2025年初升高数学衔接讲义之因式分解

辅导讲义 适用学科 数学 适用年级 新高一 授课主题 因式分解 教学过程： 1、知识回顾： （1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）； （2）a2±2ab＋b2＝（a±b）2 知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）； a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）. 两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。 例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式： （1） （2） 例2. 因式分解： 练习： 将因式分解 知识点二：分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。 1、分组后能提取公因式 例3. 把分解因式。 点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试。 例4. 把分解因式。 点津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。 2、分组后能直接运用公式 例5. 把分解因式。 练习：把分解因式。 点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 知识点三：十字相乘法 1、型的因式分解 例6. 分解因式：把下列各式分解因式： （1） （2） 点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。 例7. 把下列各式分解因式： （1） （2） 例8. 把下列各式因式分解： （1） （2） 点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会 2、一般二次三项式的分解因式 大家知道，。 反过来，就可得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 例9. 分解因式：（1） （2） 仿练：分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）. 点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。 知识点四：配方法 例10. 分解因式： 【直击高中】 （1）换元法 例11. 分解因式 （2）拆、添项法 例12. 分解因式 四、知识提炼 一般地，因式分解，可按下列步骤进行： （1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其他方法（如十字相乘法）来分解因式； （3）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 练习： 一、选择题： 1. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（ ） A. x3－x＝x（x2－1） B. x2－2xy＋y2＝（x－y）2 C. x2y－xy2＝xy（x－y） D. x2－y2＝（x－y）（x＋y） 2. 下列各式能分解因式的个数是（ ） ①x2－3xy＋9y2 ②x2－y2－2xy ③－a2－b2－2ab ④－x2－16y2 ⑤－a2＋9b2 ⑥4x2－2xy＋y2 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（ ） A. 米 B. （＋1）米 C. （＋1）米 D. （＋1）米 4. 若x－＝7，则x2＋的值是（ ） A. 49 B. 48 C. 47 D. 51 5. 多项式的一个因式为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 将a3－a分解因式，结果为________. 2. 分解因式2x2＋4x＋2＝________________. 3. 分解因式x2－2x－1＝_____________ 4. 分解因式4＝__________ 三、解答题 1. 因式分解： 2. 分解因式 （1）； （2）. 3. 证明：当为大于2的整数时，能被120整除。 4. 已知，求证： 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. D 5.B 二、填空题 1. a（a＋1）（a－1） 2. 3. 4. . 三、解答题 1. ＝ ＝＝. 或＝ ＝＝. 2. 解：（1）＝＝＝或＝＝＝＝＝ （2）＝＝＝2。 3. 证明：因为 所以当为大于2的整数时，为120的倍数，所以结论成立。 4. 证明：因为=0，所以原式得证。 ( 9 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辅导讲义 适用学科 数学 适用年级 新高一 授课主题 因式分解 教学过程： 1、知识回顾： （1）a2－b2＝（a＋b）（a－b）； （2）a2±2ab＋b2＝（a±b）2 知识点一：运用乘法公式法（立方和立方差公式） a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）； a3－b3＝（a－b）（a2＋ab＋b2）. 两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方之和与它们积的差（和）。 例1. 用立方和或立方差公式分解下列各多项式： （1） （2） 解：（1） （2） 点津：（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号。 例2. 因式分解： 思路导航：原式中多项式为两项式，观察有公因式3b，应先提取公因式，再进一步分解； 解：. 仿练： 思路导航：原式中提取公因式后，括号内出现，可看作是或。 解： 点津：在进行多项式分解时，如果各项中有公因式，那么应先提取公因式。 知识点二：分组分解法 从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式。而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，可以先将多项式分组处理。这种利用分组来进行因式分解的方法叫做分组分解法/分组分解法的关键在于如何分组。 1、分组后能提取公因式 例3. 把分解因式。 思路导航：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提取公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式。 解： 点津：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法。本题也可以将一、四项分为一组，二、三项分为一组，同学们不妨一试。 例4. 把分解因式。 思路导航：若按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式。 解： 点津：由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律。由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用。 2、分组后能直接运用公式 例5. 把分解因式。 思路导航：把第一、二项分为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提取公因式后，另一个因式也是。 解： 仿练：把分解因式。 思路导航：先将系数2提取后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式。 解： 点津：从例5可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或提取公因式，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 知识点三：十字相乘法 1、型的因式分解 例6. 分解因式：把下列各式分解因式： （1） （2） 思路导航：利用上述公式 解：（1） 。 （2） 点津：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项相同。 例7. 把下列各式分解因式： （1） （2） 思路导航：利用上述公式 解：（1） （2） 点津：由此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。 例8. 把下列各式因式分解： （1） （2） 思路导航：（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数。 （2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式。 解：（1） （2） 点津：“换元”的方法是高中数学中一个常见的解题技巧，要注意体会 2、一般二次三项式的分解因式 大家知道，。 反过来，就可得到： 我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，那么就可以分解成. 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。 例9. 分解因式：（1） （2） 思路导航：（1） （2） 解：（1） （2） 仿练：分解因式： （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3）； （4）. 解：（1）如图1，将二次项x2分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是x2－3x＋2中的一次项，所以，有x2－3x＋2＝（x－1）（x－2）。 （2）由图2，得 x2＋4x－12＝（x－2）（x＋6） （3）由图3，得 ＝ （4）＝xy＋（x－y）－1 ＝（x－1）（y＋1）（如图4所示） 图4 点津：用十字相乘法分解二次三项式很重要。当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法“凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法“凑”，先“凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。 知识点四：配方法 例10. 分解因式： 解：（1） （2） 这种设法配成含有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解因式。 【直击高中】 （1）换元法 例11. 分解因式 思路导航：将看作y，进行换元。 解：原式＝ ＝ 所以，原式＝ 点津：将看作y，分解，再把y＝代入，即得原式的分解式，这种因式分解的方法叫做换元法。 （2）拆、添项法 例12. 分解因式 思路导航：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行。细查此式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决。 解： 点津：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式法的条件。本题还可以将拆成，将多项式分成两组和. 四、知识提炼 一般地，因式分解，可按下列步骤进行： （1）如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式； （2）如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其他方法（如十字相乘法）来分解因式； （3）因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。 【同步练习】（答题时间：45分钟） 一、选择题： 1. 一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为做得不够完整的一题是（ ） A. x3－x＝x（x2－1） B. x2－2xy＋y2＝（x－y）2 C. x2y－xy2＝xy（x－y） D. x2－y2＝（x－y）（x＋y） 2. 下列各式能分解因式的个数是（ ） ①x2－3xy＋9y2 ②x2－y2－2xy ③－a2－b2－2ab ④－x2－16y2 ⑤－a2＋9b2 ⑥4x2－2xy＋y2 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 3. 如果从一卷粗细均匀的电线上截取1米长的电线，称得它的质量为a克，再称得剩余质量为b克，那么原来这卷电线的总长度是（ ） A. 米 B. （＋1）米 C. （＋1）米 D. （＋1）米 4. 若x－＝7，则x2＋的值是（ ） A. 49 B. 48 C. 47 D. 51 5. 多项式的一个因式为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 1. 将a3－a分解因式，结果为________. 2. 分解因式2x2＋4x＋2＝________________. 3. 分解因式x2－2x－1＝_____________ 4. 分解因式4＝__________ 三、解答题 1. 因式分解： 2. 分解因式 （1）； （2）. 3. 证明：当为大于2的整数时，能被120整除。 4. 已知，求证： 【试题答案】 一、选择题 1. A 2. C 3. B 4. D 5.B 二、填空题 1. a（a＋1）（a－1） 2. 3. 4. . 三、解答题 1. ＝ ＝＝. 或＝ ＝＝. 2. 解：（1）＝ ＝ ＝ 或 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2。 3. 证明：因为 所以当为大于2的整数时，为120的倍数，所以结论成立。 4. 证明：因为=0，所以原式得证。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$