精品解析：2025年浙江省绍兴市上虞区中考二模数学试题

上虞区2025年初中毕业生学业水平调测 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分） 1. 海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ） A. B. C. D. 2. 由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算．其中数140000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形 都是正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，于点，过点作 于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 12. 若分式的值为1，则字母的取值为______． 13. 如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，，，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______ ． 14. 王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午休时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是______． 15. 如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则______ 16. 如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结 ，．当点落在边上时，的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 解方程组：． 19. 如图，在中，，点在边上，且，连结． （1）求的长． （2）求的值． 20. 为了解九年级学生每周利用 进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“智能探究小组”成员随机调查了该校 名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：______；______． （2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用 进行赋能学习次数的中位数． （3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用 进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数． 21. 已知平行四边形，在边上画点，使 于点． 甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点为圆心，长为半径画弧交边于，两点，再分别以点，点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点，作射线 交边于点，则点为符合要求的点． 乙：如图2，分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则点为符合要求的点． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家 米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间 （分）之间的函数图象如图所示． （1）求和 的值； （2）求和的值； （3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间 （分）的函数表达式． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求此二次函数的表达式． （2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． （3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求 的值． 24. 如图1，已知点在的边上，连结，是 的外接圆，切于点． 【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点作的直径，连结，根据已知条件，可以证明 ．请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】当 ，时． ①求的值； ②求面积的最大值，并求出此时的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上虞区2025年初中毕业生学业水平调测 数学试题卷 考生注意： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上． 3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果不能用近似数表示． 选择题部分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不给分） 1. 海拔是指地面某个地点与海平面之间的垂直距离，是某地与平均海平面为标准计算得到的高度差．下列各图标注的是该地的海拔高度，其中最低的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用，比较出四个地点的海拔高度大小即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴最低的是吐鲁番盆地， 故选：A． 2. 由4个相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了组合体的三视图，熟知主视图是从几何体的正面看到的图形是解题关键． 主视图是从正面看到的图形，据此解答即可． 【详解】解：的主视图是， 故选：D． 3. 据报道，2025年新一代量子计算机在极端环境下能够实现每秒140000000亿次运算．其中数140000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选∶C 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及除法，积的乘方运算，根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 【详解】解：．和不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意； ．，原计算正确，故该选项符合题意； ． ，原计算错误，故该选项不符合题意； ．，原计算错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 5. 我国古代数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊三，直金十二两．问牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子，每头牛、每只羊各多少两银子？设1头牛两银子，1只羊两银子，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“5头牛、2只羊共19两银子；2头牛、3只羊共12两银子”，得到两个等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设1头牛两银子，1只羊两银子， 由题意可得：， 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象初二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 6. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先分别求解两个不等式，再在数轴上表示出两个不等式的解集，找出其公共部分，即可解答．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． 【详解】解： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式的解集为：， 在数轴上表示如下： 故选：C 7. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和与外角的性质，熟练掌握相关性质，并灵活运用，是解题的关键．据平行四边形的性质，得到，进而得到 ，，设 的度数为，列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 设 的度数为，则：， ∴， ∴， ∴； 故选B． 8. 如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形与四边形 都是正方形．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性质，正方形面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的性质得到，，推出，设，则，得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，，， ， ， ， 设，则 ， ， 故选：D． 9. 若点，，（其中）都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例反比例函数值的大小，由反比例函数中，可得出函数图像在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再得出，即可知点在第三象限，点，在第一象限，根据函数的图像和性质即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图像在第一，第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， 又∵ ∴， ∴点在第三象限，点，在第一象限， ∴ ，， ∴， 故选：B 10. 如图，在中，，于点，过点作 于点，连结．记的长为，的长为，当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，过点A作于点F，可证明，则，设，则，，利用勾股定理得，，即，化解得即可． 【详解】解：过点A作于点F，如图， ∵， ， ∴，， ∴， ∴， 则， 设， 则，， ∵， ∴，， 即，化解得， 故选：D． 非选择题部分 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 若分式的值为1，则字母的取值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，根据题意可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；∵分式的值为1， ∴， ∴， 解得 ， 检验，当 时，， ∴ 是原方程的解， 故答案为：2． 13. 如图，小丽用卡纸仿制了一个钟表，她用铅笔在卡纸钟面的圆周上确定了三个点，， ，其中，两点分别与钟面两个时刻的刻度点重合，连结，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一条弧所对的圆周角为圆心角的一半的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据一条弧所对的圆周角为圆心角的一半即可求解． 【详解】解：∵所对的圆心角为， ∴， 故答案为： 14. 王老师从小丽、小慧、小聪和小颖四人中任选两人利用午休时间去学校各班进行礼仪巡查，则选中的两人中恰好有小丽参加的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再运用概率公式计算即可． 【详解】解：小丽、小慧、小聪和小颖分别用表示，用列表法把所有等可能结果表示如下， 共有12种等可能结果，其中选中的两人中恰好有小丽的结果共有6种， ∴选中的两人中恰好有小丽参加的概率是， 故答案为： ． 15. 如图，在平行四边形中，点，是边的三等分点，连结，，交于点，交延长线于点．若，则______ 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及等分点的性质，解题的关键是相似三角形的性质，根据平行四边形得，则，结合等分点可得和，过点G和点A作交于点N和点M，则，结合得，进一步求得，再证明，根据求解即可． 【详解】解：∵四边形平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵点，是边的三等分点， ∴， ∴， 过点G和点A作交于点N和点M，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 则， ∴， 故答案为：10． 16. 如图，在矩形中，已知，点是对角线上一动点，边绕点按逆时针方向旋转得到线段，连结 ，．当点落在边上时，的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形，再证四边形是正方形，设，利用等腰直角三角形的性质用表示出 ，再利用相似三角形的性质用表示出、，接着利用等腰直角三角形的性质用表示出，从而可利用勾股定理用表示出 ，，再利用线段差求得 【详解】解：当点落在边上时，如图，连结 ，，，，过点作于点，作于点， ∵边绕点按逆时针方向旋转得到线段， ∴，，，，， ∴是等腰直角三角形， 是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴点为 的中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， 设，则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴， 又， ∴，解得：， ∵ 是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点，解题关键是掌握根据相似三角形的性质列出比例式求解． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了负指数幂，立方根的计算，掌握以上知识的计算法则是关键． 分别求值负指数幂，立方根，绝对值的结果，再计算和差即可． 【详解】解： ． 18. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是关键． 运用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由①+②得：， ， 将代入②得：， 原方程组的解为． 19. 如图，在中，，点在边上，且，连结． （1）求的长． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点A作，垂足为E，根据已知易得 ，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答； （2）过点D作，垂足为F，先利用面积法求出的长，然后在 中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图． ， ， 又， ，． 在中，， 在中，． 【小问2详解】 解：过点作于点，如图． 由已知可得：， ， ， ， ． ． 20. 为了解九年级学生每周利用 进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“智能探究小组”成员随机调查了该校 名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题． （1）填空：______；______． （2）补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用 进行赋能学习次数的中位数． （3）若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用 进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数． 【答案】（1）； （2） 补全统计图如下： ； 6次 （3）255名 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，中位数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用5次及以下的人数除以球人数占比求出参与调查的人数，可得m的值，再求出7次的人数，即可求出n的值； （2）先求出7次的人数，进而补全统计图，再根据中位数的定义求出中位数即可； （3）用900乘以样本中该校九年级学生每周利用 进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解： 名， ∴一共调查了60名学生，即， ∴，即； 【小问2详解】 解：由（1）可得使用次数为7次的人数为人， 按照从低到高的顺序把这60名学生使用 的次数排列，中位数为第30名和第31名使用次数的平均数， ∵， ∴第30名和第31名使用次数分别为6次，6次， ∴中位数为次； 【小问3详解】 解：名， ∴估计该校九年级学生每周利用 进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数为255名． 21. 已知平行四边形，在边上画点，使 于点． 甲、乙两位同学的作图方法如下． 甲：如图1，以点 为圆心，长为半径画弧交边于，两点，再分别以点，点为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点，作射线 交边于点，则点为符合要求的点． 乙：如图2，分别以点 ，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交边于点，再以点为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则点为符合要求的点． 请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由． 【答案】 解：甲、乙两位同学的作法都正确． 甲同学作法正确的理由如下． 连结，，，如图甲． ， ， ． ． ． 又 ， ．即点为符合要求的点． 乙同学作法正确的理由如下． 连结，，，如图乙． ， 为的垂直平分线， 为边的中点． 由作法知：为的直径， ． ．即点为符合要求的点． 【解析】 【分析】本题是关于平行四边形中通过尺规作图找点并判断作图方法正确性的问题．需要依据甲、乙两位同学不同的作图步骤，利用三角形全等、线段垂直平分线、圆的性质等知识来判断是否能得到 ． 【详解】略 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一性质、线段垂直平分线的判定以及圆的性质（直径所对圆周角是直角）等知识点 ．解题的关键在于准确理解和运用上述性质，依据两位同学的作图步骤逐步推导得出 与 垂直的结论． 22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家 米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间 （分）之间的函数图象如图所示． （1）求和 的值； （2）求和的值； （3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间 （分）的函数表达式． 【答案】（1）， （2）， （3）（） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，正确从图中获取信息是解题关键， （1）根据图象正确获取信息求出小明的步行速度进而求出结论； （2）先求出小明爸爸回家的步行速度，设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为 分钟，列方程解决问题； （3）设小明离开家的路程（米）关于步行时间 （分）的函数表达式为，用待定系数法求表达式即可； 【小问1详解】 解：由题意知：． 小明的步行速度为米/分． ，． ． 【小问2详解】 解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分． 设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为 分钟， 则有， ． ，． 【小问3详解】 解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间 （分）的函数表达式为， 将，代入， 有， 解得：， （）． 23. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点 ，其对称轴是直线，点的坐标为． （1）求此二次函数的表达式． （2）若，当时，求二次函数的最小值（用含有的代数式表示）． （3）当时，若二次函数的最大值比最小值大2，求 的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的增减性，对称轴的知识是关键． （1）根据题意，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意若，当时，的最小值在时取到，代入计算即可； （3）根据二次函数对称轴，增减性分类讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：的图象对称轴是直线， ，， 在其图象上， ，， 此二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵的图象对称轴是直线， 若，当时，， ∴的最小值在时取到， ∴， ． 【小问3详解】 解：当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ，， 二次函数的最大值比最小值大2， ， ； 当时， ， ， ， 若， 解得，不符合； 若， 解得，不符合． 或． 24. 如图1，已知点在的边上，连结，是 的外接圆，切于点． 【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点作的直径，连结，根据已知条件，可以证明 ．请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程． 【拓展迁移】当 ，时． ①求的值； ②求面积的最大值，并求出此时的半径． 【答案】 [探究发现]过点作的直径，连结，如图， ， ， 又 切于点， ，即 ， ， 又， ． [拓展迁移]①； ②面积取得最大值为，的半径为 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握以上知识是关键． [探究发现]根半圆或直径所对圆周角为直角得 ，切线的性质得，同弧所对圆周角相等即可求解； [拓展迁移]①根据题意可证 ，得到，设，则 ，由此列式得到，即可求解； ②如图，作于，则，当且仅当与重合时，面积取得最大值为，由勾股定理得到，，根据 ， ，得到，即，解得，由此即可求解． 【详解】解：[探究发现]略 [拓展迁移] ①知 ， 又 ， ， ， 设， ， ， ， ， 解得， （舍去）， ， ． ②由上述计算得到， ∴ ， 如图，作于， 则， 当且仅当与重合时，面积取得最大值为， 此时， ，且 ，， ， ， 由于， ， 又， ， ，即， ， 是直径， 此时的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $