第04讲 基本不等式（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 基本不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 由基本不等式比较大小 题型02 由基本不等式证明不等关系 题型03 基本不等式求积的最大值 题型04 基本不等式求和的最小值 题型05 基本不等式“1”的妙用求最值 题型06 条件等式求最值 题型07 基本不等式的恒成立问题 题型08 基本（均值）不等式的应用 02 核心突破提升练 01 由基本不等式比较大小 1．已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 【答案】 【知识点】比较函数值的大小关系、由基本不等式比较大小、判断指数函数的单调性 【分析】根据基本不等式易得，进而结合指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，则，当且仅当时等号成立， 而，当且仅当时等号成立， 则， 因为函数为减函数， 所以，即. 故答案为：. 2．若，则实数的取值范围是 【答案】 【知识点】由基本不等式比较大小、由对数（型）的单调性求参数 【解析】本题考查对数函数的性质，涉及基本不等式，由基本不等式得，进而判定函数的单调性，从而确定的范围. 【详解】由基本不等式得，且∵a≠1，∴“等号”不能取到， ∴， 若,则为单调递增函数，于是，与矛盾； 若,则是单调递减函数，此时，满足， 故答案为. 【点睛】注意基本不等式取等号的条件在这里不成立，从而得到，然后分类讨论，看是否满足题意. 3．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 【答案】A 【知识点】由基本不等式比较大小、平均数的和差倍分性质、计算几个数据的极差、方差、标准差、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】根据随机变量的取值情况，计算出它们的期望和方差，再借助均值不等式即可判断作答. 【详解】由随机变量的取值情况，它们的期望分别为：， ，即， ， 则 同理， 则 则 ， 因为 所以， 因为，不能取等号，所以，所以 所以. 故选：A. 4.若，且，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由基本不等式比较大小、由基本不等式证明不等关系、比较函数值的大小关系、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】构造函数，根据在单调递增，在单调递减，结合基本不等式可得即可根据选项求解. 【详解】设，，，， 因为，，，所以， 如图，在单调递增，在单调递减， 故当时，单调递增，所以，即，故A正确， 故当时，单调递减，所以，即，故C正确， 当时，如图，即，故B正确， 若，则，若则，所以不可能出现，所以D错误， 故选：D 5.（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1）；（2）的最小值20， 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 02 由基本不等式证明不等关系 6．设是四个正数. (1)已知，求证：; (2)已知，求证：中至少有一个小于1. 【知识点】由不等式的性质证明不等式、由基本不等式证明不等关系、反证法证明 【分析】（1）根据为正数，，将展开利用基本不等式即可证明成立；（2）采用反证法证明即可. 【详解】（1）证明： ， 当且仅当成立，得证. （2）证明：假设都大于等于1，那么有 四式相乘可得与小于16矛盾. 故假设错误，即中至少有一个小于1. 7．若正数、满足：. （1）求证：； （2）求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求和的最小值 【解析】（1）利用基本不等式求得，即可证得结论成立； （2）计算得出，利用基本不等式计算出的最小值，由此可得出的最小值. 【详解】（1）因为正数、满足， 则， 当且仅当时，等号成立， 所以，； （2）， ， 当且仅当时，等号成立， 所以，， 因此，的最小值为. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．已知实数均大于0，证明：. 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】利用基本不等式证明. 【详解】 ， 当且仅当时取等号，证毕. 9．（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、由基本不等式证明不等关系、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）运用作差比较法作差通分整理后即可证明； （2）利用常值代换法和基本不等式即可求得的最小值，从而得证. 【详解】（1）由， 因，则，，故， 即得，故得证； （2）因正数x、y满足， 则 ， 当且仅当时等号成立. 由解得：， 即当，时等号成立，故得证. 03 基本不等式求积的最大值 10．设，，若，则的最大值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可求的最大值. 【详解】由题意得，， 当且仅当，即时取等号， ∴的最大值为. 故答案为：. 11．已知，若，则的最大值为 ． 【答案】1 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值 【分析】由条件可得，，结合不等式可求得结论. 【详解】因为，， 所以，故， 又， 当且仅当或时等号成立； 所以的最大值为. 故答案为：. 12．若，，，则的最大值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】根据基本不等式可得最值. 【详解】由已知，， 则， 即，， 当且仅当，即，时，取等号， 即的最大值是， 故答案为：. 13.已知正数，满足则的最大值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】由得，代入，利用基本不等式即可求. 【详解】因为，所以， 因为，为正数，故，所以， 所以， 当且仅当即，此时，取到最大值为. 故答案为： 14.若正数满足，则的最大值为 . 【答案】. 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式即可求得. 【详解】为正数，，即  ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号. 故答案为：. 15．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即的面积最大值为. 04基本不等式求和的最小值 16．若实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、比较指数幂的大小、指数幂的运算 【分析】由已知，，，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 17．已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用基本不等式计算可求最小值. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 故答案为：. 18．已知，则的最小值为 【答案】 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对数运算求得的关系，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以且， 所以， 当时等号成立. 故答案为： 19．已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据条件推理得到在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于，，故可以作出图形，设出，将所求转化成关于的函数形式，利用基本不等式即可求得. 【详解】因，由可得， 即在方向上的投影数量等于在方向上的投影数量，且等于， 又由可得，不妨设， 则，，于是， 因，则，因，当且仅当时，等号成立， 即当时，取得最小值. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于运用向量数量积的定义和投影向量的数量理解的相互关系,设出夹角，将所求化成关于的函数形式. 05 基本不等式“1”的妙用求最值 20．若正数满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据基本不等式求解． 【详解】由已知，当且仅当，即时等号成立，故所求最小值是． 故答案为：． 21．已知，，，则的最小值为 【答案】9 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将转化为，再由展开后利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故答案为：9. 22．已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可求出结果. 【详解】依题意，正数满足， 则，当且仅当时取等号， 由不等式对任意的正数恒成立，得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 23．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 【答案】8 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值. 【详解】由及，则， 当且仅当时等号成立，故的最小值为8. 故答案为：8. 24．已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、函数周期性的应用 【分析】确定函数的周期，结合可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为函数满足，则， 所以函数的周期为6， 又因为， 所以， 因为当时，， 则有，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 故答案为： 25．函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、对数型函数图象过定点问题 【分析】先由题意结合求出点A，进而由点A在直线上得，再结合基本不等式常数“1”的妙用即可求解. 【详解】因为，所以函数且的图象恒过定点， 即， 又点A在直线上，故， 又，所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为2. 故答案为：2. 26．已知函数，若，，且，则的最小值是 【答案】8 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 27．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】首先根据偶函数的定义，得出的值，再由得出，用不等式“1”的妙用，即可得出最小值． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即， 所以， 因为若正实数a、b满足， 所以，即， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故答案为：． 06 条件等式求最值 28．已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则、条件等式求最值 【分析】根据导数的几何意义可得，再结合基本不等式运算求解. 【详解】因为的定义域为，且， 由题意可得：， 又因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 29．设，若，则的最大值为 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、条件等式求最值 【分析】由指对互化 对数换地公式得，再根据基本不等式得，进而得. 【详解】解：因为，所以，所以， 因为，所以，故， 所以 故的最大值为. 故答案为：. 30．已知 ，则 的最大值为 ． 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为， 故， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最大值是. 故答案为：. 31．已知，，且，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】利用消元法结合基本不等式计算即可. 【详解】由，即， 所以， 当且仅当时取得最小值. 故答案为：2 32．已知，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据条件，利用重要不等式即可求出，从而得出结果. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以， 故答案为：. 33．设且，则的最小值是 . 【答案】 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由已知可得，即可将化为，展开后后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】由且，可得，且， 故 ， 当且仅当，结合，即时取等号， 即的最小值是， 故答案为： 07 基本不等式的恒成立问题 34．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 【答案】不存在 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】利用参变量分离法结合基本不等式求出的取值范围，即可得解. 【详解】由已知可得，，由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立，，故实数的最大值不存在. 故答案为：不存在. 35．若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】基本不等式的恒成立问题 【分析】变形可得，利用基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为、为正实数，所以， 所以由，可得， 又，当且仅当，即时取等号， 因为对任意正实数、，不等式恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 36．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 【答案】1 【知识点】基本不等式的恒成立问题、锥体体积的有关计算、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定的信息求出三棱锥的体积，进而求出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，并建立不等式求解. 【详解】在三棱锥中，两两垂直，且， 则，解得 ，又， 因此， 当且仅当时取等号，由恒成立，得， 于是，解得，所以正实数的最小值为1. 故答案为：1 37．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用、基本不等式的恒成立问题 【分析】把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合一次函数与基本不等式分别求得函数的最小值，列出不等关系式，即可求解. 【详解】由题意，对任意，总存在，使得， 等价于在成立， 根据函数在上为单调递减函数，所以， 即，即， 当时，可得；当时，可得， 所以当时，化简， 又由，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，即，即，所以a的最大值. 故答案为：. 【点睛】方法点拨： 把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键. 38．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据题意分析可得原题意等价于对任意的，不等式恒成立，结合基本不等式运算求解. 【详解】因为，且，整理得， 所以原题意等价于对任意的，不等式恒成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以. 故选：A. 39．在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(    ) A． B． C． D．不存在 【答案】B 【知识点】由单位圆求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、基本不等式的恒成立问题 【分析】用a、b表示出点A、B的坐标，利用三角函数定义结合探求出a、b的关系再求解即得. 【详解】、是位于不同象限的任意角，依题意它们的终边在x轴上方，不妨令为第一象限角，为第二象限角，则点，， 由三角函数定义知， ，而a>0，b>0， ，当且仅当时取“=”， ，当且仅当时取“=”， 所以a+b的最大值是. 故选：B 【点睛】基本不等式处理最值问题的三要素：“一正，二定，三相等”；不只一次涉及取等号，要确保各次取等号的条件不矛盾. 08 基本（均值）不等式的应用 40．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 41．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、基本（均值）不等式的应用 【分析】令，，在中应用余弦定理及基本不等式求最值，并确定取值条件，即可得答案. 【详解】令，，且， 在中，， 当且仅当米时，取最小值，此时最大. 故答案为： 42．已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和、由递推关系式求通项公式 【分析】根据递推式先推出，然后分组求和可得，结合条件，通过基本不等式，二次函数的性质求的最大值. 【详解】因为， 所以，将代入得， 所以，又， 所以， 所以 又因为，所以， 又由，，得， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，， 所以当时，最大，且最大为 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件中的递推式求出数列中隐藏的等比数列，然后利用分组求和的方法进行求和. 43．设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由得到S的最大值，再令，利用导数法求得其最大值，从而得到S的最小值即可. 【详解】解：， 因为，所以， 所以， 当或时等号成立，所以的最大值为1. 令， 则， 令，则， 令，得或（舍去），， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值， 从而，当，及时等号成立， 所以的最小值为. 所以S的最大值和最小值的差为， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用基本不等式变形，，再令转化为函数，利用导数法而得解. 44．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 【答案】1 【知识点】抛物线定义的理解、基本（均值）不等式的应用、余弦定理解三角形 【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值. 【详解】设，如图所示，根据抛物线的定义， 可知，， 在梯形中，有， 在中，， 又， ，故的最大值是1． 故答案为：1. 45．如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 【答案】(1)82米 (2)，4886平方米 【知识点】反三角函数、三角函数定义的其他应用、用和、差角的正切公式化简、求值、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据，求解，再用勾股定理求解即可； （2）分别求得的面积，进而表达出四边形的面积，再令，化简再用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）， . ， ， （米）. （2）， ， ， ， . 令，则， ，， ， ， 此时，即. 故当时，监控区域四边形的面积最大，约为4886平方米. 46.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 【答案】(1)当地铁的发车时间隔为5分钟时，地铁载客量； (2)发车时间间隔为6分钟，最大净收益为120元. 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据给定的函数，直接得答案. （2）分段计算净收益，并求最值，比较大小得解. 【详解】（1）依题意，的实际意义是：当地铁的发车时间间隔为5分钟时，地铁载客量. （2）当时， ，当且仅当时取等号； 当时，， 当且仅当时取等号，而， 所以当发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大净收益为120元. 一、填空题 1．已知正实数、满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为正实数、满足，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为. 故答案为：. 2．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】三角函数新定义、函数不等式恒成立问题、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、基本不等式求和的最小值 【分析】由三角函数新定义，将已知不等式等价转化成，利用同角的三角函数基本关系式化简右式，借助于基本不等式即可求得其最值即可. 【详解】由已知可得， 即， 因为，所以， 则， 因，当且仅当时等号成立， 此时，故. 故答案为：. 3．在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、基本不等式求和的最小值、用基底表示向量 【分析】由向量的线性运算可得，则，再由基本不等式求解即可. 【详解】解：因为是中线，所以， 又因为是的中点，所以 因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，取到最小值， 故答案为：. 4．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 【答案】或， 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面两点间的距离、基本不等式求和的最小值 【分析】表达出，得到，，由基本不等式得到的最小值，得到，即可得到直线方程. 【详解】因为直线与轴、轴分别交于点、点， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为， 所以，，所以，， 所以， 当且仅当时取等号，此时， 此时直线的方程为或， 故答案为：或， 5．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 【答案】 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】先利用展开变形，可得，再利用展开变形，将用表示出来，利用基本不等式求最值及等号成立条件即可. 【详解】, 则， 所以， 整理得， 因为，均为锐角，且，即， 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以取得最大值时，的值为. 故答案为： 6．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】正弦定理边角互化的应用、平面向量基本定理的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求和的最小值 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得， 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故，因为，所以， 又，所以， 如图，由题意可得，， 因为，，三点共线， 故可设，， 又因，，三点共线，故，即， 所以， 因为， 所以， 于是，即 两边平方得：， 当且仅当时等号成立， 故，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 7．在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是 ． 【答案】; 【知识点】三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值、余弦定理解三角形 【分析】由余弦定理即可求解，结合基本不等式求得最大值，即可求解. 【详解】由题意得， 因，故， 由，结合基本不等式：， 得，所以，当且仅当时取等号， 所以． 故答案为： 8．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】构造，利用函数的性质，将问题转化成在上恒成立，再通过分离常转化成求函数的最值即可求出结果. 【详解】因为关于x的不等式的解集是，所以在上恒成立， 令，易知为偶函数，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，由，得到， 当时，由，得到，又因为，当且仅当时取等号，所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 9．如图：已知△ABC中，，边长为1的正方形DEFG为△ABC的内接正方形，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、反三角函数 【分析】过点作，利用三角形相似得，再利用基本不等式即可得到最值. 【详解】过点作，设，，显然，    因为，所以，所以，① 同理，所以，② ①②得，即，则， 因为，则， 所以 ， 当且仅当，即， 故答案为：. 10．已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】求指定项的系数、基本不等式求积的最大值 【分析】由题得,，根据组合数公式和基本不等式即可求解. 【详解】, =, 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，的最小值为， 故答案为：. 11．设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意将不等式转化为恒成立，根据、的取值范围可得 对恒成立，分离参数可得，设，利用基本不等式即可求解. 【详解】显然，由对任意，若满足，， 可得， 对于，恒成立， 即为， 化简可得， 即， 即恒成立， 由，， 可得， 即对恒成立， 可得， 设， 则， 当，即，上式取得等号， 由，所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】易错点点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二、单选题 12．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 13．设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】由基本不等式证明不等关系 【分析】由运算“Δ”和“”定义，举例可判断选项A、B、C错误；由不等式的性质可证明选项D正确. 【详解】由运算“△”和“▽”知，表示数、比较小的数， 表示数、比较大的数． 当，时，，故选项A、C错误； 当时，，故选项B错误． ∵，且，∴， ∵，，∴，故选项D正确． 故选：D 14．已知函数，则下列命题正确的是（    ） ①对于任意、，都有成立； ②对于任意、，且，都有成立； ③对于任意、，且，都有成立； ④存在实数，使得对于任意实数，都有成立． A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 【答案】D 【知识点】判断或证明函数的对称性、指数幂的运算、判断指数函数的单调性、由基本不等式比较大小 【分析】利用指数幂的运算可判断①；利用指数函数的单调性可判断②；利用基本不等式可判断③；利用函数的对称性可判断④. 【详解】因为，且该函数在上为增函数， 对于①，对于任意、，都有，①错； 对于②，对于任意、，且，不妨设，则， 则，②对； 对于③，对于任意、，且， ，③对； 对于④，若存在实数，使得对于任意实数，都有成立， 则函数的图象关于直线对称，事实上，函数的图象无对称轴，④错. 故选：D. 三、解答题 15．（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 【答案】（1）证明见解析，当且仅当，；（2）， 【知识点】由基本不等式证明不等关系、基本不等式求积的最大值 【分析】（1）通过作差法将式子变形为完全平方的形式，利用完全平方的非负性来证明不等式；（2）根据已知条件，利用均值不等式来求解最大值。 【详解】（1）因为， 所以，     当且仅当，时，不等式中等号成立. （2）， 所以的最大值为. 当且仅当，即时，不等式中等号成立. 16．设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求直线交点坐标、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）利用直线的点斜式方程求出直线的方程，解得两交点坐标，再由中点坐标公式可求出； （2）写出的面积表达式，再利用换元法和基本不等式计算可得结果. 【详解】（1）由题意可得直线的方程为，如下图所示： 联立，解得； 联立，解得； 又点是，中点，可得，且； 解得； （2）因为的纵坐标均为正数， 所以，解得； 易知的面积为， 令，则； 因此； 当且仅当时，即时，等号成立，此时； 所以的最小值为，即的面积的最小值为. 17．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式的恒成立问题、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据甲的报价方案，利用墙体面积，转化为关于的函数关系，即可求解； （2）根据（1）的结果，转化为不等式，参变分离后，转化为求函数最值问题，即可求解. 【详解】（1）由题意可得： 甲队的报价为元，， （2）乙队给出的整体报价为元，若乙队要确保竞标成功， 则恒成立， ，，设， 则，又在为增函数， 则，则，即，又，则， 即实数的取值范围是． 18．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 【答案】(1) (2)当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大 【知识点】基本（均值）不等式的应用、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）先在直角三角形中和直角三角形中，求出,，再利用两角差的正切公式求出； （2）点距离底线米，过点作，垂足为，计算出和，，求出，利用基本等式求出最大值. 【详解】（1），，， ， ，，    （2）设点距离底线米，过点作，垂足为，，则，   ，， ，， 当时，即时，等号成立， 此时取得最大值， 又因为函数在上严格增，所以对应的取得最大值, 所以当点距离底线13.9米时，对球门的张角（）最大. 19．现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 【答案】(1) (2)24， 【知识点】基本不等式求和的最小值、三角函数定义的其他应用、已知三角函数值求角、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）由题意可得出，进而求解； （2）由（1）得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）如图，    由图可知， 所以； （2）由（1）得， ， 则 当且仅当时取等号. 此时，所以. 20．设实数、满足方程有实数根，求的最小值. 【答案】 【知识点】基本不等式求和的最小值、根据零点所在的区间求参数范围 【分析】分析可得，设，可得，令，其中，则方程有绝对值大于或等于的实数解，利用二次函数的零点分布可得出关于、的不等式（组），结合二次函数的基本性质可求得..的最小值. 【详解】显然不满足方程，所以，， 在方程两边同时除以可得， 令，则， 当时，则，当且仅当时，等号成立， 当时，则，当且仅当时，等号成立， 所以，， 则方程可化为， 设，其中， 所以方程有绝对值大于或等于的实数解，所以，可得，① 由可得，由， 可得， 由绝对值三角不等式可得，② 由①②可知，只需讨论的情形： 当时，令，易验证①②均满足，此时； 当时，条件②变为，化简可得，满足条件①， 此时，所以，， 当且仅当，时，取最小值. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于通过在等式两边同时除以可得，通过换元，转化为二次函数在上有零点来处理. 21．已知函数. (1)当，时，解关于x的方程； (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数解析式； (3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、指数幂的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）将，代入，可转化为关于的二次方程，解方程进而可得的值； （2）利用奇函数的性质直接求解； （3）化简可得，代入不等式分离参数，转化为函数求最值，利用换元法及基本不等式直接求最值. 【详解】（1）当，时，． 即， 解得：或（舍去），∴； （2）若函数是定义在上的奇函数， 则，即 即恒成立， 解得：，，或， 经检验，满足函数的定义域为， ． （3）当时，函数满足， ∴，则 不等式恒成立， 即恒成立 即恒成立， 设，则，即，恒成立， 由均值不等式可得：当时，取最小值． 故，即实数m的最大值为． 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用基本不等式求最值，要把握不等式成立的三个条件，就是一正二定三相等等号能否取得. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 基本不等式 目录 01 常考题型过关练 题型01 由基本不等式比较大小 题型02 由基本不等式证明不等关系 题型03 基本不等式求积的最大值 题型04 基本不等式求和的最小值 题型05 基本不等式“1”的妙用求最值 题型06 条件等式求最值 题型07 基本不等式的恒成立问题 题型08 基本（均值）不等式的应用 02 核心突破提升练 01 由基本不等式比较大小 1．已知，，，，，试写出，，的大小关系 ． 2．若，则实数的取值范围是 3．（2025·上海黄浦·二模）设，随机变量取值、、、的概率均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25，随机变量取值、、、的概率也均为0.25．若记、分别为、的方差，则（    ） A． B． C． D．与的大小关系与、、、的取值有关 4.若，且，则下列关系式中不可能成立的是（    ） A． B． C． D． 5.（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 02 由基本不等式证明不等关系 6．设是四个正数. (1)已知，求证：; (2)已知，求证：中至少有一个小于1. 7．若正数、满足：. （1）求证：； （2）求的最小值. 8．已知实数均大于0，证明：. 9．（1）已知，求证：； （2）已知正数x、y满足，求证：. 03 基本不等式求积的最大值 10．设，，若，则的最大值为 . 11．已知，若，则的最大值为 ． 12．若，，，则的最大值是 . 13.已知正数，满足则的最大值为 . 14.若正数满足，则的最大值为 . 15．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 04基本不等式求和的最小值 16．若实数，满足，则的最小值为 . 17．已知实数、满足，则的最小值为 ． 18．已知，则的最小值为 19．已知平面向量、、满足：，，则的最小值为 ． 05 基本不等式“1”的妙用求最值 20．若正数满足，则的最小值为 . 21．已知，，，则的最小值为 22．已知正数满足，且不等式对任意的正数恒成立.则实数的取值范围是 . 23．已知正实数a，b满足，则的最小值为 . 24．已知定义在上的函数满足，当时，，若，则的最小值为 . 25．函数，且的图像恒过定点A，若点A在直线上，其中，，则的最小值为 . 26．已知函数，若，，且，则的最小值是 27．已知定义在上的偶函数，若正实数a、b满足，则的最小值为 ． 06 条件等式求最值 28．已知函数，其中，若曲线在处的切线斜率为1，则的最小值为 ． 29．设，若，则的最大值为 30．已知 ，则 的最大值为 ． 31．已知，，且，则的最小值为 . 32．已知，，且，则的取值范围为 . 33．设且，则的最小值是 . 07 基本不等式的恒成立问题 34．已知对，不等式恒成立，则实数的最大值是 . 35．若对任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 36．（2025·上海松江·二模）如图在三棱锥中，两两垂直，且，设是底面ABC内一点，定义，其中分别表示三棱锥，三棱锥，三棱锥的体积.若，且恒成立，则正实数的最小值为 . 37．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为 . 38．若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．在平面直角坐标系中，、是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且，则a+b的最大值为(    ) A． B． C． D．不存在 08 基本（均值）不等式的应用 40．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 41．某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中O是圆心，直径MN为400米，P是弧MN的中点．一个急救中心A在栈桥OP中点上，计划在弧NP上设置一个瞭望台B，并在AB间修建浮桥．已知越大，瞭望台B处的视线范围越大，则B处的视线范围最大时，AB的长度为 米．（结果精确到1米） 42．已知各项均不为零的数列的前项和为，，，，且，则的最大值为 ． 43．设，记，则它的最大值和最小值的差为 . 44．抛物线的焦点为，准线为是拋物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在准线上的投影为，则的最大值是 ． 45．如图，农户在100米，米的长方形地块上种植向日葵，并在处安装监控摄像头及时了解向日葵的生长情况.监控摄像头可捕捉到图象的角度范围为，其中点，分别在长方形的边，上，监控的区域为四边形.记 (1)当时，求，两点间的距离；（结果保留整数） (2)问当取何值时，监控区域四边形的面积最大？最大值为多少？（结果保留整数） 46.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利.已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：，.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t满足：，其中. (1)请你说明的实际意义； (2)若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益. 一、填空题 1．已知正实数、满足，则的最大值为 ． 2．定义：余割.已知为正实数，且对任意的实数,均成立，则的取值范围为 ． 3．在△中，过中线的中点作一条直线分别交、于、两点，若，，则的最小值为 ． 4．已知直线经过点，且与轴、轴分别交于点、点，当取最小值时，直线的方程为 ． 5．已知，均为锐角，，则取得最大值时，的值为 ． 6．在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为 . 7．在中，角，，的对边分别是，，，若，且，则的面积最大值是 ． 8．关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 ． 9．如图：已知△ABC中，，边长为1的正方形DEFG为△ABC的内接正方形，则的最小值为 ．    10．已知（、为正整数）对任意实数都成立，若，则的最小值为 . 11．设函数，已知对任意，若满足，，则，则正实数的最大值为 ． 二、单选题 12．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 13．设，定义运算“△”和“▽”如下：若正数、、、满足，，则（　　） A．， B．， C．， D．， 14．已知函数，则下列命题正确的是（    ） ①对于任意、，都有成立； ②对于任意、，且，都有成立； ③对于任意、，且，都有成立； ④存在实数，使得对于任意实数，都有成立． A．①② B．③④ C．②③④ D．②③ 三、解答题 15．（1）已知a，b是实数.求证：，并指出等号成立的条件； （2）已知a，b是实数，若，求ab的最大值，并指出此时a，b的值. 16．设直线：，：，点的坐标为过点的直线的斜率为，且与，分别交于点，的纵坐标均为正数． (1)点是，中点，求斜率； (2)求为坐标原点面积的最小值. 17．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库．因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）．现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，屋顶和地面以及其他共计28800元． (1)请写出甲队整体报价（单位：百元）关于前面墙体长（单位：米）的函数解析式； (2)已知乙队给出的整体报价为元．不考虑其他因素，若乙队要确保竟标成功，求实数的取值范围． 18．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）．是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进．    (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角最大？（结果精确到0.1米） 19．现有足够长的“”型的河道，如图所示，宽度分别为和，若经过点拉一张网，开辟如图的直角用于养鱼，设.    (1)用含有的式子表示渔网长度，并写出定义域. (2)求养殖面积的最小值，并给出此时的值. 20．设实数、满足方程有实数根，求的最小值. 21．已知函数. (1)当，时，解关于x的方程； (2)若函数是定义在R上的奇函数，求函数解析式； (3)在（2）的前提下，函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$