精品解析：天津市河西区2023-2024学年高三下学期总复习质量调查（二）数学试卷

河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二） 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 注意事项： 第I卷 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·球体的体积公式，其中R为球体的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 函数的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 4. 某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 86.5 D. 87 5. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 7. 若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 9. 已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数______． 11. 二项式的展开式中的常数项为______． 12. 在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 13. 已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为___________.（写出一个即可） 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 15. 在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为____________；___________. 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）若 （i）求的面积； （ii）求值. 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 19. 已知数列首项，且满足，的前项和为. （1）证明数列是等差数列，并求数列通项公式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，求数列的通项公式及. 20. 设函数（）． （1）当时，求过点且与曲线相切的切线方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）若函数有两个极值点，，且，记表示不大于最大整数，试比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河西区2023—2024学年度第二学期高三年级总复习质量调查（二） 数学试卷 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟.第I卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 祝各位考生考试顺利! 注意事项： 第I卷 1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 2.本卷共9小题，每小题5分，共45分.参考公式： ·如果事件A，B互斥，那么. ·如果事件A，B相互独立，那么. ·球体的体积公式，其中R为球体的半径. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解法和交集的运算得出即可. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】利用命题否定定义求解即可. 【详解】由命题否定定义得命题“， ”的否定是，，故D正确. 故选：D 3. 函数的部分图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果. 【详解】因为的定义域为R.定义域关于原点对称， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，故排除选项B、D， 当时，令可得或， 所以时，两个相邻的零点为和，当时，，，，故排除选项A， 故选：C. 4. 某校高三年级举行数学知识竞赛，并将100名学生的竞赛成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 86.5 D. 87 【答案】B 【解析】 【分析】由频率分布直方图性质求，根据百分位数定义，结合数据求解即可. 【详解】由，解得：，所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得：， 故选：B 5. 若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数单调性可得，结合指数函数、对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，则，，， 即， 则，，， 即，所以. 故选：A. 6. 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，从而得到球的体积． 【详解】设球的半径为cm，根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为cm，所以由，得，所以球的体积为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查球的体积公式的应用，以及球的结构特征的应用，属于基础题． 7. 若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以关于对称， 又，则， 所以是以为周期的周期函数； 对于A：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故A错误； 对于B：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故B错误； 对于C：若，则最小正周期， 则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误； 对于D：若，则最小正周期， 又，满足关于对称，故D正确. 故选：D 8. 已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 由题意得，设一条渐近线的方程为， 所以，由勾股定理得， 因为垂直于渐近线，所以， 因为，所以，而， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 化简得，所以，故，则B正确. 故选：B 9. 已知函数，其中，若在区间内恰好有4个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据参数的范围，讨论两段函数的零点情况，利用二次函数与三角函数的图象与性质，结合端点满足的条件，即可求解. 【详解】由函数，其中， 当时，对任意，函数在内最多有1个零点，不符题意，所以， 当时，， 由可得或， 则在上，有一个零点， 所以在内有3个零点，即在内有3个零点， 因为，所以，， 所以，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故选：C. 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； 2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 第Ⅱ卷 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共11小题，共105分. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分. 10. i是虚数单位，复数______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可. 【详解】. 故答案为： 11. 二项式的展开式中的常数项为______． 【答案】240 【解析】 【分析】根据题意，由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，解得，则常数项为. 故答案为：240 12. 在公差大于零的等差数列中，，，成等比数列，若，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】首先由条件得到，再根据等差数列的通项公式，转化为关于公差的方程，即可求解. 【详解】设数列的公差为， 由，得，且， 所以，得， 得或（舍）， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，圆与直线相切，且与圆相切于点，则符合要求的圆的方程为___________.（写出一个即可） 【答案】（或） 【解析】 【分析】利用抛物线的性质得到，利用圆和圆的位置关系确定圆心坐标，再利用直线与圆相切建立方程，求解即可. 【详解】由题意得，因为圆与直线相切， 且与圆相切于点，所以将代入中， 得到，解得，所以圆方程为， 化为标准方程得到，所以圆心为，半径为1， 所以圆的圆心在轴上，而圆与圆相切， 当圆与圆内切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为， 当圆与圆外切时，设半径为，此时圆心为， 设圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式得， 此时，解得(负根舍去)， 所以此时圆的方程为. 故答案为：（或） 14. 某学校有，两家餐厅，经统计发现，某班学生第1天午餐时选择餐厅和选择餐的概率均为.如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，则某同学第2天去餐厅用餐的概率为________；假设班内各位同学的选择相互独立，随机变量为该班3名同学中第2天选择餐厅的人数，则随机变量的均值__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】首先根据题意设出对应的事件，以及概率，再代入全概率公式，即可求解；随机变量服从二项分布，代入二项分布的期望公式，即可求解. 【详解】设事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅，事件第一天去餐厅，事件第二天去餐厅， 由题意可知，，，， 则， ， 所以第2天去餐厅的概率为； 由题意可知，每个人去餐厅的概率为，，所以. 故答案为：； 15. 在四边形中，，，，，，分别为线段、的中点，若设，，则可用，表示为____________；___________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用向量的加法可以求出第一个空；通过转化确定及与，的夹角，代入数量积的计算公式即可求出第二个空. 【详解】 由题意得，,, 由分别为线段、的中点，知，， 因此， ； 延长、交一点,由,，，,且. , 又，,,，则 . 故答案为：； 三、解答题：本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的面积； （ii）求的值. 【答案】（1）2 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和两角和的正弦公式化简已知式即可得出答案； （2）（i）由正弦定理和余弦定理可得，再由同角三角函数的基本关系和三角形的面积公式即可得出答案；（ii）由二倍角的正弦和余弦公式求出，再利用两角和的正弦公式计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理 ， 即， ， 所以. 【小问2详解】 （i）由（1）知，即，又， 由余弦定理，得， 解得， ，则， . （ii）， . 17. 如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为2的正方形，，底面，M、N分别为、的中点，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意建立以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）由（1）得直线的方向量，平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，则由即可得解. （3）求出平面的一个法向量，计算，则由计算结果即可得解. 【小问1详解】 如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得，，，，，， ，，， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 故，即，则， 令，得， 所以， 所以，又平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）得直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量，由（1）可得，， 则，故，即， 令，得， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，直线：交椭圆C于M，N两点，当直线过点时，的周长为8. （1）求椭圆C的标准方程； （2）设P为x轴上一点，是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的方程及点P的坐标. 【答案】（1） （2）直线方程为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）由的周长借助椭圆的定义可求，再结合椭圆的离心率求得，进而求得椭圆C的标准方程； （2）联立直线和椭圆的方程，表示出的中点的坐标，根据，表示出点的坐标，再由列出等式，求出，即得解． 小问1详解】 因为的周长为8，由椭圆的定义， ，所以， 又椭圆C的离心率为，即，∴， ∴， ∴椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设，，的中点为，， 联立，整理得， 因为直线与椭圆C交于M，N两点，故，解得， ，， 则，代入，∴，故， 因为是以点P为直角顶点等腰直角三角形，∴， 故，即，解得，故， 由，故，即， 又，， 所以， 经计算，，因，所以， 所以直线的方程为，点的坐标为. 19. 已知数列的首项，且满足，的前项和为. （1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）在数列中，，，求数列的通项公式及. 【答案】（1）证明见及解析， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）依据等比数列的定义构造等比数列，再求解通项即可. （2）利用裂项相消法求出，结合分离参数法求解参数范围即可. （3）结合题意求出，再利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 即，又， ∴数列是以2为首项，1为公差的等差数列， ∴，. 【小问2详解】 ， ∴， 由，得， ∴恒成立，， 当且仅当时取等，此时解得， 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 由，， ∴， 数列的奇数项是以2为首项，4为公比的等比数列， 偶数项为以2为首项，4为公比的等比数列， ， 设， ， 两式相减得， ∴， 所以. 20. 设函数（）． （1）当时，求过点且与曲线相切的切线方程； （2）求函数的单调递增区间； （3）若函数有两个极值点，，且，记表示不大于的最大整数，试比较与的大小． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）当时，曲线方程为，设切点为求导得到切线的斜率为 可得切线方程为将切线过点代入可得，则切线方程易得 （2）函数的定义域为，且令并结合定义域可得分，，讨论其单调增区间 （3）根据题意，，是的两个根，可得，又由得到，则，均可由表示，得到的取值范围 同理可得或，则与的大小可知 【小问1详解】 显然曲线方程为，设切点为 由得到切线的斜率为.则切线方程为 因为切线过点，所以，解得 所以切线方程为 【小问2详解】 显然函数的定义域为，且 令并结合定义域可得 对应一元二次方程的判别式 故当，即时，对应方程有两个不等实根 与 当，即时，恒成立， 所以函数的增区间为 当时，对应方程两根为正，故函数的单调增区间为 与 当时，对应方程两根，， 故函数的单调增区间为 【小问3详解】 ，令得 由题意知方程有两个不相等的正数根，则 解得， 解方程得，则. 又由得， 所以, 当时， ，即函数是上的增函数 所以，故的取值范围是 则. 同理可求，， ，即函数是上的减函数 所以，故的取值范围是 则或 当时，； 当时， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$