②这260名学生共植树1378棵． 【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图，用到的知识点是平均数、中位数、众数以及用样本估计总体，弄清题意是解题的关键． 23. 如图1，在直角坐标系中，一次函数的图象l与y轴交于点A（0 , 2），与一次函数y＝x﹣3的图象l交于点E（m ,﹣5）． （1）m=__________； （2）直线l与x轴交于点B，直线l与y轴交于点C，求四边形OBEC的面积； （3）如图2，已知矩形MNPQ，PQ＝2，NP＝1，M（a，1），矩形MNPQ的边PQ在x轴上平移，若矩形MNPQ与直线l或l有交点，直接写出a的取值范围_____________________________ 【答案】（1）-2；（2）；（3）≤a≤或3≤a≤6. 【解析】 【分析】（1）根据点E在一次函数图象上，可求出m的值； （2）利用待定系数法即可求出直线l1的函数解析式，得出点B、C的坐标，利用S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE即可得解； （3）分别求出矩形MNPQ在平移过程中，当点Q在l1上、点N在l1上、点Q在l2上、点N在l2上时a的值，即可得解． 【详解】解：（1）∵点E（m，−5）在一次函数y＝x−3图象上， ∴m−3＝−5， ∴m＝−2； （2）设直线l1的表达式为y＝kx＋b（k≠0）， ∵直线l1过点A（0，2）和E（−2，−5）， ∴ ，解得， ∴直线l1表达式为y＝x＋2， 当y＝x＋2=0时，x= ∴B点坐标为(，0)，C点坐标为（0，−3）， ∴S四边形OBEC＝S△OBE＋S△OCE＝××5＋×2×3＝； （3）当矩形MNPQ顶点Q在l1上时，a的值为； 矩形MNPQ向右平移，当点N在l1上时，x＋2＝1，解得x＝，即点N（，1）， ∴a的值为＋2＝； 矩形MNPQ继续向右平移，当点Q在l2上时，a的值为3， 矩形MNPQ继续向右平移，当点N在l2上时，x−3＝1，解得x＝4，即点N（4，1）， ∴a的值为4＋2＝6， 综上所述，当≤a≤或3≤a≤6时，矩形MNPQ与直线l1或l2有交点． 【点睛】本题主要考查求一次函数解析式，两条直线相交、图形平移等知识的综合应用，在解决第（3）小题时，只要求出各临界点时a的值，就可以得到a的取值范围． 24. 已知所在圆的直径为，圆心为为上一点，相交于为的切线，与的延长线交于． （1）求的度数． （2）如图1，若点为的中点． ①当时，的长为_________； ②求证：． （3）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 （3）；理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，如图所示，由直径所对的圆周角是直角，结合题中条件及圆的性质得到是等边三角形，即可得到答案； （2）①连接，如图所示，由（1）中是等边三角形，得到；再由点为的中点，根据圆周角定理可得，求出所对的圆周角，结合题意，根据弧长公式代值求解即可得到答案；②根据切线性质及（1）中是等边三角形，得到，再由等腰直角三角形性质等量代换得到，最后由等腰三角形的判定与性质即可得到答案； （3）连接并延长，交于点，如图所示，由切线性质得到，再由垂径定理得到，结合圆周角定理及对顶角，求出，从而由平行线的判定即可得证． 【小问1详解】 解：连接，如图所示： ∵为直径， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①连接，如图所示： ∵为直径， ， 由（1）知是等边三角形，即， 为直径，点为的中点， ， 的长为， 故答案为：； ②证明：∵为的切线， ∴， ∵， ∴， 若点为的中点，则， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：， 理由如下： 连接并延长，交于点，如图所示： ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、弧长公式、切线性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，熟练掌握相关几何判定与性质，灵活运用，根据题意作出恰当辅助线是解决问题的关键． 25. 某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，发现该航模飞机相对于出发点的飞行水平距离与飞行时间之间的函数关系式为，该航模飞机相对于出发点的飞行高度与飞行时间之间的函数关系式为（为常数）．示意图如图，若该航模飞机从水平安全线上的A处发射，则飞机再次落到水平安全线上时飞行的水平距离为60m． （1）求a的值； （2）求y关于x的函数解析式，并求飞行高度y的最大值； （3）该活动小组在水平安全线上的点A处设置一个高度可以变化的发射平台进行试飞训练，发射平台高度的取值范围为，并在水平安全线上设置一个飞机降落区域，若保证飞机能落在区域内，求线段的最小长度． 【答案】（1） （2）；60米 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）先根据求出时间值，然后把 时, 代入解析式计算即可； （2）由得到，然后代入即可得到解析式，然后利用公式求函数解析式即可； （3）由题可知当时，函数关系式为，计算出飞行距离的最大值，然后求出的最小值即可解题． 【小问1详解】 对于 当时, ∴当 时, 解得 ； 【小问2详解】 ， ， 由抛物线的对称性可知，当时,最大, 最大值为， 答：飞行高度的最大值为． 【小问3详解】 当最小时，由题意知，， 当时，该航模飞机飞行的高度 与飞行的水平距离之间的函数关系式为， 令即 解得， ， ∴的最小值为 26. 如图，在矩形中，，，点E为的中点，延长到点M，使得，点P从点M出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设运动时间为t秒．连接，过点E作 (点F在右侧)，且． （1）当t=________时，点F恰好落在矩形的边上． （2）在点P运动过程中，点F到直线的距离是否为定值，若是，请求出该值；若不是，请说明理由． （3）连接，作点E关于的对称点，当点恰好落在矩形的边上时，求t的值． （4）连接，请直接写出在点P运动过程中的最大值． 【答案】（1）4或12 （2）是定值；1 （3）或 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）当点F落在边上或点F落在边上时，根据相似三角形的判定和性质解题即可； （2）过点F作，垂足为G，则，然后得到，即可得到定值； （3）当点落在边上和点落在边上时，利用勾股定理解题即可； （4）设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则，然后计算求最大值． 【小问1详解】 解：点F落在边上时，如图. ∵是矩形，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 当点F落在边上时，如图 同理可得， ∴， ∴， ∴， 综上可知，当或时，点F恰好落在矩形的边上； 【小问2详解】 是定值. 如图，过点F作，垂足为G. ∵， ∴. 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故点F到直线的距离为1 【小问3详解】 分两种情况讨论. ①当点落在边上时，如图(5)，， ∴， 根据折叠的性质可知，， 在中，根据勾股定理，得， 即 ∴ ， ②当点落在边上时，如图(6)，. 分别过点F，P 作，，垂足分别为R，S， 则. 由折叠的性质可知，，， ∴， ∴ 又, ∴， ∴， ∴， 又， ∴. 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， 综上可知，当点恰好落在矩形的边上时，t的值为或 【小问4详解】 设经过A，E，P三点的圆的圆心为O，连接，可知当与相切于点P 时，最大，过点O作于点I， 则， ∵， ， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$