精品解析：吉林省长春市绿园区2024-2025学年九年级下学期大练习（二）数学试卷

2024-2025学年度第二学期九年级大练习 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数．设 点表示的数为 ，则由数轴可得，再逐项分析即可得出答案． 【详解】解：设 点表示的数为 ，则由数轴可得， 观察四个选项，只有选项C符合题意， 故选：C． 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 3. 如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查数轴上表示不等式的解集、不等式的性质，根据数轴上的表示得到，进而利用不等式的性质可得，即可解题． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集为， ⸫， 则■盖住的符号是， 故选：D． 4. 如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点C作垂足为点F，中，根据正弦的定义求解． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为点F， 中，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查正弦的定义，解直角三角形，掌握正弦函数的定义是解题的关键． 5. 如图， 与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，即， ∴． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是正确解答此题的关键． 根据图象即可确定不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点， ∴的解集为， 故选：B． 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据到三角形三边距离相等的点是三角形角平分线的交点，判断各选项所给的射线是角的平分线即可． 【详解】解：A.以B为端点的射线不是的平分线，故此选项不符合题意； B. 交点O到三角形的三个顶点距离相等，故此选项不符合题意； C.射线BO不是的平分线，，故此选项不符合题意； D.两条射线均为角的平分线，交点O到△ABC三边距离相等，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了三角形的内心，明确三角形的内心是三角形角平分线的交点是解答本题的关键． 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A. （3，） B. （4，） C. （，） D. （5，） 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x>0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），利用待定系数法即可求得反比例函数与直线OA的解析式，又由OA⊥AB，可得直线AB的系数为：，继而可求得直线AB的解析式，将直线AB与反比例函数联立，即可求得点B的坐标． 【详解】∵矩形OABC的顶点A. B在双曲线y= (x>0)上,点A的坐标为(1,2)， ∴2=， 解得：k=2， ∴双曲线的解析式为：y=，直线OA的解析式为：y=2x， ∵OA⊥AB， ∴设直线AB的解析式为：y=−x+b， ∴2=−×1+b， 解得：b=， ∴直线AB的解析式为：y=−x+， 将直线AB与反比例函数联立得出： y=y=−x+， 解得：x=4，y=或x=1，y=2， ∴点B(4,). 故选B. 【点睛】本题考查反比例函数，解题的关键利用反比例函数与一次函数的联立. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比 小的正无理数，这个正无理数可以是_____. 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据题意直接写出比2小的正无理数即可． 【详解】解：这个正无理数可以是． 故答案为：答案不唯一 10. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可．掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 11. 已知，则________ 【答案】 【解析】 【分析】先由已知等式整理得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有 个，则可列方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，令方程两边均等于孩子的人数即可． 【详解】解：设梨有 个， 由题意可得：， 故答案为：． 13. 如图，在正方形纸片中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在 的中点E处．若，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理．由折叠的性质得，设，在中，利用勾股定理列式计算求得，再利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正方形纸片，， ∴， ， 由折叠的性质知，， 设， ∵点E是 的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， 解得，即， ∴的面积是， 故答案为：． 14. 如图， 是 的角平分线，，垂足为E，交的延长线于点F，若 恰好平分，给出下列五个结论： ① ；②；③；④若的面积为1，则四边形的面积为5；⑤．上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的意义，可得，再根据平行线的性质，可得，从而可得，然后利用等边对等角可判断①；利用证明，从而可判断②；利用等腰三角形三线合一可判断③；先利用全等三角形的性质，可得出，再利用等底同高的两个三角形面积相等，可得出，利用，可证得，从而可得出，再根据的面积为1，可求出，从而可判断④；先证明，列出比例式，求出，即可求得，从而可判断⑤． 【详解】解：∵ 恰好平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， 是 的角平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，故②正确； ∵， 是 的角平分线， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为1， ∴，故④错误； ∵， ∴， ∴， 又 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的相关计算，角平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，先根据分式的减法法则把原式化简，再把a的值代入进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 我国四大传统节日分别是春节、清明、端午、中秋节．传统节日是传承优秀历史文化的重要载体，既使得人们在节日中增长知识，受到教益，又有助于彰显文化、弘扬美德、陶冶情操、弘扬传统．因此，端午节前，实验中学举行“传经典·乐端午”系列活动，李老师将活动设计的项目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如图所示，现将这些卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． （1）若小宇从中随机抽取一张卡片，他抽到“D．放纸鸢”的概率是 ； （2）若小雅从中随机抽取一张卡片，记下活动项目后，放回，洗匀，然后小辉再随机抽取一张卡片，记下活动项目．请利用画树状图或列表的方法，求他们两人抽取的卡片上的活动项目相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及两人抽取的卡片上的活动项目相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小宇从中随机抽取一张卡片，他抽到“D．放纸鸢”的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两人抽取的卡片上的活动项目相同的结果有4种， ∴两人抽取的卡片上的活动项目相同的概率为． 17. “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区 户业主开展“春节送福”活动．物业公司经过调查得到以下信息：购买 个灯笼和幅春联需要花费元；购买个灯笼和 幅春联需要花费元．求每个灯笼和每副春联的价格分别是多少元？ 【答案】每个灯笼的价格是35元，每副春联的价格是20元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每个灯笼的价格是 元，每副春联的价格是 元，根据“购买 个灯笼和幅春联需要花费元；购买个灯笼和 幅春联需要花费元”，可列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每个灯笼的价格是 元，每副春联的价格是 元， 根据题意得：， 解得：． 故每个灯笼的价格是元，每副春联的价格是元． 18. 已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 【答案】 错误， 证明：连结OC， ∵⊙O与AB相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB， ∴AC＝BC． 【解析】 【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，熟练正确切线的性质是解题的关键． 19. 综合与实践 【项目背景】水是万物之母，生存之本、文明之源．水资源正在变成一种宝贵的稀缺资源，关系到国家经济，社会可持续发展和长治久安．每年的3月22日是联合国确定的“世界水日”，旨在提醒人们要保护水资源、珍惜水、节约用水．某学校组织开展主题为“节约用水，共护地球”的社会实践活动．为了解居民用水情况，进行了抽样调查，并对抽查情况作出统计分析． 【数据收集与整理】数据收集：A， 两小组同学分别在甲、乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其10月份用水量． 数据整理：分别将两个小区居民的用水量进行整理，分成5组， 第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：． 根据统计数据，绘制成如下统计图表： 甲小区10月份用水量频数分布表 用水量 频数／户 4 9 10 5 2 乙小区10月份用水量频数分布直方图 甲，乙两个小区抽取的用水量分析统计如表： 平均数 中位数 甲小区 7.0 7.2 乙小区 7.1 乙小区10月份的用水量在第三组的数据从小到大排列为：7，7.2，7.3，7.4，7.5，7.7，8，8.4，8.6，8.7． 任务1：求表中 的值． 【数据分析与运用】 任务2：下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两个小区样本数据的中位数均在第三组； ②乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为； ③两个小区样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务3：若甲小区共有900户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区10月份用水量不低于的总户数． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 【答案】任务1：；任务2：①②；任务3：估计两个小区10月份用水量不低于的总户数为360户 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图和频数分布统计表，中位数，用样本估计总体，熟练掌握中位数的计算方法是解题的关键． 任务1：根据乙小区10月份用水量频数分布直方图可得数据，再将其数据从小到大排列，排在中间的两位数为：7和7.2，因此，计算即可； 任务2：由统计表和统计图可知，两个小区样本数据的中位数均在第三组，可判断①；乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，可判断②； 任务3：先分别估算甲、乙两小区10月份用水量不低于的户数，则可估计两个小区共有的总户数． 【详解】解：任务1：乙小区10月份用水量排在中间的两位数为7和7.2， ； 任务2：由统计表和统计图可知，两个小区样本数据的中位数均在第三组，故①正确； 乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，故②正确； 两个小区样本数据的最大数与最小数的差不一定相等，故③错误； 故答案为：①②； 任务3：甲小区：户， 乙小区：户， 估计两个小区共有户， 答：估计两个小区10月份用水量不低于的总户数为360户． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长约为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． ①在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； ②在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是 ； ③在图③中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形． 【答案】 解：①三边长分别为4、、的三角形，如图1即为所求； （2）如图2，平行四边形即为所求； （3）如图3，菱形即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据，画出三角形三边即可； （2）利用网格的特点先确定一个 的角，再取一边长为3，利用平行四边形的性质即可画出图形； （3）根据菱形的面积为4，利用菱形对角线之积为8即可画出图形． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了作图-应用与设计作图，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握网格的特点，解题的关键是熟练掌握网格的特点． 21. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量 （千瓦时）和已行驶路程 （千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求 所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 【答案】（1）60 （2） （3）途中需要充电， 理由如下： 当时，， 解得：， 即当汽车电量为0时，行驶的路程为， ∵， ∴途中需要充电． 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求一次函数解析式，有理数比较大小的应用． （1）根据函数图象，即可得到答案； （2）利用待定系数法求出 段的函数解析式，求出解析式即可； （3）先求出当汽车电量为0时行驶的路程为，与比较即可得出答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； 【小问2详解】 解：设 段的函数解析式为， 将点和代入解析式得： ， 解得：， ∴ 段的函数解析式为； 【小问3详解】 略 22. 小明在阅读了相关资料后，了解到白银矩形的知识：如果一个矩形满足，这个矩形就称为白银矩形．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求解答下列问题： 如图，在正方形中，对角线 、 交于点O． 【尺规作图】作的角平分线交 于点E，过点E作 的垂线交 于点F，交 于点G．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【问题探究】结合【尺规作图】中的图形，帮助小明完成“矩形是白银矩形”的证明过程： ∵四边形是正方形， ∴． ∴， 在中，， ∵ 平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 证明过程缺失 所以矩形是白银矩形． 请你补全缺失的证明过程． 【问题拓展】小明进一步思考发现，__________． 【答案】 【尺规作图】所求图形，如图所示． 【问题探究】证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 在中，， ∵ 平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 在和中， ， ∴， ∴，， 所以矩形是白银矩形． 【问题拓展】 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （尺规作图）根据尺规作图——作角平分线，作垂线的方法即可； （问题探究）四边形是正方形，得，，，然后证明四边形为矩形，从而可证，再根据全等三角形的性质即可求解． （问题拓展）根据角平分线的性质得到，证明 是等腰直角三角形得到，进而即可解答． 【详解】解：（尺规作图）略 （问题探究）略 （问题拓展） 解：∵ 平分，，， ∴， ∵在正方形中， 平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 23. 如图，在矩形中，，将 绕点B顺时针旋转得到，连接，过点B作交于点E，交矩形的边于点F． （1）在点恰好落在边 上时，求的面积； （2）当时，求点A运动的路径长；（参考数据：） （3）当点落在 的垂直平分线上时，求点到直线 的距离； （4）若，直接写出的值． 【答案】（1）18 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）当点恰好落在边 上时， 由旋转性质可得：，再根据三角形面积计算公式 求解即可； （2）先求出，即可求出的度数，再用弧长公式求解即可； （3）根据题意画出图形，用勾股定理求出即可求解； （4）分两种情况讨论：当点F在 上；点F在 上，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：当点恰好落在边 上时， 由旋转性质可得：， 由矩形的性质可得 ， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ， ∴， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴点A运动的路径长； 【小问3详解】 解：当点落在 的垂直平分线上时，如图所示， 由旋转性质可得， ∵垂直平分 ， ∴，， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 即点到直线 的距离是； 【小问4详解】 解：①当点F在 上时，如图所示， 由矩形的性质可得， ∵， ∴， 由旋转性质可得：， ∵， ∴垂直平分， ∴， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴点在 上， 如图所示，过E作于H点， ∴， ∴， ∴； ②当点F在 上时， 由矩形的性质可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过E作于H点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴； ∴的值为或． 【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，正方形的性质与判定，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，求弧长等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接 ．将线段 绕点A顺时针旋转得到线段 ，连接 ． （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当点A恰好落在y轴上时，求 的面积； （3）当该二次函数的图象在 内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）当点O恰好落在 内部时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）直接化为顶点式求解即可； （2）根据A横坐标为0得到，，再计算即可； （3）当该二次函数的图象在 内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，可得，再建立不等式求解即可； （4）当时，则，如图，过 作 轴的平行线，过作这条平行线的垂线，垂直分别为，则， ，证明，求解，结合，，求解直线 为，当直线 过 时，可得：，当 在 上时，可得：，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴顶点为； 【小问2详解】 解：∵点A恰好落在y轴上， ∴根据A横坐标为0，点B横坐标为1 ∴， 如图所示， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当该二次函数的图象在 内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时， ∴， ∴， 解得，， ∴m的取俏范围是． 【小问4详解】 解：当时，则，如图，过 作 轴的平行线，过作这条平行线的垂线，垂直分别为，则， ， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴轴， ∴设直线 为：， ∴， 解得：， ∴直线 为， 当直线 过 时， ∴， 解得：， 当 在 上时， ∴， 解得：， ∴当时，当点O恰好落在 内部时， 此时， 当时，如图， 同理可得：当点O恰好落在 内部时，； 综上：或 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，旋转的性质，求解一次函数的解析式，本题的难度较大，作出图形，利用数形结合的方法解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期九年级大练习 数学试卷 本试卷包括三道大题，共24道小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考试结束后，将答题卡上交． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，数轴上的点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将不等式的解集在数轴上表示出来，则■盖住的符号是（ ） A. B. C. D. 4. 如图①是一种手机平板支架，图②是其侧面结构示意图．托板AB固定在支撑板顶端的点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，若量得支撑板长，，则点C到底座DE的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数（k、b是常数，）的图象与x轴交于点，与y轴交于点，根据图象可知的解集为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知，在△ABC中，AB＝AC，根据以下各图所保留的作图痕迹，一定能使点O到△ABC三边距离相等的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、B在双曲线y=（ x＞0）上，BC与x轴交于点D．若点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　　） A. （3，） B. （4，） C. （，） D. （5，） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 9. 写出一个比 小的正无理数，这个正无理数可以是_____. 10. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么a的值是______． 11. 已知，则________ 12. 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹如簇，不知人数不知梨．每人四梨多十二，每人六梨恰齐足．”其大意是：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨子．每人分4个梨，多12个梨；每人分6个梨，恰好分完．”设梨有个，则可列方程为_______． 13. 如图，在正方形纸片 中，点M，N分别是上的点，将该正方形纸片沿直线折叠，使点B落在 的中点E处．若，则的面积是______． 14. 如图，是 的角平分线， ，垂足为E，交的延长线于点F，若 恰好平分，给出下列五个结论： ① ；②；③；④若的面积为1，则四边形的面积为5；⑤．上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题：本题共10小题，共78分． 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 我国四大传统节日分别是春节、清明、端午、中秋节．传统节日是传承优秀历史文化的重要载体，既使得人们在节日中增长知识，受到教益，又有助于彰显文化、弘扬美德、陶冶情操、弘扬传统．因此，端午节前，实验中学举行“传经典·乐端午”系列活动，李老师将活动设计的项目制成卡片（除正面不同外，其余均相同），如图所示，现将这些卡片洗匀，背面朝上放置在桌面上． （1）若小宇从中随机抽取一张卡片，他抽到“D．放纸鸢”的概率是 ； （2）若小雅从中随机抽取一张卡片，记下活动项目后，放回，洗匀，然后小辉再随机抽取一张卡片，记下活动项目．请利用画树状图或列表的方法，求他们两人抽取的卡片上的活动项目相同的概率． 17. “爆竹声中一岁除，春风送暖入屠苏．”随着春节临近，某小区物业公司准备购买一些灯笼和春联，对该小区户业主开展“春节送福”活动．物业公司经过调查得到以下信息：购买 个灯笼和幅春联需要花费元；购买个灯笼和 幅春联需要花费元．求每个灯笼和每副春联的价格分别是多少元？ 18. 已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框： 证明：连结OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 19. 综合与实践 【项目背景】水是万物之母，生存之本、文明之源．水资源正在变成一种宝贵的稀缺资源，关系到国家经济，社会可持续发展和长治久安．每年的3月22日是联合国确定的“世界水日”，旨在提醒人们要保护水资源、珍惜水、节约用水．某学校组织开展主题为“节约用水，共护地球”的社会实践活动．为了解居民用水情况，进行了抽样调查，并对抽查情况作出统计分析． 【数据收集与整理】数据收集：A， 两小组同学分别在甲、乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其10月份用水量． 数据整理：分别将两个小区居民的用水量进行整理，分成5组， 第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：． 根据统计数据，绘制成如下统计图表： 甲小区10月份用水量频数分布表 用水量 频数／户 4 9 10 5 2 乙小区10月份用水量频数分布直方图 甲，乙两个小区抽取的用水量分析统计如表： 平均数 中位数 甲小区 7.0 7.2 乙小区 7.1 乙小区10月份的用水量在第三组的数据从小到大排列为：7，7.2，7.3，7.4，7.5，7.7，8，8.4，8.6，8.7． 任务1：求表中 的值． 【数据分析与运用】 任务2：下列结论一定正确的是______（填正确结论的序号）． ①两个小区样本数据的中位数均在第三组； ②乙小区抽取的用户中，10月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为； ③两个小区样本数据的最大数与最小数的差相等． 任务3：若甲小区共有900户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区10月份用水量不低于的总户数． 根据所给信息，请完成以上所有任务． 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长约为1，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图． ①在图①中，以格点为顶点画一个三边长分别为4、、的三角形； ②在图②中，以格点为顶点画一个平行四边形，使平行四边形的一条边长为3，一个角是； ③在图③中，以格点为顶点画一个面积为4的菱形． 21. 若电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素，小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量 （千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据．用函数图象表示如下． （1）电池充满电时的电量为_____千瓦时； （2）求 所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）小明爸爸计划满电量状态下开车去距家的城市出差，请问途中是否需要充电？并说明理由． 22. 小明在阅读了相关资料后，了解到白银矩形的知识：如果一个矩形 满足，这个矩形就称为白银矩形．小明决定在正方形中构造一个白银矩形，请按要求解答下列问题： 如图，在正方形 中，对角线 、 交于点O． 【尺规作图】作的角平分线交 于点E，过点E作 的垂线交 于点F，交 于点G．（只保留作图痕迹，不要求写作法） 【问题探究】结合【尺规作图】中的图形，帮助小明完成“矩形是白银矩形”的证明过程： ∵四边形 是正方形， ∴． ∴， 在中，， ∵ 平分． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 证明过程缺失 所以矩形是白银矩形． 请你补全缺失的证明过程． 【问题拓展】小明进一步思考发现，__________． 23. 如图，在矩形 中，，将 绕点B顺时针旋转得到，连接，过点B作交于点E，交矩形 的边于点F． （1）在点恰好落在边 上时，求的面积； （2）当时，求点A运动的路径长；（参考数据：） （3）当点落在 的垂直平分线上时，求点到直线的距离； （4）若，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B均在二次函数的图象上．已知点A的横坐标为m，点B的横坐标为，连接 ．将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，连接 ． （1）求该二次函数图象的顶点坐标； （2）当点A恰好落在y轴上时，求 的面积； （3）当该二次函数的图象在 内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围； （4）当点O恰好落在 内部时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $