精品解析：2025届吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学校高考模拟预测数学试题

2025届吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学校高考模拟预测 数学试题 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9 3. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 4. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 5. 已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A. B. C. D. 6. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个指数式都可以化成对数式 B. 以10为底的对数是常用对数 C. 对于，实数m的取值范围是 D. 对数式中的底数必须大于0且不等于1 9. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象的对称中心为 C. D. 的递增区间为， 10. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 三、填空题 11. 已知多项式，则______. 12. 为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 13. 如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则________．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则________． 四、解答题 14. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 15. 我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 市场规模（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. （1）根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）； （2）已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差 16. 如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，且． （1）若平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角． 17. 数列满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 18. 对于项数为的数列，现定义一种新的排列方式“递增移位数列”，其排列规则如下：当时，将数列的前项移至末尾．并按照递增顺序排列，其余各项均依次前移位；当时，则将数列的前项移至末尾，并按上述规则进行变换．若，则无需进行变换操作，称为次递增移位变换、例如，数列，，经过一次递增移位变换后得到数列，，；经过两次递增移位变换后得到数列，，．其中表示是除以得到的余数． （1）写出数列，，，，，经过次递增移位变换后的新数列． （2）对于数列，，，，， ①该数列经过次递增移位变换后，求新数列的第项； ②假设经过无限次递增移位变换后所出现的每一种排列都是等可能的，记事件“第一项与最后一项的项值之差为”的概率为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届吉林省吉林市龙潭区吉化第一高级中学校高考模拟预测 数学试题 一、单选题 1. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数除法的几何意义及共轭复数的定义求复数的模长. 【详解】因为，则. 故选：D 2. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送0时，接收为0和1的概率分别为和；发送1时，接收为0和1的概率分别为和.若接收信号为1的概率为，则发送信号为1的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.9 【答案】C 【解析】 【分析】设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 设发送信号为1的概率为，利用全概率公式得到方程，解得即可. 【详解】根据题意，设事件为“发送信号”，事件为“发送信号”，事件为“接收信号为”，事件为“接收信号为”， 则，，，. 设发送信号为1的概率为， 则接收信号为的概率 ， 解得，即发送信号为的概率为. 故选：C 3. 河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝（每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食）．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为（ ） A. 450 B. 360 C. 180 D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知分配方式有和两种情况，然后分别计算这两种情况的选法种数，最后相加就是所求答案. 【详解】①计算按照分配的选法种数. 根据分步乘法计数原理，按分配的选法种数为： 种. ②按照分配的选法种数为： 种. 最后将两种选法种数相加得到总的选法种数为种. 故选：A. 4. 已知、，且，则（ ） A. B. C. D. 无法确定、的大小 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数、，利用导数分析这两个函数的单调性，结合零点存在定理可得出、的大小关系. 【详解】令，则， 当时，，故恒成立， 故在上单调递增， 又，， 由零点存在定理得， 令，则， 由上面的求解可知在上单调递增， 且存在，使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故的零点，，所以. 故选：A. 5. 已知为单位向量，，，当取到最大值时，等于（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设单位向量，则，，利用两向量夹角的余弦公式写出，通过两次换元法及基本不等式将化简为，最后判断函数的单调性从而确定使得取得最小值时的y的值. 【详解】设单位向量，则，因为，所以， ，令， 则， 令，当且仅当时取等号， 则，函数在上单调递增，当时，取得最小值，取到最大值， 此时，. 故选：A 6. 已知分别为双曲线的左、右焦点，直线过与交于两点，若，，则的渐近线为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意求得，，，，结合余弦定理求得即可. 【详解】 由，即，可得． 设，，，根据上述条件及双曲线的定义，可知 ，，． 又因为，所以， 故，，，． 在中，由， 得，得，即， 得，故的两条渐近线方程为． 故选：A． 7. 已知正四棱锥P-ABCD中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，球的半径大于球的半径，则球与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大圆，如图： 显然，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 因为，则，显然，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，即， 设球与球相切于点S，则， 设球的半径为，同理可得，即，， 所以， 故选：B 二、多选题 8. 下列说法正确的是（ ） A. 任何一个指数式都可以化成对数式 B. 以10为底的对数是常用对数 C. 对于，实数m的取值范围是 D. 对数式中的底数必须大于0且不等于1 【答案】BCD 【解析】 【详解】负数的指数不能化成对数，例如不能写成对数，故A错误；以10和e为底的对数都是常用对数，故B正确；对数要有意义，则其真数要大于0，即，即，故C正确；根据对数的定义，对数式中的底数必须大于0且不等于1，故D正确． 9. 已知函数的部分图象如图，将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则（ ） A. B. 的图象的对称中心为 C. D. 的递增区间为， 【答案】AD 【解析】 【分析】求得，逐一验证各个选项即可. 【详解】由已知函数周期为，所以，由图可知，解得， 所以，作出的部分图象， 由图，，所以A正确，C错误； 函数关于对称，所以函数的对称中心为，，B错误； 函数的递增区间为，，D正确； 故选：AD． 10. 在棱长为2正方体中，为的中点，是侧面内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹长度为 B. 与所成角的最大值为 C. 若三棱锥的体积为，则点的轨迹长度为 D. 若在线段上，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析可知，根据勾股定理可得，进而可知点的运动轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为，即可判断选项A；连接，，，，易得为等腰三角形.当点为的中点时，，故，此时与所成角为，即可判断选项B；由可知平面，故点的轨迹为线段，即可判断选项C；设，易知当点为的中点时，最大，此时；当点F与点C或点重合时，最小，此时，所以，故由正弦定理可得的外接圆直径，进而可求三棱锥的外接球的半径的范围，即可判断选项D. 【详解】∵点在侧面内，∴平面. ∵平面，平面，∴. 在中，由可得. ∴点的运动轨迹是以为圆心，为半径，圆心角为， ∴点的轨迹长度为，故选项A正确； 如图所示，连接，，. 在中，. 同理可得，∴为等腰三角形. 当点为的中点时，连接，此时有. 在正方体中易知，∴，此时与所成角为，故选项B错误； ∵，∴平面， ∴点的轨迹为线段，∴点的轨迹长度为，故选项C正确； 设，易知当点为的中点时，最大. 取的中点，则，， ∴； 当点F与点C或点重合时，最小，此时，所以. ∵，，在球面上，∴的外接圆直径. ∴三棱锥的外接球的直径为， ∴三棱锥的外接球的半径， ∴三棱锥的外接球的表面积为，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11. 已知多项式，则______. 【答案】18 【解析】 【分析】结合赋值法，分别令和，可得和，再把两式相加，可求的值. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相加可得. 故答案为：18 12. 为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 13. 如图，在中，点D，E在边BC上，且，点F，M分别在线段AB，AD上，且，直线FM交AE于点G，且，则________．若直线MC交AE于点N且是边长为1的等边三角形，则________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】根据图形得到，结合三点共线即可求参数值，延长交于，设，进而有，可得，且，分别过作，交于，可得，，进而有，最后应用向量数量积的运算律求解. 【详解】由题设 ， 又三点共线，则，可得， 如下图，延长交于， 由， 若，则，而三点共线， 所以，即， 由， 分别过作，交于， 若，则，， 所以，， 即，， 综上，，则，为边长为1的正三角形， 所以. 故答案为：， 四、解答题 14. 已知函数. （1）若函数的图像在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）若，求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）函数的单调增区间为，单调减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）先对函数求导，利用导函数的正负确定函数单调区间即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 由题设知函数的图象在点处的切线斜率为，即， 所以； 【小问2详解】 由于的定义域为， 当时，单调增；当单调减， 故函数的单调增区间为，单调减区间为. 15. 我国新能源汽车的卓越性能赢得全球人民的信赖，某品牌新能源汽车凭借科研创新、广告宣传和可靠售后保障，在全球赢得了很好的营销局面.下表为2017年—2024年（年份代码分别记为：1，2，3，4，5，6，7，8）该品牌新能源汽车的科研经费投入和全球市场规模统计. 年份代码i 1 2 3 4 5 6 7 8 科研经费（单位：百亿元） 2 3 6 10 13 15 18 21 市场规模（单位：百万辆） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 参考数据：，，，. 参考公式：相关系数. （1）根据样本数据，推断两个变量是否线性相关，并计算样本相关系数，推断它们的线性相关程度（结果精确到0.01，当越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱）； （2）已知在国内，新能源车主购买的新能源汽车为该品牌新能源汽车的概率为p（），从国内新能源车主中随机抽取5人，记这5人中选择购买该品牌的人数为随机变量X，若，求随机变量X的数学期望和方差 【答案】（1）样本相关系数，两个变量线性相关且线性相关程度很强. （2）随机变量的数学期望，方差. 【解析】 【分析】（1）根据给定的相关系数公式，结合已知的参考数据，计算出样本相关系数，再依据相关系数与线性相关程度的关系进行判断. （2）由已知条件可知随机变量服从二项分布，我们先根据求出的值，再利用二项分布的数学期望和方差公式求出和. 【小问1详解】 ； . 然后计算， 将，，，代入可得： . 接着计算，将，，代入可得： . 再计算，将，，代入可得： . 最后计算相关系数： 根据公式，将， ，代入可得： ，因为，所以. 由于接近，所以两个变量线性相关且线性相关程度很强. 【小问2详解】 已知随机变量（因为从国内新能源车主中随机抽取人， 每个人购买该品牌汽车的概率为，符合二项分布的定义）， 根据二项分布的概率公式，由可得： ，即，因为，得， 解方程，得. 再根据二项分布的数学期望公式和方差公式， 将，代入可得：；. 16. 如图，在多面体中，四点共面，四边形为平行四边形，，，且． （1）若平面与平面的交线为，证明：平面； （2）求平面与平面的夹角． 【答案】（1）如图，连接．∵，四边形为平行四边形，． 平面平面，平面． 平面，平面平面，． 四边形为平行四边形，四边形为菱形，． 由题意知，， ,． ． 平面平面． 平面． 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由线线平行证明平面，利用线面平行的性质得到，继而推得，再证平面，即得，由线线垂直得到平面； （2）过点作，垂足为，连接．取的中点，连接，由推理计算得到，从而推出为二面角的平面角，借助于，利用余弦定理求得即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，过点作，垂足为，连接．取的中点，连接． 由（1）知，平面，平面． 可知四边形和四边形都是矩形，． 在和中，， ，． ． ，，， 为二面角的平面角． ，四边形是正方形，． 在中，． ，， ． 在中，由余弦定理，得， 平面与平面的夹角为． 17. 数列满足. （1）证明：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） 方法一：因为，且，， 所以 故是首项为，公差为1的等差数列. 方法二：由题意得（），同除以得， 因为，， 所以，且， 故是首项为，公差为1的等差数列. （2） 【解析】 【分析】（1）方法一直接利用等差数列的定义判断等差数列，方法二对原递推式合理变形，再利用等差数列的定义判断等差数列即可. （2）利用给定的递推式求出的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得是从开始的等差数列， 则，即， 得到， 则， 而， . 18. 对于项数为的数列，现定义一种新的排列方式“递增移位数列”，其排列规则如下：当时，将数列的前项移至末尾．并按照递增顺序排列，其余各项均依次前移位；当时，则将数列的前项移至末尾，并按上述规则进行变换．若，则无需进行变换操作，称为次递增移位变换、例如，数列，，经过一次递增移位变换后得到数列，，；经过两次递增移位变换后得到数列，，．其中表示是除以得到的余数． （1）写出数列，，，，，经过次递增移位变换后的新数列． （2）对于数列，，，，， ①该数列经过次递增移位变换后，求新数列的第项； ②假设经过无限次递增移位变换后所出现的每一种排列都是等可能的，记事件“第一项与最后一项的项值之差为”的概率为，证明：． 【答案】（1），，，，， （2）①； ②数列，，，，的所有排列方法数有种， 当时，原数列经过无限次递增移位变换后得到的数列共有种情形，依次为： 2，3，4，5，6，7，8，9，1； 4，5，6，7，8，9，1，2，3； 7，8，9，1，2，3，4，5，6； 2，3，4，5，6，1，7，8，9； 1，7，8，9，2，3，4，5，6； 4，5，6，1，2，3，7，8，9； 8，9，1，2，3，4，5，6，7； 7，1，2，3，4，5，6，8，9； 1，2，3，4，5，6，7，8，9． 观察知，第一、二、三、七种情形符合题意，此时总成立． 当时，对原数列作次递增移位变换后， 新数列的第一项为（等价于总成立）， 第项为符合题意．故有． 综上所述，当时，． 【解析】 【分析】（1）分析可知，该数列的变化周期为，且，结合题中“递增移位数列”的定义可得结果； （2）①分析可知原数列经过次递增移位变换后，共有项移至末尾并按递增顺序排列，则新数列的第项为，第项为，由此可得出的表达式； ②当时，列举出原数列经过无限次递增移位变换后得到的数列的种情形，观察得出时成立；当时，求出新数列的第项和第项，验证结论成立即可. 【小问1详解】 数列，，，，，经过一次递增移位变换后得到数列，，，，，； 经过两次递增移位变换后得到数列，，，，，； 经过三次递增移位变换后得到数列，，，，，； 经过四次递增移位变换后得到数列，，，，，； 经过五次递增移位变换后得到数列，，，，，； 经过六次递增移位变换后得到数列，，，，，；； 经过七次递增移位变换后得到数列，，，，，，， 从而得到规律，该数列的变化周期为，且， 故经过次递增移位变换后得到的新数列为原数列，即，，，，，． 【小问2详解】 ①当时，总有， 即原数列经过次递增移位变换后，共有项移至末尾并按递增顺序排列， 即此时新数列的第项为，第项为， 故第项． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $