精品解析：2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷（湖北省黄冈市黄梅县育才高级中学）数学试题（二）

2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 4. 若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 5. 已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于集合、，定义运算：且，.若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 11. 在直三棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线，则点的轨迹长度为 D. 若分别为的中点，则平面截三棱柱所得截面的周长为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 13. 已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为__________. 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 16. 在电影《哪吒2》上映后，某电影公司为了解观众对该部电影的喜欢程度与性别的关系，随机抽取了200名观众进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 100 女性 60 100 合计 （1）请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与喜欢程度有关联？ （2）将喜欢电影《哪吒2》的观众称为“吒迷”，为了解他们的观后感，从“吒迷”中按性别用分层抽样的方法随机抽取7名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取4人做进一步调研，记抽出的4人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为等边三角形，直线与圆相切. （1）求的方程； （2）是否存在过点的直线与相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 18. 如图①，正方形 的边长为是的中点，点在边上，且．将沿 翻折到的位置，使得平面平面，如图②． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 给出如下定义：已知两个函数和，集合为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对于任意的，都有，则称函数为和在集合上的一个“隔离函数”. （1）若，且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”，请作出判断并证明你的结论； （2）若，且是和在上的“隔离函数”，求实数的取值范围； （3）若（其中），，其中是与在上的“隔离函数”，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟押题卷 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若“”是真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由判别式即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：A 2. 已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆锥表面积公式可求. 【详解】圆锥母线， 则圆锥的表面积， 故选：D. 3. 已知函数的最小正周期为，则在上的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】由周期公式求得，然后由换元法即可求解. 【详解】由题意，解得，， 所以的最大值为3. 故选：D. 4. 若的展开式中的各项系数和为243，则该展开式中的系数为（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 【答案】D 【解析】 【分析】令求出，然后根据展开式的通项求解即可. 【详解】令，可得，则， 则的展开式的通项为，， 令，得， 则的展开式中的系数为. 故选：D. 5. 已知向量，向量在向量上的投影向量是，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量的公式可求的值，将转化为，则可代入的值进行计算求得结果。 【详解】由得， 因为在上的投影向量为， 所以， ，即， 代入与得，解得. 故选：B. 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示，即，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角公式与诱导公式即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 8. 已知椭圆的右焦点为，过点作两条相互垂直的直线分别与相交于，和，则四边形面积的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，然后分情况讨论直线的斜率情况.设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用弦长公式求出和，进而得到四边形的面积表达式，再通过函数求最值的方法求出面积的最小值. 【详解】在椭圆中，，，则，所以右焦点. 当直线的斜率存在且不为时， 设直线的方程为，，. 联立，消去可得： 即 由韦达定理可得，. 根据弦长公式，可得： 因为，所以直线的斜率为，同理可得. 则四边形的面积 根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立. 所以. 当直线的斜率为时， 此时，，则四边形的面积. 当直线的斜率不存在时， 此时，，则四边形的面积. 综上所得，则四边形的面积最小值为 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于集合、，定义运算：且，.若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题中定义以及集合运算逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据题中信息可得，A对； 对于B选项，根据题意可得，故，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：ABD. 10. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 的图象关于对称 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据条件分析出的周期性和对称性，再得到的周期性，根据函数性质、简单复合函数求导逐个判断即可得结果. 【详解】由题意可得，两式相减可得①， 所以,令，可得, 所以， 所以的图象关于对称，故A正确； 因为为奇函数，所以关于中心对称， 所以②，②式两边对求导可得， 结合，可得： 所以，令，可得：， 所以即，故B错， 因为，可知也是周期为4的周期函数， 即，两边求导可得，所以，故C正确； 是周期为4的周期函数，所以， 因为，令，则，即， 又，所以，又因为是周期为4的周期函数， 则，由可得， 所以，所以，D正确. 故选：ACD 11. 在直三棱柱中，，则（ ） A. 异面直线与所成的角为 B. 若点在线段上运动，则的最小值为 C. 点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线，则点的轨迹长度为 D. 若分别为的中点，则平面截三棱柱所得截面的周长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意可证平面，继而可得，A错；路径问题，沿展开平面即可求解；由题知点为平面与侧面的交线；根据截面问题作出截面，然后求各边长即可. 【详解】 在直三棱柱中，，， 又,平面平面， 又平面，， 又，，异面直线与所成的角为，故A错误； 平面沿展开到平面中，如图， ∵， ∴，，故展开图为矩形， （当在连线上时取等），故B正确； 点在侧面上运动，点在棱上运动，若直线是共面直线， 所以点的轨迹为平面与侧面的交线，长度为，故C正确； 分别为的中点，在平面中，延长交于，连接交于，连接，故四边形为所求截面，如图， ∵为的中点，∴为的中点， ∵为的中点，∴为的重心，， ， ，， 所以截面周长为，故D正确， 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】由复数的加减运算及模长公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：5 13. 已知奇函数为上的单调递增函数，且当时，，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据奇函数的性质得到与的关系，再将所求式子进行变形，最后利用基本不等式求解最小值. 【详解】已知是奇函数，则. 因为，所以. 又因为在上单调递增，所以，即. 由可得. 则. 将展开可得： . 因为，所以，. 根据基本不等式，则，当且仅当时等号成立. 所以. 故答案为： . 14. “”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为9.若上第一象限内的点满足的面积为，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】确定点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 【详解】已知原点在上，则， 设为上任意一点， 则有，整理得． 因为，又， 所以，可得， 所以点是曲线和以为直径的圆在第一象限内的交点， 联立方程，解得，，即， 所以， 故答案为：6 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质求出公差，再利用等差数列的通项公式即可求解， （2）根据裂项相消法求和即可得解. 【小问1详解】 由可得，故公差， 所以， 【小问2详解】 由于， 故 16. 在电影《哪吒2》上映后，某电影公司为了解观众对该部电影的喜欢程度与性别的关系，随机抽取了200名观众进行调查，得到如下2×2列联表： 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 100 女性 60 100 合计 （1）请完成列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为性别与喜欢程度有关联？ （2）将喜欢电影《哪吒2》的观众称为“吒迷”，为了解他们的观后感，从“吒迷”中按性别用分层抽样的方法随机抽取7名观众，然后再利用随机抽样的方法抽取4人做进一步调研，记抽出的4人中女性的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 80 100 女性 40 60 100 合计 60 140 200 性别与喜欢程度无关联； （2） 0 1 2 3 数学期望. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，再计算的观测值，并与临界值对比判断. （2）由分层抽样求得抽取的7名观众中，男女性人数，再求出X的可能值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【小问1详解】 依题意，列联表如下： 性别 喜欢程度 合计 不喜欢 喜欢 男性 20 80 100 女性 40 60 100 合计 60 140 200 零假设：性别与喜欢程度无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到， 依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即认为性别与喜欢程度无关联. 【小问2详解】 依题意，抽取的7人中，男性人数为：人，女性人数为人， X的所有可能取值为， 则，， 所以X的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 17. 已知椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点为，且为等边三角形，直线与圆相切. （1）求的方程； （2）是否存在过点的直线与相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意易得和，联立即得； （2）依题意设出直线l的方程，与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由算得或，得出韦达定理，计算并将其与题设联立求出值检验即得. 【小问1详解】 由为等边三角形，可得：， 又直线与圆相切， 可得：，化简可得：， 联立，可得， 则， 所以椭圆C的标准方程是. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时，，，，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，如图，设直线l的方程为，，， 由消去y整理得：， 由解得或， 由韦达定理得：，， ∴， ∵，∴，解得，满足， 所以存在符合题意的直线，其方程为. 18. 如图①，正方形 的边长为是的中点，点在边上，且．将沿 翻折到的位置，使得平面平面，如图②． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1）证明：因为四边形 为正方形，所以，由折叠得， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得出平面，再根据线面垂直的性质及判定即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据面面角的向量公式即可求解； （3）在平面中，过点作，垂足为，得出的长即为点到平面的距离，根据三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，过点作，垂足为， 由勾股定理得，，所以， 以为原点，以平面内过点垂直于的方向为 轴，直线方向为轴，过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 则，， 因为，所以，则, 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，取则， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值． 【小问3详解】 在平面中，过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，所以的长即为点到平面的距离， 在中，， 所以， 所以点到平面的距离为． 【点睛】 19. 给出如下定义：已知两个函数和，集合为这两个函数公共定义域的一个连续的非空子集，如果对于任意的，都有，则称函数为和在集合上的一个“隔离函数”. （1）若，且其中一个函数为另外两个的“隔离函数”，请作出判断并证明你的结论； （2）若，且是和在上的“隔离函数”，求实数的取值范围； （3）若（其中），，其中是与在上的“隔离函数”，证明：. 【答案】（1） 函数为和在集合上的一个“隔离函数”， 证明如下：设，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，当且仅当时等号成立； 设，， 则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 即，当且仅当时等号成立. 综上所述，对于任意的，都有， 则函数为和在集合.上的一个“隔离函数”. （2） （3） 因为是和在上的“隔离函数”， 则对于任意的，都有. 当时，由，则， 即， 则， 设， 则， 又，则，，，， 则， 所以函数在上单调递减，又，， 则， 设不等式的解集为， 则， 则； 当时，， 由于，则，则，， 则，因此， 因为，所以； 则时，都有， 由于，都为偶函数， 因此当时，成立. 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）结合题设新定义，构造函数，，，结合导数分析其单调性进行证明即可； （2）结合题意可得，对于任意的，都有，进而构造函数，结合导数求解即可； （3）结合题意可得对于任意的，都有，进而分，进行讨论可得当时，都有，再结合为偶函数进行求证即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为是和在上的“隔离函数”， 则对于任意的，都有， 即. ①由，即， 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，则； ②由，即， 设，， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 当时，，，， 则，即在上单调递增， 所以，符合题意； 当时，，，， 故存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，则，符合题意； 当时，，不满足，不符合题意， 所以要使，则. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $