2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(4)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

5行卷·内蒙古数学　 4-1 5行卷·内蒙古数学　 4-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 13　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(四) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.一个铁皮盒子如图①所示,它的主视图和俯视图如图②所示,则它的左视图为 ( 　 B　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 第 1题图 2.下列计算正确的是 ( 　 D　 ) A. 2x+4x= 8x B. (2x) 3 = 6x3 C.若 ( -x) 2 = 5,则 x= 5 D. 5 5 - 5 = 4 5 3.如图,在某商场周年庆活动中,设置了一项砸金蛋的游戏,每个金蛋中放 1张纸条,在其中 2 个金蛋中 各放置了一等奖纸条 1张,在其中 3个金蛋中各放置了二等奖纸条 1 张,在其余 7 个金蛋中各放置了 “谢谢参与”的纸条,则随机砸碎一个金蛋,里面是二等奖的概率是 ( 　 C　 ) 第 3题图 A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 4.若不等式组 x>a, x<b{ 有解,a的位置如图所示,则表示 b的点可能为 ( 　 D　 ) 第 4题图 A.点 A B.点 B C.点 C D.点 D 5. 真实情境 如图①,是一种基于平行四边形原理的联动器,其示意图如图②所示,其中四边形 BCDE是 平行四边形,且 A、B、C共线,F、C、D共线,若∠FCB= 100°,∠BAE= 30°,则∠AEB的度数为 ( 　 B　 ) 　 　 第 5题图 A. 80° B. 70° C. 60° D. 50° 6.如图为老师在黑板上讲解一个分式方程的不完整过程,分式方程从①到②运用了　 　 　 　 ,m 的值 为　 　 　 　 . 已知:关于 x的分式方程 2 x-1 - mx 1-x = 1有增根,求 m的值. 解:∵ 2 x-1 - mx 1-x = 1,① ∴ 2 x-1 + mx x-1 = 1,② ∴ 2+mx= x-1,… 第 6题图 对于上面横线上要填的内容,下列选项正确的是 ( 　 A　 ) A.分式的基本性质,-2 B.等式的基本性质,2 C.分式的基本性质,-1 D.等式的基本性质,1 7. 真实情境 小明向一种空水壶内匀速注水,壶内水的深度 h(单位:cm)与注水时间 t(单位:s)的函数 关系如图所示,选项中是四种水壶的平面图,则小明使用的水壶可能是 ( 　 A　 ) 第 7题图 　 　 　 　 第 8题图 8. 真实情境 周末,刘老师约好友去江边垂钓.如图,钓鱼竿 AC的长为 4 m,露在水面上的鱼线 BC的长 为 2 2 m(渔线垂直于水面),刘老师想看看鱼钩上的情况,把鱼竿 AC向上转动 15°到 AC′的位置(渔线 垂直于水面),此时露在水面上的渔线 B′C′的长是 ( 　 　 ) A. 3 m B. 2 2 m C. 2 3 m D. 3 3 m 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 4-3 5行卷·内蒙古数学　 4-4 14　 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9. 开放性试题 如图,在平行四边形 ABCD中,对角线 AC与 BD交于点 O.添加一个条件: 　 , 则可判定四边形 ABCD是矩形. 第 9题图 10.如果 150x (0<x<150)是一个整数,那么整数 x可取得的值共有　 4　 个. 11.如图,☉O是正六边形 ABCDEF的内切圆,AB= 3,则阴影部分面积为　 　 　 　 . (结果保留 π) 第 11题图 12.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC = 6,D 为 AC 上任意一点,连接 BD,E 在 BD 上,且 ∠BEC= 90°,F为 AB的中点,连接 EF,则 EF的最小值为　 　 　 　 　 　 　 . 第 12题图 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) (1)计算: | -2 | +( - 1 3 ) 0 - 9 ; (1)解:原式=2+1-3 (3分)……………………………………………………………………………… =0; (5分)…………………………………………………………………………………… (2) 开放性试题 已知关于 x的方程(k-1)x2 +2kx-1 = 0.请为 k取一个正整数值,使得该方程是一元 二次方程,并解这个方程. (2)解:取 k=2,此时方程为 x2+4x-1=0, (7分)………………………………………………………… 则 Δ=42-4×1×(-1)= 20>0, (8分)……………………………………………………………………… 14. (本小题满分 10分) 某校为了解学生一分钟跳绳的情况,从全年级随机抽取了若干名学生进行调查,并绘制了如下的统计 表,其中位于 C等级学生的成绩为 140,141,141,145,150,150,150,153,156,156,159,159. 等级 “跳绳次数”x /次 频率 组内学生的平均跳绳次数 /次 A 100≤x<120 10% 110 B 120≤x<140 35% 130 C 140≤x<160 30% 150 D 160≤x<180 25% 170 (1)本次调查的学生一共有　 40　 人;C等级学生成绩的众数是　 150　 次; (2)估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数; (3)学校又抽取了 2名学生进行测试,小明说:“只要这两名学生中有 1名学生的成绩为 141次,则本 次参加测试的学生成绩的中位数就不变. ”判断他的说法是否正确,并说明理由. 把原来参加测试的学生一分钟跳绳次数从小到大排列,排在中间的两个数分别是 141,141,故原来参 加测试的学生“跳绳次数”的中位数是 141次. 增加 2名学生后,有 1名学生的成绩是 141次,若另一名学生的成绩小于 141次,则排在中间的两个数 分别是 141、141,中位数为 141次,与原数据相同; 若另一名学生的成绩大于 141次,则排在中间的两个数分别是 141、141,中位数为 141次,与原数据也 相同,∴小明的说法正确. (10分)………………………………………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 4-5 5行卷·内蒙古数学　 4-6 版权归 15　 　 15. (本小题满分 8分) 真实情境 实验探究:某兴趣小组想测一测一个空食品盒在水中漂浮时的装载质量.他们将一个底面 积为200 cm2 的圆柱形平底空食品盒放入装水的桶中,桶中水足够深,食品盒下表面始终与水面平行, 如图①所示.该兴趣小组将装载质量m(kg)与食品盒浸入水中的深度 h(m)的关系绘制成了图②所示 的函数关系图,实验发现当装载质量为 0时,食品盒浸入水中的深度为 0. 01 m. (1)请结合实验现象,观察图②,解释点 A的实际意义: 　 ; (2)根据以上材料,当装载质量不超过 a kg(a>1)时,装载质量 m(kg)与食品盒浸入水中的深度 h(m) 成一次函数关系,若装载质量为 1 kg时,食品盒浸入水中的深度是 0. 06 m.请你帮助该小组求出 这个一次函数的解析式; (3)在(2)的条件下,若这个食品盒的高度是 10 cm,最大装载质量为 a kg,请求出 a的值. 　 　 第 15题图 解:(1)未装载物品的空食品盒浸入水中的深度为 0. 01 m; (2)设这个一次函数的解析式为 h=km+b(k、b为常数,且 k≠0) . 将点(0,0. 01)和(1,0. 06)分别代入 h=km+b, 得 b=0. 01, k+b=0. 06,{ 解得 k=0. 05, b=0. 01,{ ∴这个一次函数的解析式为 h=0. 05m+0. 01(0≤m≤a); (5分)……………………………………… (3)当装载质量最大时,这个食品盒完全浸入水中, 此时 h=10 cm=0. 1 m. (6分)…………………………………………………………………………… 将 m=a,h=0. 1代入 h=0. 05m+0. 01, 得 0. 05a+0. 01=0. 1, 解得 a=1. 8, ∴ a的值为 1. 8. (8分)…………………………………………………………………………………… 16. (本小题满分 11分) 如图,BC是☉O的直径,点 A,P分别在 BC 两侧的☉O上,过点 P 作☉O的切线与 BC 的延长线交于 点 N,与 AC的延长线交于点 M,连接 AB,CP,∠CMP= ∠BCP. (1)求证:CP∥AB; (2)若 AC= 9,CM= 4,求: ①CP的长; ②MN的长. 第 16题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 4-7 5行卷·内蒙古数学　 4-8 16　 17. (本小题满分 12分) 真实情境 如图,小山坡 AB可近似地看成抛物线 L1:y = - 1 12 (x-7) 2 +n的一部分,建立恰当的平面直 角坐标系,A的坐标为(0,1),一小球从离 A点正上方 3米的点 C处以一定的方向弹出,小球的飞行路 线为抛物线 L2:y= - 1 8 x2 +bx+c的一部分,落在山坡的点 D处(点 D在小山坡 AB的坡顶右侧) . (1)求小山坡 AB的坡顶高度; (2)若点 D到 AC的距离为 12米. ①求抛物线 L2 的解析式(不要求写自变量 x的取值范围); ②某同学认为“当小球运动到小山坡 AB的坡顶正上方时,小球到小山坡 AB的竖直距离最大”,你 同意该同学的观点吗,说明理由; (3)小山坡 AB坡顶正好有一棵小树 EF,小树与 OB 垂直,经测量小树的高为 4 米(小树粗细忽略不 计),若小球恰好越过小树时,直接 ∙∙ 写出 b的最小整数值. 第 17题图 解:(1)将点(0,1)代入 y=- 1 12 (x-7) 2+n,1 ∴抛物线 L2 的解析式为 y=- 1 8 x2+ 17 12 x+4; (5分)……………………………………………………… ②不同意; (6分)…………………………………………………………………………………………… 理由:设 L1 与 L2 之间的距离为 h,∵L1:y=- 1 12 (x-7) 2+ 61 12 =- 1 12 x2+ 7 6 x+1,L2: y=- 1 8 x2+ 17 12 x+4, ∴h=- 1 8 x2+ 17 12 x+4-(- 1 12 x2+ 7 6 x+1)= - 1 24 x2+ 1 4 x+3=- 1 24 (x-3) 2+ 27 8 , ∵- 1 24 <0,∴当 x=3时,h最大,h最大 = 27 8 , 当小球运动到小山坡 AB的坡顶正上方时,x=7,此时 h= 65 24 , ∵ 65 24 < 27 8 ,∴该同学的观点不正确; (10分)……………………………………………………………… 18. (本小题满分 13分) 【综合与实践】 小滨学习“图形的旋转”时,剪了一张矩形纸片进行操作.将矩形纸片 ABCD绕点 A顺时针旋转一定角度,得 到矩形 AB′C′D′,边 C′D′与直线 AB交于点M,边 AD′,B′C′分别与直线 BC交于点 P,Q.已知 AB=6,BC=8. 【特例研究】 如图①,当点 M与点 C′重合时, ①求证:△MQB∽△AC′D′; ②求PQ AM 的值; 【结论拓展】 如图②,当点 M与点 C′不重合时,PQ AM 的值是否会发生变化? 请给出判断并说明理由. 图① 　 　 图② 第 18题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(四) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 BDCDB　 　 6-8　 AAC 二、填空题(每小题 3分) 9. AC = BD(或∠DAB = 90°,答案不唯一)　 10. 4　 11. 9 4 π　 12. 3 3 -3 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)原式= 0;(2)取 k = 2,x1 = -2+ 5 ,x2 = -2- 5 (答案不唯一) 14. (10分)(1)40,150;(2)估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数为 144次; (3)小明的说法正确,理由略 15. (8分)(1)未装载物品的空食品盒浸入水中的深度为 0. 01 m; (2)这个一次函数的解析式为 h = 0. 05m+0. 01(0≤m≤a);(3)a的值为 1. 8 16. (11分)(1)证明略;(2)①CP = 6;②MN = 8 13 5 17. (12分)(1)小山坡 AB的坡顶高度为61 12 米;(2)①抛物线 L2 的解析式为 y = - 1 8 x2 +17 12 x+4; ②不同意,理由略;(3)b的最小整数值为 2 18. (13分)【特例研究】①证明略;②PQ AM = 3 4 ;【结论拓展】不变,理由略 详解详析 1. B　 2. D　 3. C 4. D　 【解析】∵ 不等式组 x>a, x<b{ 有解,∴ a<x<b,∴ 表 示 b的点可能为点 D. 5. B　 【解析】 ∵ 四边形 BCDE 是平行四边形,∴ BE∥ CD,∵ F,C,D 三点共线,∠FCB = 100°,∴ ∠CBE = ∠FCB = 100°,∵ ∠BAE = 30°,∴ ∠AEB = ∠CBE - ∠BAE = 70°. 6. A　 【解析】分式方程从①变到②运用了分式的基本 性质,由题意得 2+mx = x-1,当 x = 1 时,分式方程有 增根,将 x = 1代入 2+mx = x-1,∴ m = -2. 7. A　 【解析】∵ 根据图象可知,刚开始注水的时候,水 深度的变化先慢后快,且不是线性关系,∴ 水壶应 该是下宽上窄型,只有 A选项符合. 8. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,AC = 4 m,BC = 2 2 m, ∴ sin ∠CAB = BC AC = 2 2 4 = 2 2 , ∴ ∠CAB = 45°, ∵ ∠CAC′= 15°,∴ ∠C′AB = ∠C′AC +∠CAB = 60°,在 Rt△C′AB′中,AC′ = 4 m,∴ C′B′ = AC′·sin60° = 4× 3 2 = 2 3 ( m), ∴ 露出水面的渔线 B′ C′长度是 2 3 m. 9. AC = BD(或∠DAB = 90°,答案不唯一) 10. 4　 【解析】∵ 150x = 5×5×2×3x ,而 150x (0<x <150)是一个整数,且 x为整数,∴ 5×5×2×3x 一定 可以写成平方的形式,∴ x 可以是 6,24,54,96,共 有 4个. 11. 9 4 π　 【解析】如解图,设☉O 与 BC 相切于点 M, 连接 OB, OM, ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴ ∠AOB = ∠BOC = 360° 6 = 60°, ∴ △AOB, △BOC 是正三角形, ∠AOC = 120°, ∴ OB = BC = AB = 3, ∴ BM = CM = 1 2 BC = 3 2 ,∴ OM = OB2 -BM2 = 3 3 2 , ∴ S阴影 = 120π·(3 3 2 ) 2 360 = 9 4 π. 第 11题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 01 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 12. 3 3 -3　 【解析】如解图,过点 F 作 FH⊥BC 于点 H,连接 HE,则∠FHB = 90°,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°, ∠A = 30°, BC = 6, ∴ AB = 2BC = 12, AC = 3 BC = 6 3 ,∵ F 为 AB 的中点,∠FHB = ∠ACB = 90°,∴ FH是△ABC的中位线,BF = 1 2 AB = 6,∴ BH = 1 2 BF = 3,FH = 1 2 AC = 3 3 ,∵ ∠BEC = 90°,∴ EH 是Rt△BEC斜边 BC上的中线,∴ EH = 1 2 BC = 3,当 点 F,E,H在同一条直线上时,EF最小,EF的最小 值为 FH-EH = 3 3 -3. 第 12题解图 13.解:(1)原式= 2+1-3 (3分)…………………… = 0; (5分)………………………… (2)取 k = 2,此时方程为 x2 +4x-1 = 0, (7分)…… 则 Δ = 42 -4×1×( -1)= 20>0, (8分)…………… ∴ x = -4± 20 2 , (9分)…………………………… ∴ x1 = -2+ 5 ,x2 = -2- 5 (答案不唯一) . (10分)…………………………………………… 14.解:(1)40;150; (3分)…………………………… 【解法提示】本次调查的学生一共有 12÷30% = 40 (人);C 等级学生的成绩中,出现次数最多的是 150次,故众数为 150次. (2)∵ 10%×110+35%×130+30%×150+25%×170 = 144(次), ∴ 估计该校学生一分钟跳绳次数的平均数为 144次; (6分)…………………………………… (3)小明的说法正确. (8分)…………………… 理由如下:把原来参加测试的学生一分钟跳绳次 数从小到大排列,排在中间的两个数分别是 141, 141,故原来参加测试的学生“跳绳次数”的中位数 是 141次. 增加 2名学生后,有 1名学生的成绩是 141次,若另 一名学生的成绩小于 141次,则排在中间的两个数 分别是 141、141,中位数为 141次,与原数据相同;若 另一名学生的成绩大于 141 次,则排在中间的两 个数分别是 141、141,中位数为 141 次,与原数据 也相同,∴ 小明的说法正确. (10分)…………… 15.解:(1)未装载物品的空食品盒浸入水中的深度为 0. 01 m; (2分)…………………………………… (2)设这个一次函数的解析式为 h = km+b(k、b 为 常数,且 k≠0) . 将点(0,0. 01)和(1,0. 06)分别代入 h = km+b, 得 b = 0. 01, k+b = 0. 06,{ 解得 k = 0. 05, b = 0. 01,{ ∴ 这个一次函数的解析式为 h = 0. 05m+0. 01(0≤ m≤a); (5分)…………………………………… (3)当装载质量最大时,这个食品盒完全浸入水 中,此时 h = 10 cm = 0. 1 m. (6分)……………… 将 m = a,h = 0. 1 代入 h = 0. 05m+0. 01,得 0. 05a+ 0. 01 = 0. 1,解得 a = 1. 8, ∴ a的值为 1. 8. (8分)………………………… 16. (1)证明:如解图,连接 OP,∵ BC 是☉O 的直径, ∴ ∠BAC = 90°, ∵ PM是☉O的切线,∴ ∠OPM = 90°, ∴ ∠OPC+∠CPM = 90°, ∵ OP = OC,∴ ∠OPC = ∠OCP, ∵ ∠BCP = ∠CMP,∴ ∠OPC = ∠CMP, ∴ ∠CMP+∠CPM = 90°, (2分)………………… ∴ ∠PCM = 90° = ∠BAC,∴ CP∥AB; (4分)…… (2)解:①如解图,连接 AO, 第 16题解图 由(1)知∠ACP = 90°,∴ AP是☉O的直径,即点 A, O,P共线, ∵ ∠APC = ∠PMC,∠ACP = ∠PCM, ∴ △APC∽△PMC, (6分)……………………… ∴ AC CP = CP CM ,即 9 CP = CP 4 , 解得 CP = 6(负值已舍去); (8分)……………… ②在①的基础上,AP = BC = AC2 +CP2 = 3 13 , 在 Rt△PCM中,PM = CP2 +CM2 = 2 13 . ∴ 在 Rt△ABC中,AB = BC2 -AC2 = 6, 如解图,作 MD∥CP交 CN于点 D, 则△CMD∽△CAB,△NDM∽△NCP, (10分)… ∴ MD AB = CM CA ,DM CP = MN PN , 即 MD 6 = 4 9 ,MD 6 = MN MN+2 13 , 解得 MN = 8 13 5 . (11分)……………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 17.解:(1)将点(0,1)代入 y = - 1 12 (x-7) 2 +n, 得- 1 12 ×( -7) 2 +n = 1,解得 n = 61 12 , ∴ y = - 1 12 (x-7) 2 +61 12 , ∵ - 1 12 <0,∴ 当 x = 7时,y最大,最大值为61 12 , ∴ 小山坡 AB的坡顶高度为61 12 米; (2分)……… (2)①由题意可得 C(0,4), 由(1)知 L1:y = - 1 12 (x-7) 2 +61 12 ,当 x = 12时,y = 3, ∴ D(12,3), 将 D(12,3),C(0,4)代入 y = - 1 8 x2 +bx+c, 得 - 1 8 ×122 +12b+c = 3, c = 4, ì î í ïï ïï 解得 b = 17 12 , c = 4, ì î í ïï ïï ∴ 抛物线 L2 的解析式为 y = - 1 8 x2 +17 12 x+4; (5分) …… ………………………………………… ②不同意; (6分)………………………………… 理由:设 L1 与 L2 之间的距离为 h,∵ L1:y = - 1 12 (x- 7) 2 +61 12 = - 1 12 x2 + 7 6 x+1,L2: y = - 1 8 x2 +17 12 x+4, ∴ h = - 1 8 x2 +17 12 x+4-( - 1 12 x2 + 7 6 x+1)= - 1 24 x2 + 1 4 x+ 3 = - 1 24 (x-3) 2 +27 8 , ∵ - 1 24 <0,∴ 当 x = 3时,h最大,h最大 = 27 8 , 当小球运动到小山坡 AB 的坡顶正上方时,x = 7, 此时 h = 65 24 , ∵ 65 24 <27 8 , ∴ 该同学的观点不正确; (10分)……………… (3)b的最小整数值为 2. (12分)……………… 【解法提示】根据题意,小球运动到坡顶正上方与 坡顶距离超过 4米时,正好越过小树,∴ - 1 8 ×72 + 7b+4>61 12 +4,解得 b>269 168 ,∴ b的最小整数值为 2. 18. 【特例研究】 ①证明:∵ 将矩形纸片 ABCD 绕点 A 顺时针旋转一定角度,得到矩形 AB′C′D′, ∴ AD′= AD = BC = 8,C′D′= CD = AB = 6, ∠ABC = ∠D′= ∠D = 90°,AD′∥B′C′, (2分)…… ∴ AC′= AD′2 +C′D′2 = 10,∠D′AC′= ∠BMQ, ∵ ∠ABC = ∠QBM = ∠D′= 90°, ∴ △MQB∽△AC′D′; (4分)…………………… ②解:∵ ∠BAP = ∠D′AC′,∠ABP = ∠D′= 90°, ∴ △ABP∽△AD′C′, ∴ AD′ AB = C′D′ PB , ∴ 8 6 = 6 PB , ∴ PB = 9 2 , ∵ △MQB∽△AC′D′, ∴ BQ C′D′ = BM AD′ , ∴ BQ 6 = 10-6 8 , ∴ BQ = 3, (6分)………………………………… ∴ PQ = PB+BQ = 9 2 +3 = 15 2 , ∴ PQ AM = 15 2 10 = 3 4 ; (9分)…………………………… 【结论拓展】解:不变, (10分)…………………… 理由:如解图,过点 Q作 QH⊥AD′于点 H, 第 18题解图 则四边形 AB′QH是矩形, ∴ QH = AB′= AB, ∵ ∠QPH = ∠APB,∠QHP = ∠ABP = 90°, ∴ △QPH≌△APB(AAS), (11分)……………… ∴ AP = PQ, ∵ ∠ABP = ∠AD′C′= 90°,∠BAP = ∠D′AM, ∴ △ABP∽△AD′M, ∴ AP AM = AB AD′ = 6 8 = 3 4 , ∴ PQ AM = AP AM = 3 4 . (13分)………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 21