精品解析：2025年安徽省蚌埠市龙子湖区三模数学试题

2025安徽中考仿真卷 数学 注意事项： 1．数学试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（6页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数25，0，， 中，最小的数是（ ） A. 25 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数大小的比较，正数大于0，0大于负数；根据正数大于0，0大于负数，即可比较． 【详解】解：∵， ∴最小的数是； 故选：C． 2. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为三角形的几何体为三棱柱．根据题意得：主视图是两个长方形，左视图是一个长方形，俯视图是三角形，可得此几何体是三棱柱． 【详解】解：根据题意得：主视图是两个长方形，左视图是一个长方形，俯视图是三角形，可得此几何体是三棱柱． 故选：B． 3. 将精确到百位的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了近似数和有效数字，从左边第一个不是0的数开始数起，到精确到的数位为止，所有的数字都叫做这个数的有效数字．最后一位所在的位置就是精确度． 先利用近似数的精确度求解，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：精确到百位的结果是． 故选D． 4. 关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式判断即可． 可，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：B． 5. 我国是世界上最早使用历法的国家之一，农历二十四节气就是我国古代劳动人民总结的天文气象历法，是世界的非物质文化遗产，有些节气与白昼时长密切相关．图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长小于的节气是（ ） A. 立春 B. 芒种 C. 大雪 D. 白露 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数图像信息题，正确从图像中获取信息是解题的关键． 根据函数图像展示的信息判断即可． 【详解】解：根据图像信息，立春白昼时长为之间，芒种白昼时长超过，大雪白昼时长小于，白露白昼时长为之间， 所以，白昼时长小于的节气是大雪； 故选：C． 6. 如图，是的直径，弦，在的两侧，连接．若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上知识点． 如图，连接，由直径得到，然后求出，然后根据同弧所对的圆周角相等求解即可． 【详解】如图，连接． ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：A． 7. 已知，下列与m 最接近的整数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解本题的关键．利用无理数的估算确定出所求即可． 【详解】解：， ∵， ∴，且更接近8， 与整数8最接近． 故选：C． 8. 已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查解三元一次方程，互为相反数的应用，根据已知方程判定代数式的值，正确计算是解此题的关键． 由，，下可以得出：，，即a与互为相反数，得出．， 则可判断选项D正确． 【详解】解∶把已知两个式子相减，得， ∴，即a与互为相反数， ∴， ∴， 又 ∴， 故选 D． 9. 袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一个关于古典概型概率计算的问题．通过有放回地从装有红、黄、白球各一个的袋中取球 3 次这一试验情境，计算不同事件的概率．本题主要考查古典概型的概率计算、对立事件的概率性质以及分步乘法计数原理．解题的关键在于准确确定基本事件总数，以及各事件所包含的基本事件个数，合理运用概率公式和相关原理进行计算，同时要注意对立事件关系的运用． 【详解】解：画出如图所示的树状图． 共有27种等可能的结果，则 ∴，，， 故选 A． 10. 如图，在中，，，是的平分线，延长至点E，使得，连接，过点A作于点F，交于点O，交于点H，射线交于点G，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 是线段的垂直平分线 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理．通过角度的运算先后证明是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线，利用勾股定理得到，可判断选项D；证明，推出，可判断选项A；证明，推出是线段的垂直平分线，据此可判断选项B；在中，选项C错误． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是线段的垂直平分线，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，故选项D正确； 在和中，， ∴， ∴， ∴，故选项A正确； ∵，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是线段的垂直平分线， 又∵点C，O，G在同一条直线上， ∴是线段的垂直平分线，故选项B正确． 在中，， ∴，故选项C错误． 故选C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知命题：“同位角相等”它的逆命题是_____________ 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角 【解析】 【分析】本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 12. 若是关于的方程的解，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，将代入，得到关于k的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：将代入， 得：，即， 解得， 故答案为：5． 13. 图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 _______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵四边形矩形，， ， 设反比例函数段的解析式为， ， ∴反比例函数段的解析式为 ， 的高度不高于3m，即 ， ， 解得， ， Q到的距离至少为． 故答案为：． 14. 如图1，已知四边形，，，，沿着对角线 折叠，点D 恰好与点B 重合，如图2所示． （1）图1中点 B 到直线的距离是_______； （2）将图2中的三角形作第二次折叠，使折痕经过一个顶点且与该顶点的对边相交，然后再把两次折叠图展开还原为图1的四边形，如果由两条折痕与原四边形的两条边（或边上的部分线段）构成的四边形有一个菱形，那么折痕的长度是_______ 【答案】 ①. 1 ②. 或 【解析】 【分析】（1）如图1，过点 B 作BH⊥AD 于点H，作 AG⊥BC交的延长线于点 G．在 中，求解，，可得，可得，，由折叠的性质可知，，再进一步可得答案； （2）①如图2，当折痕过顶点 A 与对边BC上的点E时，不存在菱形；②如图3，当折痕过顶点B与对边上的点P 时，折痕与两边组成菱形，③如图4，当折痕过顶点 C 与对边上的点F时，折痕与两边上的部分线段组成菱形 ，则，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）如图1，过点 B 作BH⊥AD 于点H，作 AG⊥BC交的延长线于点 G． 在 中，，， ∴，， ∴， ∴，， 由折叠的性质可知，， ∴， 即点B到 的距离为1． 故答案为： （2）①如图2，当折痕过顶点 A 与对边BC上的点E时，不存在菱形； ②如图3，当折痕过顶点B与对边上的点P 时，折痕与两边组成菱形， ∴折痕 ； ③如图4，当折痕过顶点 C 与对边上的点F时，折痕与两边上的部分线段组成菱形 ，则， ∴， ∴． 过点C 作交的延长线于点Q， 同理可得：， ∴折痕 综上所述，折痕的长度是 或 ． 故答案为：或 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，解直角三角形的应用，菱形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂、负整指数幂、二次根式的混合运算计算即可．本题考查了零指数幂、指数幂、二次根式的混合运算，准确计算是本题的关键． 【详解】解：原式 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，将沿直线l翻折，得到，点 A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）在图中画出直线l； （2）仅用无刻度的直尺在上找一点P，连接，使得平分的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了格点作图，矩形的性质，轴对称的性质，熟知相关性质是作图的前提． （1）连接对应点的连线，即可求得对称轴直线； （2）根据矩形的性质可得的中点P，即可解答． 【小问1详解】 解：如图，直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图，根据矩形的性质可得点是的中点，故点即为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 （1）求上表中m的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 【答案】（1） （2）甲种篮球打了九折 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程即可； （2）根据题意列方程，求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）得（元/个）． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元）． 设甲种篮球打了x折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 18. 杨辉三角是中国数学史上的一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数 系数 展开式 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： （1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； （2）当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； （3）展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 【答案】（1）15 （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角得出规律是解此题的关键． （1）利用杨辉三角每行数字左右对称、由1开始先变大后变小、除两端1外每个数等于肩上两数之和等规律，依次写出前7行数字，从而得出第7行第3个数． （2）通过列举第4、5、6、7行第3个数的计算过程，发现规律为从1加到，进而得出第n行第3个数的表达式,得出展开式各项系数和的表达式 （3）分别计算，等展开式各项系数和，发现各项系数的规律可得结论； 【小问1详解】 杨辉三角有这样的规律：每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小到1 ；第n行的数字个数为n个；除了每行两端的1，每个数都等于它肩上两数之和． 第1行：1 第2行：1，1 第3行：1，2，1 第4行：1，3，3，1 第5行：1，4，6，4，1 第6行：1，5，10，10，5，1 第7行：1，6，15，20，15，6，1 所以从左边数第7行第3个数是15． 故答案为：15； 【小问2详解】 第4行第3个数． 第5行第3个数是． 第6行第3个数是． 第7行第3个数是． …… 第n行第3个数是 故答案为：； 【小问3详解】 第二行：，，各项系数和为， 第三行：，各项系数和为， … 第行：展开后各项系数和为； 故答案为：； 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】的长约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理等知识．熟练掌握解直角三角形的应用，勾股定理是解题的关键． 由题意得，由题意知．则．由P，O，C三点在同一条直线上，可得．则．设，则，由勾股定理得，，可求，则．根据，计算求解即可． 【详解】解：在中，，， ∴． 由题意，可得． ∴． ∵P，O，C三点在同一条直线上， ∴． ∴． 设，则， 由勾股定理得，， 解得， ∴． ∴． 答：的长约为． 20. 如图，在矩形中，为的中点，的外接圆交于点． （1）求证：与相切 （2）若 ，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，延长交于点，根据矩形的性质得到，推出，得到，推出，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，求出． 【小问1详解】 证明，：如图，连接，延长交于点. 矩形， ， 为的中点 ， ， ， ， ， ， . ， ， 是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作于点. ， 为的直径. ， 四边形为矩形， ，，， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生会在八、九年级中各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，赛后对成绩进行整理分析．已知成绩（分数）x均为整数，分为 A，B，C，D，E五个等级，A：，B：，C：，D：，E：，且八年级B等级中成绩由低到高的前10个数为80，80，81，83，83，83，84，84，85，85．两个年级学生传统文化知识竞赛分数统计图如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 两个年级学生传统文化知识竞赛分数样本数据的平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出 ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对传统文化知识掌握较好？说明理由（一条即可）． （3）若分数不低于80分表示该生对传统文化知识掌握较好，且该校八年级有人，九年级有人，请估计该校八、九年级所有学生中，对传统文化知识掌握较好的学生人数． 【答案】（1）82，30 （2）八年级的学生对传统文化知识掌握较好，理由见解析 （3）人 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数，频数分布直方图，扇形统计图的应用，用样本估计总体．明确题意，用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）根据题意和统计图中的数据分别计算a、m的值即可． （2）把平均数、中位数和众数相结合判断即可求解． （3）分别求出两个年级成绩不低于80分的人数，再相加即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级C、D、E组共有22人，故成绩由低到高排列，第25、26个数据分别是81、83． ， ， ∴； 【小问2详解】 解： 八年级的学生对传统文化知识掌握较好．理由如下： 虽然八、九年级的平均数相同，但是八年级的中位数、众数比九年级的高， 因此八年级的学生对传统文化知识掌握较好． 【小问3详解】 解： (人)． 答：估计该校八、九年级所有学生中，对传统文化知识掌握较好的学生有1996人． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，E是边的中点，连接 ，交于点F，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明出为等边三角形，点B，C，D在以A为圆心，长为半径的圆上，然后求出，然后求出，进而求解即可； （2）在线段 上截取，连接，根据题意证明出，得到，即可得到； （3）由（1）可知，，，如图3，过点C作于点H，设，根据题意表示出，，进而求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴为等边三角形，点B，C，D在以A为圆心，长为半径的圆上，如图1， ∵，E是边的中点， ∴ ∴； 【小问2详解】 证明：如图2，在线段 上截取，连接． 由（1）可知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 解：由（1）可知，， 如图3，过点C作于点H． 设，则，， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理，三线合一，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23. 一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． （1）求此时抛物线形水柱的解析式； （2）求水柱与坡面之间的最大铅直高度； （3）若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 【答案】（1） （2）水柱与坡面之间的最大铅直高度为； （3）应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）设喷出的抛物线形水柱的解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得坡面的函数解析式，设抛物线上一点，过点P向x轴作垂线，交于点Q，用表示出，再利用二次函数的性质求解即可； （3）设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为，求得，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，采用最大功率灌溉时，抛物线的顶点坐标为， 设喷出的抛物线形水柱的解析式为， 将代入， 得，解得， 此时抛物线形水柱的解析式为； 【小问2详解】 解：设坡面的函数解析式为，由坡度为可知， 当时， ，即， ∴坡面的函数解析式为， 令， 解得，， 又∵， ∴， 设抛物线上一点， 如图，过点P向x轴作垂线，交于点Q，则， ∴， 其中， ∵，其中， ∴当时，最大，最大值为， 答：水柱与坡面之间的最大铅直高度为； 【小问3详解】 解：设灌溉装置向左平移后的抛物线的解析式为， 由（2）可知，， 将代入，得， ∴， 将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：应该将移动灌溉装置向左至少移动，才能避开对这棵大树的灌溉． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025安徽中考仿真卷 数学 注意事项： 1．数学试卷共八大题23小题，满分150分．考试时间120分钟． 2．试卷包括“试题卷”（6页）和“答题卷”（6页）两部分．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数25，0，， 中，最小的数是（ ） A. 25 B. 0 C. D. 2. 下图是某几何体的三视图，该几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 将精确到百位的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 我国是世界上最早使用历法的国家之一，农历二十四节气就是我国古代劳动人民总结的天文气象历法，是世界的非物质文化遗产，有些节气与白昼时长密切相关．图所示的是一年中部分节气所对应的白昼时长示意图，在下列选项中，白昼时长小于的节气是（ ） A 立春 B. 芒种 C. 大雪 D. 白露 6. 如图，是的直径，弦，在的两侧，连接．若 ，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，下列与m 最接近的整数是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知三个实数a，b，c满足，，下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，是的平分线，延长至点E，使得，连接，过点A作于点F，交于点O，交于点H，射线交于点G，连接，，则下列结论错误的是（ ） A. B. 是线段的垂直平分线 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知命题：“同位角相等”它的逆命题是_____________ 12. 若是关于的方程的解，则______． 13. 图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 _______． 14. 如图1，已知四边形，，，，沿着对角线 折叠，点D 恰好与点B 重合，如图2所示． （1）图1中点 B 到直线的距离是_______； （2）将图2中的三角形作第二次折叠，使折痕经过一个顶点且与该顶点的对边相交，然后再把两次折叠图展开还原为图1的四边形，如果由两条折痕与原四边形的两条边（或边上的部分线段）构成的四边形有一个菱形，那么折痕的长度是_______ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网格线的交点）上，将沿直线l翻折，得到，点 A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）在图中画出直线l； （2）仅用无刻度的直尺在上找一点P，连接，使得平分的面积． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如下表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元/个） 售价（元/个） 100 75 （1）求上表中m的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了20%，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为 1 665元，求甲种篮球打了几折． 18. 杨辉三角是中国数学史上一个伟大成就，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合． 行数 系数 展开式 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 …… 上图呈现的是杨辉三角的部分数据，根据图中蕴含的规律，解答下列问题： （1）在杨辉三角中，从左边数第7行第3个数是 ； （2）当时，在系数中，从左边数第 n行第3个数是 （用含 n的式子表示）； （3）展开后各项的系数和为 （用含 n 的式子表示） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 材料阅读： 光从空气针射入水中时，传播方向发生了偏折，这种现象叫做光的折射．我们把入射角的正弦值和折射角的正弦值之比称为折射率（n），即，已知光线从空气进入水中时的折射率为． 问题解答： 如图，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点P射向水面上的点O，折射后照到水槽底部的点Q，测得，．若P，O，C三点在同一条直线上，请依据相关材料求的长．（结果精确到；参考数据：，，） 20. 如图，在矩形中，为的中点，的外接圆交于点． （1）求证：与相切 （2）若 ，，求长． 六、（本题满分12分） 21. 为弘扬中华优秀传统文化，校学生会在八、九年级中各抽取50名同学开展传统文化知识竞赛，赛后对成绩进行整理分析．已知成绩（分数）x均为整数，分为 A，B，C，D，E五个等级，A：，B：，C：，D：，E：，且八年级B等级中成绩由低到高的前10个数为80，80，81，83，83，83，84，84，85，85．两个年级学生传统文化知识竞赛分数统计图如下： 平均数 中位数 众数 八年级 84 a 76 九年级 84 81 75 两个年级学生传统文化知识竞赛分数样本数据平均数、中位数、众数如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）直接写出 ， ； （2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的学生对传统文化知识掌握较好？说明理由（一条即可）． （3）若分数不低于80分表示该生对传统文化知识掌握较好，且该校八年级有人，九年级有人，请估计该校八、九年级所有学生中，对传统文化知识掌握较好的学生人数． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在四边形中，对角线，交于点O，E是边的中点，连接 ，交于点F，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）若，求的值． 23. 一种移动灌溉装置（如图1）喷出的水柱的路径可近似看作一条抛物线，喷水头距水平地面的距离为，若采用最大功率灌溉，则喷出的抛物线形水柱在距离喷水头水平距离为处达到最高，高度为，灌溉时水柱的高度y（单位：m）与水柱落地处距离喷水头的水平距离x（单位：m）的图象如图2所示．李师傅采用最大功率灌溉一坡度为的斜坡草地． （1）求此时抛物线形水柱的解析式； （2）求水柱与坡面之间的最大铅直高度； （3）若到喷水头水平距离为的A处有一棵大树，由于刚喷洒过农药不能灌溉（水柱经过大树上方会有水滴落），则应该将灌溉装置向左至少移动多少米，才能避开对这棵大树的灌溉？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$