精品解析：重庆市江津中学校2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试题

江津中学初2026级初二（下）半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质逐项分析即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； B、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故在函数的图象上，符合题意； 故选：D． 2. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，平行四边形的对边互相平行且相等，对角线互相平分，据此判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 根据四边形是平行四边形无法得出， ∴选项B、C、D结论成立，选项A结论不一定成立， 故选：A． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减法对A，B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C，D进行判断． 【详解】解：A、，原计算错误，故A不符合题意； B、，原计算错误，故B不符合题意； C、，原计算正确，故C符合题意； D、，原计算错误，故D不符合题意； 故选：C． 4. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键．根据勾股定理的逆定理、三角形的三边关系逐项判断即可得． 【详解】解：A、，不能构成三角形，则此项不符合题意； B、，能作为直角三角形的三边，则此项符合题意； C、，不能作为直角三角形的三边，则此项不符合题意； D、因为，所以，不能构成三角形，则此项不符合题意； 故选：B． 5. 设，则数的值应在（ ）． A. 8和9之间 B. 7和8之间 C. 6和7之间 D. 5和6之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查估算无理数的大小. 将原式计算后再利用夹逼法估算其结果的大小即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， 即数m的值应在7和8之间， 故选：B． 6. 如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，第②个图案有9个圆，第③个图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ） A. 34 B. 35 C. 39 D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】根据前面四个图案的情况找出规律，然后可以算得答案． 【详解】解：由前面4个图案的情况可以得到排列规律为： 第1个图案圆的个数为：4×1+0=4个； 第2个图案圆的个数为：4×2+1=9个； 第3个图案圆的个数为：4×3+2=14个； 第4个图案圆的个数为：4×4+3=19个； ...... ∴第n个图案圆的个数为：4×n+n-1=5n-1个； ∴第7个图案圆的个数为：5×7-1=34个； 故选：A． 【点睛】本题考查图形类规律探索，通过所给图案用代数式表示出图形规律是解题关键． 7. 如图，在中，的角平分线交AD于点E，若，，则BC的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行四边形的性质是解本题的关键． 根据根据平行线的性质得出，，角平分线定义求出，推出，根据等腰三角形的判定得出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴ 故选：D． 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及完全平方公式的应用，由题意可得小正方形的边长为，即得，得到，又由得，利用可得，最后根据勾股定理即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∵小正方形的面积为， ∴，即， ∵， ∴， 得，， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为． 故选：． 9. 将一副三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、平行线的性质，过点作，根据勾股定理可得，根据等腰三角形的三线合一定理可知，根据直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半，可知，利用勾股定理可以得到，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 故选：C． 10. 对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（ ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了新定义实数运算、二次根式的化简等知识．根据二次根式的性质化简逐项进行解答判断即可． 【详解】解：①∵， ∴， ∴或， 解得或， 故①错误； ②进行“新运算操作”得到， ∵在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ∴， 则， ∵在数轴上和的距离为8， ∴在数轴上找不到一个数，使得到和的距离之和为6， ∴无解， 故②错误， a，b，c的“新运算操作”结果为， 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 当，，时，原式； 根据a，b，c的取值范围，化简结果可能存在的不同表达式共有8种． 故③错误， 故选：A 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 利用二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 故答案为：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（为常数，）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解集是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，先利用正比例函数解析式求出点A坐标，再根据函数图象找到正比例函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象与一次函数（为常数，）的图象交于点， ∴将代入中得， ， ∴ ∴由函数图象可得关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 13. 如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为__________. 【答案】18米 【解析】 【详解】如图，由题意知BC=5,AB=12, ∴AC= ∴树原高13+5=18米. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用. 14. 若函数不经过第二象限，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了一次函数常数项与图象的关系，分式方程的解． 首先根据一次函数图象不经过第二象限可以判断出，从而得出a的取值范围，其次根据分式方程有解，用a表示，并根据不是增根判断出，最后根据a为整数，y为非负整数，求出a可取的值，即可得到答案． 【详解】解：∵函数不经过第二象限， ∴，即， ∵分式方程的解为，且， 又∵，a取整数，y为非负整数， ∴或3或5， ∴符合条件的所有整数a的值之和是：． 故答案为：7． 15. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为______，阴影部分的面积为_____． 【答案】 ①. ②. 21 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质、三角形的面积.由矩形的判定和性质得到，，，，，即可得到，计算即可. 【详解】解：作于M，交于N，如图， 则四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴， ∴，，，，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 故答案为：；21． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数3268， ， 3268是“和百数”；又如四位数4367，，4367不是“和百数”．若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的数字运算，二元一次方程的应用．理解题意是解题的关键．由是“和百数”，可得，由题意知，是整数，即是整数，可求当时，时，为满足条件的数的最小，当时，时，为满足条件的数的最大，结合“和百数”概念推出、，得到最大“和百数”与最小“和百数”即可解题． 【详解】解：是“和百数”， ， “和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除， 是整数， 即是整数， 各数位上的数字均不为0， ， ， 当时，时，， ， 即，时，“和百数”最小为； 当时，时，， ， 即，时，“和百数”最大为； 满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是． 故答案为：． 三、解答题（本大题8个小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1）0 （2）11 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式混合运算的计算法则及运算顺序是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算加减法； （2）先根据完全平方公式及二次根式的乘法公式去括号，再合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 【答案】（1） 如图, 为所求； （2）；；；对边交点形成的四边形是菱形 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质. （1）利用基本作图作AC的垂直平分线即可； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到 ，再证明 得到则 ，于是可判断四边形是菱形. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值. 先通分，再去括号，约分，最后将代入即可. 【详解】 ， 当时，原式 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且＝，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵＝ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与矩形的判定定理是解题的关键； （1）根据菱形的性质可得，，结合已知可得，进而证明四边形是平行四边形，根据得出四边形是矩形； （2）根据菱形的性质与已知条件得出是等边三角形，进而根据勾股定理求得，再求出，的长，在中，根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， 在中， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，． 21. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 【答案】（1） （2） 这辆车不能被摄像头监控到，理由如下： 过点作，交的延长线于， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，即， 即点为摄像头能监控的最远位置， 在中，， ∵车到点距离为，， ∴车到点距离为， ∵， ∴这辆车不能被摄像头监控到． 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确利用勾股定理求出所需边的长度，从而进行计算． （1）连接，易得，由勾股定理求出的长度，然后由勾股定理的逆定理，得到是直角三角形，则，即可得到答案； （2）过点作，交的延长线于，由（1）易得是等腰直角三角形，即，再由勾股定理求出，再根据车到点距离得出车到点A距离，对比车到点A距离和的长度即可得到结论． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴，， ∵，， 在中，有， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 22. 如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： （1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 【答案】（1）， 函数的图象如图所示， （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小（答案不唯一） （3）（答案不唯一，误差范围不超过） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分两种情况分别求出函数解析式，再画出函数图象即可； （2）根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式，求出当时的值，可以帮助结合图象判断． 【小问1详解】 解：当时，点在上，， 当时，点在上，， 综上，； 【小问2详解】 当时，随的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 令，得，令，得， 当时，结合图象观察可知x的取值范围为（答案不唯一，误差范围不超过）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，，两直线相交于点． （1）________． （2）求点的坐标； （3）若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求交点坐标，根据三角形的面积求点的坐标等知识点，解题的关键是熟练掌握一次函数及其图象的性质． （1）先根据求出点坐标，再根据求出点坐标，利用待定系数法即可求解； （2）联立两条直线解析式即可求出交点坐标； （3）①假设，求出相关三角形的面积，最后根据，即可求出点坐标； ②根据轴对称性，在点上方找一点，当时，的面积为10，假设，根据列出方程，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，代入得，， ， ∵，且点位于轴的正半轴， 将代入得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：联立 解得 ； 【小问3详解】 解：①如图所示，假设， 由得， 当时，， 解得， ， ， ， ， , 即， 解得， ∴； ②如图所示，在点上方找一点，当时，的面积为10， 假设，， 根据勾股定理得， 解得或（舍去）， ， 点的坐标为或． 24. 已知在中，，，点为直线上一动点，连接． （1）如图1，若点为线段上的一点且满足，若，求线段的长； （2）如图2，若点为线段上的一点，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，求证：； （3）如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2） 证明：如图2中，延长交的延长线于点T． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作于H，先求出，进而求出，则，由勾股定理得到，再证明是等腰直角三角形，得到，则，求出，则； （2）如图中， 延长交的延长线于点T，证明，推出， ， 证明， 推出， 可得结论； （3）将绕点A逆时针旋转60度得到，证明，得到，则在直线上运动，故当时，有最小值；如图所示，过点B作，延长交直线于点P，连接，求出，证明，得到，则；再证明，得到，则，，求出，进而得到，在中，，则，，即的最小值为． 【小问1详解】 解：如图所示，过点E作于H， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，将绕点A逆时针旋转60度得到， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵点H是定点， ∴在直线上运动， ∴当时，有最小值； 如图所示，过点B作，延长交直线于点P，连接， ∵在中，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，解（2）的关键在于作出辅助线构造全等三角形，解（3）的关键在于通过旋转构造全等三角形确定点的轨迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江津中学初2026级初二（下）半期考试 数学试题 （满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知函数的图象经过点，则点的坐标可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组数，能作为直角三角形的三边的是（ ） A. 1，2，3 B. C. D. 5. 设，则数的值应在（ ）． A. 8和9之间 B. 7和8之间 C. 6和7之间 D. 5和6之间 6. 如图都是由同样大小的圆按一定规律摆出的图案，第①个图案有4个圆，第②个图案有9个圆，第③个图案有14个圆，…，依此规律，第7个图案圆的个数为（ ） A. 34 B. 35 C. 39 D. 40 7. 如图，在中，的角平分线交AD于点E，若，，则BC的长度为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长度分别为．若小正方形的面积为，，则大正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 9. 将一副三角尺按如图所示方式放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 对代数式M定义新运算：．对于若干个数，先将任意两个数求和，再将这些和分别进行新运算，最后再将新运算的结果求和，称此为“新运算操作”．例如，对1，2，3进行“新运算操作”，得以下结论正确的有（ ） ①若，则； ②在实数范围内存在x，使得进行“新运算操作”的结果为8； ③a，b，c的“新运算操作”化简结果可能存在的不同表达式共有6种． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数（为常数，）的图象交于点，则关于的一元一次不等式的解集是______． 13. 如图,一棵大树在一次强台风中距地面5处折断,倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12,这棵大树在折断前的高度为__________. 14. 若函数不经过第二象限，且使关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的值之和是______． 15. 如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于点E、F，连接．若，，则图中的面积为______，阴影部分的面积为_____． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字均不为0，满足，则称该四位数为“和百数”．例如：四位数3268， ， 3268是“和百数”；又如四位数4367，，4367不是“和百数”．若一个“和百数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被11整除，则满足条件的最大“和百数”与最小“和百数”的差是______． 三、解答题（本大题8个小题，每题各10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）． （2）． 18. 如图，四边形是平行四边形，是对角线． （1）用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，分别交、、于点、、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，连接，，猜想四边形的形状，并证明你的结论． 解：猜想四边形的形状为菱形，证明如下： 是的垂直平分线， ，，①______， 又四边形是平行四边形， ②______， ． 在和中， ， ③______， ， 四边形是菱形． 结论：平行四边形一条对角线的端点和这条对角线的垂直平分线与④______． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且＝，连结，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 21. 如图，四边形为某街心花园的平面图，经测量，，，且． （1）求的度数； （2）若射线为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点处安装一个监控装置来监控道路的车辆通行情况．已知摄像头能监控的最远距离为，请问在道路上，且与点B距离的一辆车能否被摄像头监控到？请说明理由． 22. 如图，在中，，，动点P从点B出发，沿折线B-C-A运动，到达点A时停止运动（点P不与B、A重合），设点P的运动路程为x，的面积为y．请解答下列问题： （1）直接写出y与x之间的函数表达式及x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出函数y的图象，根据函数图象，写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出当时x的取值范围（结果保留一位小数，误差范围不超过0.2）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于两点，直线分别交轴、轴的正半轴于两点，，两直线相交于点． （1）________． （2）求点的坐标； （3）若为直线上的动点，连接、，，求点的坐标． 24. 已知在中，，，点为直线上一动点，连接． （1）如图1，若点为线段上的一点且满足，若，求线段的长； （2）如图2，若点为线段上的一点，过点作交的延长线于点，过点作于点，延长交于点，连接，求证：； （3）如图3，，将绕点逆时针旋转得到，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $