精品解析：吉林省长春市新区2024-2025学年下学期九年级中考二模数学试题

九年级阶段性诊断练习 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把写成省略加号的和的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中是假命题的为（ ） A. 一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B. 一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C. 一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D. 一个无理数的倒数一定是无理数 5. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 四边形是平行四边形 7. 利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：________. 10. 若关于、的单项式与的和为0，则_____． 11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 12. 如图，已知长方形纸片，点在边上，点在边上，分别沿折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为__________． 13. 某游乐场里的摩天轮上以等间隔的方式设置了个座舱，该摩天轮按逆时针方向匀速运行，且旋转一圈需要分钟．若此时号座舱正好运行到号座舱的正前方，如图所示，则至少再过_____分钟号座舱正好运行到号座舱的正上方． 14. 如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中， ①存在无数个三角形是等腰直角三角形． ②存在无数个四边形是正方形． ③存在无数个三角形是等边三角形． ④存在无数个三角形是等腰直角三角形． 正确的是_____．（填写序号） 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：．其中． 16. 南湖公园的冰雪大滑梯有，，三个滑道．在三条滑道中，牛牛和天天两位小朋友将随机选择一个滑道．用画树状图（或列表）的方法，求牛牛和天天滑同一个滑道的概率． 17. 研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，则_____． 19. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集（单位：万元）： 5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 问题解决： （1）填空：_________，_________． （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励． （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作出线段的垂直平分线． （2）点、、均在上，在图②中，作出该圆的圆心． （3）在图③中，作点，使得． 21. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； （2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 22. 【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 23. 如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． （1）当点落在线段上时，求线段的长． （2）连结，当线段中点落在线段上时，求的值． （3）当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． （4）当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、，当点不在轴上时，连结，，，得到． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，求证：是等腰直角三角形． （3）当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； （4）当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段性诊断练习 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 把写成省略加号的和的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数的加减．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，然后去掉括号和加号即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2. 国家级非物质文化遗产之一的东北大鼓是中国北方曲种，流行于辽宁、吉林、黑龙江3省．如图是奉天大鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识．找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【详解】解：该立体图形从正面看到的是． 故选：B． 3. 截至2025年3月9日，《哪吒之魔童闹海》（《哪吒2》）的全球票房（含预售及海外）已超过148亿元人民币，成功跻身全球影史票房榜第六位，148亿这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 利用科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】解：148亿． 故选：B． 4. 下列命题中是假命题的为（ ） A. 一个有理数与一个无理数的和一定是无理数 B. 一个有理数与一个无理数的差一定是无理数 C. 一个有理数与一个无理数的积一定是无理数 D. 一个无理数的倒数一定是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题与定理，无理数与有理数；根据无理数与有理数的概念，实数的运算法则进行判断即可． 【详解】解：C． 一个有理数与一个无理数的积不一定是无理数， 例如：，故此命题是假命题； 其余选项都是真命题， 故选：C． 5. 如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面（即），靠背与支架平行（即），前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当，时，人躺着最舒服，此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得，结合角的运算得，根据，即可作答． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 如图，在中，是边上一点．按下列要求作图：①以点为圆心，为半径画弧；②以点为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点；④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，根据作图证明四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：由作图可知， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴, 故选项A 、B、 D正确； 无法证明，即不一定成立． 故选：C． 7. 利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象在第四象限内的部分交于点，将直线绕点逆时针旋转后与的图象在第二象限内的部分交于点，连结，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，两点间的距离公式，求出旋转后点交点，然后利用两点间的距离公式建立不等式进行求解即可． 【详解】解：过点且垂直于轴的直线， 将代入， 解得：，故， 将直线绕点逆时针旋转后， 直线， 联立， 解得：或， ， ， ，由图可知：， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 因式分解：________. 【答案】(1+x)(1-x) 【解析】 【分析】根据平方差公式即可得到答案. 【详解】对用平方差公式，得 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法. 10. 若关于、的单项式与的和为0，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，同类项，含有相同字母并且相同字母的指数也相同的单项式为同类项，结合关于、的单项式与的和为0，得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于、的单项式与的和为0 ∴， 即 ∴， 故答案为： 11. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 12. 如图，已知长方形纸片，点在边上，点在边上，分别沿折叠，使点B和点C都落在点P处，若，则的度数为__________． 【答案】##128度 【解析】 【分析】先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，，然后根据邻补角的定义可得，最后根据三角形的内角和定理可得，由此即可得出答案． 【详解】解：四边形是长方形， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠问题，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 13. 某游乐场里的摩天轮上以等间隔的方式设置了个座舱，该摩天轮按逆时针方向匀速运行，且旋转一圈需要分钟．若此时号座舱正好运行到号座舱的正前方，如图所示，则至少再过_____分钟号座舱正好运行到号座舱的正上方． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，重点是分析出旋转角的度数，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据旋转的性质，进行作答，即可求解； 【详解】解：摩天轮转一整圈用时分钟，即每分钟转过， 从“正前方”（水平对齐）转到“运行到的正上方”（垂直对齐）需要转过的角度为：， 即所需时间为分钟， 故答案为：18； 14. 如图，在等边三角形中，点在边上，点、在边上，点在边上，下面四个结论中， ①存在无数个三角形是等腰直角三角形． ②存在无数个四边形是正方形． ③存在无数个三角形是等边三角形． ④存在无数个三角形是等腰直角三角形． 正确的是_____．（填写序号） 【答案】①③④ 【解析】 【分析】结合图形、等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，画出图形即可课解决问题． 【详解】解：由题意得，点、、、不是固定点，可理解为动点， 结论①中，只要且，可证三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个， 结论①正确； 结论②中，满足、且，可证四边形是正方形，这样的正方形只有一个， 结论②错误； 结论③中，满足，可证三角形是等边三角形，这样的三角形可以有无数个， 结论③正确； 结论④中，当，时，三角形是等腰直角三角形，这样的三角形有无数个， 结论④正确； 综上，结论正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是等腰三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识回答问题． 三、解答题：本大题共10小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 先化简，再求值：．其中． 【答案】，4049 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值．利用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则计算，得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：原式 当时， ． 16. 南湖公园的冰雪大滑梯有，，三个滑道．在三条滑道中，牛牛和天天两位小朋友将随机选择一个滑道．用画树状图（或列表）的方法，求牛牛和天天滑同一个滑道的概率． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 牛牛 天天 由表可知，共有9种等可能结果，其中牛牛和天天滑同一个滑道的有3种结果， 则牛牛和天天滑同一个滑道的概率为． 17. 研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系正确列出分式方程是解题的关键．设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克，根据题意列出分式方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 18. 如图，在中，，、分别是、的中点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，若，，则_____． 【答案】（1） 证明：∵、分别是、的中点， ∴，为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，菱形的性质与判定，三角形中位线定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理和线段中点的定义可证明，再证明四边形是平行四边形即可证明结论； （2）由三角形中位线定理得到，，则，由菱形的性质得到，则，据此可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，为的中位线， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． 19. 为了调动员工的积极性，商场家电部经理决定确定一个适当的月销售目标，对完成目标的员工进行奖励．家电部对20名员工当月的销售额进行统计和分析． 数据收集（单位：万元）： 5.0 9.9 6.0 5.2 8.2 6.2 7.6 9.4 8.2 7.8 5.1 7.5 6.1 6.3 6.7 7.9 8.2 8.5 9.2 9.8 数据整理： 销售额/万元 频数 3 5 4 4 数据分析： 平均数 众数 中位数 7.44 8.2 问题解决： （1）填空：_________，_________． （2）若将月销售额不低于7万元确定为销售目标，则有_____名员工获得奖励． （3）经理对数据分析以后，最终对一半的员工进行了奖励．员工甲找到经理说：“我这个月的销售额是7.5万元，比平均数7.44万元高，所以我的销售额超过一半员工，为什么我没拿到奖励？”假如你是经理，请你给出合理解释． 【答案】（1）4，7.7 （2）12 （3）7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励 【解析】 【分析】（1）根据所给数据及中位数的定义求解； （2）根据频数分布表求解； （3）利用中位数进行决策． 【小问1详解】 解：该组数据中有4个数在7与8之间，故， 将20个数据按从小到大顺序排列，第10位和第11位分别是7.6，7.8，故中位数， 故答案为：4，7.7； 【小问2详解】 解：月销售额不低于7万元的有：（人）， 故答案为：12； 【小问3详解】 解：7.5万元小于中位数7.7万元，有一半多的员工销售额比7.5万元高，故员工甲没拿到奖励． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数，利用中位数做决策等，解题的关键是掌握中位数的求法及意义． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．只使用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，作出线段的垂直平分线． （2）点、、均在上，在图②中，作出该圆的圆心． （3）在图③中，作点，使得． 【答案】（1） 线段的垂直平分线如下图： （2） 该圆的圆心如下图： （3） 如下图点为所求， 【解析】 【分析】本题主要考查线段垂直平分线 ，等腰三角形的判定，尺规作图； （1）根据线段垂直平分线 作图方法作图即可； （2）根据三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心，结合（1）的垂直平分线和边的垂直平分线的交点即为所求； （3）连接并延长与网格的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； （2）在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 【答案】（1） （2）加热的时间为分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）把代入函数，得，由图象可得，当水温为时不再升温．根据待定系数法求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可． 【小问1详解】 解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：把代入函数，得， 由图象可得，当水温为时不再升温． 设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴水在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合题意， ∴当水温为时，菜籽油继续升温，当两者温差为时，菜籽油温度为， 把代入函数，得， 解得， ∴加热的时间为分钟． 22. 【问题呈现】数学小组遇到一个问题：如图①，矩形中，，，点、分别在、上，且．过点作，垂足为，确定点的运动轨迹． 【问题解决】小组同学经过讨论，连接交于点，可证，通过勾股定理，进而可证明是定长．定角定长可得点的轨迹． 解：如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ____________________， ， _________________________， 又_____，_____ ， _____， ， 点在以为直径的圆上运动． 【结论应用】 （1）当点运动到边上时，求的长． （2）当最大时，则_____． 【答案】【问题解决】，，， ，（或）；【结论应用】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，定角定长确定圆的轨迹，相似三角形的判定与性质； 问题解决：根据推理步骤上下之间的关系，结合图形填空即可； 结论应用：（1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时，此时四边形是矩形，则； （2）根据圆中弦的最大值为直径可得与重合，即，再证明，得到，代入计算即可． 【详解】解：问题解决： 如图②，连接交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 又，， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动． 故答案为：，，， ，（或）； 结论应用： （1）当点运动到边上时，于点M，点和点重合，此时， ∴四边形是矩形， ， ∵， ∴； （2）∵点在以为直径的圆上运动， ∴弦的最大值为直径，此时与重合，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 23. 如图，在矩形中，，，点在边上且．动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动．当点不与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，以、为边作正方形．设点的运动时间为． （1）当点落在线段上时，求线段的长． （2）连结，当线段中点落在线段上时，求的值． （3）当，且矩形与正方形重叠部分为轴对称图形时，求的取值范围． （4）当矩形与正方形重叠部分面积为正方形面积的一半时，直接写出的值． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 （4）或 【解析】 【分析】（1）当点落在线段上时，根据正方形的性质和矩形的性质，得到，，证得，推出，然后利用勾股定理求得，代入计算即可得到的长度； （2）分情况讨论：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，可知此时四边形和都是矩形，然后根据正方形的性质，得到，，，进而用证明，得到，，，最后得到，即可求得的值；②当点在上时，设线段中点为，交于点，连接，此时线段和线段共线，同①，，，，，进而得到和为等腰直角三角形，求得，，，从而得到，最后求得，即可求得的值； （3）分情况讨论：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形；②当点在上时，此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形；③当点在上，且时，设交于点，易证，此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形，然后根据矩形的性质和勾股定理求得，即可求得的值；④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； （4）分情况讨论：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半；②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，根据面积关系可证，结合，利用可证，得到点为正方形的对角线中点，接着利用可证，从而求得，进而求得，可知此时；③当点在上时，作于点，于点，设与交于点，则四边形、四边形和四边形均为矩形，设，则，，，，先证明，得到，用表示出，进而得到，然后根据重叠部分面积，用表示出来；接着利用勾股定理用表示出，最后根据面积关系得到关于的方程，解之，结合，即可得到，进而得到此时的值． 【小问1详解】 解：当点落在线段上时， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，，， 在中，， ， ． 【小问2详解】 解：①当在线段上时，设的中点为，连接，作于点，如图所示， 则， 四边形为矩形，，，， 四边形和都是矩形， ，； 四边形是正方形，为的中点， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当在线段上，线段中点落在线段上时，； ②当点在上时， 线段中点落在线段上， 此时线段和线段共线， 设线段中点为，连接，设交于点，如图所示， 四边形是正方形，为的中点， ，，，， ， 同①可知四边形和都是矩形， ， 线段和线段共线，， ， 和为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当点在上，线段中点落在线段上时，； 综上，当线段中点落在线段上时，或． 【小问3详解】 解：①当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ②当点在上时，如图所示， 此时矩形与正方形重叠部分显然不是轴对称图形； ③当点在上，且时，设交于点，连接，如图所示， ，，， ， 此时矩形与正方形重叠部分为四边形是轴对称图形； 作于点，设， 则四边形为矩形， ， ， ， 在中，，即， 解得， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； ④当时，矩形与正方形重叠部分为矩形，如图所示， 当时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形； 综上，当或或时，矩形与正方形重叠部分为轴对称图形． 【小问4详解】 解：①当时，不存在使矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，如图所示； ②当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，设交于点，交于点，连接交于点，连接，作于点，如图所示， 则四边形和都是矩形， ，； ， ， ； ， ，， ， ，即点为正方形的对角线中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动， 当时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； ③当点在上时，假设此时矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半，作于点，于点，设与交于点，如图所示， 则四边形、四边形和四边形均为矩形， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ，即， ， ， 重叠部分面积 ， 在中，， ， ， 整理得，， 解得， ，即， ， ， ， 时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半； 综上，当或时，矩形与正方形重叠部分为正方形面积的一半． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，轴对称图形的识别等，熟练掌握以上知识点作出合适的辅助线采用分类讨论的思想是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）经过点．点、，当点不在轴上时，连结，，，得到． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）当时，求证：是等腰直角三角形． （3）当抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，求的取值范围； （4）当时，若抛物线与有交点，设交点为．当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） 证明：当时，，， ∵点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）且； （4）或或． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何图形的综合应用，用待定系数法求二次函数解析式，解一元二次方程，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）当时，则，，所以，，，然后通过等腰直角三角形的定义即可求证 ； （）找出临界值，当在上时，当直线经过顶点时，分别出的值即可； （）当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时，分为中点时，为中点时，为中点时三种情况分析求解即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， ∴， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，当在上时， ∴，整理得：， 解得：， 如图，当直线经过顶点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∵上， ∴，解得：， ∴抛物线在三角形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，的取值范围且； 【小问4详解】 解：当点与的顶点所连的直线恰好平分的面积时， 如图，为中点时， ∵，点， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时， ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 如图，为中点时， ∵，， ∴， ∵在上， ∴，整理得， 解得：，（舍去）， 综上可知：的值为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $