26.1.1 反比例函数　教学设计　2024-2025学年人教版数学九年级下册

人教版初中数学九年级下册教学设计 第二十六章 反比例函数 26.1 反比例函数26.1.1 反比例函数 一、内容和内容解析 内容 本节课为人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十六章“反比例函数”第1课时，主要内容包括：通过实际问题理解反比例函数的概念，掌握反比例函数解析式 （ 为常数，）的特征，能根据已知条件求反比例函数解析式及函数值。 内容解析 反比例函数是刻画现实世界中变量间反比例关系的数学模型，学生在学习正比例函数、一次函数后首次接触非线性函数。本节课通过列车运行时间与速度、矩形面积与边长等实例，抽象出反比例函数的共同特征，理解 中 的常数属性及 的限制条件。掌握反比例函数概念是后续学习反比例函数图象性质的基础，也是解决物理、工程中反比例关系实际问题的工具。 二、目标和目标解析 目标 1. 通过对行程问题、几何问题等实例的分析，抽象出反比例函数模型，发展数学抽象能力。 1. 经历反比例函数解析式的归纳过程，掌握求解析式的方法，提升数学建模能力。 1. 能识别反比例函数关系，并运用其性质解决实际问题，培养应用意识。 目标解析 达成目标（1）的标志：学生能从变量间的乘积定值特征（如 ）中归纳出 的形式，明确 为常数且 。 达成目标（2）的标志：能根据已知条件（如 时 ）正确求出 的值，写出完整解析式并计算函数值。 达成目标（3）的标志：能辨析实际问题中的反比例关系（如压强 与受力面积 ），运用函数性质求解未知量，为高中学习幂函数奠定基础。 三、教学问题诊断分析 1. 概念抽象困难：学生易混淆反比例关系与正比例关系，对“乘积为定值”的特征理解不足。 1. 忽略定义域限制：可能忽视 的条件，导致求解错误（如认为 时函数值为 ）。 1. 建模能力薄弱：从实际问题抽象函数模型时，难以确定哪个量为自变量，哪个量为函数。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 京沪铁路全程1463 km，某次列车运行时间 （小时）与平均速度 （km/h）满足什么关系？当 增大时， 如何变化？ 问题2 某小区需建造面积为 的矩形草坪，长 （m）与宽 （m）的关系是什么？若宽固定为5 m，长如何计算？ 问题3 北京市总面积 ，人均面积 （/人）与人口 （人）的关系如何？人口增长会导致人均面积如何变化？ 设计意图： 通过生活实例引导学生发现变量间的反比例关系（，，），体会函数模型的实际意义，培养数学抽象能力，对应目标（1）。 （二）合作探究1 探究1 观察上述三个关系式： ， ， ， 它们有何共同特征？ 答： ① 均为分式形式； ② 分子为常数； ③ 分母为自变量。 追问： 若用 表示自变量， 表示函数，能否统一表达式？ 答： 可表示为 ，其中 为常数。 （三）巩固练习1 1. 判断下列关系是否为反比例函数： (1) 圆的周长 与半径 ： (2) 工作效率 与工作时间 ：（工作量固定为100） 答：(1) 不是（正比例）；(2) 是（）。 1. 若 是 的反比例函数，当 时 ，求 的值。 解：设 ，代入得 ，故 。 （四）合作探究2 探究2 反比例函数 中， 可以取任意值吗？ 可以取 吗？ 猜想： ，。 验证： ① 若 ，则 （常函数），不符合反比例特征； ② 若 ，分式 无意义。 探究3 证明：反比例函数 中， 与 的乘积恒为定值。 证明： 由 得 （ 为常数），故 与 的乘积恒等于 。 设计意图： 通过代数推理深化对反比例函数本质（）的理解，强化定义域意识，培养逻辑推理能力，对应目标（2）。 （五）典例分析 例1 已知 是 的反比例函数，且当 时 。 (1) 求 关于 的函数解析式； (2) 当 时，求 的值。 解： (1) 设 ，代入 ， 得： ∴ 解析式为 。 (2) 当 时： 设计意图： 通过典型例题示范求解析式的步骤，强化待定系数法的应用，提升运算能力，对应目标（2）。 （六）巩固练习 1. 基础题： 长方体的体积 ，高 （cm）与底面积 （）的关系式为______。 答：（）。 1. 辨析题： 判断是否反比例函数（填“是”或“否”）： 关系式 判断 理由 是 符合 否 正比例函数 是 可化为 1. 应用题： 某汽车油箱容积 L，行驶中油耗为 L/km。剩余油量 （L）与行驶路程 （km）是否成反比例？说明理由。 解： 耗油量 ，剩余油量 ，为一次函数，不是反比例函数。 设计意图： 分层练习强化概念辨析、解析式求解及实际应用，培养知识迁移能力，对应目标（3）。 （七）归纳总结 核心概念 表达式 特征 易错点 反比例函数定义 为常数， 忽略 本质关系 两变量乘积为定值 与正比例混淆 求解析式 待定系数法 代入已知点求 未设一般式 （八）感受中考 1. (2023·江苏) 若函数 是反比例函数，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答：C（）。 1. (2024·浙江) 已知 与 成反比例，当 时 。当 时， 。 解：由 得 ，故 。 1. (2022·广东) 下列问题中，变量间关系可用 表示的是（ ） A. 正方形周长 与边长 B. 匀速运动路程 （km）与时间 （h）（速度 km/h） C. 矩形面积 ，长 （cm）与宽 （cm） 答：C（）。 1. (2023·湖北) 已知 是 的反比例函数，当 时 ，则函数解析式为 。 解：，∴ 。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 知识模块 核心思想 与已学函数的联系 概念抽象 从生活到数学模型 区别于一次函数、二次函数 解析式特征 （定值） 类比正比例函数 应用关键 识别反比例关系 物理（压强、电阻等） （十）布置作业 必做题 1. 教材习题：P6 练习第1、2题。 1. 已知 是 的反比例函数，且当 时 ，求 关于 的解析式。 选做题 1. 探索题：当压力 一定时，压强 与受力面积 成反比（）。若 ， 时 ，求 时的压强。 1. 拓展题：若 与 成反比例，且 时 ，求 时 的值。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$