单元过关练1：集合与常用逻辑用语、不等式-2026届高三数学一轮复习

集合与常用逻辑用语、不等式 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2024·浙江名校联考]设命题p：∀n∈N，n2＜3n＋4，则p的否定为(　　) A.∀n∈N，n2＞3n＋4 B.∀n∈N，n2≤3n＋4 C.∃n∈N，n2≥3n＋4 D.∃n∈N，n2＞3n＋4 2.[2025·长沙期末]已知集合M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}，则(　　) A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅ 3.[2025·南京一模]已知x>0，y>0，则x＋y≥2是xy≥1的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.[2025·黄冈模拟]已知集合A＝{x|a－1<x<a＋2}，B＝{x|x2－6x＋5<0}，若A∩B＝{x|a－1<x<5}≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A.[3，＋∞) B.[2，＋∞) C.[3，6) D.[2，6) 5.[2025·无锡模拟]已知实数a，b满足如下两个条件：(1)关于x的方程3x2－2x－ab＝0有两个异号的实根；(2)＋＝1.若对于上述的一切实数a，b，不等式a＋2b＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A.(－4，2) B.(－2，4) C.(－∞，－4]∪[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[4，＋∞) 6.[2025·武汉模拟]若“∃a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2>0”是假命题，则x不能等于(　　) A.－1 B.0 C.1 D. 7.[2025·茂名模拟]已知a>0，b>0，则下面结论正确的是(　　) A.若ab＝4，则a＋b≤4 B.若a>b，则ac2>bc2 C.若a＋2b＝2，则2a＋4b有最小值4 D.若a>b>m>0，则> 8.[2025·成都模拟]已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为(　　) A.> B.ln(a＋1)>ln(b＋1) C.a3>b3>0 D.> 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[2024·石家庄三模]某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1 500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1 500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1 500米”都参加的有3人，“400米和1 500米”都参加的有3人，则下列说法正确的是(　　) A.三项比赛都参加的有2人 B.只参加100米比赛的有3人 C.只参加400米比赛的有3人 D.只参加1 500米比赛的有1人 10.[2025·南京质检]设p＝a＋，a∈R，则下列说法正确的是(　　) A.p≥2 B.“a＞1”是“p≥2”的充分不必要条件 C.“p＞3”是“a＞2”的必要不充分条件 D.∃a∈(3，＋∞)，使得p＜3 11.[2025·绍兴模拟]已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则(　　) A.a>1且b>1 B.ab≥4 C.a＋4b≤9 D.＋>1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.[2025·上海闵行区质检]已知集合A＝，B＝，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________. 13.[2025·浙江镇海中学模拟]能够说明“若0＜a＜b＜c，则a＜bc”是假命题的一组实数a，b，c的值依次为________. 14.[2025·福州模拟]设集合A为含有n个元素的有限集.若集合A的m个子集A1，A2，…，Am满足以下3个条件： ①A1，A2，…，Am均非空；②A1，A2，…，Am中任意两个集合交集为空集；③A1∪A2∪…∪Am＝A.则称A1，A2，…，Am为集合A的一个m阶分拆. 若A＝{1，2，3，…，2 024}，A1，A2为A的2阶分拆，集合A1所有元素的平均值为P，集合A2所有元素的平均值为Q，则|P－Q|的最小值等于________，最大值等于________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)[2025·青岛质检]已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|x2－2x＋1－m2≤0，m＞0}. (1)若m＝2，求A∩(∁RB)； (2)x∈A是x∈B的________条件，若实数m的值存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要；②必要不充分；③充要中任选一个，补充到空白处) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 16.(15分)[2025·重庆荣昌区模拟]已知关于x不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}. (1)求a，b值； (2)当x>0，y>0，且满足＋＝1时，求2x＋y＋3的最小值. 17.(15分)[2024·南通质检]为了控制某种病毒的传播，某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度y(单位：毫克/立方米)随着时间x(单位：小时)变化的关系如下：当0≤x≤4时，y＝－1；当4＜x≤10时，y＝5－x.若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.(精确到0.1，参考数据：≈1.4) 18.(17分)[2025·西安模拟]已知a，b∈R，a≠b且a＋b>0. (1)若ab≠0，设m＝＋，n＝＋，比较m和n的大小； (2)若a<0，求b－的最小值.(提示：a＋b＋c≥3，a，b，c大于零) 19.(17分)(2025·湖北八市联考)(1)已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求＋的最小值； (2)设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L.回答下面的问题： ①当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由. ②求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 参考答案 1.C　[由题意可得，命题p：∀n∈N，n2＜3n＋4的否定为：∃n∈N，n2≥3n＋4.故选C.] 2.C　[因为M＝{x|x<1}，N＝{x|x2<1}＝{x|－1<x<1}，所以N⊆M，故选C.] 3.B　[当x＝，y＝时，满足x>0，y>0，x＋y＝2，但xy＝<1，故充分性不成立；若x>0，y>0，xy≥1，则x＋y≥2≥2，当且仅当x＝y＝1时两个等号同时成立，故必要性成立.综上，可知x＋y≥2是xy≥1的必要不充分条件，故选B.] 4.C　[B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}，因为A＝{x|a－1<x<a＋2}且A∩B＝{x|a－1<x<5}≠∅，所以解得3≤a<6，即实数a的范围为[3，6).] 5.A　[设方程3x2－2x－ab＝0的两个异号的实根分别为x1，x2，则x1x2＝－＜0，故ab＞0. 又＋＝1，故a＞0，b＞0， 则a＋2b＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝8(当且仅当a＝4，b＝2时取“＝”)，由不等式a＋2b＞m2＋2m恒成立， 得m2＋2m＜8，解得－4＜m＜2. 故实数m的取值范围是(－4，2).故选A.] 6.C　[由题意其否定“∀a∈[1，3]，ax2＋(a－2)x－2≤0”为真命题. 令f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，解得－1≤x≤.] 7.C　[因为a>0，b>0， 对于选项A：若ab＝4，则a＋b≥2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，A错误； 对于选项B：当c＝0时，不等式不成立，B错误； 对于选项C：若a＋2b＝2，则2a＋4b≥2＝2＝4，当且仅当a＝2b＝1时取等号，C正确； 对于选项D：因为a>b>m>0，且－＝<0，所以<，故D错误.] 8.B　[对于A，>，不能推出a>b>0，如>，反之a>b>0，则有<， 即>是a>b>0的既不充分也不必要条件，A错误； 对于B，由ln(a＋1)>ln(b＋1)，得a＋1>b＋1>0，即a>b>－1，不能推出a>b>0，反之a>b>0，则a>b>－1，因此ln(a＋1)>ln(b＋1)是a>b>0的必要不充分条件，B正确； 对于C，a3>b3>0⇔a>b>0，a3>b3>0是a>b>0的充要条件，C错误； 对于D，由>，得a>b≥1>0，反之a>b>0不能推出a>b≥1， 因此>是a>b>0的充分不必要条件，D错误.] 9.ABD　[根据题意，设A＝{x|x是参加100米的同学}， B＝{y|y是参加400米的同学}，C＝{z|z是参加1 500米的同学}， 则card(A)＝8，card(B)＝7，card(C)＝5，且card(A∩B)＝4，card(A∩C)＝3，card(B∩C)＝3， 则card(A∩B∩C)＝12－＝2，所以三项比赛都参加的有2人，只参加100米比赛的有3人，只参加400米比赛的有2人，只参加1 500米比赛的有1人. 故选ABD] 10.BC　[对于A项，当a＜0时，显然有p小于0，A错误； 对于B项，a＞1时，p＝a＋≥2＝2(a＝时取等号)，故充分性成立， 而p≥2只需a＞0即可，故B正确； 对于C项，p＝a＋＞3可得0＜a＜1或a＞2，当a＞2时p＞3成立，故C正确； 对于D项，由a＞3得a＋＞3＋＞3， 故D错误.故选BC.] 11.ABD　[对于A，a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＝>0，故b>1，同理可得a>1，A正确；对于B，a>0，b>0，ab＝a＋b≥2，∴ab≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，B正确； 对于C，a>0，b>0，a＋b＝ab，则＋＝1，则 a＋4b＝(a＋4b)＝1＋＋＋4≥5＋2＝9， 当且仅当即a＝3，b＝时取等号，C错误； 对于D，由于b>0，故＋＝＋≥b－1＋≥2－1＝1，当且仅当b＝1时取等号，而b>1，故＋>1，D正确.] 12.{a|a＞1}　[由x2＜1，解得－1＜x＜1，所以A＝＝. 因为x2＋2≥2，所以不等式＜0等价于|x|－a＜0.因为“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， 所以AB，所以B≠∅，则a＞0， 所以不等式|x|－a＜0， 即|x|＜a，解得－a＜x＜a，所以B＝＝，又AB，所以a＞1，即{a|a＞1}.] 13.，，(答案不唯一)　[由“若0＜a＜b＜c，则a＜bc”是假命题可得，存在a，b，c满足条件0＜a＜b＜c，但a≥bc， 由此可得b＞bc，故c＜1， 若取c＝，a＝，则＜b＜，故可取b＝.故a，b，c的值依次为，，(答案不唯一).] 14.0　1 012　[由题意：取A1＝{1，4，5，8，9，12，…，2 021，2 024}，A2＝{2，3，6，7，…，2 022，2 023}， 因为：1＋4＝2＋3，5＋8＝6＋7，…，2 021＋2 024＝2 022＋2 023， 所以P＝Q，则|P－Q|＝0为最小值；取A1＝{2，3，4，5，…，2 023，2 024}，A2＝{1}， |P－Q|＝－1＝－1＝1 012为最大值.] 15.解　(1)由不等式x2－x－12＝(x－4)(x＋3)≤0，解得－3≤x≤4，可得A＝{x|－3≤x≤4}， 当m＝2时，不等式 x2－2x－3＝(x－3)(x＋1)≤0， 解得－1≤x≤3，即B＝{x|－1≤x≤3}， 可得∁RB＝{x|x＜－1，或x＞3}， 所以A∩(∁RB)＝{x|－3≤x＜－1，或3＜x≤4}. (2)由不等式x2－2x＋1－m2＝(x－m－1)(x＋m－1)≤0(m＞0)， 解得1－m≤x≤1＋m， 所以B＝{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}. 若选择条件①，则集合A是B的真子集， 得解得m≥4. 当m＝4时，B＝{x|－3≤x≤5}，AB，符合题意. 所以存在满足条件①的实数m，此时m的取值范围为[4，＋∞). 若选择条件②，则集合B是A的真子集， 得解得0＜m≤3. 当m＝3时，B＝{x|－2≤x≤4}，则BA，符合题意. 所在存在满足条件②的实数m，此时m的取值范围为(0，3]. 若选择条件③，则集合A＝B， 得无解， 所以不存在满足条件③的实数m. 16.解　(1)因为不等式ax2－3x＋2>0的解集为{x|x<1，或x>b}， 可得1和b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，且a>0， 则解得a＝1，b＝2. (2)由(1)知a＝1，b＝2，可得＋＝1， 因为x>0，y>0，所以2x＋y＋3＝2(x＋1)＋(y＋1)＝[2(x＋1)＋(y＋1)]·(＋) ＝4＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当＝时，即x＝1，y＝3时，等号成立，所以2x＋y＋3的最小值为8. 17.(1)解　因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以其浓度为 f(x)＝4y＝ 当0≤x≤4时，由－4≥4，解得x≥0，此时0≤x≤4； 当4＜x≤10时，由20－2x≥4，解得x≤8，此时4＜x≤8， 综上0≤x≤8，所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时； (2)设从第一次喷洒起，经x(6≤x≤10)小时后，其浓度为 g(x)＝2(5－x)＋a(－1) ＝10－x＋－a ＝14－x＋－a－4， 因为14－x∈[4，8]，a∈[1，4]， 所以14－x＋－a－4≥2－a－4 ＝8－a－4， 当且仅当14－x＝， 即x＝14－4时，等号成立， 所以其最小值为8－a－4， 由8－a－4≥4，解得24－16≤a≤4， 所以a的最小值为24－16≈1.6. 18.解　(1)m－n＝＋－－＝＋＝＝， 由a，b∈R，a≠b且a＋b>0，故m－n>0，故m>n. (2)由a＋b>0，故b>－a，又a<0，故－a>0，b>0， 则有a2＋ab＝a＝－≥－2＝－， 当且仅当－a＝a＋b，即b＝－2a时，等号成立， 故b－≥b－＝b＋＝＋＋≥ 3＝3， 当且仅当＝，即b＝2时，等号成立， 故b－的最小值为3. 19.解　(1)＋＝(a＋b)＝2＋＋≥ 2＋2＝4， 当且仅当＝，即a＝b＝时取等号，所以＋的最小值为4； (2)①能，理由如下： 设平行四边形的两邻边长分别为x，y，两对角线长分别为m，n， 则有x＋y＝L， 由三角形两边之和大于第三边可知m<x＋y＝L，n<x＋y＝L， 又圆的直径为L，故直径为L的圆形纸片能完全覆盖这个平行四边形； ②证明　如图，任意四边形ABCD的各边长分别为a，b，c，d， 由图可知，S△ABC=cdsin∠ABC ≤cd，当且仅当∠ABC＝90°时取等号，S△ACD＝absin∠ADC ≤ab，当且仅当∠ADC＝90°时取等号，故S四边形ABCD≤(ab＋cd)， 同理S四边形ABCD≤(bc＋ad)， 当且仅当∠BAD＝∠BCD＝90°时取等号， 故S四边形ABCD≤(ab＋bc＋cd＋ad)＝(a＋c)(b＋d)， 当且仅当∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝90°时取等号， 又(a＋c)(b＋d)≤＝＝， 当且仅当a＝b＝c＝d时取等号； 故S四边形ABCD≤，当且仅当四边形是正方形时取等号，故当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $$