2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(7)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(七) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 ADAAC　 　 6-8　 BBC 二、填空题(每小题 3分) 9. 8. 201×1010 　 10. ②③④　 11. 0. 8　 12. a -1 a 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)原式= - 1 2 ;(2)原式= -x2 - 5 2 y2 -3,当 x = -1,y = -2时,原式= -14 14. (8分)(1) 1 50 ;(2)这两次摸出的小球上所标数字之积是偶数的概率为 7 16 15. (10分)(1)证明略;(2)DE = 3 16. (11分)(1)每套 B型号的“文房四宝”的标价为 100元;(2)购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需 花费 3 570元;(3)该校至少买了 40套 A型“文房四宝” 17. (12分)(1)CD BE = 3 2 ;(2)当旋转角 α = 90°或 270°时,S△ABE 的值最大,最大值为 20 3 ; (3)旋转角的度数为 240°,PC的最大值为 6+5 3 3 18. (13分)(1)a1 的值为 4,b1 的值为 2;(2)一次函数的解析式为 y = -x+2,反比例函数的解析式为 y = - 1 x ; (3)b2 的取值范围是 1≤b2≤3;(4)点 M的坐标为(2,-5),点 N的坐标为( -5,- 17 2 )或( -5,- 3 2 ) 详解详析 1. A　 2. D　 3. A　 4. A　 5. C　 6. B　 7. B 8. C　 【解析】∵ A( -1,-1),B(3,0),线段 AB 向下平 移 3 个单位长度得到线段 MN, ∴ M ( - 1, - 4), N(3,-3),当二次函数 y = ax2 +1( a<0)的图象左支 过点M时,将M( -1,-4)代入函数表达式,得 a+1 = -4,解得 a = -5;当图象右支过点 N时,将 N(3,-3) 代入函数表达式,得 9a+1 = -3,解得 a = - 4 9 . 易得 MN所在直线的表达式为 y = 1 4 x- 15 4 ( -1≤x≤3) ①,当 a = -5时,y = -5x2 +1②,联立①②得-5x2 +1 = 1 4 x-15 4 ,即 20x2 +x-19 = 0,解得 x = -1 或 x = 19 20 ,二 次函数图象与线段 MN 有两个交点,不符合题 意.当 a = - 4 9 时,y = - 4 9 x2 +1③,联立①③得- 4 9 x2 + 1 = 1 4 x-15 4 ,即16 9 x2 +x-19 = 0,解得 x = 3 或 x = -57 16 , ∵ -57 16 <-1,∴ 二次函数图象与线段 MN只有一个交 点,符合题意,∴ 当-5<a≤- 4 9 时,二次函数 y =ax2 + 1(a<0)的图象与线段MN只有一个公共点. 9. 8. 201×1010 　 10. ②③④　 11. 0. 8 12. a-1 a 　 【解析】 ∵ P1 = a-1 a , ∴ P2 = 1-a 1+a-1 = 1-a a , ∴ P3 = 1-a 1+1-a = 1-a 2-a ,∴ P4 = 1-(2-a) 1+1-a = a-1 2-a ,∴ P5 = 1-(2-a) 1+(a-1) = a-1 a ,…,∴ 每 4 个分式为 1 个周期, ∵ 2 025÷4 = 506……1,∴ 分式 P2 025 = P1 = a-1 a . 13.解:(1)原式=-2 3 + 3 +1-(2- 3)+ 1 2 (4分)…… = - 1 2 ; (5分)………………………… (2)原式= -2x2 - 3 2 y2 +(x2 -y2) -3 = -2x2 - 3 2 y2 +x2 -y2 -3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 = -x2 - 5 2 y2 -3, (8分)………………… 当 x = -1,y = -2时, 原式= -( -1) 2 - 5 2 ×( -2) 2 -3 = -1-10-3 = -14. (10分)……………………………… 14.解:(1) 1 50 ; (2分)………………………………… (2)画树状图如解图: 第 14题解图 (5分)…………………………………………… 由树状图可知,共有 16 种等可能的结果,其中两 次摸出的小球上所标数字之积是偶数的结果有 7种, ∴ 这两次摸出的小球上所标数字之积是偶数的概 率为 7 16 . (8分)…………………………………… 15. (1)证明:如解图,连接 OD, ∵ AB是☉O的直径,∴ OB = OD, ∴ ∠OBD = ∠ODB, ∵ BD平分∠OBE,∴ ∠OBD = ∠DBE, ∴ ∠ODB = ∠DBE. (2分)……………………… ∵ DE⊥CB,∴ ∠BDE+∠DBE = 90°, ∴ ∠BDE+∠ODB = 90°,即∠ODE = 90°, 又∵ OD是☉O的半径, ∴ DE是☉O的切线; (4分)…………………… (2)解:∵ AB是☉O的直径, ∴ ∠C = 90°, (5分)……………………………… ∵ ∠A = 30°,∴ ∠ABC = 60°, ∴ ∠ABE = 120°, (6分)………………………… 由(1)知∠OBD = ∠DBE = ∠ODB = 60°, ∴ △ODB是等边三角形, (8分)………………… ∵ AB = 4,∴ OB = OD = BD = 2,∵ DE⊥CB, ∴ 在 Rt△DBE中,DE = BD·sin60° = 2× 3 2 = 3 . (10分)…………………………………………… 第 15题解图 16.解:(1)设每套 B 型号“文房四宝”的标价为x元, 则每套 A型号“文房四宝”的标价为1. 3x元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x = 40, 解得 x = 100, (2分)……………………………… 经检验,x = 100是分式方程的解,且符合题意, 答:每套 B型号“文房四宝”的标价为 100元; (3分) … ………………………………………… (2)由(1)得每套 A型号“文房四宝”的标价为 1. 3 ×100 = 130(元), ∴ 购买 A 型号 “文房四宝 ” 共 4 300-3 000 130 = 10(套), 购买 B型号“文房四宝”共3 000 100 = 30(套), (5分)…………………………………………… 打折后,购买 A 型号“文房四宝”需花费 10×130× 0. 9 = 1 170(元), 打折后,购买 B 型号“文房四宝”需花费 30×100× 0. 8 = 2 400(元), ∴ 购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需花 费 1 170+2 400 = 3 570(元), 答:购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需花 费 3 570元; (7分)……………………………… (3)由(2)得打折后每套 A 型号“文房四宝”的售 价为 130×0. 9 = 117(元), 打折后每套 B型号“文房四宝”的售价为 100×0. 8 = 80(元), 设该校购买了 y 套 A 型号“文房四宝”,则购买了 (100-y)套 B型号“文房四宝”, 由题意得(117-67) y+(80-50) (100-y) ≥3 800, 解得 y≥40, (10分)……………………………… 答:该校至少购买了 40套 A型号“文房四宝” . (11分)…………………………………………… 17.解:(1)由题图①得 DE∥CB,∴ AD AC = AE AB , 在 Rt△ACB中,∠BAC = 30°,BC = 6,则 AB = 12, ∴ AC = AB2 -BC2 = 122 -62 = 6 3 . 在△ADE 旋 转的过程中,始终有∠BAC = ∠EAD = 30°, ∴ 题图②中∠BAC + ∠CAE = ∠EAD + ∠CAE, 即 ∠BAE = ∠CAD, (2分)…………………………… ∴ △BAE∽△CAD,∴ CD BE = AC AB = 3 2 ; (3分)……… (2)如解图①,过点 E作 EF⊥AB于点 F, 在 Rt△ACB中,∵ AB = 12, ∴ S△ABE = 1 2 AB·EF = 1 2 ×12EF = 6EF, (4分)… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ∴ 要求△ABE 面积的最大值,需先求 EF 的最 大值, 在 Rt△AFE中,AE为斜边,∴ EF<AE, ∴ 当 EF 与 AE 重合时,即 EA⊥AB 时,EF 取得最 大值, 由 EA⊥AB得 α = 90°或 α = 90°+180° = 270°, (7分)…………………………………………… 在 Rt△ADE中,∠DAE = 30°,AD = 5, ∴ AE = AD cos30° = 5×2 3 3 = 10 3 3 , ∴ (S△ABE) max = 6EF = 6AE = 6× 10 3 3 = 20 3 , ∴ 当 α = 90°或 α = 270°时,S△ABE 的值最大,最大值 为 20 3 ; (8分)…………………………………… 第 17题解图 (3)旋转角的度数为 240°, PC 的最大值为 6 +5 　 3 3 . (12分)…………………………………………… 【解法提示】如解图②,取 AB 的中点 G,连接 PG, CG,∵ P是 BE 的中点,∴ PG∥AE,且 PG = 1 2 AE = 1 2 ×10 　 3 3 = 5 　 3 3 ,∴ 在△ADE绕点 A顺时针旋转的 过程中,点 P的运动轨迹为以点 G 为圆心,PG 长 为半径的圆,当 C,P,G三点共线且点 P 与点 C 在 AB的异侧时,CP取得最大值. ∵ G 是 AB 的中点, ∴ CG = BG,又∵ ∠ABC = 60°,∴ △CGB 为等边三 角形,∠CGB = 60°,∴ ∠PGB = 180°-60° = 120°,又 ∵ PG∥AE,∴ ∠BAE = ∠PGB = 120°,此时的旋转角 α = 360°-120° = 240°,PC 的最大值为 PC = CG+PG = 6+5 3 3 . 18.解:(1)由题可知,点(a1,b1 +3)和点( b1,a1 )在一 次函数 y = 1 2 x+3的图象上, ∴ b1 +3 = 1 2 a1 +3, a1 = 1 2 b1 +3, ì î í ï ï ï ï 解得 a1 = 4, b1 = 2, { ∴ a1 的值为 4,b1 的值为 2; (2分)……………… (2)设点 C的坐标为(p,q),点 D的坐标为(q,s) . ∵ 点 C 和点 D 都在反比例函数 y = k x 的图象上, ∴ pq = qs,即 p = s,∴ D(q,p), (3分)…………… ∵ 点 C和点 D都在一次函数 y = kx+2的图象上, ∴ q = kp+2, p = kq+2,{ 两式相减得到 k = -1, ∴ 一次函数的解析式为 y = -x+2,反比例函数的解 析式为 y = - 1 x ; (5分)…………………………… (3) ∵ 矩形 OEFG 的边 OE、OG 在坐标轴上,点 F 的坐标为(2,4),∴ E(2,0),G(0,4),∴ OG = 4, ∵ P为 OG的中点,∴ P(0,2), (6分)…………… ∵ 点 P在函数 y = -x2 +b2x+c2 影响下的“UN”点在 边 EF上, ∴ 抛物线 y = -x2 +b2x+c2 与线段 EF有交点, 当抛物线经过 E(2,0)时,抛物线的解析式为 y = -x2 +x+2,b2 的值为 1, 当抛物线经过 F(2,4)时,抛物线的解析式为 y = -x2 +3x+2,b2 的值为 3, ∴ b2 的取值范围是 1≤b2≤3; (9分)…………… (4)∵ 抛物线 y = a3x2 +b3x+c3 的对称轴为直线 x = - b3 2a3 = -2,∴ b3 = 4a3, ∵ 抛物线 y = a3x2 +b3x+c3 与直线 y = a3x+d 交于抛 物线对称轴两侧的 M,N两点,M的横坐标为 2, ∴ M(2,12a3+c3),且 12a3+c3 =2a3+d,即 d=10a3+c3, 则 N(12a3 +c3,12a23 +a3c3 +d), 即 N(12a3 +c3,12a23 +a3c3 +10a3 +c3), (10分)…… ∵ 二次函数在 MN段的最大值与最小值的差为 8, ∴ 分 a3 >0和 a3 <0两种情况: ①当 a3 >0时,抛物线开口向上,直线上升,点 M在 对称轴右侧,点 N 在对称轴左侧,二次函数在 MN 段的最大值在点 M处取得, 最小值在顶点( -2,c3 -4a3)处取得,∴ 12a3 +c3 -8 = c3 -4a3,解得 a3 = 1 2 ,∴ N(6+c3,8+ 3 2 c3), 代入 y = 1 2 x2 +2x+c3,解得 c3 = -4或 c3 = -11, 当 c3 = -4时,M(2,2),N(2,2),两点重合,舍去; 当 c3 =-11时,M(2,-5),N(-5,- 17 2 ); (11分)…… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ②当 a3 <0时,抛物线开口向下,直线下降,点 M在 对称轴右侧,点 N 在对称轴左侧,二次函数在 MN 段的最小值在点 M处取得,最大值在顶点( -2,c3 - 4a3)处取得, ∴ c3 -4a3 -(12a3 +c3)= 8,解得 a3 = - 1 2 , ∴ N( -6+c3,-2+ c3 2 ),代入 y = - 1 2 x2 -2x+c3,解得 c3 = 1或 c3 = 8, 当 c3 = 1时,M(2,-5),N( -5,- 3 2 ); 当 c3 = 8时,M(2,2),N(2,2),两点重合,舍去. (12分)…………………………………………… 综上所述,点 M 的坐标为(2,-5),点 N 的坐标为 ( -5,-17 2 )或( -5,- 3 2 ) . (13分)………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(八) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 DDABA　 6-8　 CDC 二、填空题(每小题 3分) 9. -10　 10. -2a-1　 11. 0. 1,5　 12. 4 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)x1 = 1- 14 2 ,x2 = 1+ 14 2 ;(2)此不等式组无解 14. (10分)(1)路灯的高度是 6. 6 m;(2)能,PM = atanα+atanβ 15. (8分)(1)a = 6,b = 7. 2,c = 30%;(2)小英是甲组的学生;(3)略 16. (11分)(1)证明略;(2)DM = 5 2 +5 6 17. (12分)(1)证明略;(2)BD = 9 2 ;(3)AC = 16 3 18. (13分)(1)抛物线的函数解析式为 y = -x2 +4x+5;(2) S△BCD = 15;(3) k = 0 或 k = 3,此时函数的最大值 为 8 详解详析 1. D　 2. D　 3. A　 4. B 5. A　 【解析】如解图,连接 OA,OC,OC 交 AB 于点 D, 由题意得 OA = OC = (2 +OD)米,OC⊥AB,∴ OD = (OA-2)米,AD = BD = 1 2 AB = 3 米,∠ADO = 90°,在 Rt△OAD中,OA2 = OD2 +AD2,∴ OA2 = (OA-2) 2 +32, ∴ OA = 13 4 米,即☉O的半径长为13 4 米. 第 5题解图 　 　 第 7题解图 6. C 7. D　 【解析】如解图,设点 A在 x轴正半轴上,点 B在 x轴负半轴上,且△ABH 为等边三角形,∴ ∠AHO = 30°,∵ 点 H 的坐标为( 0, - 2), tan30° = 3 3 = OA OH , ∴ OA = 2× 3 3 = 2 3 3 ,∴ A(2 3 3 ,0),易知直线 HA 的 解析式为 y = 3 x-2,当 x2 +n = 3 x-2 有解时,才有 点 H(0,-2)是抛物线 y = x2 +n 的 T型点,即方程 x2 - 3 x+(n+2)= 0有解,∴ Δ = 3-4(n+2) ≥0,解得 n ≤- 5 4 ,∴ n的取值范围是 n≤- 5 4 . 8. C　 【解析】如解图,连接 AC 交 BD 于点 O,∵ 四边 形 ABCD 是菱形, ∠ABC = 60°, ∴ ∠ABD = 30°, ∵ FA⊥AB,∴ ∠AFB = 60°,∵ 四边形 AECF 是菱形, ∴ AE = AF,∴ △AEF是等边三角形,∴ AE = EF = AF, ∠EAF = 60°, ∴ ∠BAE = 30°, ∴ ∠BAE = ∠ABE, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 22 5行卷·内蒙古数学　 7-1 5行卷·内蒙古数学　 7-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 25　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(七) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. 学科融合 在乐谱中,高音和低音可以用正负数表示.假设中央 C(C4)的音高被定义为 0,比中央 C高 一个八度的 C5音高为+12(以十二度为一个八度),比中央 C低一个八度的 C3音高为 ( 　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. -12 B. 12 C. -24 D. 24 2. 传统文化 2024年 12月 4日,“春节———中国人庆祝传统新年的社会实践”列入联合国教科文组织人 类非物质文化遗产代表作名录.从春节的传统习俗到重阳节的登高纳福,每一个节日和习俗都让中国 人找到属于自己的文化认同和归属感.下列图形体现了中国的传统民俗文化,其中既是轴对称图形又 是中心对称图形的是 ( 　 D　 ) 3.下列运算正确的是 ( 　 A　 ) A. a2·a3 =a5 B. a+2a= 3a2 C. (ab) 3 =ab3 D. ( -a3) 2 = -a6 4.将一副三角板按如图的方式摆放,若 AB∥CD,则∠CGB的度数为 ( 　 A　 ) 第 4题图 A. 105° B. 100° C. 80° D. 75° 5.菱形 ABCD的边长是 5,两条对角线交于点 O,且 AO的长是关于 x的方程 x2 -9x+18 = 0的一个根,则菱 形的面积为 ( 　 C　 ) A. 22 B. 21 C. 24 D. 20 6.一次函数 y1 =k1x+b和反比例函数 y2 = k2 x (k1·k2≠0)的图象如图所示,若 y1>y2,则 x的取值范围是 ( 　 B　 ) 第 6题图 A. x<-2或 x>1 B. x<-2或 0<x<1 C. -2<x<0或 0<x<2 D. -2<x<0或 x>2 7.如图,☉O的内接正五边形 ABCDE,点 P是 DE ( 上的动点,连接 OA,OC,则∠EAO+∠APC的度数为 ( 　 B　 ) 第 7题图 A.随着点 P的变化而变化 B. 126° C. 144° D. 150° 8.二次函数 y=ax2 +1(a<0),在线段 AB中,A( -1,-1),B(3,0),将线段 AB向下平移 3个单位长度得到线 段 MN,若二次函数 y=ax2 +1(a<0)的图象与线段 MN只有一个公共点,则 a的取值范围是 ( 　 C　 ) A. a<-5 B. - 4 9 ≤a<0 C. -5<a≤- 4 9 D. -5≤a<0 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9. 地方素材 2025年 1月 14日内蒙古自治区第十四届人民代表大会第三次会议上发布的《2025年内蒙 古自治区政府工作报告》中指出,内蒙古地区粮食总产量达到 820. 1亿斤,实现“二十一连丰”,增量居 全国第 3位.数据 820. 1亿用科学记数法表示为　 8. 201×1010 　 . 10.如图为某市 12月 7天的天气情况,下列说法错误的是　 ②③④　 . ①这 7天中最高气温的众数是 6 ℃ ②这 7天中最低气温的中位数为-6 ℃ ③这 7天中温差最大的是 12月 16日 ④这 7天中最高气温是 10 ℃,最低气温是-5 ℃ 第 10题图 　 　 　 　 第 11题图 11. 学科融合 如图,矩形游泳池的水深 EC为 2 m,救生员在池边的高台上,眼睛 A距水面 2 m高(其中, A,E,C三点共线),以 45°角的视线俯视泳池的底部,看到池底的 D点处有一玩具,其中,AO为入水的 视线,OD为折射光线,直线MN为法线,测得∠DON= 32°,则 B,D之间的距离约为　 0. 8　 m. (结果精 确到 0. 1 m.参考数据:sin32°≈0. 53,cos32°≈0. 85,tan32°≈0. 62) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 7-3 5行卷·内蒙古数学　 7-4 26　 12. 代数推理 对于分式 P = x y ,我们把分式 P′ = 1 -y 1+x 叫作 P 的伴随分式,若分式 P1 = a-1 a ,分式 P2 是 P1 的伴随分式,分式 P3 是 P2 的伴随分式,分式 P4 是 P3 的伴随分式,……,以此类推,则分式 P2 025 等于　 　 　 　 . 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) (1)计算:- 12 +2cos30°+2 0250 - | 3 -2 | +2-1 . 解:原式=-2 3 + 3 +1-(2- 3 )+ 1 2 (4分)……………………………………………………………… =- 1 2 ; (5分)……………………………………………………………………………………… (2)先化简再求值:-2x2 - 1 2 [3y2 -2(x2 -y2) +6],其中 x= -1,y= -2. 解:原式=-2x2- 3 2 y2+(x2-y2)-3 =-2x2- 3 2 y2+x2-y2-3 =-x2- 5 2 y2-3, (8分)……………………………………………………………………………… 当 x=-1,y=-2时, 原式=-(-1) 2- 5 2 ×(-2) 2-3 =-1-10-3 =-14. (10分)………………………………………………………………………………………… 14. (本小题满分 8分) 某商场举办抽奖活动:在一个不透明的箱子中放入 200个大小、材质均相同的小球,其中有 4 个小球 上分别标有数字 1,2,3,3,其余球上都无数字,顾客从箱子中随机摸出一个球,若小球上标有数字则能 获得一份小礼品. (1)顾客获得小礼品的概率是　 　 　 　 ; (2)取出分别标有数字 1,2,3,3的小球,放入一个不透明的袋子中摇匀,先从中摸出一个小球,记下小 球上所标数字后放回摇匀,再从中摸出一个小球,同样记下小球上所标数字.请用列表法或画树状 图法求这两次摸出的小球上所标数字之积是偶数的概率. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 7-5 5行卷·内蒙古数学　 7-6 版权归 27　 　 15. (本小题满分 10分) 如图,△ABC为☉O的内接三角形,AB是☉O的直径,△ABC的外角平分线 BD交☉O于点 D,过点 D 作 DE⊥CB交 CB的延长线于点 E. (1)求证:DE是☉O的切线; (2)若∠A= 30°,AB= 4,求 DE的长. 第 15题图 (1)证明:如解图,连接 OD, ∵AB是☉O的直径,∴OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB, ∵BD平分∠OBE,∴∠OBD=∠DBE, ∵DE⊥CB,∴∠BDE+∠DBE=90°, ∴∠BDE+∠ODB=90°,即∠ODE=90°, 又∵OD是☉O的半径, (2)解:∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°, (5分)………………………………………………………… ∵∠A=30°,∴∠ABC=60°, ∴∠ABE=120°, (6分)…………………………………………………………………………………… 由(1)知∠OBD=∠DBE=∠ODB=60°, ∴△ODB是等边三角形, (8分)………………………………………………………………………… ∵AB=4,∴OB=OD=BD=2, ∵DE⊥CB, ∴在 Rt△DBE中,DE=BD·sin60°=2× 3 2 = 3 . (10分)……………………………………………… 16. (本小题满分 11分) 综合与实践 购买“文房四宝” 素材 1 问题情境:“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,即笔、墨、纸、砚.文房四宝之名,起源于 南北朝时期.某中学为了丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划为学生购买 A,B 两种型号的“文房四宝”共 40套. 素材 2 已知某文化用品店每套 A型号“文房四宝”的标价比 B 型号“文房四宝”的标价高 30%,若 按标价购买需花费 4 300元,其中购买 B型号“文房四宝”花费 3 000元. 问题解决 任务 1 (1)求每套 B型号“文房四宝”的标价. 任务 2 (2)若经过与店主协商,考虑到购买较多,店主同意该中学按 A型号“文房四宝”九折,B型 号“文房四宝”八折的优惠价购入,则购买原定数量的 A,B 型号“文房四宝”共需花费 多少元? 任务 3 (3)一段时间后,由于传统文化广受关注,另一所学校也想从该店购入 A,B两种型号“文房 四宝”共 100套,店主继续以(2)中的折扣价进行销售,已知 A,B 两种型号的“文房四 宝”每套进价分别为 67元和 50元,若通过此单生意,该店获利不低于 3 800元,则该校 至少购买了多少套 A型号“文房四宝”? 解:(1)设每套 B型号“文房四宝”的标价为 x元,则每套 A型号“文房四宝”的标价为 1. 3x元. 根据题意得 4 300-3 000 1. 3x +3 000 x =40,解得 x=100, (2分)……………………………………………… 经检验,x=100是分式方程的解,且符合题意, 答:每套 B型号“文房四宝”的标价为 100元; (3分)…………………………………………………… (2)由(1)得每套 A型号“文房四宝”标价为 1. 3×100=130元, ∴购买 A型号“文房四宝”共 4 300-3 000 130 =10(套), 购买 B型号“文房四宝”共 3 000 100 =30(套), (5分)……………………………………………………… 打折后,购买 A型号“文房四宝”需花费 10×130×0. 9=1 170(元), 打折后,购买 B型号“文房四宝”需花费 30×100×0. 8=2 400(元), ∴购买原定数量的 A,B型号“文房四宝”共需花费 1 170+2 400=3 570(元), 答:购买原定数量的 A,B型号“文房四宝”共需花费 3 570元; (7分)………………………………… (3)由(2)得打折后每套 A型号“文房四宝”的售价为 130×0. 9=117(元), 打折后每套 B型号“文房四宝”的售价为 100×0. 8=80(元), 设该校购买了 y套 A型号“文房四宝”,则购买了(100-y)套 B型号“文房四宝”, 由题意得(117-67)y+(80-50)(100-y)≥3 800,解得 y≥40, 答:该校至少购买了 40套 A型号“文房四宝” . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 7-7 5行卷·内蒙古数学　 7-8 28　 17. (本小题满分 12分) 如图①,数学活动课上,同学们用两个大小不同的三角板将含 30°角的顶点重合,并固定顶点,然后将 小的三角板绕固定顶点 A顺时针旋转来探究图形旋转的性质,已知在 Rt△ABC和 Rt△AED中,∠ACB = ∠ADE= 90°,∠BAC= ∠EAD= 30°,BC= 6,AD= 5. (1)如图②,连接 CD,BE,在△ADE旋转的过程中,试求CD BE 的值; (2)如图②,在△ADE绕点 A顺时针旋转的过程中,旋转角为 α(0°<α<360°),求△ABE面积的最大值 及此时 α的度数; (3)如图③,设 P为 BE的中点,连接 PC,当线段 PC取得最大值时,直接 ∙∙ 写出旋转角的度数以及 PC的 最大值. 　 　 　 　 第 17题图 解:(1)由题图①得 DE∥CB,∴AD AC =AE AB , 在 Rt△ACB中,∠BAC=30°,BC=6,则 AB=12, ∴AC= AB2-BC2 = 122-62 =6 3 . 在△ADE旋转的过程中,始终有∠BAC=∠EAD=30°, ∴题图②中∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE, 即∠BAE=∠CAD, (2分)…………………………… ∴△BAE∽△CAD ,∴ CD BE =AC AB = 3 2 ; (3分)…………………………………………………………… (2)如解图①,过点 E作 EF⊥AB于点 F, 在 Rt△ACB中,∵AB=12,∴S△ABE = 1 2 AB·EF= 1 2 ×12EF=6EF, (4分)…………………………… ∴要求△ABE面积的最大值,需先求 EF的最大值, 在 Rt△AFE中,AE为斜边,∴EF< AE,∴当 EF与 AE重合时,即 EA⊥AB时,EF取得最大值, 由 EA⊥AB得 α=90°或 α=90°+180°=270°, (7分)…………………………………………………… 在 Rt△ADE中,∠DAE=30°,AD=5, ∴AE= AD cos30° =5× 2 3 3 = 10 3 3 ,∴ (S△ABE)max =6EF=6AE=6× 10 3 3 =20 3 , ∴当 α=90°或 α=270°时,S△ABE 的值最大,最大值为 20 3 ; (8分)…………………………………… (3)旋转角的度数为 240°,PC的最大值为 6+ 5 3 3 . (12分)…………………………………………… 18. (本小题满分 13分) 在平面直角坐标系中,已知某函数图象上一点 A(m,n),若将该点的纵坐标当作这个函数的自变量,得 到点 B(n,t),这样得到的点 B 也在这个函数图象上,我们称点 B 是点 A 在该函数影响下的“UN” 点.如点( -1,-5)是点(1,-1)在一次函数 y= 2x-3影响下的“UN”点. (1)若点(a1,b1 +3)是点(b1,a1)在一次函数 y= 1 2 x+3影响下的“UN”点,求 a1,b1 的值; (2)一次函数 y= kx+2与反比例函数 y= k x 的图象交于 C,D两点,且点 D是点 C在这两个函数影响下 的“UN”点,求一次函数与反比例函数的解析式; (3)如图,四边形 OEFG是矩形,边 OE,OG在坐标轴上,点 F的坐标为(2,4),若抛物线 y= -x2 +b2x+c2 经过 OG的中点 P,且点 P在该函数影响下的“UN”点在边 EF上,求 b2 的取值范围; (4)若抛物线 y=a3x2 +b3x+c3 与一次函数 y= a3x+d 的图象交于抛物线对称轴两侧的 M,N两点,M 的 横坐标为 2,点 N是点 M在这两个函数影响下的“UN”点,抛物线 y=a3x2 +b3x+c3 的对称轴为直线 x= -2,且抛物线 y=a3x2 +b3x+c3 在 MN段的最大值与最小值的差为 8,求 M,N的坐标. 第 18题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋