2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷（湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学)数学试题（三）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 6已知函数y-sn:与y=r(w>o)的图象在[o,2]上始有5个公共点，且其中一个公 共点的坐标为(m,),则的值为 数学（三） A黄 B.2 c号 D.3 本试在总分15功分，考试时间120身钟。 注意事项： 7授等差数列{a.)的前n项和为5.，著S。一一3,5+1-0,5+=4：则m■ 1,答卷前，考生务必将白己的姓名，准考证号填写在著画卡上， A.8 B.7 C.6 D.5 2.回答这择题时，选出每小忍答案后，用铅笔把答思卡上对应题目的答案标号涂期，如雷 改动，用橡皮擦干净后，再法谕其抛答案标号。回答非速择蓝时，将答案写在答题卡上，写在本 试垂上无效， &已知定义坡为R的通数了)满是/在+2)-2.且当z∈〔-1,1时，c)-6m受 3.考试结束后，将本其卷和答题卡一并交回， 若对任息x∈(-四，m]都有fx》≤2，则m的最大值为 一，选择盈：本通共多小思，每小题多分，共修分。在每小题给画的国个透项中，凡有一项是符 九号 a号 c号 a装 合题目要来的。 二，选择圆：本是共3小服，每小盟6分，共18分。在每小题始出的进顶中，有备项符合题目要 1.已知(1一)一一4，则：在复平面内对应的点位于 求。全都选时的得6分，都分选对的得部分分，有恋情的得●分。 A第一象限 且第二象限 C第三象履 D第四象限 9.在直角棉形ABCD中，AD∥BC,AB⊥BC,BC=2A目一2AD=4,E为BC的中点，则 2.已知面数y-l(x一1)的定义禁为A,第合B=x∈N-1<x<4,则A∩B一 A.A正=DC B元.AC-8 A(1,40 且.(-1，+60》 C1,2.3,4 D{2,3} C.D正.C-5 D.(2AD-4AB)LAC 有3.已知抛物线Cy-2x(>0)的集点为F,准线为1，点P(-一9,0》与点F关于直线l对称， 10,一定不存在函数fx》清足：对任意x∈R都有 则C的方程为 A.f(sin r)=cosz 且，f(eom2x)■inx Ay2-3红 B.yimBz C.y3=12x D.y'-14z C.f(l+1)=+ D./+2)l+1l 4.如图，一个沙国模型正好放进一个2长为2的正方体中，使得岁覆准暂与正方体雅面位于同 1山.已知数列a,}满足2a*1-(a,一2)于+4，则下列说徒正确的是 一平面内，且其底面所在的圆是正方体底面的内初围，则该粉备的体积是 人3a:∈显，使得{a,}为常数列 B若a1=l,则a,<3 C若a1■一1,3M∈R,使得n>m时0，<M D若a>4,则a,l为递增数列 三，填空恩：本恩共3小题，每小题3分，共15分。 这已知h片+-明-停则aa-的-osa-D- C. 4 D.2n 这已知取由线C哈-子-16>0小>0)的霜运线与线-红一4有且收有一个公共在， 5已知某批学件的尺寸X量从正态分布N(s,),其申X∈(97,9)的零件为合格品，且 则C的离心率为 P(X≥)一0.025，现从这社零件中随机抽取200个，用Y表示这2个零件中合格品的个 14,甲、乙两人进行御服子比赛，在每轮比赛中，两人备自随机投掷质地均匀的醒子一次，规定 数，则E(Y) 点数大的得2分，点数小的得0分，点数相同时备得1分，三轮比赛结束后，甲得4分的板 A180 B185 C.190 D.195 率为 数学+养题参（三】1/4页 数学·押量售三)/4天 四、解苦题：本驱共5小题，共7分。解答应写出文字规用、证明过程成演算步现。 18.17分) 15.(13分) “猜灯蓬"是我国觉育节传统的文化酒动某地在元节举办形式多样的绮灯蔼比赛活动。 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分期是a,b,c,且(nB一1)(a题C一1)一2 比赛规则如下：慰个人形式参加比赛，每轮精一个灯護，猜中如1分，霸不中则减1分，每位参赛 (1)求A 者的初始积分均为1分.数设参每者在每轮比赛中猜中与精不中的板率均为Q.5,垂赛齐会一直 (2)若tunA,tamB,tanC构或等差数列，且△ABC的图飘为12，求a的值 玩下去，直到到如下两种情况才终止比赛，一种是参赛着积分为·分：一种是参赛者积分达到 10分.同时举办方规定积分这到10分的参赛者可获得奖品一倍. (1)求多赛者参与4轮比赛后积分为3分的版率： (2)设参赛者积分为m分(0≤知≤10：∈N)时，最终孩得奖品的凝率为P(n). (1)求P(n) (目)求参容者量终获得实品的展率， 16.15分) 如图，已知正三校桂ABCA:B1C,的底面边长为2，高为4，点P,Q端足萨-3PB: CQ-QC1. (1)证明：A,P⊥AQ: 19.(17分】 (2)求平面APQ与平面PQC夹角的余弦值. 已知A(-20.B2.0,点M,>0满是·-号 (1)求动点M的轨迹方程0： (2)在二次曲线中，我门常把存在相同对称袖和魔点的两段圆维典线驾合成的封闭曲线称 为里合曲线”.已知由线0与羞物线y2=2户x(净>0)构成“里合面线T.设点F1,) 的直线交组合由线"T于G,H两点，记1=|FG引，r3=|FH引 《1)若直线的料率为26，求r十r1的值： (1)试问二是否存在最值？清说明潭由。 13.(15分) 已知函数fx)=e一x (1)若a=1,证阴：函数f(x》在R上单调递增： (2)若面数f(x)有三个零点，求金的取值范围。 整学·押面8三》84夏 做学，押萄卷三】4/4西2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 数学（三） 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 C D C A B C B ABD ABC ABD 一、选择题 1,a1=3-m.因为S。=m（3一m)十 1.C【解析】由zx(1一√5i)=一4，得x= mm-1》=-3,所以m=6.方法二：由S+ 2 m -4 =一1一√3i,所以x在复平面内对应 1-√3i n十2 25得二3+ %=m開 m十2 =0,解得 的点位于第三象限 m=6. 2.D【解析】由题意知A={x|x>1},B= 8.B【解析】由f(x+2)=2f(x)得 {0,1,2,3},所以A∩B={2,3}. f(x)=2f(x-2),故当x∈1,3)时，x-2∈ 3.C【解析】由题意知F(台0）小，准线方程为 [-1,1),从而f(x)=2cosx2-2 2 2,同理， x=- 号，根据对称性得号+（一9）=2× 当x∈[3,5)时，fr)=4os,-,当r∈ 2 (-),因此p=6,故C的方程为y2=12x [5,7)时，/(x)=8cos,6》.作出函数图 2 4.A【解析】由题得沙漏的体积V=号Xx× 象如图所示，令f(x)=8cosr,-6)= 2 12X2=2 4反，解得x-号或x-号，结合图象可 5.C【解析】由P(X≥99)=0.025，可得 P(97<X<99)=1-2×0.025=0.95,则Y 知m B(200,0.95).故E(Y)=200×0.95=190. 6.B【解析】由题意知y=sin wx经过点（π， 0),因此πw=kπ，k∈N”,故w只能为整数， ■4. 排除A,C;当w=2时，y=sinx与y= sin2x的图象在[0,2π]上有5个公共点，满 足题意.当w=3时，y=sinx与y=sin3x 的图象在[0,2π]上有7个公共点，不满足 题意 7.C【解析】方法一：由Sm=一3，Sm+1= 0,Sm+2=4,得am+1=3,am+2=4,从而d= 高考押题卷 二、选择题 9.ABD【解析】由AD∥EC,且AD= 子即<号<3，故当a1=1时a.<3,故 EC=2,得四边形AECD为平行四边形，因 B正确；若a1=-1,则a:= 13 b1≠0，b:= 此AE=DC,故A正确：对于B,AD·AC= 2一2 AD·(2AD+AB)=2AD2=8,故B正确； 景当≥2时4，=（ 单调递增，当 对于C,D·AC=AB·(AB+BC)= n→十∞时，bn+十co,a.+十∞，故C错 AB2=4,故C错误；对于D,(2AD- 误；若a1>4,则a,>4,且2a2一2a1= 4AB)·AC=2AD·AC-4DE.AC= (a1-2)2+4-2a1=a-6a1+8>0,所 16-16=0,因此(2AD-4AB)⊥AC,故 以a:>a1.又当a:>4时，b>1.且当n≥2 D正确. 时，bn=(b2)2-2单调递增，{an也单调递 10,ABC【解析】对于选项A,因为f(sin石）= 增，所以当n≥1时，{a。}单调递增，故 D正确， f()=音-面f(血） 三、填空题 份)-s晋-停不特合隔数板金 所以A一定不满足；对于选项B, sin 11 4cos(a-B)+cos 4sin (a-B)= 11π f(cos2x)一定为偶函数，所以B一定不满 足；对于选项C,函数f(|x+1|)的图象是 ,因此cos(a-p-n(a-p)=号， 3 关于直线x=一1对称的，而y=x2十x的 图象不关于直线x=一1对称，所以不存在 故ina-B)-os(a-)=-子 这样的函数：对于选项D,令|x十1|=1(t≥ 13.√瓦【解析】设C的渐近线方程为y=kx(k≠ 0),则x2+2x=(x+1)2-1=2-1,所以 f(12-1)=t,再令12-1=s,l=√1十5，所 0),联立八=x, y2=4x-4. 得k2x2-4x十4=0. 以函数∫(s)=+5,存在函数满足 由△=0，解得k=土1.因此C的渐近线方 选项D. 程为y=士x,是等轴双曲线，故C的离心 11.ABD【解析】令2am+1=(a.一2)2十 率为e=√2 4=2a。,解得am=4或am=2,故A正确； 14. 145 由2a+1=(a.-2)2+4,得a,-2- 576【解析】用(a,b)分别表示甲、乙两人 2 投掷一枚骰子的结果，因为甲、乙两人每次 (色-2)令=2，则61=6若 投掷均有6种结果，则在一轮游戏中，共包 含6×6=36（个）等可能的基本事件.其中， b1=0,则a1=2,此时a。=2;若b1≠0，则 甲得2分，即a>b包含的基本事件有(2， 当n≥2时，bn>0,所以当n≥2时，有 1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5, 1gba+1=2lgbn,所以lgb.=(lgb2)X 1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6, 2"-2(n≥2)，即当n≥2时，b。=(b2)2-2 3),(6,4),(6,5),共15个，则甲每轮得2分 若a1=1,则e,=号<3,6a=子，当m≥2 的概率为器是同理可得，甲每轮得0分 时，6=()≤6，-子此时2≤ 的概率也是品，得1分的概率为行设事件 。2· ·数学· 答案与解析 A表示三轮比赛结束后甲得4分，则事件 由题意知，AP=√13，AQ=2√2，PQ=√5， A可分两类情形：①甲有两轮得2分，一轮 即AQ2+PQ=AP2, 51 5 得0分，概率为P,=C×(2)×立= 因此AQ⊥PQ. (2分) 125 在矩形ACC:A,中，Q为CC,的中点，因此 576:②甲有一轮得2分，两轮得1分，概率 A1Q=AQ=22,AA,=4, 为P2=C好 (信)×是=品所以 5 所以A,Q+AQ=AA1, 因此AQ⊥A,Q (3分) P(A)=P,+P,= 145 5761 由于AQ⊥PQ,AQ⊥A,Q,A,Q∩PQ= 四、解答题 Q,A,Q,PQC平面APQ 因此AQ⊥平面A:PQ. (5分) 15.解：(1)因为(tanB-1)(tanC-1)=2,所 tan Btan C-tan B-tan C+1=2, 由于A,PC平面A,PQ,因此A,P⊥AQ. (1分) (6分) 即tan Btan C=l+tanB+tanC.(2分) 方法二：设AC的中点为O,A,C1的中点为 因此tanA=一tan(B+C)=- tan B+tan C O1,连接OB,OO1,以OB,OC,OO1所在 1-tan Btan C 直线分别为x·y,:轴建立如图②所示的空 tan B+tan C tan B-tan G=1. (5分) 间直角坐标系， (1分) 则A(0,-1.0),A1(0,-1,4),P(5,0, 由于A∈(0，，因此A= (6分) 3).Q(0,1,2), (3分) (2)由题意知，2tanB=tanA十tanC, 所以A1P=(√3,1，-1)，AQ=(0,2,2). (7分) (5分) 因此2tanB=tanA-tan(A十B), 由于A,户·AQ=0,因此A1P⊥AQ.(6分) 即2anB=1-}Hm合 解得tanB=2,tanC=3. (8分) 因此sinA=sinB=名 ,sin C=- 3 5 √10 (11分) 设a=√5k,b=2√2k, 故S=号bsin C年3k2=12,解得k=2, ② 因此a=√5k=2√5 (13分) 16.(1)证明：方法一：如图①，连接A1Q, (2)解：设AC的中点为O,A,C,的中点为 (1分) O1,连接OB,OO1,以OB,OC,OO1所在 直线分别为x,y,:轴建立如图②所示的空 间直角坐标系， (7分) 则A(0,-1,0),C(0,1,0),P(3,0,3), Q(0,1,2),Ap=(5,1,3),AQ=(0, 2,2),Cp=(3,-1,3),CQ=(0,0,2). (9分) ① 设平面APQ的法向量为n1=(x1,y1,1), 高考押题卷 AP·n1=3x1十y1+31=0, 单调递增. 则 AQ·n1=2y1+2x1=0, 因为g0)=18(月)=1-<0，所以 令x1=2,则n1=(2,5,-3),(11分) 函数g(x)在（一∞，0）上有一个零点： 设平面PQC的法向量为n2=(x2,y2,:), (10分) 则 Cp,n2=3x2-y2+3x2=0, 当x∈(2，十∞)时，g'(x)>0,函数g(x) C0·m2=2x2=0, 单调递增， 令x2=1,则n2=(1,3,0) (13分) 当x∈(0,2)时，g'(x)<0,函数g(x)单调 设平面APQ与平面PQC的夹角为0， 递减， 则cos0= |n1·n2|2+3√10 所以当x∈(0，十∞)时，g(x)的最小值 |n,n22X√/1o 4 为g2)=1-包 (11分) 故平面APQ与平面PQC夹角的余弦值为 √ 若g2≥0即a<号g在0，+o)上 4 (15分) 设有零点： (12分) 17.(1)证明：当a=1时，f(x)=e-x2, 则f'(x)=e-2x, (1分) 若82)=0，即a=年，gx)在0，十o∞)上 要证函数f(x)在R上单调递增，只要证明 有一个零点： (13分) f'(x)>0在R上恒成立 (2分) 若g(2)<0,即>g 令h(x)=e-2x 4 因为h'(x)=e'-2,令h'(x)=e-2=0, 因为g(0)=1>0,当x→十∞时，g(x)一 解得x=ln2. (3分) 1,所以g(x)在(0，十∞)上有两个零点. 由h'(x)>0,得x>ln2,此时函数f(x) (14分) 单调递增： (4分) 综上，当a>号时，了)有3个零点。 由h'(x)<0,得x<ln2,此时函数f'(x) (15分) 单调递减， (5分) 方法二：当a≤0时，f(x)>0恒成立， 所以当x=ln2时，∫'(x)取得最小值 f(x)没有零点，故a>0. (8分) 2-2ln2. (6分) 当x≤0时，y=e单调递增，y=ax2单调 因为2-2ln2>2-2=0,所以f'(x)>0恒 递减， 成立， 故f(x)=e一ax2在（一∞，0]上单调递增. 即f(x)在R上单调递增. (7分) (9分) (2)解：方法一：令f(x)=c-ax2=0,等 且当x→-∞时，f(x)<0,f(0)=1>0,故 价于1-a.x2e=0, f(x)在（一∞，0]上有唯一零点.(10分） 设g(x)=1-ax2e, (8分) 所以f(x)在R上有三个零点等价于f(x) 当a≤0时，g(x)>0,g(x)没有零点； 在(0，十∞)上有两个零点， (9分) 当x>0时，由f(x)=0, 当a>0时，g'(x)=ax(x一2)e, 即e=ax2,得lna=x-2lnx.(11分) 当x∈(-∞，0)时，g'(x)>0,函数g(x) 令g(x)=x-2lnx, 4 ·数学 答案与解析 则g'(x)=1-2=x-2 (12分) 则P(n)-P(0)=nd, x 当x∈(0,2)时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 故P10)-P(0)=10d,得d=品14分) 当x∈(2，+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调 递增， 所以Pm)=P(o)+品=品 (15分) 故当x=2时，g(x)mi。=2-2ln2.(13分) (ⅱ)由于参赛者的初始积分为1分，所以参 且当x→0时，g(x)→十∞，当x→十∞ 时，g(x)→十o∞， (14分) 赛者最终获奖的概率为P(1)=0（17分) 故要使f(x)在(0，十∞)上有两个零点，则 19.解：(1)MA·M店=(-2-xo,-y)· 只要1na>2-2ln2即可，解得a> (2-xa,-yo)=(x0+2)(x。-2)+y= 4 综上，当a>时)有3个零点。 3, (2分) (15分) 5=1, 所以士号 18.解：(1)用1表示某轮猜中，用一1表示某轮 猜错， 所以n的方程为号+ -=1(x≥0).(4分) 则4轮比赛后积分为3分的猜灯谜的情况 (2)(1)根据(1)可知2的焦点为(1,0)， 可以用数列表示为1,1,1，-1或1,1，一1， 则抛物线方程为y2=4x, (5分) 1或1，-1,1,1， (3分) y2=4x, 故参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概 联立 率P=8x(合)×- (4分) (2)(1)当n=0时，则参赛者一定不能获 解得=一6（会去）政号 (6分) 奖，因此P(0)=0 (5分) 当n=10时，则参赛者一定能获奖， 因此“组合曲线”T为曲线y2=4x(0≤x≤ 因此P(10)=1. (6分) 号)与7+号-（号<x<2到组合而成， 当1≤n≤9时，记事件A为当参赛者积分 为n时最终获得奖品，事件B为当参赛者 设下交点为E,则E坐标为停，-2) 积分为n且下一轮猜中. (7分) 则A=AB+AB, (8分) (7分) 由全概率公式得P(A)=P(B)P(AIB)十 由于kr=2√6，因此当直线的斜率为2，√6 P(B)P(AIB), (9分) 时，G,H就是直线与椭圆的交点， 即当n≥1时， by=26(x-1) P)=2Pa-1D+号P(a+1D,1分) 因此联立 所以P(n)-P(n-1)=P(n+1)-P(n), 14 (12分) 解得x1=号x:行 (8分) 所以{P(n)}是一个等差数列. (13分) 设P(n)-P(n-1)=d, 故r+rn=+x1-x= 33(9分) ·5· ()设直线的倾斜角为α，根据对称性，不 2 妨设G在上方，H在下方. H在抛物线上，r:一1十cosa 由(1)可知，当tana=士26， 当-1长ose<号时， 即c⊙。=士号时，直线正好过椭圆与抛物 3 H在椭圆上，r:=2-cosa (13分) 线的上下交点， 先讨论G的位置， 因此，当写<cose<1时，月=2计d0s。 3 由题意知G(1十r1cosa,r1sina).(10分) 当-长ose<1时， 1+四=-2+do品小 (14分) G在椭圆上，代入椭圆方程， 得到1+ricosa)2+,sina 当-1≤os8≤-号时，月-1-0d 2一 -=1, 4 3 解得r1一2+cos 3 29-引+1-s)]: 或r1= cosa-2(舍去)， (15分) (11分) 当-1≤c0sa<-弓，G在抛物线上， 1 当-<a<时，-。· 根据抛物线定义可知r1=2十r1c0sa, 2-1+2+。(品号》 3 2 (16分) 因此r1= 1-cos a (12分) 同理再讨论H的位置， 综上，当6oa=时号有最小值品 由题意知H(1一r:cosa,一rasin a). 当c0s。=一号时，2有最大值号 (17分) 当写长0sa≤1时：