26.1.2 反比例函数的图象和性质 教学设计　2024—2025学年人教版数学九年级下册

26.1.2 反比例函数的图象和性质 教学设计 一、内容和内容解析 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》九年级下册第二十六章“反比例函数”第1.2节，主要内容是通过描点法绘制反比例函数 () 的图象，探究当 和 时函数图象的位置特征与增减性质，并运用性质解决实际问题。学生需理解双曲线的形成原理，掌握“数形结合”思想分析函数规律的方法，为后续学习二次函数、三角函数奠定图象分析基础。 内容解析 反比例函数是刻画现实世界中两个变量成反比关系的核心模型。本节课通过描点绘图，引导学生从特殊（）到一般（ 和 ）归纳双曲线的共性特征：图象由两支曲线构成，其位置、增减性由 的符号决定。这一过程深化了学生对函数本质的理解，培养了从图象中抽象数学规律的能力，并为解决物理、经济中的反比例问题提供工具支持。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 能正确描点绘制反比例函数图象，概括双曲线的特征，发展几何直观能力。 (2) 通过对比不同 值的图象，归纳 和 时函数的性质，提升类比推理能力。 (3) 运用性质求解函数解析式、判断点是否在图象上、比较函数值大小等问题，增强应用意识。 2. 目标解析 达成目标（1）的标志：学生能独立列表、描点画出平滑曲线，并准确描述双曲线位于的象限和渐近特征。 达成目标（2）的标志：能语言表述“ 时图象在一、三象限且 随 增大而减小； 时图象在二、四象限且 随 增大而增大”，并能用代数推理验证。 达成目标（3）的标志：能解决含参数的反比例函数问题，如例4中通过图象位置确定 的取值范围。 三、教学问题诊断分析 1. 图象绘制难点：学生易将相邻点用线段直接连接，忽略双曲线的平滑性与渐近特征。 1. 性质归纳障碍：部分学生混淆 和 的增减性，或忽略“在每一象限内”的前提条件。 1. 代数推理薄弱：在证明增减性时，学生可能缺乏从 作差到因式分解的变形技巧。 教学难点：双曲线增减性的代数证明及其应用。 四、教学过程设计 (一) 情景引入 问题1：弹簧秤的测量原理中，弹簧长度 （厘米）与所挂物体质量 （千克）满足 。当 从1 kg 增加到3 kg 时，弹簧长度如何变化？ 问题2：某村耕地面积 固定，人均耕地 （公顷/人）与人口 的关系为 。人口增加时人均耕地如何变化？ 问题3：上述两例的函数解析式有何共同特征？你能类比一次函数图象的绘制方法画出 的图象吗？ 设计意图： 通过物理、社会实例引出反比例函数模型，激活学生关于函数图象的已有经验（一次函数的直线图象），引发对反比例函数图象形态的猜想。渗透数学建模思想，对应目标（3）。 (二) 合作探究1 探究1：画出 的图象。 步骤： 1. 列表（取 )： -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 1. 描点连线： · 描点：在坐标系中标出 。 · 连线：用平滑曲线连接各点，得到两支分别位于第二、四象限的曲线（双曲线）。 追问： 1. 图象会与坐标轴相交吗？为什么？ （答：不会，因为 ，。） 1. 当 无限增大时，曲线如何变化？ （答：无限接近 轴但永不相交。） (三) 巩固练习1 1. 补全 的表格（)： 答案： -4 -1 1 4 -3 -12 12 3 1. 判断：函数 的图象在第二、四象限。（ ） 答案：✓（因 。） (四) 合作探究2 探究2：对比 和 的图象： (1) 图象分别位于哪些象限？ (2) 当 时， 随 增大如何变化？ 猜想：所有 的反比例函数图象都在一、三象限，且 随 增大而减小。 验证： · 取 ，列表验证（略）。 · 代数证明（以 为例）： 设 （同号），比较 : · 若 ，则 ，，故 ，即 （函数递减）。 探究3：类比研究 （如 ) 的性质。 设计意图： 通过“观察-猜想-验证-证明”的完整过程，培养学生从具体到抽象的归纳能力和严谨的代数推理能力，突破增减性证明的难点，对应目标（2）。 (五) 典例分析 例1：已知反比例函数图象过点 。 (1) 求解析式，说明图象位置及增减性； (2) 判断点 , , 是否在图象上。 解： (1) 设 ，代入 得 ，故 。 ∵ ，∴ 图象在第一、三象限，在每一象限内 随 增大而减小。 (2) 检验： · ：，点在图象上； · ：，点在图象上； · ：，点不在图象上。 设计意图： 综合运用待定系数法、性质分析、点与图象位置关系的判断，强化数形结合思想，对应目标（3）。 (六) 巩固练习 1. 若反比例函数 的图象在第一、三象限，求 的取值范围。 解：由题意 ，故 。 1. 点 , 在 图象上，比较 与 大小。 解：∵ ，，， ∴ ，，故 。 1. 如图（描述）：双曲线的一支在第四象限，且过点 ，求函数解析式。 解：设 ，代入得 ，故 ，解析式为 。 设计意图： 分层练习覆盖图象位置、参数求解、函数值比较三类问题，巩固性质应用，反馈学习效果。 (七) 归纳总结 函数 () 图象位置 第一、三象限 第二、四象限 每一象限内增减性 随 增大而减小 随 增大而增大 图象名称 双曲线（渐近坐标轴） (八) 感受中考 1. (2023·江西) 若反比例函数 的图象过点 ，则 ______。 答案：（解析：。） 1. (2024·浙江) 反比例函数 的图象在第二、四象限，则 的取值范围是（ ）。 A. \quad B. \quad C. \quad D. 答案：A（解析：。） 1. (2022·河南) 点 , 在 的图象上，则 的大小关系为 ______。 答案：（解析：，在第三象限 随 增大而增大，，故 。） 1. (2023·福建) 如图（描述）：双曲线 与直线 交于 ，则 ______。 答案：（解析：，。） 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 (九) 小结梳理 知识模块 核心要点 关联性 图象绘制 列表、描点、连线（平滑曲线） 函数解析式→点的坐标→图象形态 性质分析 的符号决定象限位置和增减性 数形结合思想的典型应用 实际应用 解析式求解、点位置判断、函数值比较 建立数学模型解决复杂问题的基础 (十) 布置作业 必做题： 1. 教材习题26.1 第3题（填空：反比例函数图象与 符号的关系）。 1. 教材习题26.1 第5题（求反比例函数与直线 的交点）。 选做题： 1. 探索：双曲线 上点 关于直线 的对称点 是否仍在图象上？由此你能发现什么规律？ 1. 若 条直线 与双曲线 分别交于不同点，这些交点有何特征？ 五、教学反思 （课后手写补充） 学科网（北京）股份有限公司 $$