精品解析：浙江省温州市乐清市荆山公学2024-2025学年高一下学期3月检测数学试题

荆山公学2024-2025学年度下学期高一试卷 数 学 考试范围：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数； 考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共35分） 1. 若复数（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法法则计算，由共轭复数的概念写出. 【详解】, , 故选：B 【点睛】本题主要考查了复数的除法计算，共轭复数的概念，属于容易题. 2. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行可得的值，利用与方向相同验证可得结果. 【详解】由与方向相同得，， ∴，解得， 当时，，，，与方向相同， 当时，，，，与方向相反，不合题意 综上得，. 故选：C. 3. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理角化边，再由余弦定理求，可得角. 【详解】由，根据正弦定理有， 所以，有， 根据余弦定理，有，由，所以． 故选：C. 5. 如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】所以，所以。故选B。 6. 如图，P为内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作于点，设，利用条件，求出，由余弦定理求出，勾股定理求出即得. 【详解】 如图，作于点，设，因， 可得，因则， 在中，由余弦定理，， 即，解得， 在中，，解得， 故. 故选：A. 7. 如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 详解】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 二、多选题（共18分） 8. 若复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设，由条件可得.由复数模长公式可得选项A错误；由复数的概念可得选项B正确；通过复数的除法运算可得选项C正确；通过复数乘方运算可得选项D正确. 【详解】设，则，∴， ∴，解得，故. A. ，选项A错误. B. 的虚部为，选项B正确. C. ，为纯虚数，选项C正确. D. 由得，故，选项D正确. 故选：BCD. 9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. 一定存在一个实数m，使得 B. 一定有最小值 C. 一定可以作为一个基底 D. 若m＝1，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据向量的模长计算，可得数量积为零，由坐标表示建立方程，可得正误；对于B，根据模长公式，结合二次函数的单调性，可得正误；对于C，根据基底的定义，假设共线向量的坐标表示，建立方程，可得正误；对于D，根据投影向量的计算公式，可得正误. 【详解】对于A，由，则，可得， 由，，则，解得，故A正确； 对于B，， 易知当时，取得最小值，故B正确； 对于C，令，则，可得，解得， 所以当时，不能构成一组基底，故C错误； 对于D，由，则，所以在上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD. 10. 关于，下列说法正确的是（ ） A. 若，则是等腰三角形 B. 若三角形不是直角三角形，则 C. 若为锐角三角形，则恒成立 D. 若，则为钝角三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A选项，运用二倍角公式和三角函数得解；对于B选项，运用两角和的正切公式推导得解；对于C选项，若为锐角三角形，则有，结合在上单调递增可解；对于D选项，由已知两式平方得，结合，可求解. 【详解】对于A选项，由于，且至多有一个大于， 因此若，则有或，得或， 因此为等腰三角形或直角三角形，故A错误． 对于B选项，在中，，所以， 整理得，故B正确． 对于C选项，若为锐角三角形，则有，故， 且，由在上单调递增可得，故C正确． 对于D选项，由，可得， 所以，又，所以，故，因此，所以为钝角三角形，故D正确． 故选：BCD． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共10分） 11. 若，则______________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算及复数相等求解. 【详解】因为， 所以，， 故答案为：16 12. 在中,角A,B,C所对的边分别为,则,则b=______． 【答案】 【解析】 【分析】结合正弦定理化简可知,进而根据可知,进而得到,再结合余弦定理求解即可. 【详解】因为,故,故,由正弦定理得,故. 又因为,故 ,所以,即.故.故. 故. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的运用,需要根据题意边角互化,并根据所给条件确定合适的正余弦定理.属于中档题. 四、解答题（共57分） 13. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先写出坐标，再计算模长即可； （2）按照向量坐标运算解方程即可； （3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以. 【小问2详解】 由题可知与不共线，故设()， 即， 所以，解得，． 因此. 【小问3详解】 由题意得． 因为， 所以， 解得. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角A； （2）若的面积为，求a的最小值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直的条件，算出，结合正弦定理推导出，进而求出，可得角的大小； （2）根据，利用三角形的面积公式推导出，然后根据余弦定理与基本不等式算出的最小值，进而可得本题的答案． 【小问1详解】 ，， 又结合正弦定理可得：， ，，， ，． 【小问2详解】 由（1）可知，， ，， 由（当且仅当时取等）， ，即a的最小值为2. 15. 如图，中，是的中点，与交于点. （1）用表示； （2）设，求的值； （3）若，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量的减法运算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得，再由三点共线定理，即可得到结果； （3）根据题意，由平面向量的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为三点共线，所以，解得. 【小问3详解】 ，由（1）可知， 所以，得， 则， 所以 所以的最大值为. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）14 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式化简，再根据正弦定理和余弦定理化角为边，从而即可得证； （2）根据（1）的结论结合余弦定理求出，从而可求得，即可得解. 【小问1详解】 证明：因为， 所以， 所以， 即， 所以； 【小问2详解】 解：因为， 由（1）得， 由余弦定理可得， 则， 所以， 故， 所以， 所以的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 荆山公学2024-2025学年度下学期高一试卷 数 学 考试范围：第六章 平面向量及其应用、第七章 复数； 考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共35分） 1. 若复数（虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若与方向相同，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3. 在中，若，，，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，已知为上一点，且满足，则实数的值为 A. B. C. D. 6. 如图，P为内一点，，则（ ） A B. C. D. 7. 如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 15 二、多选题（共18分） 8 若复数满足，则（ ） A. B. 的虚部为 C. 为纯虚数 D. 9. 已知平面向量，则下列结论正确的是（ ） A. 一定存在一个实数m，使得 B. 一定有最小值 C. 一定可以作为一个基底 D. 若m＝1，则在上的投影向量的坐标为 10. 关于，下列说法正确的是（ ） A. 若，则等腰三角形 B. 若三角形不是直角三角形，则 C. 若为锐角三角形，则恒成立 D. 若，则为钝角三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（共10分） 11. 若，则______________. 12. 在中,角A,B,C所对的边分别为,则,则b=______． 四、解答题（共57分） 13. 已知向量 （1）求; （2）若向量，试用表示； （3）若 求实数k的值. 14. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． （1）求角A； （2）若的面积为，求a的最小值． 15. 如图，中，是的中点，与交于点. （1）用表示； （2）设，求的值； （3）若，求的最大值. 16. 记的内角的对边分别为，已知． （1）证明：； （2）若，求周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $