1.4　基本不等式（2大考点+20大题型）（讲义+精练）-2026年新高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

1.4　基本不等式 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、基本不等式 3 二、利用基本不等式求最值 3 常用二级结论 5 03 探究核心题型 6 题型一：基本不等式核心性质与变形 6 题型二：比较大小 8 题型三：不等式的证明技巧 10 题型四：直接使用基本不等式 12 题型五：拆项或添项法 14 题型六：消元化简求解 15 题型七：整体代换与局部代换 17 题型八：三角函数法 19 题型九：多次迭代法 21 题型十：参数构造法 23 题型十一：三元、四元元均值不等式 25 题型十二：判别式法 26 题型十三：双变量换元法 27 题型十四：比值代换法 29 题型十五：实际应用建模 31 题型十六：跨知识点综合 32 题型十七：特定形式的最值问题 35 题型十八：恒(能)成立问题 38 题型十九：常见的几何无字证明模型 39 题型二十：构造不等式法求最值 42 04 好题赏析（一题多解） 45 05 数学思想方法 47 ①数形结合 47 ②转化与化归 49 ③分类讨论 50 06 课时精练（真题、模拟题） 52 基础过关篇 52 能力拓展篇 57 1、了解基本不等式的推导过程. 2、会用基本不等式解决简单的最值问题. 3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题. 4、理解基本不等式在实际问题中的应用. 5、掌握基本不等式在其他知识中的应用. 一、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 二、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 常用二级结论 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 模型四：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式核心性质与变形 【例1】（2025·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【答案】D 【解析】根据条件，由基本不等式可知，（1）（2）均正确， 对于（3），由基本不等式知，求最小值，则需满足“一正二定三相等”的原则， 求和的最小值，需要乘积为定值，而不为定值，所以（3）错， 故选：D. 【解题总结】 基本不等式的常见变形 (1). (2) 【变式1-1】下列结论正确的是（ ） A．当且时， B．当时，的最小值为4 C．当时， D．当时， 【答案】C 【解析】对A，当时，，故A错误； 对B，当时，，当且仅当，即时取等号，但当时，，故B错误； 对C，当时，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对D，当时，故D错误. 故选：C 【变式1-2】下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【答案】B 【解析】选项A，，，等号成立的条件是，等号取不到，所以，故A错误； 选项B，当时，，，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C，，，等号成立的条件是，等号取不到，即，故C错误； 选项D.当时，，等号成立的条件是，即时等号成立，故，故D错误. 故选：B 【变式1-3】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，当且仅当即等号成立； 对B，当且仅当即等号成立； 对C，当且仅当即时等号成立； 对D，当且仅当得时等号成立，无解，等号不成立． 故选：D． 题型二：比较大小 【例2】（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 【解题总结】 直接利用性质比较大小 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 对于A项：， 当且仅当时取得等号，从而在，时，故A错误； 对于B项：因为，所以， ，当时取得等号，此时，故B错误； 对于C项：因为，所以，所以， 于是等价于，等价于， 构造函数，， 所以在上单调递增； 所以恒成立，所以不等式成立，故C正确； 对于D项：根据B选项的分析，， 则，即， 当时取得等号，此时，故D错误. 故选：C 【变式2-2】（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以，即，即， 又因为， 所以，即， 综上，， 故选:A. 【变式2-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，. 赋值，得； 赋值，得，即， 当时，， 当时，则，所以，即； 赋值，得，解得， 即； AC项，由，， 得， 其中由，可知， 当时，，即； 当时，，即；故AC错误； BD项，，得； 又，所以， 则， 故，且不恒为，故B错误，D正确. 故选：D. 【变式2-4】（2025·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， ∵，∴等号不成立，故； ， ∵，∴等号不成立，故， 综上，. 故选：A. 题型三：不等式的证明技巧 【例3】已知、、、为正实数． (1)证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：. 【解析】（1）因为、、、为正实数， 所以，，当且仅当，时等号成立， 所以当且仅当，时等号成立. 所以，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立； （2）由于，当且仅当时等号成立， 令， 得， 即，故， 所以，当且仅当时等号成立. 【解题总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 【变式3-1】已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【解析】因为, 所以,即≥,当且仅当时取得等号, 则有， 同理得≥，≥， 相加可得++≥++，当且仅当时等号成立. 【变式3-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）（1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）证明：； （3）已知a，b，c均为正数，且，请证明：． 【解析】（1）函数，有，即切点坐标为， 由，则切点处切线斜率， 所以函数的图像在点处的切线方程为，即. （2）设，则， 当时，；当时，， 有在上单调递减，在上单调递增， ， 令，，当时，， 在上单调递减，有， 即， 所以，有； （3）已知a，b，c均为正数，且， ， 又，则， 所以，所以． 【变式3-3】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 【解析】（1）， 当且仅当，即时等号成立． （2）证明： ， 当且仅当同时成立， 即时等号成立． 题型四：直接使用基本不等式 【例4】（2025·贵州黔东南·一模）若，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 / 【解析】由，则， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，此时. 故答案为：；. 【解题总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 【变式4-1】已知，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为，，且， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 即的最大值为. 故答案为： 【变式4-2】设，若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 【变式4-3】若，，且，求的最大值为 ． 【答案】 【解析】因为 ， 当且仅当，即，时，等号成立. 所以，故的最大值为. 故答案为：． 【变式4-4】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 【答案】A 【解析】， 当且仅当， 即，等号成立， 所以的最小值为6， 故选：A 题型五：拆项或添项法 【例5】若，则的最大值为 . 【答案】 【解析】因为，， 由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立. 故. 故答案为： 【解题总结】 通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 【变式5-1】已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】A 【解析】由，得， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 又， 当且仅当，即时等号成立. 故选：A. 【变式5-3】已知（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，， ， 当且仅当即时，等号成立， 此时取到最小值． 故选：B． 【变式5-4】若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 因为，所以，设， 则，当且仅当时等号成立， 此时，解得， 故选：A． 题型六：消元化简求解 【例6】已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】A 【解析】由题设且，则， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值是0. 故选：A 【解题总结】 对应不等式中的双元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解． 【变式6-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，，可得， 则， 设，则，原式为， 当且仅当时等号成立， 故选：C. 【变式6-2】已知角，且，当取得最大值时，角（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】已知，可得：，， 可得：，得：， 因为，所以，，等式两边同时除以和可得： ，上式可化为：， 又因为，代入上式可得： ， 令，则，，代入可得： ， 因为，所以，则. 根据均值不等式对于有：， 当且仅当，即，时等号成立. 所以，即当时，取得最大值. 因为，且，所以. 当取得最大值时，角. 故选：D. 【变式6-3】已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为为锐角，所以， 由， 则， 则， 则， 整理得， 当且仅当，即时等号成立，则的最大值为. 故选：D. 题型七：整体代换与局部代换 【例7】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 【解题总结】 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 【变式7-1】已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 【变式7-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】/0.5 【解析】由得， 所以 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为： 【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，可知，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 【变式7-4】（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】当，即时，恒有，即过定点， 因为，所以点在上， 则，且， 于是得， 当且仅当，即时取＂＂，由且得：， 所以当时，取得最小值8． 故选：C 【变式7-5】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以，当且仅当时，取得等号. 故选：A. 题型八：三角函数法 【例8】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对于A，由可得， 因此，可得， 当且仅当时，等号成立，即A正确； 对于B，将表达式化简可得， 将方程参数化可知，； 所以，其中； 又，所以，可得B正确； 对于C，由可得， 即， 因此，解得， 当且仅当时，等号成立，即C错误，D正确. 故选：ABD 【解题总结】 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和. 【变式8-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【解析】由，得， 记，其中， 原不等式化为，所以， 所以，即． 所以， 当且仅当，即时取“”，所以的最小值为1． 故答案为：1． 【变式8-2】已知非负实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由，得，用换元法，令，，将问题转化为三角函数求最值，即可求得答案.由题意得：，令，， 又，为非负实数， ， ，，即， 解得，. 故（其中）， ，即， ，即 又在上单调递增，∴当时，取得最大值， 故当，时，取得最大值，最大值为. 故答案为： 【变式8-3】已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解析】采用三角代换的方式化简原式，然后利用换元法以及二次函数的值域求解最值，注意等号成立的条件.令，，，， 因为，所以，可得， 所以 所以， 当且仅当，，， 时取等号， 即当且仅当时，的最小值为， 故选：A 题型九：多次迭代法 【例9】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】因为， 所以， 当且仅当，且，即时，取等号， 所以的最小值为2. 故选：D. 【解题总结】 在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的等号成立条件是否相互契合、保持一致。 【变式9-1】（2025·江苏盐城·三模）已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，即，等号成立时， 则，等号成立时，即，等号成立时； 则，等号成立时，，等号成立时， 则， 等号成立时， 所以， 等号成立时，显然时成立， 综上，当时，取最小值. 故答案为： 【变式9-2】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】因为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4， 此时. 故选：D. 【变式9-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 题型十：参数构造法 【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 【解题总结】 出现结构形式，通常用待定系数法. 【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为a，b均为正实数， 则 ， 当且仅当，且，即时取等号， 则的最大值为． 故选：A． 【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】A 【解析】，，，则， ， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为16. 故选：A． 【变式10-3】已知实数，，满足，则的最大值为 . 【答案】 【解析】设，因为， 所以 ， 令，解得或（舍去）， 因此，即，当且时取等号， 故的最大值为. 故答案为： 题型十一：三元、四元元均值不等式 【例11】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】方法一：， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 方法二：， 故， 当且仅当，且时，即时，等号成立． 故的最小值为4； 故选：D 【解题总结】 ，为正数. 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， , 当且仅当即时等号成立， 的最小值为． 故选：． 【变式11-2】函数的最小值是（    ）． A． B． C．1 D．不存在 【答案】B 【解析】，， 当，时等号成立. 故选：B 【变式11-3】已知，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 题型十二：判别式法 【例12】（2025·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 . 【答案】4 【解析】令，由消去a得：，即， 而，，则，，， 依题意，解得. 故答案为：4 【解题总结】 利用一元二次方程有实数根时. 【变式12-1】若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【答案】 / / 【解析】令，则， 则， 即， 由，解得：， 故， 故，解得：，， 所以当且仅当，时，等号成立， 故答案为：， 【变式12-2】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】/ 【解析】方法一：令，则，代入，整理得，其， 解得，当时，. 故的最大值是． 方法二：由 ，即， 当时，. 故的最大值是． 故答案为： 【变式12-3】若实数x，y满足，则x的最大值是 . 【答案】/ 【解析】将条件变形为，，解得， 故. 故答案为： 题型十三：双变量换元法 【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】/0.25 【解析】方法一 设，，则， ， ， 当且仅当，，即，时取等号， ． 方法二，， ， 当且仅当，时取等号，． 故答案为： 【解题总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 【变式13-1】设为正实数，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 【变式13-2】已知，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】令， 则 ， 所以， 因此当且仅当，即时，取得最小值为4. 故答案为：4. 【变式13-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正数，，满足，故， 令，故，， ， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 故. 故选：D 题型十四：比值代换法 【例14】已知，则的最小值为 . 【答案】 【解析】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 【解题总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【变式14-1】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由正实数，，满足， ． ， 当且仅当时取等号，此时． ，当且仅当时取等号， 即的最大值是1． 故选：D 【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【答案】6 【解析】由，得， 当且仅当时等号成立，故的最小值为6. 故答案为：6 【变式14-3】已知正数满足，则的最小值是 ． 【答案】 【解析】根据题意，由可得， 即 所以； 又因为均是正数，令，则 所以， 令， 则 当且仅当，即时，等号成立； 所以 所以的最小值为; 即当时，即时，等号成立. 故答案为： 题型十五：实际应用建模 【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 【解题总结】 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【答案】A 【解析】由可知，且， 故， 当且仅当即时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：A. 【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【答案】B 【解析】设天平左臂长为，右臂长为，且，左盘放的药品为克，右盘放的药品为克， 则，解得， ， 当且仅当时，取到等号，而，所以. 故选：B 【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【解析】设圆台的上、下底面积分别为，，圆柱的底面积为，高为， 根据圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项， ，， ， 故选：A. 题型十六：跨知识点综合 【例16】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【答案】 【解析】在中，由，得，而，所以； 的面积，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 故答案为：； 【解题总结】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 【变式16-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【答案】 【解析】由条件可知，,， 所以，所以， ，， ， ， 当时等号成立， 所以的最小值为； 在上的投影向量为，则，即, 因为，所以，得，， 则. 故答案为：；. 【变式16-2】（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【解析】圆的圆心在轴上，设圆与的另一个交点为， 设，当点不与点重合时，直线的方程为， 联立，解得，所以点纵坐标为，此时点， 当点与点重合时，点的纵坐标也满足，所以， 对任意的，，所以的定义域为， 对于命题①，因为，所以是偶函数，故①正确； 对于命题②，因为，当时，，即在区间上单调递增， 所以当时，若，则，所以②错误， 对于命题③，，因为，当时，， 当时，，又，当且仅当，即时取等号， 所以，故③正确， 对于命题④，，令， 则，易知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若，即时，， 即当时，的最小值为，所以④错误， 故答案为：①③. 【变式16-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为 . 【答案】 【解析】 由题意，则，令， 由，得， 堑堵体积， 当且仅当，即时取等号， 故答案为： 题型十七：特定形式的最值问题 【例17】（多选题）（2025·河南·三模）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于A，由基本不等式，已知，则， 可得，当且仅当时取等号，A错误． 对于B，， 当且仅当时取等号，B正确． 对于C，，由A知， 所以，则，当目仅当时取等号，C正确． 对于D，， 根据二次函数性质，其对称轴为，当时，取得最小值为，D正确， 故选：BCD． 【解题总结】 利用基本不等式变形求解 【变式17-1】（多选题）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】AD 【解析】因为，所以，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为6，故B错误； 因为，当且仅当，时等号成立， 所以的最小值为2，故C错误； 可以看作直线落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：AD. 【变式17-2】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于选项A：因为正实数满足， 设，则， 因为， 即，整理可得得， 将其看为关于的一元二次方程，则，解得， 即，故A正确； 对于选项D：因为，且，， 则，当且仅当时，等号成立， 所以，故D正确； 对于选项B：因为，则， 当且仅当时，等号成立， 则，得，当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为 ， 因为，则，， 可得，当且仅当时，等号成立， 即，可得， 即，当且仅当时，等号成立 所以，故C正确； 故选：ACD. 【变式17-3】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】由题意得，A项错误； ，所以（当且仅当时取等号），B项正确； ，当且仅当时取等号，C项正确； ， 又因为， 所以， 设， 则，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为，D项正确． 故选:BCD． 题型十八：恒(能)成立问题 【例18】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，故，当且仅当，即时等号成立， 所以不等式恒成立，故，故， 故选：D 【解题总结】 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【变式18-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【答案】B 【解析】，，变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中      当且仅当，即时取等号，可知. 故选：B 【变式18-2】（2025·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当，时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 所以，即． 故选：A. 【变式18-3】已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 【答案】D 【解析】因为，所以， ， 当且仅当， 即时，等号成立． 因不等式恒成立，只需， 因此，故实数的最大值为25． 故选：D 题型十九：常见的几何无字证明模型 【例19】在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设交于点，如图所示： 因为，所以，即. 又因为， 即，解得. 又因为，，所以. 故选：B 【解题总结】 利用几何法转化 【变式19-1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 【答案】D 【解析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则， 在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立． 故选：D． 【变式19-2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图知：， 在中，， 所以，即， 故选：C 【变式19-3】《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 【答案】C 【解析】对于A，由图1和图2面积相等得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，所以，，因为，所以，整理得，故B错误； 对于C，因为D为斜边BC的中点，所以，因为，所以，整理得，故C正确； 对于D，因为，所以，整理得，故D错误． 故选：C． 题型二十：构造不等式法求最值 【例20】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据题意可得：，即， 设， 则：，， ， ，， 解得或， 又， ，化简得， ①当时，不等式不成立； ②当时，，即， ，又恒成立，可得， 的取值范围为. 故答案为：. 【解题总结】 利用求解. 【变式20-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为, 所以且, 故且, 所以, 故, , 所以, 所以, 故选：A． 【变式20-2】（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【解析】由可得，即，故， 由，可得， 当且仅当时取等号，即当时， 取得最小值为8. 故选：D. 【变式20-3】已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在上单调递增，恒成立， ，，，， ， 令，设， 则， ，，（当且仅当，即时取等号）， ，即的最小值为. 故选：. 1．已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】法一：令，则 当且仅当，即时取等号． 法二：令，则， ∴原式，当且仅当时，即时取等号． 法三： ，当且仅当时取等号． 法四： 当且仅当时，即时取等号． 故选：A． 2．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． 【解析】（1）因为，所以． 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，所以． （2）解法一： 因为，且a，b，， 所以，，，所以， 同理可得，， 以上三式相加得，当且仅当时等号成立． 解法二：因为，且a，b，， 所以，，，且， 所以 ， 当且仅当时等号成立． ①数形结合 1．如图，在一个圆心为O，半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，的大小是    A． B． C． D． 【答案】B  【解析】 设， 则， ， 所以矩形ABCD的面积为 ， 当且仅当时等号成立， 此时， 又， 所以 故选： 2．在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为     A．3 B．8 C． D．9 【答案】B  【解析】如图， 因为点O是BC的中点，所以， 因为三点共线，所以， 所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值 故选： 3．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为    A．8 B．12 C．32 D．16 【答案】C  【解析】 因为， 所以， 因为， 所以， 因为三点共线， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是 故选： ②转化与化归 4．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C  【解析】 由可得，， 当且仅当时，等号成立，此时符合题意． 所以的最小值为 故选 5．非零实数a，b，c满足，，成等差数列，则的最小值为    A． B． C．3 D． 【答案】B  【解析】，，成等差数列，则有，则有，则 ，当且仅当时取等号． 故选 6．已知正实数a，b，满足，则的最小值为    A．2 B．1 C． D．4 【答案】A  【解析】 设， 则为奇函数，在R上单调递增， 所以， 故，即， 已知a、b为正实数， 由基本不等式可得 当且仅当时等号成立． 所以的最小值为 故选 ③分类讨论 7．已知数列的前n项和，当取最小值时，          ． 【答案】3  【解析】 因为数列的前n项和， 当时，， 当时，， 时也成立， ， ， 当且仅当，即时取等号， 故当取最小值时， 故答案为： 8．以表示数集A中最大的数．已知，，，则的最小值为          ． 【答案】2  【解析】 由题意知，，， ，当且仅当时等号成立， 所以； ，当且仅当，时等号成立， 所以 综上，M的最小值为 故答案为 9．设，，且，则的最大值为          ． 【答案】  【解析】因为，，， 所以， 所以 当，时，，， 所以，① 当且仅当，即，时等号成立； 当，时， ，         ①成立； 当时，， ，          ①成立； 当，时，，，   ，  当且仅当，即时等号成立                  当，时，，，             ①成立； 综上的最大值为， 故答案为： 基础过关篇 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由可知， 且：，因为对于任意，恒成立， 结合均值不等式的结论可得：. 当且仅当，即时等号成立. 综上可得的最小值为. 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若，，则的最小值为 . 【答案】4 【解析】 ，（前一个等号成立条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时取得，则当且仅当时取等号）. 5．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由，则， 由. 当时，．故成立；反之不成立， 例如取，则，但． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 因为， 当且仅当，即时等号成立，故的最大值为. 故选：B 7．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】由得， 所以圆心为，又圆关于直线对称， 则直线过圆心，即， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【解析】由题意，可得，故，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 9．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】，解得， 由于为正项等差数列，则，解得， ，等号成立当且仅当， 所以的最大值为8. 故选：C. 10．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】函数，，其图象的对称中心为点， 代入直线方程得． 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9． 故选：D 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【解析】由题意可知，当时等号成立， 即， 令，则 解得或舍 即， 当且仅当时，等号成立． 故选：C. 12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对A：因为，则， 所以，所以，A错误； 对B：记，则， 所以在上单调递减， 又，所以，即，即，B正确； 对C：因为，所以，， ，因，故等号不成立， 则，所以，C正确； 对D：记，则， 记，则，故， 所以在上单调递减，， 则，所以在单调递减， 又，所以，即，即，D错误. 故选：BC. 13．（多选题）（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，， 当且仅当时等号成立，所以，故A正确； 对于B，，所以， 即，解得（当且仅当时等号成立）或（当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D， ， 当且仅当，即，，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD 14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 【答案】BCD 【解析】A.由条件可知，，，则，故A错误； B.由题意可知，，则，当时等号成立， 则的最小值为，故B正确； C. ，当，即时等号成立， 则的最小值为，故C正确； D.， 当，均单调递增，且时，， 则在区间上单调递增， ∴当时取得最大值5，且时，， 所以的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 15．已知a，b为正数，且满足，则的最小值为 ． 【答案】2 【解析】由基本不等式可得，， 所以，又因为， 所以有，解得，当时取等号， 又，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 故答案为：2. 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 能力拓展篇 17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得，即， 所以， 则 ， 当且仅当时，即，即时， 也就是时，等号成立. 故选：C 18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 【答案】 【解析】已知是奇函数，则. 因为，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 由可得. 则. 将展开可得： . 因为，所以，. 根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立. 所以. 故答案为： . 19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为为正实数，所以， 因此的最小值为4，故存在，即时使得等号成立， 此时，又因为，所以在上有解， 所以由基本不等式可知时等号成立， 所以，故实数的取值范围是． 故答案为：. 20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 【答案】 【解析】因为x，y为正实数，且， 所以，且（当且仅当时取“”）. 又因为. 设函数（）.问题转化为求函数的最小值. 因为， 由，又，所以； 由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以的最小值为：. 故答案为：. 21．已知函数，若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，定义域为，， 则， 所以函数为奇函数， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则， 所以，即，则， 又，，则，， 所以 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 22．已知，，且，若的最小值为3，则 . 【答案】8 【解析】因为，则， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 即，由题意可知：，解得. 故答案为：8. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.4　基本不等式 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 一、基本不等式 3 二、利用基本不等式求最值 3 常用二级结论 5 03 探究核心题型 6 题型一：基本不等式核心性质与变形 6 题型二：比较大小 7 题型三：不等式的证明技巧 7 题型四：直接使用基本不等式 8 题型五：拆项或添项法 9 题型六：消元化简求解 9 题型七：整体代换与局部代换 10 题型八：三角函数法 10 题型九：多次迭代法 11 题型十：参数构造法 11 题型十一：三元、四元元均值不等式 12 题型十二：判别式法 12 题型十三：双变量换元法 12 题型十四：比值代换法 13 题型十五：实际应用建模 13 题型十六：跨知识点综合 14 题型十七：特定形式的最值问题 15 题型十八：恒(能)成立问题 15 题型十九：常见的几何无字证明模型 16 题型二十：构造不等式法求最值 18 04 好题赏析（一题多解） 19 05 数学思想方法 20 ①数形结合 20 ②转化与化归 20 ③分类讨论 21 06 课时精练（真题、模拟题） 22 基础过关篇 22 能力拓展篇 23 1、了解基本不等式的推导过程. 2、会用基本不等式解决简单的最值问题. 3、会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题. 4、理解基本不等式在实际问题中的应用. 5、掌握基本不等式在其他知识中的应用. 一、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 二、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 常用二级结论 常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 题型一：基本不等式核心性质与变形 【例1】（2025·河北·三模）已知，那么以下关于式子的分析判断正确的选项是（    ） （1）； （2）上式当且仅当即时，等号成立； （3）所以当时，取得最小值 A．以上全正确 B．（1）错 C．（2）错 D．（3）错 【解题总结】 基本不等式的常见变形 (1). (2) 【变式1-1】下列结论正确的是（ ） A．当且时， B．当时，的最小值为4 C．当时， D．当时， 【变式1-2】下列命题中正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时， C．当时，的最小值为2 D．当时， 【变式1-3】下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 题型二：比较大小 【例2】（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 直接利用性质比较大小 【变式2-1】（2025·山东·模拟预测）已知，，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·云南·一模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·广东广州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2025·河南开封·三模）已知，，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三：不等式的证明技巧 【例3】已知、、、为正实数． (1)证明：； (2)请利用（1）的结论，证明：. 【解题总结】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 【变式3-1】已知a，b，c都是非负实数，求证:++. 【变式3-2】（2025·高三·河北衡水·开学考试）（1）求函数的图像在点处的切线方程； （2）证明：； （3）已知a，b，c均为正数，且，请证明：． 【变式3-3】（2025·西藏林芝·模拟预测）已知a，b，c均为正实数，且． (1)求abc的最大值； (2)求证：． 题型四：直接使用基本不等式 【例4】（2025·贵州黔东南·一模）若，则的最大值为 ，此时 ． 【解题总结】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 【变式4-1】已知，，且，则的最大值为 ． 【变式4-2】设，若，则的最大值为 . 【变式4-3】若，，且，求的最大值为 ． 【变式4-4】（2025·河北保定·二模）已知x，y是非零实数，则的最小值为（      ） A．6 B．12 C．2 D．4 题型五：拆项或添项法 【例5】若，则的最大值为 . 【解题总结】 通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 【变式5-1】已知，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C． D．6 【变式5-2】（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式5-3】已知（），则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】若则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六：消元化简求解 【例6】已知，则的最小值是（    ） A．0 B． C． D．1 【解题总结】 对应不等式中的双元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解． 【变式6-1】（2025·河北沧州·模拟预测）已知正实数，满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知角，且，当取得最大值时，角（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知为锐角，且，则的最大值为（ ） A． B．1 C． D． 题型七：整体代换与局部代换 【例7】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知，，，则的最小值为 ． 【解题总结】 整体代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 【变式7-1】已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．1 D．3 【变式7-2】已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式7-3】（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为 ． 【变式7-4】（2025·河南·三模）函数过定点A，若，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．10 【变式7-5】已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型八：三角函数法 【例8】（多选题）（2025·江苏淮安·模拟预测）若满足，则（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和. 【变式8-1】（2025·河南新乡·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为 ． 【变式8-2】已知非负实数，满足，则的最大值为 . 【变式8-3】已知，满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型九：多次迭代法 【例9】（2025·天津红桥·一模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【解题总结】 在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的等号成立条件是否相互契合、保持一致。 【变式9-1】（2025·江苏盐城·三模）已知，则的最小值为 ． 【变式9-2】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式9-3】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十：参数构造法 【例10】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知，且，则的最小值是 . 【解题总结】 出现结构形式，通常用待定系数法. 【变式10-1】（2025·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（2025·高三·辽宁沈阳·开学考试）若，，，则的最小值为（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【变式10-3】已知实数，，满足，则的最大值为 . 题型十一：三元、四元元均值不等式 【例11】已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解题总结】 ，为正数. 【变式11-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若，，求 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】函数的最小值是（    ）． A． B． C．1 D．不存在 【变式11-3】已知，则的最小值为 ． 题型十二：判别式法 【例12】（2025·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则 . 【解题总结】 利用一元二次方程有实数根时. 【变式12-1】若，，则当 时，取得最大值，该最大值为 . 【变式12-2】设x、y为实数，若，则的最大值是 ． 【变式12-3】若实数x，y满足，则x的最大值是 . 题型十三：双变量换元法 【例13】（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【解题总结】 若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 【变式13-1】设为正实数，且，则的最小值为 . 【变式13-2】已知，则的最小值为 . 【变式13-3】（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型十四：比值代换法 【例14】已知，则的最小值为 . 【解题总结】 齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解． 【变式14-1】设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知，，，则的最小值为 . 【变式14-3】已知正数满足，则的最小值是 ． 题型十五：实际应用建模 【例15】（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题总结】 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 【变式15-1】（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度（单位：米）满足，则该类昆虫的最大跳跃高度为（    ） A．0.25米 B．0.5米 C．0.75米 D．1米 【变式15-2】（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g的砝码放在天平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的砝码放在天平右盘中，再取出一些中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（   ） A．等于200g B．大于200g C．小于200g D．以上都有可能 【变式15-3】（2025·河北·模拟预测）高相同的圆柱与圆台的体积分别为，，且圆柱的底面积是圆台上、下底面积的等差中项，则与的关系为（   ） A． B． C． D．不确定 题型十六：跨知识点综合 【例16】（2025·北京朝阳·二模）在中，，且，则 ；面积的最大值为 ． 【解题总结】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 【变式16-1】（2025·天津河西·二模）在平行四边形中，，，，四边形的面积为6，则的最小值为 ；当在上的投影向量为时， . 【变式16-2】（2025·北京朝阳·二模）设，过原点的直线（不与轴重合）与圆交于点P与直线交于点．过点作轴的平行线，过点作轴的垂线，这两条直线交于点，称为的箕舌线函数，记作，给出下列四个结论： ①函数的图象关于y轴对称； ②若，则； ③设函数，则的最大值为； ④设函数，则的最小值为． 其中所有正确结论的序号是 ． 【变式16-3】《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为 . 题型十七：特定形式的最值问题 【例17】（多选题）（2025·河南·三模）已知正数x，y满足，则（   ） A． B． C． D． 【解题总结】 利用基本不等式变形求解 【变式17-1】（多选题）（2025·河北·二模）已知，，，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为 B．的最小值为4 C．的最大值为2 D．的最小值为 【变式17-2】（多选题）（2025·湖南郴州·三模）设正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式17-3】（多选题）（2025·辽宁·三模）已知，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的最大值为 C．若，则的最小值为1 D．若，则的最大值为 题型十八：恒(能)成立问题 【例18】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 【变式18-1】（2025·高三·浙江宁波·期末）设实数x，y满足，，不等式恒成立，则实数k的最大值为（    ） A．12 B．24 C． D． 【变式18-2】（2025·广东湛江·二模）当，时，恒成立，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式18-3】已知实数 满足， 且， 若不等式恒成立， 则实数的最大值为 （    ） A．9 B．12 C．16 D．25 题型十九：常见的几何无字证明模型 【例19】在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形中，，且，，和为平行于底的两条割线，其中为中位线，过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【解题总结】 利用几何法转化 【变式19-1】三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 【变式19-2】数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（    ）． A． B． C． D． 【变式19-3】《九章算术》中有“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步．问：勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3，设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（    ） A．由图1和图2面积相等得 B．由可得 C．由可得 D．由可得 题型二十：构造不等式法求最值 【例20】（2025·安徽·模拟预测）已知正实数满足，则的取值范围为 . 【解题总结】 利用求解. 【变式20-1】（2025·山东·二模）若实数x，y，z满足，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式20-2】（2025·山东·模拟预测）已知，则的最小值是（   ） A． B．4 C． D．8 【变式20-3】已知三次函数在上单调递增，则最小值为（    ） A． B． C． D． 1．已知为正数，求的最大值（    ） A． B．1 C． D． 2．已知实数a，b，c满足． (1)若，求证：； (2)若a，b，，求证：． ①数形结合 1．如图，在一个圆心为O，半径为R的半圆形钢板上截取一块矩形材料，使矩形的一边落在半圆的直径上，则这个矩形的面积最大时，的大小是    A． B． C． D． 2．在中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若，，，，则的最小值为     A．3 B．8 C． D．9 3．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为    A．8 B．12 C．32 D．16 ②转化与化归 4．若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A． B． C．4 D．6 5．非零实数a，b，c满足，，成等差数列，则的最小值为    A． B． C．3 D． 6．已知正实数a，b，满足，则的最小值为    A．2 B．1 C． D．4 ③分类讨论 7．已知数列的前n项和，当取最小值时，          ． 8．以表示数集A中最大的数．已知，，，则的最小值为          ． 9．设，，且，则的最大值为          ． 基础过关篇 1．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知，且，则的最小值为 . 4．（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版））若，，则的最小值为 . 5．（2025·湖北十堰·模拟预测）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2025·湖北·模拟预测）已知实数，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东济宁·二模）若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 8．（2025·江西景德镇·模拟预测）已知向量，若在上的投影向量相等，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 9．（2025·山东临沂·二模）已知为正项等差数列，若，则的最大值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 10．（2025·湖南娄底·模拟预测）已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 12．（多选题）（2025·湖北·模拟预测）若，则（   ） A． B． C． D． 13．（多选题）（2025·福建三明·三模）以下结论正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．若，则 C．若，，则的最小值为 D．若，则 14．（多选题）（2025·河北张家口·三模）已知，，且，若，则（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为 D．的取值范围为 15．已知a，b为正数，且满足，则的最小值为 ． 16．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知是椭圆的两个焦点，点在上，则的最小值为 . 能力拓展篇 17．（2025·四川成都·模拟预测）已知锐角，满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 18．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为 . 19．（2025·福建泉州·模拟预测）已知正实数满足，若的最小值为4，则实数的取值范围是 ． 20．（2025·辽宁沈阳·一模）若正实数x，y满足，设﹐则z的最小值为 ． 21．已知函数，若，且，则的最小值为 ． 22．已知，，且，若的最小值为3，则 . 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $$