精品解析：天津市八校联考2025届高三模拟考试（二）数学试卷

天津市八校联考高三年级模拟考试（二） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么. ·如果事件A与事件B相互独立，那么. ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. ·球的体积公式，其中R表示球的半径. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据几何的交补运算即可求解. 【详解】，，所以， 故选：A. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，利用函数在单调递增检验充分必要性即可求解. 【详解】令，在上都为增函数，在单调递增， 又a，，所以， 即“”是“”的充要条件， 故选：C 3. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合正态分布的密度函数图象性质判断即得. 【详解】令对应正态密度函数分别为， 则函数图象的对称轴分别为，且， 观察图象，得，，所以，. 故选：C 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答. 【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括， 这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D的定义域包括，所以排除C,D. 由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B中， 因为，说明选项B中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除. 故选：A. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指、对、幂的单调性比较大小即可. 【详解】是增函数，， 在是增函数，，故， 在是增函数，， 即， 故选：D. 6. 目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）的关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ） A. 128分钟 B. 64分钟 C. 32分钟 D. 16分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，利用指对转换解不等式即可. 【详解】设充电时间为分钟，所以，即， 同时取自然对数，因此最少需要约32分钟， 故选：C 7. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间没有零点 D. 的图象关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移变换可得.将代入的解析式得，即可判断选项A；当时，，因为余弦函数在上的单调性，即可判断选项B；当时，，根据余弦函数的图象，即可判断选项C；将代入的解析式得，即可判断选项D. 【详解】由题意得. 将代入中，得，故函数的图象关于点中心对称，故选项A错误； 当时，，因为余弦函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减，故选项B正确； 当时，，根据余弦函数的图象可知，当，即时，即在区间有一个零点，故选项C错误； 将代入中，得，故函数的图象关于直线对称，故选项D错误. 故选：B. 8. 已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，设出点的坐标，结合向量共线的坐标表示求出点的坐标，再利用抛物线定义求出比值. 【详解】抛物线的焦点，准线，， 由对称性，不妨令点在第一象限，设， 则，由B在线段AD上， 得，整理得，而， 则，由P，B，F共线， 得，整理得，解得， 于是，过作于，所以. 故选：B 9. 在四面体ABCD中，点M，N在边AC上，且，点S，T在边BD上，且，记四面体ABCD体积为V，MSTN的体积为，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 10 D. 不是定值 【答案】A 【解析】 【分析】根据四面体体积公式进行换底面转化，即可求解. 【详解】 ，，，， ， 所以， 故选：A. 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数的模长为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算可求复数，再根据模长公式求得模长. 【详解】，则 故答案为：. 11. 在的展开式中，常数项为______. 【答案】405 【解析】 【分析】利用二项式定理直接列式求解. 【详解】的展开式常数项为. 故答案为：405 12. 已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为______. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】判断出在圆上，得到切线方程，从而，结合双曲线定义得到，求出双曲线方程为，设，则，由点到直线距离公式进行求解，得到答案. 【详解】由于，故在圆上， 其中，由垂直关系可得切线l的斜率为， 由渐近线方程的斜率为得， 由双曲线定义可知，解得， 故，双曲线方程为，两渐近线方程为， 设，则， 点M到双曲线两条渐近线距离之积为. 故答案为： 13. 某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为______；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用条件概率公式计算即可；②利用古典概型概率公式即可求解. 【详解】①记第一次取到红求为事件，第二次取到白球为事件， 则，，所以； ②记小强恰好抽到1个一等奖奖品券为事件， 则. 故答案为：①；②. 14. 在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 ______（用，表示）；若，，且，则______. 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用数量积公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知， , 所以； 由，得， 得， 所以， 得，且，， 所以， 得,,所以. 故答案为： 15. 已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】第一步换元，分两大类：当时，，或当时，，解得或即可得解. 【详解】设，则， 情形一：当时，，解得或， 因为，故不可能有， 从而只能是有唯一的解， 这就要求， 当时，，解得， 当时，，解得，这与矛盾， 此时满足题意的的取值范围是； 情形二：当时，，解得， 这就要求， 由于，故只能是，解得， 这就要求， 此时满足题意的的取值范围是； 综上所述，满足题意的的取值范围是. 故答案为：. 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求边b的长； （2）求C的正切值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求解即可； （2）构造直角三角形，计算边长即可求解C的正切值； （3）由（2）可求出C的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理得 【小问2详解】 过点作于点，在中， ， 在中，， 小问3详解】 由（2）可知 因为，， 17. 如图，在正三棱柱中，，M为BC的中点. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点A到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）过作，以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法求解. （3）由（2）中信息，利用向量法求出点到平面的距离. 【小问1详解】 在正三棱柱中，M为BC的中点，则，过作， 由平面，得平面，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，于是， 即，而平面， 所以直线平面. 【小问2详解】 由（1）得， 设平面的法向量，则，令，得， 设平面的法向量，则，令，得， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由（2）得点A到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由离心率得，设点，将椭圆方程化为，利用导数的几何意义求出切线方程，再由圆的弦长公式求出弦长，进而求出即可. （2）利用（1）中信息求出直线与圆的方程，联立求出两根的积即可推理得证. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆方程为，圆化为圆， 设，则，当时，由，得， 求导得，直线的斜率； 当时，由，得，求导得， 直线的斜率， 因此当时，直线的方程为，整理得， 当时，点，直线的方程为，点，直线的方程为， 满足，于是对任意点，直线的方程为， 圆的圆心到直线距离， 而圆的半径为，，当且仅当时取等号， 因此，解得，所以椭圆方程为，即. 【小问2详解】 由（1）知，圆的方程为，直线方程为， 由消去得，设， 则，消去得， 则， 当时，点分别为圆与轴的交点，的斜率一个为0，一个不存在； 当时，的斜率都存在且不为0，斜率乘积为为定值. 19. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. （1）求数列的通项公式； （2）记，证明对于任意的，； （3）求（其中）. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，借助等比中项求出公比，进而求出通项公式. （2）求出插入区间内项后的等差数列公差，再按数列的相邻3项在同一等差数列内和在相邻两个等差数列内分类证明. （3）求出数列中项及前面的项数和，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式及错位相减法求和. 【小问1详解】 设数列的公比为，因为数列是各项均为正数，故，， 因为，， 所以，解得，而，则公比， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得等差数列的公差， 当时，，则； 当时，则，， ，因此， 所以. 【小问3详解】 依题意，在内的数列的所有项和为， 数列中，项及前面的项数和为， 当时， 令， 则， 两式相减得， 解得，而， 因此， 当时，满足上式， 所以. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：在上单调递增； （3）求证：，且，. 【答案】（1） （2）证明见详解 （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数研究函数的单调性即可； （3）构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而证明不等式. 【小问1详解】 当时， 又 曲线在点处的切线方程为： 即． 【小问2详解】 在恒成立，在上单调递增. 【小问3详解】 令，则原不等式等价于 令 则 令， 则 由（2）知， 在恒成立 又在恒成立， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市八校联考高三年级模拟考试（二） 数学试卷 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分. 参考公式： ·如果事件A与事件B互斥，那么. ·如果事件A与事件B相互独立，那么. ·棱锥的体积公式，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. ·球的体积公式，其中R表示球的半径. 一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图是两个正态分布的密度函数图象，则下列表述正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 目前很多手机都具有快充功能，其电池电量Q（单位：%）与充电时间（单位：分钟）关系可表示为.现在一个手机用到没电了，应用快充方式要使电量达到80%以上，则最少的充电时间约为（参考数据）（ ） A. 128分钟 B. 64分钟 C. 32分钟 D. 16分钟 7. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 在区间上单调递减 C. 在区间没有零点 D. 的图象关于点对称 8. 已知抛物线的焦点为F，准线l交x轴于点D，过D的直线与抛物线交于A，B两点，且B在线段AD上，点P为A在l上的射影.若P，B，F共线，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9. 在四面体ABCD中，点M，N在边AC上，且，点S，T在边BD上，且，记四面体ABCD的体积为V，MSTN的体积为，则的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 10 D. 不是定值 第Ⅱ卷 注意事项： 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数的模长为______. 11. 在的展开式中，常数项为______. 12. 已知圆，过点作圆O的切线l，直线l与双曲线的一条渐近线平行，若双曲线上一点M到双曲线左、右焦点的距离之差的绝对值为，则点M到双曲线两条渐近线的距离之积为______. 13. 某班级在新年联欢会上组织抽奖活动，抽奖箱里有5个红色小球代表一等奖奖品券，3个白色小球代表二等奖奖品券，2个黑色小球代表谢谢参与券，抽奖规则是不放回地依次抽取3个球.某同学参加这个活动，则他在第一次抽到一等奖奖品券的条件下，第二次抽到二等奖奖品券的概率为______；小强同学参加一次抽奖活动（不放回地抽取3个球），则恰好抽到1个一等奖奖品券的概率为______. 14. 在中，点D在边BC上，且，E为线段AD中点.已知，，则 ______（用，表示）；若，，且，则______. 15. 已知函数，若方程有且只有一个解，则实数a的取值范围是______. 三.解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，. （1）求边b长； （2）求C的正切值； （3）求的值. 17. 如图，在正三棱柱中，，M为BC中点. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点A到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，点P为椭圆上的动点，过点P作椭圆的切线，与圆交于A，B两点，线段AB长度的最小值为2. （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线OA，OB斜率乘积为定值（其中O为坐标原点）. 19. 已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.对于任意，在和之间插入k个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为. （1）求数列的通项公式； （2）记，证明对于任意的，； （3）求（其中）. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求证：在上单调递增； （3）求证：，且，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $