精品解析：2025届河南省信阳高级中学高考考前适应性演练数学试题

河南省信阳高级中学 2025届高考考前适应性演练 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －4 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 8. 若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C. 在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D. 和的方差分别为和，若且，则． 10. 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 在R上单调递增 D. 若对任意实数，不等式恒成立，则 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和为，满足，，则__________. 13. 已知点在圆上，点，则当最小时，点到原点的距离为__________. 14. 定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有__________个. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 16. 为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? （2）请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 17. 已知函数 （1）若在处的切线斜率为，求函数的单调区间； （2）设，若是的极大值点，求的取值范围． 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学 2025届高考考前适应性演练 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接计算交集，进而可确定其子集的个数. 【详解】由已知，， 则， 则子集的个数为个， 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的运算逐项判断即可. 【详解】因为，则， 所以，，，，，B对，ACD均错. 故选：B. 3. 已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案. 【详解】如下图且，，则l//a，此时，，所以，充分性不成立； 若，因为，所以，必要性成立， 故 “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 4. 若，则（ ） A. 0 B. 2 C. －2 D. －4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数导数及极限求解导数的定义即可求解. 【详解】因为，所以， 所以， 则. 故选：C. 5. 在的展开式中，的系数为（ ） A. B. C. 24 D. 48 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，最后求中的系数即可求解. 【详解】由题意有， 当时，有，中的系数为， 所以的系数为， 故选：A. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得的取值，结合角的范围以及平方和为1可计算，由两角和的余弦配凑角可求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 . 故选：C 7. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（ ） A. B. 1 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据推出，设圆柱底面半径为r，再根据圆柱的侧面展开图推出，利用圆柱的斜截面椭圆及离心率求出r即可. 【详解】由题意，椭圆曲线在展开图中恰好为函数图象的一部分，可得． 设圆柱底面半径为r， 则，所以， 设椭圆长轴长为，短轴长为， 因为离心率为，得， 则， 即，所以， 得， 又由勾股定理得，解得，故． 故选：B. 8. 若函数的图象上存在四个点能够构成一个以坐标原点O为对称中心的平行四边形，则称该函数为柯尔莫哥洛夫函数.已知函数为柯尔莫哥洛夫函数，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设四个点分别为，，，，，，转化问题为方程在上至少存在两个不同的根，，令，结合导数分析其单调性，进而得到方程至少有两个大于1的根，可得直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点，进而结合图象求解即可. 【详解】设四个点分别为A，B，C，D，坐标原点O为线段AC，BD的中点. 不妨设，，，，则，， 且，， 两组方程分别相加，得，， 相当于方程在上至少存在两个不同的根，. 方程等价于， 因为，，，所以，即. 令，则：等价于. 因为，所以当时，， 所以在上单调递增， 所以等价于，且方程至少有两个大于1的根. 由，得，令， 则直线与函数的图象在上的部分至少有两个交点. 当时，，当时，，当时，. 又，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且，当时，，的大致图象如图. 由图可知当时，直线与函数的图象在上的部分有两个交点， 即相当于方程在上有两个不同的根. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 C. 在一元线性回归模型中，若决定系数，则残差的平方和为0 D. 和的方差分别为和，若且，则． 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据回归直线的求解，可判断A选项正确；根据独立性检验的标准，可判断B选项正确；根据决定系数的求解，可知当时，其残差平方和为0，故C正确，根据方差的线性运算性质，可知D错误. 【详解】对于A，根据最小二乘法可知，一元线性回归直线一定过样本中心点，故A正确； 对于B，卡方检验中，值越大，概率值越小，拒绝原假设时犯错误的概率就越小，故B正确； 对于C，由决定系数，当时，可得残差平方和，故C正确； 对于D，因为且，则，所以，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数是奇函数，且，则（ ） A. B. C. 在R上单调递增 D. 若对任意实数，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的性质得出.然后分别将以及代入，计算即可得出答案；求出函数的定义域，分以及，结合复合函数的单调性，即可判断C项；根据函数的性质结合已知转化推得，即有在R上恒成立，进而判断D项. 【详解】对于A、B，由已知可得，， 又函数为奇函数， 所以有， 即， 所以有， 所以有，解得. 当时，有， 此时有，不满足题意； 当时，有， 此时有，满足题意. 故.故A正确，B错误； 对于C项，，定义域为R. 当时，易知函数，在上单调递增，在上单调递增， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增； 而为奇函数，故在R上单调递增.故C正确； 对于D项，由已知结合C项可知，在R上单调递增，且为奇函数， 所以由可得， ， 所以有， 所以有在R上恒成立. 易知，当时，取得最小值为. 要使在R上恒成立， 所以.故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为曲线：上一个动点（异于原点），在处的切线是指曲线在处的切线.直线为在处的切线，过作的垂线，若，分别与轴交于，两点，则（ ） A. 关于轴对称 B. 到点的距离不小于到直线的距离 C. 存在，使得 D. 当取得最小值时，直线的斜率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A利用点在曲线上得出，点也在曲线上即可判断；B设，利用距离公式求出距离，再作差即可比较大小；C设，利用导函数求出切线斜率，进而求出直线，，再利用距离公式求出即可求得；D利用基本不等式求最值，得出取最值时即可求斜率. 【详解】A，若点满足方程，则点也满足方程， 则关于轴对称，故A正确； B，设，则， 则到点的距离，到直线的距离， 则， 当时，，即，所以B错误； C，设，则， 因，则， 则曲线在点处切线斜率为， 所以直线为，直线为， 所以，， 可得， ， 则 因，故存在，使得时，故C正确； D，由C选项可知，， 等号成立时，，即， 此时的斜率为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列的前n项和为，满足，，则__________. 【答案】10100 【解析】 【分析】取得到，当时，由建立等式，然后化简得到的关系，从而得到数列的通项公式，即可求出. 【详解】当时，，解得， 当时，， 即，则，即， ∴或， 当时，，则与矛盾，∴舍去， ∴，即数列是首项，公差的等差数列， 即， ∴数列的前项和，即. 故答案为：10111. 13. 已知点在圆上，点，则当最小时，点到原点的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，根据题设得到，令，得到，根据题设可得与圆相切时满足题意，即可求解. 【详解】由题知，圆的标准方程为，圆心为，， 设，又，则， 所以，令，则， 又在圆上，由，解得， 根据题设可知满足题意，即与圆相切时满足题意， 此时，即点到原点的距离为， 故答案为：. 14. 定义：对于一个位正整数，若其各位数字的极差（即最大数字与最小数字之差）不超过2，则称其为位“稳定数”，则三位“稳定数”共有__________个. 【答案】151 【解析】 【分析】法一：依题意，按照最小值分别取0，取1到7，和取8，取9进行分类讨论，计算每个对应的三位数的数量合计即得；法二：根据极差，按照，，，分类讨论每种情况下的三位“稳定数”的数量，再合计即可. 【详解】法一：要求各位数字的极差不超过2的“稳定数”的数量，可以按照最小值进行分类讨论，并计算每个对应的三位数的数量. ①当时：允许的数字范围是，百位数不能为0，因此百位只能是1或2，总数为种， 减去不含0的情况（即所有数字都是1或2）的8种，得到10个符合条件的数； ②当到7时：允许的数字范围是，百位数可以是中的任何一个，总数为种， 减去不含的情况（即所有数字都是或）的8种，得到每个对应的19个数，故共有133个符合条件的数； ③当时：允许的数字范围是8，9，百位数可以是8或9，总数为种， 减去不含8的情况（即所有数字都是9）的1种，得到7个符合条件的数； ④当时：所有数字都是9，只有1个数999. 将各个的情况累加起来，总数为：. 故答案为：151. 法二：位数的极差范围为0到9，根据定义，“稳定数”需满足极差，即. ①极差，所有数字相同，即形如，共9个（即）. ②极差，分两种情况： 最小值含0：数字范围为，且百位，此时十位和个位可为0或1，但需至少含一个0，共3个. 最小值：数字范围为，每位可选或，且至少含和各一次， 每位选择数有2种（或），扣除全或全的情况， 每个对应6个数，共8个，共个，小计：个. ③极差，分两种情况： 最小值含0：数字范围为，且百位，需至少含0和2各一次， 时，十位和个位需含0和2，共2个； 时，十位和个位需含0，共5个（），小计：个. 最小值：数字范围为，每位可选，且至少含和各一次， 由容斥原理有个，共7个，共个.小计：个. 三位“稳定数”总数为个. 故答案为：151. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 16. 为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生， 整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二: 表一: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 表二: 性别 身高 合计 低于 不低于 女 男 合计 独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表: （1）从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算 、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联? （2）请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联? 对比第一问的结论， 请分析两种判断方式的可靠性. 为了得到准确的结论， 请提出可行性建议； （3）现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望. 【答案】（1），，有关 （2）无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量. （3）第百分位数为， 的分布列如下表所示： 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式可求出、的值，即可作出判断； （2）提出零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关，计算出的观测值，结合临界值表可得出结论，结合实际情况可得出合理的建议； （3）根据百分位数的定义求出样本的第百分位数，分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【小问1详解】 由表格中的数据可得，， 所以，该中学高三年级学生的性别和身高有关联. 【小问2详解】 零假设该中学高三年级学生的身高与性别无关， ， 依据的独立性检验，没有充分的证据说明不成立， 即该中学高三年级学生的身高与性别无关， 第一问的结论是有关，是利用全体数据得出的结论，数据更全面，更精确， 而第二问是抽取的部分样本，样本的抽取具有随机性， 因此，可能会得出错误的结论，为了提高准确的结论，应该增加样本量. 【小问3详解】 个数据由小到大的顺序为：、、、、、、、、、， 因为，因此第百分位数为， 身高小于的人共人，其中男生有人，女生有人， 所以随机变量的可能取值有、、、， ，， ，， 故的分布列如下表所示： 因此. 17. 已知函数 （1）若在处的切线斜率为，求函数的单调区间； （2）设，若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】（1）增区间为和，减区间为；（2）． 【解析】 【分析】（1）求得，由，求得，得到，结合导数的符号，即可求解； （2）由，求得，令，由，得到，分和，利用导数求得函数的单调性与极值，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 可得，则，解得， 所以， 令，解得，， 令，可得或；令，可得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 即函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为. （2）由题意，可得， 则且，可得 令，则，可得， 若，当时，单调递增， 所以在上单调递增． 又因为， 因此存在使得， 所以当时在上单调递减， 又由，所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意． 若，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递增， 因此不可能是的极大值点． 综上，当是的极大值点时，的取值范围为 【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略： 1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围； 2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围. 18. 如图，在三棱锥 中，平面 平面 ，平面 平面 . （1）求证: 平面 ； （2）若 ，二面角 的大小为 . 若 为平面 内一动点，满足 ，求 与平面 所成角的正弦值的最小值. 【答案】（1） 过作， 由于平面 平面 ，且两平面的交线为,平面， 故平面, 同理可得平面, 因此两直线重合，故两点重合，结合分别在上， 故重合于,故平面 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得两直线重合，即可求解， （2）根据线面垂直可得二面角以及线面角的平面角，利用三角形的边角关系求解长度，根据椭圆的定义可得点的轨迹为椭圆，进而根据两点距离公式，结合二次函数的性质即可求解的最大值，即可根据三角形的边角关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于,故点轨迹是以为焦点，以为长轴的椭圆， 取中点为，连接, 由于，故, 由（1）知平面，平面，, 平面，故平面， 平面，故, 故为二面角 的平面角，故 又，故, 由于平面，故为 与平面 所成角， 则, 要使得与平面所成角的正弦值最小，则最小，故最大即可， 在平面中，建立如图所示的平面直角坐标系，故， 所以，故， 则椭圆方程为， 设，则，， ， 故当时，取最大值， 故， 故的最小值为，其中均在上单调递增， 又， 故的最小值为， 19. 已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点P的轨迹称为曲线． （1）若曲线为双曲线，试问，应满足什么条件？ （2）设曲线C为曲线，点是C上位于第一象限的一点，点A，B关于原点O中心对称，点A，D关于y轴对称．延长AD至E，使得，且直线BE和曲线C的另一个交点G位于第二象限内． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线OA斜率为，直线AG斜率为，判断与的关系，并求的取值范围． 【答案】（1），且 （2）（ⅰ）；（ⅱ）， 【解析】 【分析】（1）由化为，根据曲线为双曲线可得答案； （2）方法一：（ⅰ）由题意得，，设点，由求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程与双曲线方程联立， 由韦达定求出、，且可得答案；（ⅱ）由（ⅰ）得、，结合的范围可得求出的范围可得答案；方法二：（ⅰ）由题意得，，设点，由．求出点坐标，求出直线BE的斜率可得直线BG的方程， 将两式作差，将直线BG方程代入并化简得可得答案；（ⅱ） 由（ⅰ）得的范围，可得答案． 【小问1详解】 由，得， 若曲线为双曲线，则， 所以可化为， 则，则， 所以当，且时，曲线为双曲线； 【小问2详解】 方法一：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，，设点，由， 即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为，即， 联立，得， 由直线BG与双曲线有2个交点，则， 又因为满足， 由韦达定得，解得， 因为，且， 得，所以， 又因为，可得， 所以， 因为，所以， 所以，可得，即的取值范围为． （ⅱ）由（ⅰ）得 ， 所以， 因为，则，则， ； 方法二：当，时，，即， （ⅰ）由题意得，， 设点，由．即， 即，得，则， 直线BE的斜率为， 所以直线BG的方程为， 设点（，），因为， 所以，所以，， 同理，由， 两式作差得， 将直线BG方程代入并化简得（*） 所以，所以， 可得，即的取值范围为； （ⅱ）由（*）式可得， 所以， 由（ⅰ）得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $