精品解析：江西省景德镇市2025届下学期5月高考适应性测试数学试卷

高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法及共轭复数的概念求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集、并集、 运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以由正弦定理可得. 故选：C 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及正余弦齐次法求解即得. 【详解】 . 故选：C 5. 已知奇函数的定义域为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以. 令，得. 故选：A 6. 已知为坐标原点，椭圆：的右顶点为，以为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为，M，N，若以，M，A，N为顶点的四边形是正方形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正方形、椭圆的对称性求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出离心率. 【详解】由对称性，不妨设点在第一象限，则，于是，即， 所以椭圆C的离心率. 故选：B 7. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的等价条件，再求出的等价条件，从而可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，则，即. 令，则. 当时，；当时，. 在上单调递增，在上单调递减， ，所以方程有唯一解，即， 所以方程的解为. 若，则，解得或，所以或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 8. 在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据异面直线所成角定义结合正方体的几何特征求解. 【详解】正方体中，，所以为等边三角形. 因为，所以或其补角为直线与所成的角. 当点与线段的端点重合时，直线与所成的角取得最小值； 当点与线段的中点重合时，直线与所成的角取得最大值. 故直线与所成角的取值范围. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据周期函数的定义及正弦函数的性质分别判断即可． 【详解】对于A，， 所以不是以为周期的函数，A不符合题意； 对于B，， 所以是的周期，当时，， 所以在上单调递增，B符合题意； 对于C，，，最小正周期为， 当时，，所以在上单调递增，C符合题意； 对于D，，，最小正周期为， 当时，，所以在上单调递增，D符合题意； 故选：BCD． 10. 已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1，利用点到直线距离公式去判断四个选项，得到答案. 【详解】由题意可得原点O到直线的距离小于或等于1， A选项，原点O到的距离， 点在上，且到原点O到距离为1，满足要求，A正确； B选项，原点O到的距离为1，B正确； C选项，原点O到的距离，满足要求，C正确； D选项，原点O到的距离，D错误. 故选：ABC 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最大 D. 若，则当时，最大 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式，结合互斥事件的概率计数判断A；利用条件概率、全概率公式探讨的关系，再赋值计算判断BCD. 【详解】对于A，，，，A正确； 当时，记事件“甲在该比赛中获胜”，“第一局甲赢”，“第二局甲赢”， ， 当事件和发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中至少要赢局，则； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于或恰好赢了局，所以； 当事件发生时，要使得甲在该比赛中获胜，则在后续的局比赛中赢的局数大于， 可看成事件“在后续的局比赛中赢的局数大于”与事件“在后续的局比赛中恰好赢了局”的差事件，所以， 则 ， 即， 对于B，若，则，当时，即， 即当时，最大，B正确； 对于C，若，则，当时，，即， 即当时，最小，C错误； 对于D，若，则，当时，，当时，， 即当时，，当时，，则当时，最大，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则________. 【答案】0.2## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质结合已知概率计算求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案： 13. 已知边长为6的等边三角形的内心为，则_______. 【答案】-6 【解析】 【分析】利用等边三角形三心合一，记的中点为，可得，对进行转化可求解. 【详解】记的中点为，等边三角形的内心，也是三角形的重心，所以 ， 则. 故答案为：-6 14. 已知函数，若，则的最大值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定的函数，求出定义域及单调性，不妨设，去掉绝对值符号，结合对数运算及基本不等式求出最大值. 【详解】函数的定义域为，， 函数在上单调递增，在上单调递增，因此在上单调递增， 不妨设，则，即， 因此，整理得，则， 当且仅当时取等号，则，即， 而，解得，从而最大值为2，此时， 所以的最大值为2. 故答案为：2 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 【答案】（1）1055kg，4700 （2）该新型水稻不能推广种植 【解析】 【分析】（1）代入样本平均数和方差公式，即可求解； （2）首先计算的范围，再根据样本数据比较，即可判断. 【小问1详解】 由频数分布表可得. . 【小问2详解】 因为， 所以，， 所以. 亩产量在内的稻田有10块，所以亩产量在内的稻田不超过90块，即亩产量在内的稻田不超过90块. 故该新型水稻不能推广种植. 16. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和双曲线所过点的坐标可求方程； （2）①利用弦长公式可求答案；②结合韦达定理求出，再利用斜率公式可求答案. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 17. 已知数列的前n项和为，且，为常数，记. （1）若数列为等差数列，求的公差. （2）设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）1 （2）①； ②证明：当时，，满足. 当时，， 则 . 综上. 【解析】 【分析】(1)根据证明定义法证明数列是等差数列即可. (2) 根据数列的通项和数列前n项和得关系,求出通项公式.根据放缩法对数列前项和进行放大,证明新代数式符合不等式要求,证明不等式. 【小问1详解】 因为，所以， 则，，. 因为数列为等差数列，所以，即，解得， 所以的公差为. 【小问2详解】 ①解：当时，， 当时，， 故的通项公式为 ②略 18. 如图，该几何体由两个相同的正四棱台组合而成 （1）证明：. （2）已知M，N，O分别是棱，，的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱的长度. （3）已知，该几何体的体积，平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 【答案】（1）如图，分别延长两个正四棱台的侧棱，得到正四棱锥及正四棱锥， 所以. 连接，，记，连接，. 在正四棱锥及正四棱锥中，平面，平面， 所以直线与是同一条直线. 因为，所以P，E，G，Q四点共面，所以四边形为菱形，所以. （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）根据P，E，G，Q四点共面，四边形为菱形，即可得出； （2）根据正六边形边长计算求解得出； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再应用二面角余弦计算得出，最后结合四棱台体积公式计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，. 因为过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形， 所以，. 故. 【小问3详解】 解：记正方形的中心为，连接，. 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，，， 所以，. 记平面的法向量为， 则即 取，则. 同理可得平面的一个法向量为. ， 解得， 所以正四棱锥的体积. 因为该几何体的体积为，所以正四棱台的体积， 则正四棱锥体积. .设，则. 因，所以，所以， 则，解得. 19. （1）证明：在上恒成立. （2）若，证明：函数在上恰有1个零点. （3）试讨论函数在上的零点个数. 【答案】（1）证明：令函数，，则， 所以在上单调递增， 则，即在上恒成立. （2）证明：因为，所以在上单调递增. 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立， 所以， 因为，故取，取， 则， 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点. （3）当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 【解析】 【分析】（1）令函数，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式； （2）利用导数可证的单调性，结合零点存在定理可证函数零点个数为1； （3）利用指对数转化可将原函数的零点个数转化为，的零点个数，后者可利用导数得其在上的单调性后结合零点存在定理判断零点个数. 【详解】（1）略 （2）略 （3）令，即，等价于. 记， 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点. 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同. ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点. 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 而，故，取，则， ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点， 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 3. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 4 5. 已知奇函数的定义域为，且，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 6. 已知为坐标原点，椭圆：的右顶点为，以为直径的圆与椭圆C的三个公共点分别为，M，N，若以，M，A，N为顶点的四边形是正方形，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 在正方体中，为线段上的动点，则直线与所成角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数中，以为周期且在上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知为坐标原点，若直线上存在点P，使得，则称该直线为“1距直线”，下列直线是“1距直线”的是（ ） A. B. C. D. 11. 某比赛共进行局，每局比赛没有平局，局比赛结束后赢得n局以上的一方获胜.甲、乙进行该比赛，已知甲每局比赛获胜的概率为p，每局比赛的结果相互独立，记甲在该比赛中获胜的概率为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则当时，最大 C. 若，则当时，最大 D. 若，则当时，最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则________. 13. 已知边长为6的等边三角形的内心为，则_______. 14. 已知函数，若，则的最大值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表. 亩产量 频数 10 11 22 30 20 7 记这100块稻田亩产量的平均值的估计值为，标准差的估计值为.（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （1）求，； （2）判断该新型水稻能否推广种植（在这100块稻田中，若超过90块稻田的亩产量在内，则认为该新型水稻能推广种植）. 16. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 17. 已知数列的前n项和为，且，为常数，记. （1）若数列为等差数列，求的公差. （2）设. ①求的通项公式； ②记数列的前n项和为，证明：. 18. 如图，该几何体由两个相同的正四棱台组合而成 （1）证明：. （2）已知M，N，O分别是棱，，的中点，过点M，N，O的平面截该几何体所得的截面是边长为2的正六边形，求棱的长度. （3）已知，该几何体的体积，平面与平面夹角的余弦值为，求棱的长度. 19. （1）证明：在上恒成立. （2）若，证明：函数在上恰有1个零点. （3）试讨论函数在上的零点个数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $