2025年内蒙古自治区初中学业水平考试5行卷·数学(1)-【一战成名新中考·5行卷】内蒙古数学中考复习·2025新方向模考卷

参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 2025新方向模考卷 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(一) 快速对答案 一、选择题(每小题 3分) 1-5　 DABAC　 6-8　 CAC 二、填空题(每小题 3分) 9. x≥3　 10. 0(或 1 3 )　 11. 2 7 　 12. 60 13 三、解答题(共 64分) 13. (10分)(1)①;AB;(2)x = 0. 9 14. (10分)(1)85,81. 5;(2)八;(3)估计该校七年级学生本次测试成绩在 80分以上的人数为 600; (4)多阅读中国传统文化知识相关书籍(答案不唯一) 15. (8分)证明略 16. (11分)任务 1:叠放高度 h(单位:cm)与凳子张数 n的表达式为 h = 5n+40; 任务 2:甲纸箱最多能装下 20张凳子,乙纸箱最多能装下 10张凳子; 任务 3:选用甲纸箱 30个,乙纸箱 60个,支出的包装费用最少,最少为 330元 17. (12分)(1)平行四边形;(2)小明、小亮的结论都正确,理由略;(3)CH = 3 18. (13分)(1)抛物线 C2 的解析式为 y = 3(x-2) 2;(2)存在,点 M的坐标为( - 7 3 , 7 3 ); (3)点 N的横坐标为79 21 详解详析 1. D　 2. A　 3. B　 4. A　 5. C　 6. C　 7. A 8. C　 【解析】设正方形的边长为 m,∵ 点 A(2,12), ∴ D(2+m,m),∵ 点 A,D 在反比例函数 y = k x (k≠ 0)的图象上,∴ m(2+m) = 2×12,解得 m = 4 或 m = -6(舍去),∴ 这个正方形的面积为 4×4 = 16. 9. x≥3　 10. 0(或 1 3 )　 11. 2 7 12. 60 13 　 【解析】如解图,连接 OE,过点 O 作 OH⊥CD 于点 H,∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 24,BD = 10, ∴ AC⊥BD,OC = OA = 1 2 AC = 12,OD = OB = 1 2 BD = 5,∵ ∠COD = 90°,∴ CD = OC2 +OD2 = 122 +52 = 13,∵ S△COD = 1 2 CD·OH= 1 2 OC·OD,∴ 1 2 ×13OH = 1 2 × 12 × 5,解得 OH = 60 13 , ∵ EF ⊥ OC, EG ⊥ OD, ∴ ∠OFE = ∠OGE = ∠FOG = 90°,∴ 四边形 OGEF 是矩形,∴ OE = FG,当 OE⊥CD时,OE最小,此时, OE = OH = 60 13 ,∴ FG的最小值为60 13 . 第 12题解图 13.解:(1)①; (2分)………………………………… AB; (5分)………………………………………… (2)3x -1 3 = 1-4x -1 6 , 2(3x-1)= 6-(4x-1), 6x-2 = 6-4x+1, 6x+4x = 6+1+2, 10x = 9, x = 0. 9. (10分)………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 14.解:(1)85,81. 5; (4分)………………………… 【解法提示】七年级数据中,数据 85 出现两次,出 现次数最多,∴ 这组数据的众数是 85,即 a 的值为 85;将八年级成绩从小到大排列得 57,66,69,78, 80,83,83,92,95,96,中间的数是 80,83,∴ 中位数 b = (80+83) ÷2 = 81. 5. (2)八; (6分)…………………………………… 【解法提示】∵ 萌萌同学的分数在年级属于中游略 偏上,而 82>81. 5,即萌萌同学的分数大于八年级 的中位数,∴ 萌萌同学可能是八年级的学生. (3)由原数据可得七年级 80 分以上的同学有 6 人,1 000× 6 10 = 600(人), ∴ 估计该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以 上的人数为 600; (8分)………………………… (4)多阅读中国传统文化知识相关书籍(答案不唯一). (10分)……………………………………… 15.证明:(1)∵ CF = BF,∴ ∠FCB = ∠FBC, ∵ ∠BEC = ∠DCB,∴ ∠BEC = ∠CBE, (2分)… ∴ BC = EC, ∴ BC ( = CE ( ; (3分)………………………………… (2)如解图,连接 OC交 BE于 H,连接 OE, ∵ BC ( = CE ( ,∴ ∠BOC = ∠COE, ∵ BO = EO,∴ OC⊥BE, ∴ ∠OHB = 90°, (4分)…………………………… 在 Rt△OBH中,cos∠OBH = cos∠ABE = 4 5 = BH OB , ∵ OB = 6,∴ BH = 6× 4 5 = 24 5 , ∴ OH = 62 -(24 5 ) 2 = 18 5 , ∵ OH OC = 18 5 6 = 3 5 ,OB OM = 6 6+4 = 3 5 , ∴ OH OC = OB OM , 又∵ ∠HOB = ∠COM, ∴ △OHB∽△OCM, ∴ ∠OCM = ∠OHB = 90°,∴ OC⊥CM, ∵ OC是☉O的半径, ∴ 直线 CM是☉O的切线. (8分)……………… 第 15题解图 16.解:任务 1:h = 45+5(n-1)= 5n+40, ∴ 叠放高度 h(单位:cm)与凳子张数 n 的表达式 为 h = 5n+40; (3分)……………………………… 任务 2:甲:5n+40≤150-2×5,解得 n≤20, 乙:5n+40≤100-2×5,解得 n≤10, ∴ 甲纸箱最多能装下 20 张凳子,乙纸箱最多能装 下 10张凳子; (5分)…………………………… 任务 3:设选用甲纸箱 x 个,则选用乙纸箱(90-x) 个,由题意得 20x+10(90-x)≥1 200, 解得 x≥30, (8分)……………………………… 设支出的总包装费用为 y元,则 y = 5x+3(90-x)= 2x+270, ∵ 2>0, ∴ y随 x的增大而增大, ∴ 当 x = 30时,y有最小值为 2×30+270 = 330, (10分)…………………………………………… ∴ 选用甲纸箱 30个,乙纸箱 90-30 = 60(个),使得支 出的包装费用最少,最少为 330元. (11分)……… 17.解:(1)平行四边形; (2分)……………………… (2)小明、小亮的结论都正确. (3分)…………… 理由如下: ①由题意得四边形 ABCD为菱形,△EAB 和△DCG 为等腰直角三角形,∠ADC = 45°, ∴ ∠AEB = ∠DGC = ∠EDG = 90°, ∴ 四边形 EBGD为矩形; (6分)………………… ②∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,且△AEB 和 △DGC为等腰直角三角形, ∴ AB = CD,∠BAE = ∠GCD = 45°, ∴ AE = BE = 2 2 AB,DG = CG = 2 2 CD, ∴ AE = BE = CG = DG, (7分)……………………… 在平行四边形 ABCD中,AD = BC,∠BAD = ∠BCD, ∴ ∠BAE+∠BAD = ∠GCD+∠BCD, ∴ ∠EAD = ∠GCB, ∴ △DAE≌△BCG(SAS), ∴ ED = BG, ∴ 四边形 EBGD为平行四边形; (9分)………… (3)在等腰直角△AHD中,∠HAD = ∠HDA = 45°, ∵ AD = CD = 2 ,∴ HD = 1, (11分)……………… ∵ ∠ADC = 45°,∠HDA = 45°, ∴ ∠HDC = 90°, ∴ 在 Rt△HDC中,CH = HD2 +CD2 = 3 . (12分)…………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案及重难题解析·内蒙古数学 新 方 向 模 考 卷 18.解:(1)∵ 抛物线 C1:y = 3x2 +6x = 3(x+1) 2 -3 向右 平移 3 个单位,再向上平移 3 个单位得到抛物 线 C2, ∴ 抛物线 C2 的解析式为 y = 3( x+1-3) 2 -3 + 3 = 3(x-2) 2; (3分)………………………………… (2)抛物线 C1 上存在点 M,使以 M,P,Q,C为顶点 的四边形是平行四边形, (4分)………………… 由(1)可知点 P的坐标为( -1,-3),点 Q的坐标为 (2,0), ∵ 抛物线 C2 与 C1 交于点 C, ∴ 令 3(x-2) 2 = 3x2 +6x,解得 x = 2 3 , 将 x = 2 3 代入 y = 3(x-2) 2,得 y = 16 3 , ∴ 点 C的坐标为( 2 3 ,16 3 ); (5分)……………… 情况一:当 QC为平行四边形的一边时,QC∥MP, 设直线 QC的解析式为 y = kx+b(k≠0), 将(2,0),( 2 3 ,16 3 )代入,得 2k+b = 0, 2 3 k+b = 16 3 , ì î í ïï ïï 解得 k = -4, b = 8,{ ∴ 直线 QC的解析式为 y = -4x+8, 又∵ QC∥MP, ∴ 设直线 PM的解析式为 y = -4x+b1, 将( -1,-3)代入,解得 b1 = -7, ∴ 直线 PM的解析式为 y = -4x-7, 联立得 y = 3x2 +6x, y = -4x-7,{ 解得 x = -1, y = -3{ (舍去)或 x = - 7 3 , y = 7 3 , ì î í ï ï ï ï 故此时点 M的坐标为( - 7 3 , 7 3 ); (7分)……… 情况二:当 QC为平行四边形的一条对角线时, 设 M(m,n),根据中点坐标可得 m-1 2 = 2 3 +2 2 , n-3 2 = 16 3 +0 2 , ì î í ï ï ïï ï ï ïï 解得 m = 11 3 , n = 25 3 , ì î í ï ï ï ï 当 x = 11 3 时,y = 3x2 +6x = 187 3 ≠25 3 ,此时点 M不在抛 物线 C1 上,不符合题意. 综上,点 M的坐标为( - 7 3 , 7 3 ); (9分)………… (3)∵ 抛物线 C2 交 y轴于点 B, ∴ 点 B的坐标为(0,12),即 OB = 12, 如解图,在点 Q右侧 x轴上取点 D,使得 QD = OB = 12,分别过点 Q 作 QE⊥BQ,过点 D 作 DE⊥QD, QE,DE交于点 E,连接 BE, ∵ ∠BQO+∠QBO = 90° = ∠BQO+∠EQD, ∴ ∠QBO = ∠EQD, 又∵ OB = QD,∠BOQ = ∠QDE = 90°, ∴ △BOQ≌△QDE(ASA),∴ BQ=QE,OQ=ED=2, ∴ ∠EBQ = 45°,点 E的坐标为(14,2), (11分)…………………………………………… 此时 BE与抛物线 C2 的交点即为 N, 设 BE所在直线的解析式为 y = px+q(p≠0), 将点 B,E的坐标代入,得 14p+q = 2, q = 12,{ 解得 p = - 5 7 , q = 12, ì î í ïï ïï ∴ BE所在直线的解析式为 y = - 5 7 x+12, 令- 5 7 x+12 = 3(x-2) 2, 解得 x1 = 0(点 B的横坐标,不符合题意,舍去),x2 = 79 21 , ∴ 点 N的横坐标为79 21 . (13分)………………… 第 18题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 5行卷·内蒙古数学　 1-1 5行卷·内蒙古数学　 1-2 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 　 得分:　 　 　 　 　 　 版权归 1　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试 5行卷·数学(一) (本试卷共 100分　 考试时间 90分钟) 一、选择题(共 8小题,每小题 3分,共 24分。 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求) 1.下列各图中,可以表示“射线 CD”的是 ( 　 D　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 2. 16的平方根是 ( 　 A　 ) A. ±2 B. ±4 C. 4 D. 2 3.下列命题中,其逆命题是真命题的是 ( 　 B　 ) A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.全等三角形的对应角相等 D.若 x>0,则 x2 >0 4. 真实情境 风筝是中国古代劳动人民发明于春秋时期的产物,其材质在不断改进之后,坊间开始用纸 做风筝,称为“纸鸢”(如图①) .图②是它的纸骨架,其中与∠1构成同位角的是 ( 　 A　 ) 第 4题图 A. ∠2 B. ∠3 C. ∠4 D. ∠5 5.在平面直角坐标系中,点 A(2,m)在第一象限,若点 A绕原点 O顺时针旋转 90°的对应点 B在直线 y = -2x+1上,则 m的值为 ( 　 C　 ) A. -2 B. 1 C. 3 2 D. 3 6.如图,△ABC与△DEF是位似图形,点 O为位似中心,OC ∶CF = 1 ∶3.若△ABC 的周长为 2,则△DEF 的 周长是 ( 　 C　 ) 第 6题图 A. 16 B. 12 C. 8 D. 4 7.如图,AB是☉O的直径,弦 AC=CD=BD,连接 OD.若 BD= 3 ,则 BC的长为 ( 　 A　 ) 第 7题图 A. 3 B. 4 3 C. 3 D. 2 3 8.如图,点 A(2,12)在反比例函数 y= k x (k≠0)的图象上,AB,AC分别垂直于 x 轴、y轴于 B,C两点,点 D 位于 AB右侧的反比例函数图象上,DE,DF分别垂直于 x轴、AB于 E,F 两点,若四边形 DEBF 为正方 形,则这个正方形的面积为 ( 　 C　 ) 第 8题图 A. 24 B. 18 C. 16 D. 12 二、填空题(共 4小题,每小题 3分,共 12分) 9.若 x满足不等式组 x-3 2 ≥0, -3x-2≤-1, ì î í ï ï ï ï 则 x的取值范围是　 x≥3　 . 10. 开放性试题 化简: x 2 -2x x2 +4x+4 ÷x-2 x+2 ,并从-2,0,1,2 中任选一个数作为 x 的值代入计算,该分式的计算 结果可以是　 　 　 　 . 11.如图是 4×3的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成正方体展开图的概率为 　 . 第 11题图 　 　 　 　 第 12题图 12.如图,在菱形 ABCD中,AC= 24,BD= 10,E是 CD边上一动点,过点 E分别作 EF⊥OC于点 F,EG⊥OD 于点 G,连接 FG,则 FG的最小值为　 　 　 　 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 1-3 5行卷·内蒙古数学　 1-4 2　 三、解答题(共 6小题,共 64分) 13. (本小题满分 10分) 如图是小虎同学解方程 3x-1 3 = 1-4x -1 6 的过程,请据此回答问题. 解方程: 3x-1 3 = 1-4x -1 6 解:2(3x-1)= 1-4x-1① 6x-2 = 1-4x-1② 6x+4x= 1-1+2③ 10x= 2④ x= 1 5 ⑤ 第 13题图 (1)小虎解方程最先出现错误的是第　 ①　 步(填写序号);该步骤错误原因是　 　 　 　 (可多选); A.漏乘不含分母的项 B.分子是多项式,去掉分母后未给分子整体添括号 C.移项没有变号 (2)请正确解出这个方程. 解:(1)①; (2分)…………………………………………………………………………………………… AB; (5分)………………………………………………………………………………………………… (2) 3x-1 3 =1- 4x-1 6 , 2(3x-1)= 6-(4x-1), 6x-2=6-4x+1, 6x+4x=6+1+2, 10x=9, x=0. 9. (10分)…………………………………………………………………………………… 14. (本小题满分 10分) 中华传统文化以儒家、佛家、道家三家之学为支柱,包括思想、文字、语言,之后是六艺,也就是礼、乐、 射、御、书、数,再后是生活富足之后衍生出来的武术、曲艺、棋类、节日、民俗等,传统文化与我们的生活 息息相关.某校为了解七、八年级学生对中国传统文化知识的掌握情况,对这两个年级学生进行了中国传统 文化知识测试,并从两个年级中各随机抽取 10名学生的测试成绩(百分制)进行收集、整理和分析. 数据收集: 七年级:59,90,92,85,80,67,88,85,97,79; 八年级:57,95,80,96,83,69,92,78,66,83. 数据整理: 成绩 x(分) 50<x≤60 60<x≤70 70<x≤80 80<x≤90 90<x≤100 七年级 1 1 2 4 2 八年级 1 2 2 2 3 数据分析: 平均数 中位数 众数 七年级 82. 2 85 a 八年级 79. 9 b 83 请根据上述信息,回答下列问题: (1)补全表中数据:a= 　 85　 ,b= 　 81. 5　 ; (2)萌萌同学参加了测试,她说:“这次测试我得了 82 分,在我们年级属于中游略偏上”,你推测萌萌 同学可能是　 八　 (填“七”或“八”)年级的学生; (3)假如该校七年级 1 000 名学生均参加了本次测试,请你估计该校七年级学生本次测试成绩在 80 分以上的人数; (4) 开放性试题 为了丰富同学们的中国传统文化,请你提出一条合理化建议. 解:(1)85,81. 5; (4分)…………………………………………………………………………………… 【解法提示】七年级数据中,数据 85 出现两次,出现次数最多,∴这组数据的众数是 85,即 a 的值为 85;将八年级成绩从小到大排列得 57,66,69,78,80,83,83,92,95,96,中间的数是 80,83,∴中位数 b= (80+83)÷2=81. 5. (2)八; (6分)……………………………………………………………………………………………… 【解法提示】∵萌萌同学的分数在年级属于中游略偏上,而 82>81. 5,即萌萌同学的分数大于八年级的 中位数,∴萌萌同学可能是八年级的学生. (3)由原数据可得七年级 80分以上的同学有 6人,1 000× 6 10 =600(人), ∴估计该校七年级学生本次测试成绩在 80分以上的人数为 600; (8分)…………………………… (4)多阅读中国传统文化知识相关书籍(答案不唯一) . (10分)……………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 1-5 5行卷·内蒙古数学　 1-6 版权归 3　 　 15. (本小题满分 8分) 如图,线段 AB为☉O的直径,点 C,E在☉O上,CD⊥AB,垂足为点 D,连接 BE,弦 BE与线段 CD相交 于点 F,CF=BF,∠BEC= ∠DCB. (1)求证:BC ( =CE ( ; (2)若 cos∠ABE= 4 5 ,在 AB的延长线上取一点 M,使 BM= 4,☉O的半径为 6,求证:直线 CM是☉O的 切线. 第 15题图 证明:(1)∵CF=BF,∴∠FCB=∠FBC, (2)如解图,连接 OC交 BE于 H,连接 OE,∵BC ( =CE ( , ∴∠BOC=∠COE, ∵BO=EO,∴OC⊥BE, ∴∠OHB=90°, (4分)…………………………………………………………………………………… 在 Rt△OBH中,cos∠OBH=cos∠ABE= 4 5 =BH OB , ∵OB=6,∴BH=6× 4 5 = 24 5 , ∴OH= 62-( 24 5 ) 2 = 18 5 , ∵ OH OC = 18 5 6 = 3 5 , OB OM = 6 6+4 = 3 5 ,∴ OH OC = OB OM , 又∵∠HOB=∠COM,∴△OHB∽△OCM, ∴∠OCM=∠OHB=90°,∴OC⊥CM, ∵OC是☉O的半径, ∴直线 CM是☉O的切线. (8分)………………………………………………………………………… 16. (本小题满分 11分) 真实情境 某校为在操场举办“辞旧迎新”活动,采购了一批彩色的塑料凳子.如图,该塑料凳子高为 45 cm,若将其叠放在一起,每增加一张,高度就会增加 5 cm,老师给数学兴趣小组布置了以下任务. 第 16题图 任务 1:若该校购买了 n张该塑料凳子,将其全部叠放在一起,求叠放高度 h(单位:cm)与凳子张数 n 的表达式; 任务 2:现有甲、乙两种包装纸箱,其长宽与凳子的长宽正好相等,其中甲纸箱的高度为 150 cm,乙纸 箱的高度为 100 cm,每个纸箱的上下底都要装上 5 cm厚的泡沫,求甲、乙每个纸箱最多能装下多少张 凳子; 任务 3:已知甲、乙纸箱的单价分别为 5元 /个和 3元 /个,该校要采购 1 200张凳子,计划用甲、乙两种 纸箱共 90个来包装,如何选用甲、乙两种纸箱,使得支出的包装费用最少? 最少是多少? 任务 2:甲:5n+40≤150-2×5,解得 n≤20, 乙:5n+40≤100-2×5,解得 n≤10, ∴甲纸箱最多能装下 20张凳子,乙纸箱最多能装下 10张凳子; (5分)……………………………… 任务 3:设选用甲纸箱 x个,则选用乙纸箱(90-x)个,由题意得 20x+10(90-x)≥1 200, 解得 x≥30, (8分)……………………………………………………………… 设支出的总包装费用为 y元,则 y=5x+3(90-x)= 2x+270, ∵2>0, ∴ y随 x的增大而增大, ∴当 x=30时,y有最小值为 2×30+270=330, (10分)………………………………………………… ∴选用甲纸箱 30个,乙纸箱 90-30=60(个),使得支出的包装费用最少,最少为 330元. (11分)…… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5行卷·内蒙古数学　 1-7 5行卷·内蒙古数学　 1-8 4　 17. (本小题满分 12分) 强预测 综合与实践 【问题情境】为了研究特殊四边形的一些特性,老师以四边形 ABCD的边 AB,BC,CD,DA为斜边分别 向外侧作等腰直角三角形,直角顶点分别为 E,F,G,H,连接 BG,ED,得四边形 EBGD. 【问题探究】 (1)如图①,同学们发现:当四边形 ABCD为正方形时,四边形 EFGH也是正方形,那么四边形 EBGD 的形状为　 平行四边形　 ; 【问题解决】 (2)①如图②,小明发现:“当四边形 ABCD为菱形,且∠ADC= 45°时,四边形 EBGD的形状为矩形. ” ②如图③,小亮发现:“当四边形 ABCD为一般平行四边形时,四边形 EBGD的形状也为平行四边形. ” 请判断小明、小亮的结论是否正确,并说明理由; (3)小英在小明发现的基础上,进一步提出:“如果菱形 ABCD 的边长为 2 ,那么就可以求出线段 CH 的长. ”老师给予了肯定的回答,请你帮小英求出线段 CH的长. 第 17题图 解:(1)平行四边形; (2分)………………………………………………………………………………… (2)小明、小亮的结论都正确. (3分)……………………………………………………………………… 理由如下: ①由题意得四边形 ABCD为菱形,△EAB和△DCG为等腰直角三角形,∠ADC=45°, ∴∠AEB=∠DGC=∠EDG=90°,∴四边形 EBGD为矩形; (6分)…………………………………… ②∵四边形 ABCD为平行四边形,且△AEB和△DGC为等腰直角三角形, ∴AB=CD,∠BAE=∠GCD=45°,∴AE=BE= 2 2 AB,DG=CG= 2 2 CD, ∴AE=BE=CG=DG, (7分)……………………………………………………………………………… 在平行四边形 ABCD中,AD=BC,∠BAD=∠BCD,∴∠BAE+∠BAD=∠GCD+∠BCD, ∴∠EAD=∠GCB,∴△DAE≌△BCG(SAS),∴ED=BG, ∴四边形 EBGD为平行四边形; (9分)…………………………………………………………………… (3)在等腰直角△AHD中,∠HAD=∠HDA=45°, ∵AD=CD= 2 ,∴HD=1, (11分)……………………………………………………………………… 18. (本小题满分 13分) 强预测 如图,抛物线 C1:y= 3x2 +6x先向右平移 3个单位,再向上平移 3个单位后得到抛物线 C2,抛 物线 C2 与 y轴交于点 B,与 C1 交于点 C,抛物线 C1,C2 的顶点分别记为 P,Q,连接 CQ,BQ. (1)求抛物线 C2 的解析式; (2)在抛物线 C1 上是否存在点 M,使以 M,P,Q,C为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 N是抛物线 C2 上的一点,且满足∠QBN= 45°,试求点 N的横坐标. 第 18题图 将(-1,-3)代入,解得 b1 =-7,∴直线 PM的解析式为 y=-4x-7, 联立得 y=3x2+6x, y=-4x-7,{ 解得 x =-1, y=-3{ (舍去)或 x=- 7 3 , y= 7 3 , ì î í ï ïï ï ïï 故此时点M的坐标为(- 7 3 , 7 3 ); (7分)………… 情况二:当 QC 为平行四边形的一条对角线时,设 M(m,n),根据中点坐标可得 m-1 2 = 2 3 +2 2 , n-3 2 = 16 3 +0 2 , ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï 解得 m= 11 3 , n= 25 3 , ì î í ï ïï ï ïï 当 x= 11 3 时,y=3x2+6x= 187 3 ≠25 3 ,此时点M不在抛物线 C1 上,不符合题意. 综上,点M的坐标为(- 7 3 , 7 3 ); (9分)…………………………………………………………………… (3)点 N的横坐标为 79 21 . (13分)………………………………………………………………………… 【详解详析见本册 P35】 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋