2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(3)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(三) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 ACBDB　 6-8　 CDB 二、填空题(每小题 3分) 9. -1　 10.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　 11.第四象限　 12. 6 3 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)原式= 2;(2)原方程组的解是 x = 3, y = 2{ 14. (8分)(1)作图略;(2)四边形 AEGB为平行四边形,理由略 15. (10分)(1)m = 50,α = 86. 4°,补全频数分布直方图略;(2)中位数为 77. 5分;(3)估计该校获得一等奖的 学生人数为 192 16. (11分)(1)汽车实际走完全程所花的时间为 7 3 h;(2) l1 >l2 17. (12分)(1)证明略;(2)tan∠PCA = 1 2 18. (13分)(1)二次函数 y2 的表达式为 y2 = 1 2 x2 -x-4;(2)k<-1或 k>3;(3)MM′的最大值为 2 2 详解详析 1. A　 2. C　 3. B 4. D　 【解析】∵ x2 -6x+7 = 0,∴ x2 -6x = -7,∴ x2 -6x+ ( -3) 2 = -7+( -3) 2,∴ (x-3) 2 = 2,∴ m = 3,n = 2. 5. B　 6. C　 7. D 8. B　 【解析】设点 E的坐标为(a,b),如解图,过点 E 作 EM⊥y轴于点 M,则 EM = a,OM = b,易得△OME ∽△ODA, ∴ AD EM = OD OM ,即AD OD = EM OM ,又∵ OD = 3AD, ∴ EM OM = AD OD = 1 3 ,即 b = 3a,∵ 反比例函数 y = 3 10 x ( x> 0)的图象经过点 E,∴ ab = 3 10 ,解得 a = 10 10 (负值已 舍去),∴ b = 3 10 10 ,∴ OE = a2 +b2 = 1,∴ AD = OE = 1, OD = 3AD = 3, ∴ AO = AD2 +OD2 = 10 , ∴ S四边形OABC = AO2 = 10,∴ k = 10. 第 8题解图 9. -1 10.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 11.第四象限　 【解析】∵ 抛物线 y = ax2 -2ax+a2 -1 的 对称轴为直线 x = 1,且当 x < 0 时,y > 0,∴ 当 x > 2 时,y>0,又∵ 当 1<x<2时,y<0,∴ 当 x = 2时,y = 0, ∴ 当 x = 1时,y<0,∴ 抛物线顶点在第四象限. 12. 6 3 　 【解析】直角三角尺和量角器放在直尺上的 示意图如解图所示,连接 OA,OB,根据题意得 AB = 7-4 = 3,∠BAC = 180° -60° = 120°,∵ AB,AC 分别 与☉O相切于点 B,C,∴ AB⊥OB,∴ ∠ABO = 90°, ∠OAB = ∠OAC = 1 2 ∠BAC = 60°,∴ OB AB = tan∠OAB = tan60° = 3 ,∴ OB = 3 AB = 3 ×3 = 3 3 ,∴ 该量 角器的直径是 6 3 . 第 12题解图 13.解:(1)原式= -4+9+1+( -4) (3分)…………… = 2; (5分)………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 7 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 (2)由①得 2x-y = 4,即 2x = 4+y③, (6分)……… 把③代入②,得 4+y = 12-3y, 解得 y = 2, (8分)………………………………… 把 y = 2代入③,得 x = 3, (9分)………………… ∴ 原方程组的解是 x = 3, y = 2.{ (10分)……………… 14.解:(1)如解图,垂线 BF即为所求; (2分)……… 第 14题解图 (2)四边形 AEGB为平行四边形. (4分)……… 理由:如解图,∵ AE ⊥CD,BF ⊥CD,点 G 在射线 FB上, ∴ AE∥BG,∠AEC = ∠CFB = 90°, ∵ ∠ACE+∠CAE = ∠ACE+∠BCF = 90°, ∴ ∠CAE = ∠BCF, (6分)………………………… 在△ACE和△CBF中, ∠AEC = ∠CFB, ∠CAE = ∠BCF, AC = CB, ì î í ï ï ïï ∴ △ACE≌△CBF(AAS),∴ AE = CF, ∵ BG = CF,∴ AE = BG, ∴ 四边形 AEGB为平行四边形. (8分)………… 15.解:(1)m = 15÷30% = 50; (1分)………………… α = 12 50 ×360° = 86. 4°; (2分)……………………… B组的人数为 50-5-12-15-8 = 10, 补全频数分布直方图如解图; 第 15题解图 (4分)…………………………………………… (2)∵ 随机抽取了 50人,∴ 中位数是第 25 名和第 26名学生成绩的平均数, 根据题意,第 25 名和第 26 名学生的成绩分别为 77,78,∴ 中位数为77 +78 2 = 77. 5; (6分)………… (3)4 000× 8 50 × 3 3+7 = 192(人) . 答:估计该校获得一等奖的学生人数为 192. (10分)…………………………………………… 16.解:(1)设前一小时行驶的速度为 x km / h,则提速 后的速度为 1. 5x km / h, 依题意,得180 -x x -180-x 1. 5x = 40 60 , (3分)…………… 解得 x = 60, 经检验,x = 60是原方程的解,且符合实际, ∴ 180 x -40 60 = 3- 2 3 = 7 3 , 答:汽车实际走完全程所花的时间为 7 3 h; (5分)…………………………………………… (2) l1 >l2, (6分)………………………………… 理由如下: 由题意得,l1 = 90 a +90 b = 90(a+b) ab ,l2 = 180 a 2 + b 2 = 360 a+b , l1 - l2 = 90(a+b) ab - 360 a+b = 90(a+b) 2 -360ab ab(a+b) = 90(a-b) 2 ab(a+b) , (8分)………………………………… ∵ a,b均为正数,且 a≠b, ∴ (a-b) 2 >0,ab(a+b) >0, ∴ 90(a -b) 2 ab(a+b) >0,即90(a +b) ab -360 a+b >0, ∴ l1 >l2 . (11分)…………………………………… 17. (1)证明:如解图,连接 OC, ∵ CD⊥PB,∴ ∠CDP = ∠CDO = 90°, ∵ CD2 = OD·PD,∴ OD CD = CD PD , ∴ △DOC∽△DCP,∴ ∠DCO = ∠P, (2分)…… ∵ ∠CDP = 90°,∴ ∠P+∠PCD = 90°, ∴ ∠DCO+∠PCD = 90°, ∴ ∠OCP = 90°,即 OC⊥PC, ∵ OC是☉O的半径, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 ∴ PC是☉O的切线; (4分)……………………… 第 17题解图 (2)解:解法 1:如解图,连接 BC, ∵ AB是☉O的直径, ∴ ∠ACB = 90°,即∠BCO+∠ACO = 90°, 由(1)知 OC⊥PC,∴ ∠PCA+∠ACO = 90°, ∴ ∠PCA = ∠BCO. (6分)………………………… ∵ OC = OB,∴ ∠B = ∠BCO,∴ ∠B = ∠PCA, ∵ OD = 3,PD = 16 3 ,CD2 = OD·PD, ∴ CD2 = 3×16 3 = 16, ∴ CD = 4(负值已舍去) . 在 Rt△CDO中,CO = OD2 +CD2 = 32 +42 = 5, ∵ BO = CO = 5, ∴ BD = BO+OD = 5+3 = 8, ∴ tan∠PCA = tanB = CD BD = 4 8 = 1 2 ; (8分)………… 解法 2:如解图,过点 A作 AE⊥PC于点 E, 同“解法 1”可知 CD = 4,CO = 5, ∵ AO = CO = 5, ∴ AD = AO-OD = 5-3 = 2, (9分)………………… ∴ PA = PD-AD = 16 3 -2 = 10 3 , AC = AD2 +CD2 = 22 +42 = 2 5 . ∵ AE⊥PC,OC⊥PC,∴ sinP = AE PA = OC PO , ∴ AE 10 3 = 5 16 3 +3 ,∴ AE = 2, (10分)………………… ∴ CE = AC2 -AE2 = (2 5 ) 2 -22 = 4, ∴ tan∠PCA = AE CE = 2 4 = 1 2 . (12分)……………… 18.解:(1)由二次函数 y2 = ax2 -bx-4( a≠0)可知点 C(0,-4),∴ OC = 4, ∵ OB = 2OA = OC,∴ A( -2,0),B(4,0), 将 A( -2,0),B(4,0)代入 y2 的表达式, 得 0 = 4a+2b-4, 0 = 16a-4b-4,{ 解得 a = 1 2 , b = 1, ì î í ïï ïï ∴ 二次函数 y2 的表达式为 y2 = 1 2 x2 -x-4; (3分)…………………………………………… (2)一次函数 y1 = kx+2-2k = k(x-2) +2, ∴ 一次函数 y1 的图象经过定点(2,2), 当一次函数 y1 的图象经过点 B(4,0)时,k = -1, 当一次函数 y1 的图象经过点 C(0,-4)时,k = 3, ∵ 一次函数 y1 = kx+2-2k(k≠0)的图象与线段 BC 有交点, ∴ k<-1或 k>3; (7分)…………………………… (3)如解图,设 MM′交 BC于点 H,连接 CM,BM,由 翻折的性质可得 MH⊥BC,MM′= 2MH, 第 18题解图 若需要 MM′最大,则需使 MH 的值最大,即需使 S△CMB 最大, (8分)……………………………… 如解图,过点 M作 MG⊥x轴,交 BC于点 G, 则 S△CMB = S△CMG +S△MGB = 1 2 OB·MG = 2MG, ∵ 点 C(0,-4),点 B(4,0), ∴ 易得直线 BC的解析式为 y = x-4, 设点 G的坐标为(x,x-4), 点 M的坐标为(x, 1 2 x2 -x-4), ∴ MG = x-4-( 1 2 x2 -x-4)= - 1 2 (x-2) 2 +2, ∴ S△CMB = 2MG = -( x-2) 2 +4,当 x = 2 时,S△CMB 最 大,最大值为 4. (11分)………………………… 此时,MG有最大值 2,点 M的坐标为(2,-4), ∵ C(0,-4),∴ CM = MG = 2,CM∥x 轴,此时△CMG 为等腰直角三角形,∴ CG = 2 2 , ∴ HM = 1 2 CG = 2 ,∴ MM′= 2MH = 2 2 . 即 MM′的最大值为 2 2 . (13分)……………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 9 5行卷·内蒙古数学　 3-1 5行卷·内蒙古数学　 3-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 9　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(三) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1. 热点信息 2025年第九届亚冬会的口号是“冰雪同梦,亚洲同心”,其中“亚洲同心”写成下列字体,可 以近似看作是轴对称图形的是 ( 　 A　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2. 热点信息 2025年 2月 2日是第 29个世界湿地日,今年世界湿地日主题为“保护湿地,共筑未来” .近 年来,我国持续推进湿地保护修复,组织实施湿地保护修复项目 3 700多个,建立各类湿地自然保护地 2 200多处,全国湿地面积稳定在 5. 635×107 公顷以上.其中,用科学记数法表示的 5. 635×107 的原数 为 ( 　 　 ) A. 5 635 000 B. 563 500 000 C. 56 350 000 D. 5 635 000 000 3.通过小颖和小刚的对话,我们可以判断他们共同搭的几何体是 ( 　 　 ) 4.利用配方法解一元二次方程 x2 -6x+7 = 0时,将方程配方为(x-m) 2 =n,则 m,n的值分别为 ( 　 D　 ) A. m= 9,n= 2 B. m= -3,n= -2 C. m= 3,n= 0 D. m= 3,n= 2 5.已知一次函数 y= (m+1)x+m2 的图象与 x轴交于点 A,与 y轴交于点 B(0,4),且 y随着 x 的增大而增 大,则点 A的坐标为 ( 　 B　 ) A. ( - 3 4 ,0) B. ( - 4 3 ,0) C. (2,0) D. ( 4 3 ,0) 6.若 m< 45 - 5 <m+1,则整数 m的值是 ( 　 C　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.如图,滑雪场有一坡角为 18°的滑雪道,滑雪道 AC长为 150米,则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度 AB 的长为 ( 　 D　 ) 第 7题图 A. 150tan18° 米 B. 150 tan18° 米 C. 150 cos18° 米 D. 150sin18° 米 8.如图,将“弦图”放置在以 O 为原点的平面直角坐标系中,点 A, C 分别在 y 轴,x 轴上,其中正方形 OABC中有四个全等的直角三角形,分别是 Rt△AOD,Rt△BAG,Rt△CBF,Rt△OCE,反比例函数 y = 3 10 x (x>0)的图象经过点 E,若 OD= 3AD,反比例函数 y= k x (x>0)的图象经过点 B,则 k的值为 ( 　 B　 ) 第 8题图 A. 10 B. 10 C. 3 D. 9 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9.若非零实数 x,y满足 y= x-2 025 + 2 025-x -1,则 yx = 　 -1　 . 10. 真实情境 如图,装修师傅利用一根木条,两个钉子和一支笔制作一个画图工具,只需让两个钉子在地板缝 隙里滑动,便可以在地板上画出一个圆,其中的几何原理是　 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半　 . 第 10题图 11.已知抛物线 y=ax2 -2ax+a2 -1在 x<0时,y>0,在 1<x<2时,y<0,则该抛物线的顶点在　 第四象限　 . 12.将直尺、含 60°角的直角三角尺和量角器按如图摆放,60°角的顶点 A在直尺上读数为 4,量角器与直尺的接 触点 B在直尺上的读数为 7,量角器与直角三角尺的接触点为点 C,则该量角器的直径是　 6 3　 . 第 12题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 3-3 5行卷·内蒙古数学　 3-4 10　 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) (1)计算:-22 +( 1 3 ) -2 +(π- 10 ) 0 + 3 -64 ; 解:原式=-4+9+1+(-4) (3分)…………………………………………………………………………… =2; (5分)………………………………………………………………………………………… (2)解方程组: x- y 2 = 2①, 2x= 12-3y②. ì î í ï ï ïï 14. (本小题满分 8分) 如图,在 Rt△ABC中,∠ACB= 90°,AC =BC,点 D在边 AB上(不与点 A重合),且 AD< 1 2 AB,过点 A作 CD的垂线交 CD的延长线于点 E. (1)尺规作图:过点 B 作直线 CD 的垂线 BF,垂足为 F(保留作图痕迹,不写作法); (2)延长 FB到点 G,使 BG=CF,连接 GE,判断四边形 AEGB的形状,并说明理由. 　 第 14题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 3-5 5行卷·内蒙古数学　 3-6 版权归 11　 　 15. (本小题满分 10分) 2025年 1月 23日 23时 32分,中国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭,成功将通信技术 试验卫星十四号发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功.为了弘扬航天精神,某校 开展了全员航天知识竞答活动,学校从七、八、九三个年级共 4 000名学生中随机抽取了 m名学生的 成绩进行整理,将成绩(单位:分)分成五组:A:50≤x<60;B:60≤x<70;C:70≤x<80;D:80≤x<90; E:90≤x≤100.并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图. 　 　 　 第 15题图 根据以上信息解答问题: (1)求 m的值及 α的度数,并补全频数分布直方图; (2)已知 C组的数据为 70,71,72,72,72,74,75,76,76,77,78,79.求随机抽取的这部分学生的成绩的 中位数; (3)该校要对成绩在 E组的学生进行奖励,按成绩从高到低设一、二等奖,并且一、二等奖的人数比例 为 3 ∶ 7,请估计该校获得一等奖的学生人数. 解:(1)m=15÷30% =50; (1分)…………………………………………………………………………… α= 12 50 ×360°=86. 4°; (2分)………………………………………………………………………………… B组的人数为 50-5-12-15-8=10, 补全频数分布直方图如解图; (2)∵随机抽取了 50人,∴中位数是第 25名和第 26名学生成绩的平均数, 根据题意,第 25名和第 26名学生的成绩分别为 77,78,∴中位数为 77+78 2 =77. 5; (6分)…………… (3)4 000× 8 50 × 3 3+7 =192(人) . 答:估计该校获得一等奖的学生人数为 192. (10分)…………………………………………………… 16. (本小题满分 11分) 真实情境 一辆汽车开往距离出发地 180 km 的目的地. 出发后第一小时内按原计划的速度匀速行 驶,一小时后以原来速度的 1. 5倍匀速行驶,并比原计划提前 40 min到达目的地. (1)求汽车实际走完全程所花的时间; (2)若汽车按原路返回,司机准备一半路程以 a km / h的速度行驶,另一半路程以 b km / h的速度行驶, 则用时 l1 小时;若用一半时间以 a km / h的速度行驶,另一半时间以 b km / h的速度行驶,则用时 l2 小时,已知 a≠b,请比较 l1,l2 的大小,并说明理由. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 3-7 5行卷·内蒙古数学　 3-8 12　 17. (本小题满分 12分) 如图,点 C在☉O上,过点 C的直线和直径 BA的延长线交于点 P,连接 CA,CD⊥PB于点 D,且 CD2 = OD·PD. (1)求证:PC是☉O的切线; (2)若 OD= 3,PD= 16 3 ,求 tan∠PCA的值. (请用两种方法解答) 第 17题图 (1)证明:如解图,连接 OC, ∵CD⊥PB,∴∠CDP=∠CDO=90°,∵CD2 =OD·PD,∴OD CD =CD PD , ∴△DOC∽△DCP,∴∠DCO=∠P, (2分)……………………………………………………………… (2)解:解法 1:如解图,连接 BC, ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,即∠BCO+∠ACO=90°, 由(1)知 OC⊥PC,∴∠PCA+∠ACO=90°,∴∠PCA=∠BCO. (6分)………………………………… ∵OC=OB,∴∠B=∠BCO,∴∠B=∠PCA, ∵OD=3,PD= 16 3 ,CD2 =OD·PD,∴CD2 =3× 16 3 =16,∴CD=4(负值已舍去) . 在 Rt△CDO中,CO= OD2+CD2 = 32+42 =5, ∵BO=CO=5,∴BD=BO+OD=5+3=8, ∴tan∠PCA=tanB=CD BD = 4 8 = 1 2 ; (8分)………………………………………………………………… 解法 2:如解图,过点 A作 AE⊥PC于点 E,同“解法 1”可知 CD=4,CO=5, ∵AO=CO=5,∴AD=AO-OD=5-3=2, (9分)………………………………………………………… ∴PA=PD-AD= 16 3 -2= 10 3 ,AC= AD2+CD2 = 22+42 =2 5 . ∵AE⊥PC,OC⊥PC,∴sinP=AE PA =OC PO ,∴ AE 10 3 = 5 16 3 +3 ,∴AE=2, (10分)……………………………… 18. (本小题满分 13分) 如图①,二次函数 y2 = ax2 -bx-4(a≠0)的图象交 x 轴于 A,B 两点(点 A 在 y 轴左侧,点 B 在 y 轴右 侧),交 y轴于点 C,OB= 2OA=OC,连接 BC.一次函数 y1 = kx+2-2k(k≠0)与二次函数 y2 的图象在第 四象限的交点为点 D. (1)求二次函数 y2 的表达式; (2)若一次函数 y1 = kx+2-2k(k≠0)的图象与线段 BC有交点,求 k的取值范围; (3)如图②,设点 M为二次函数 y2 的图象在第四象限部分上的一点,将点 M及二次函数 y2 的图象在 线段 BC下方的部分沿线段 BC翻折,得到的图形与二次函数 y2 的图象在线段 BC 下方的部分构 成一个“树叶”,此时点 M的对应点为 M′,求 MM′的最大值. 第 18题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋