8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦高中数学全概率公式与贝叶斯公式，从古典概型问题（如取罐中红球）引入，系统梳理全概率公式的条件（事件两两互斥、构成样本空间分割）及公式P(B)=ΣP(Ai)P(B|Ai)，并关联条件概率、乘法公式，为贝叶斯公式学习搭建支架。 资料以情境问题驱动，通过“取红球”“民意调查”“射击飞碟”等实例培养数学抽象与运算素养，题型分层（判断、选择、解答）适配教学，课中助教师高效授课，课后供学生巩固练习，查漏补缺，提升用数学思维解决实际问题的能力。

8.1.2　全概率公式 8.1.3　贝叶斯公式* 课标要求 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式，会利用全概率公式计算概率（数学抽象、数学运算）. 2.了解贝叶斯公式（不作考试要求）（数学抽象、数学运算）. 　　有三个罐子，1号装有2红球1黑球，2号装有3红球1黑球，3号装有2红球2黑球.某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球. 【问题】　如何求取得红球的概率？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　全概率公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两　　　，且它们的和Ai＝　　　，P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，有P（B）＝　　　　　　　　.这个公式称为全概率公式. 　　提醒：（1）注意全概率公式的使用条件（i＝1，2，…，n）：①A1，A2，…，An两两互斥；②A1∪A2∪…∪An＝Ω；③P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n.（2）全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）＝P（A1B）＋P（A2B）＋…＋P（AnB）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋…＋P（An）P（B｜An）. 知识点二　贝叶斯公式 　一般地，若事件A1，A2，…，An两两互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω，P（Ai）＞0，i＝1，2，…，n，则对于Ω中的任意事件B，P（B）＞0，有P（Ai｜B）＝＝. 　　提醒：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B｜A）＝乘法公式 　　　　　　　　P（AB）＝P（A）P（B｜A） 　　　　 全概率公式 P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai） 　　　　 贝叶斯公式 P（Ai｜B）＝，i＝1，2，…，n. 【想一想】 贝叶斯公式的几何意义是什么？ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式中，A1，A2，…，An不一定是一组两两互斥的事件.（　　） （2）使用全概率公式的关键是寻找另一组事件来“分割”样本空间.（　　） （3）设A，B为任意两个随机事件，则BA与B是互斥的.（　　） （4）贝叶斯公式是已知某结果发生的条件下，探求各原因发生的可能性大小.（　　） 2.已知事件A，B，且P（A）＝，P（B｜A）＝，P（B｜）＝，则P（B）＝（　　） A. B. C. D. 3.设甲乘火车、汽车前往某目的地的概率分别为0.4，0.6，火车和汽车正点到达目的地的概率分别为0.8，0.9，则甲正点到达目的地的概率为（　　） A.0.72 B.0.84 C.0.86 D.0.96 题型一｜两个事件的全概率问题 【例1】　（链接教科书第105页例3）某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 通性通法 两个事件的全概率问题的求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成对立的两部分，如A1，A2（或A与）； （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率； （3）求和：所求事件的概率P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）. 【跟踪训练】 　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： （1）任取一箱，从中任取一个为废品的概率； （2）若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 题型二｜多个事件的全概率问题 【例2】　（链接教科书第105页例4）甲、乙、丙三人同时对飞碟进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.7，飞碟被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概率为0.6，若三人都击中，则飞碟必被击落，求飞碟被击落的概率. 通性通法 “化整为零”求多个事件的全概率问题 （1）如图，P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）； （2）已知事件B的发生有各种可能的情形Ai（i＝1，2，…，n），事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 【跟踪训练】 　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 题型三｜贝叶斯公式* 【例3】　（链接教科书第107页例5）某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3，0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为，和，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他乘汽车去的概率. 通性通法 应用贝叶斯公式求概率的步骤 （1）根据题目问题，事件B是由多个原因引起，这多个原因为A1，A2，…，An，且A1，A2，…，An是样本空间Ω的一个划分； （2）利用全概率公式求出P（B）； （3）代入贝叶斯公式求得概率. 【跟踪训练】 甲盒装有1个白球2个黑球，乙盒装有3个白球2个黑球，丙盒装有4个白球1个黑球.采取掷一骰子决定选盒，出现1，2或3点选甲盒，4，5点选乙盒，6点选丙盒，在选出的盒里随机摸出一个球，经过上述选盒摸球后，摸得一个白球，求此球来自乙盒的概率. 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为（　　） A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.已知P（BA）＝0.4，P（B）＝0.2，则P（B）＝（　　） A.0.08 B.0.8 C.0.6 D.0.5 3.小李的朋友从远方来看他，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3，0.2，0.1，0.4，迟到的概率分别为0.25，0.3，0.1，0，则他迟到的概率为（　　） A.0.65 B.0.075 C.0.145 D.0 4.设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01.今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为　　　　. 提示：完成课后作业　第八章　8.1　8.1.2　8.1.3 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.1.2　全概率公式 8.1.3　贝叶斯公式* 【基础落实】 知识点一 互斥　Ω　P（Ai）P（B｜Ai） 想一想 　提示：如图所示，B是由A和两个原因引起的结果，P（A｜B）表示原因A在结果B中的比重. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√　（4）√ 2.C　P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝×＋×＝.故选C. 3.C　设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由题意知P（B）＝0.4，P（C）＝0.6，P（A｜B）＝0.8，P（A｜C）＝0.9.由全概率公式得P（A）＝P（B）P（A｜B）＋P（C）P（A｜C）＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86. 【典例研析】 【例1】　解：如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω， 由题意可知，P（A1）＝，P（A2）＝， 且P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝. 由全概率公式可知P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＝×＋×＝. 跟踪训练 　解：记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥. （1）由题意，得P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝. （2）P（A）＝＝， P（B）＝＝， P（C｜A）＝0.06，P（C｜B）＝0.05， 由全概率公式，得P（C）＝P（A）P（C｜A）＋P（B）P（C｜B）＝×＋×＝. 【例2】　解：设B＝“飞碟被击落”，Ai＝“飞碟被i人击中”，i＝1，2，3， 则B＝A1B＋A2B＋A3B，依题意得P（B｜A1）＝0.2，P（B｜A2）＝0.6，P（B｜A3）＝1. 由全概率公式得P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3）， 为求P（Ai），设Hi＝“飞碟被第i人击中”，i＝1，2，3，则 P（A1）＝P（H1＋H2＋H3）， P（A2）＝P（H1H2＋H1H3＋H2H3）， P（A3）＝P（H1H2H3）. 又P（H1）＝0.4，P（H2）＝0.5，P（H3）＝0.7， 所以P（A1）＝0.36，P（A2）＝0.41，P（A3）＝0.14， 则P（B）＝P（A1）P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）P（B｜A3） ＝0.36×0.2＋0.41×0.6＋0.14×1＝0.458. 所以飞碟被击落的概率为0.458. 跟踪训练 　解：用A1，A2，A3分别表示事件“买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌”，B表示事件“买到的是优质品”，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，依题意，可得P（A1）＝50%，P（A2）＝30%，P（A3）＝20%，且P（B｜A1）＝95%，P（B｜A2）＝90%，P（B｜A3）＝70%，由全概率公式，得P（B）＝P（A1）·P（B｜A1）＋P（A2）P（B｜A2）＋P（A3）·P（B｜A3）＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 【例3】　解：设A＝“迟到”，B1＝“乘火车”，B2＝“乘轮船”， B3＝“乘汽车”，B4＝“乘飞机”， 根据题意，有P（B1）＝0.2，P（B2）＝0.1，P（B3）＝0.3，P（B4）＝0.4. P（A｜B1）＝，P（A｜B2）＝，P（A｜B3）＝， P（A｜B4）＝0. 由贝叶斯公式，有P（B3｜A）＝ ＝ ＝＝0.5， 即他乘汽车去的概率为0.5. 跟踪训练 　解：设A1＝{摸出的球来自甲盒}，A2＝{摸出的球来自乙盒}，A3＝{摸出的球来自丙盒}，B＝{摸得白球}， 则P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝， P（B｜A1）＝，P（B｜A2）＝，P（B｜A3）＝. 于是由贝叶斯公式可知白球来自乙盒的概率为 P（A2｜B）＝＝＝. 随堂检测 1.B　设甲中奖为事件A，乙中奖为事件B，则P（B）＝P（B｜A）P（A）＋P（B｜）P（）＝×＋×＝. 2.C　因为P（BA）＝P（A）P（B｜A），P（B）＝P（）P（B｜），所以P（B）＝P（A）P（B｜A）＋P（）P（B｜）＝P（BA）＋P（B）＝0.4＋0.2＝0.6.故选C. 3.C　设事件A1＝{他乘火车来}，A2＝{他乘船来}，A3＝{他乘汽车来}，A4＝{他乘飞机来}，B＝{他迟到}.显然A1，A2，A3，A4构成一个完备事件组，由全概率公式，得P（B）＝P（Ai）P（B｜Ai）＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145.故选C. 4.0.8　解析：设事件B表示“中途停车修理”，事件A1表示“经过的是货车”，事件A2表示“经过的是客车”，则B＝A1B＋A2B，P（A1）＝， P（A2）＝，P（B｜A1）＝0.02，P（B｜A2）＝0.01.由贝叶斯公式有P（A1｜B）＝＝＝0.8. 学科网（北京）股份有限公司 $