精品解析：江西省上饶市第四中学2025年5月九年级数学中考模拟卷

数学试题 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1. ， 0， 3，这四个数中， 最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ） A. 总体是该校2000名学生的体重 B. 个体是每名学生 C. 样本是抽取的200名学生的体重 D. 样本容量是200 4. 我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的二次函数（a为常数且），下列说法正确的是（　　） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 函数图象必经过点和 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，函数图象与x轴无交点 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 7. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 8. DeepSeek全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为_____． 9. 若正n边形的中心角为，则_____． 10. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 11. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 ______尺． 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程． 14. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 15. 小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项） （1）如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______； （2）若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关概率； （3）从概率的角度分析，建议小明在第______道题使用“求助”． 16. 如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的上作点，使得， （2）在图2中的上作点，使得． 17. 如图，已知直线l交x轴，y轴于A，B两点，动点在直线l上，且满足：． （1）直接写出直线l的解析式为：　　； （2）若反比例函数的图象与直线相交于C、D两点，连接，已知点C的横坐标为8，求的面积． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 19. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活. 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考. 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100. 乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98. 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 a 乙款软件 99 b （1）上述表中_______；_______； 【数据分析与运用】 （2）下列结论一定正确的是_______. ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多. （3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由. 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米.上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米.一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内.（结果精确到米，参考数据：，，，，，） （1）求点距离地面的高度； （2）当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 22. 课本再现 （1）如图1，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，且交于点，则与之间的数量关系是___________； 【数学模型】 （2）如图2，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，求的值． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S． 初步感知 （1）如图1，当时，解答下列问题： （1）若，则S的值为________； （2）S关于t的函数解析式为________． （2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题： ①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围； ②连接，若四边形是平行四边形，求S的值． 延伸探究 （3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、选择题：（本大题共6题，每题3分，共18分.下列各题四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题卡的相应位置上.） 1. ， 0， 3，这四个数中， 最小的数是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了有理数大小的比较．有理数大小比较的法则：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解： ． ∴最小的数是， 故选：A． 2. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．直接利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而分析即可得解． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、，不是因式分解，故此选项错误，不符合题意； D、，无法分解因式，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 3. 某校有2000名学生，随机抽取了200名学生进行体重调查，下列说法错误的是（ ） A. 总体是该校2000名学生的体重 B. 个体是每名学生 C. 样本是抽取的200名学生的体重 D. 样本容量是200 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一判断选项的正误． 【详解】解：总体：研究对象的全体，即该校2000名学生的体重，故选项A正确． 个体：总体中的每一个研究对象，即每一名学生的体重．选项B将个体描述为“每名学生”，忽略了“体重”这一具体属性，因此错误． 样本：从总体中抽取的部分研究对象，即抽取的200名学生的体重，故选项C正确． 样本容量：样本中包含的个体数量，即200，故选项D正确． 故选：B． 4. 我们知道光的反射是一种常见的物理现象.如图，某 V 型路口放置如图所示的两个平面镜，，两个平面镜所成的夹角为，位于点 D 处的甲同学在平面镜 中看到位于点A处的乙同学的像，其中光的路径为入射光线 经过平面镜反射后，又沿射向平面镜，在点 C 处再次反射，反射光线为，已知入射光线，反射光线 ，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了光的反射定律，平行线的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由光的反射定律以及平行线的性质，推出，再结合三角形内角和，推出的度数． 【详解】如图所示，由光的反射定律，可以知道， ， ， 故选：C ． 5. 关于x的二次函数（a为常数且），下列说法正确的是（　　） A. 函数图象的对称轴为直线 B. 函数图象必经过点和 C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，函数图象与x轴无交点 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：∵二次函数（，a为常数）， ∴该函数的对称轴为直线，故选项A不符合题意； ∵当时，，当时，． ∴函数图象必经过点和，故选项B不符合题意； ∵a的正负不确定， ∴当时，y随x的增大如何变化无法确定，故选项C不符合题意； ∵当时，该函数图象开口向下，， ∴当时，函数图象与x轴无交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 6. 如图，将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形，则该等腰三角形的底边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程与图形有关的应用，解此题的关键在于将等腰三角形拆解拼成另一个没有缝隙的矩形，再利用面积相等得到相关边的长度关系．如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形，根据题意得，求出，进而求出正方形的边长与等腰三角形的底边长的比，再根据面积为4求得，得，求出即可． 【详解】解：如图，等腰三角形纸片沿图中虚线剪成四块图形，能拼成一个没有缝隙的正方形和矩形， 根据题意，得， ∴， 解得： (负值舍去)， ∴正方形的边长与等腰三角形的底边长的比为： ， ∵将面积为4的等腰三角形纸片沿图中的虚线剪成四块图形，这四块图形恰好能拼成一个没有缝隙的正方形， ∴，即：， ∴，即：． 故选：D． 二、填空题：（本大题共6题，每题3分，共18分.） 7. 若式子有意义，则实数x的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可求解． 【详解】由题意得：解得： 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0以及二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 8. DeepSeek全称杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司，是一家创新型科技公司．数据显示，随着访问量急速上升，2025年2月1日DeepSeek成为史上最快突破3000万日活跃用户量的应用．数据3000万用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：3000万， 故答案为：． 9. 若正n边形的中心角为，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的中心角，由正n边形的中心角为，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：∵正n边形的中心角为， ∴， ∴． 故答案为：15． 10. 若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据方程的解满足方程及根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握． 11. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．如图2，利用土圭之法记录了两个时刻长为6尺的标杆的影长，发现第一时刻光线与标杆的夹角和第二时刻光线与地面的夹角相等，测得第一时刻的影长为尺，则第二时刻标杆的影长 ______尺． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用．根据题意得：尺，尺，，在中，利用，可求出的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：尺，尺，， ∴， ∵， ∴， ∴尺． 即第二时刻标杆的影长15尺． 故答案为：15 12. 在平面直角坐标系中，点在直线上，点的横坐标为，若线段绕点旋转后，得到点的对应点，且点在第一象限内，则点的坐标为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化—旋转，勾股定理，全等三角形的性质与判定，先求出点A的坐标，设，根据两点距离公式得到，解方程得到或；过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F，由旋转的性质可得，证明，得到，则，同理可得，． 【详解】解：在中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 解得或， ∴或； 如图所示，过点作轴， 过点A、分别作直线的垂线，垂足分别为E、F， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 同理可得，； 综上所述，点C的坐标为或或； 故答案为：或或． 三、（本大题共5个小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）解方程． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据计算即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 解得，． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，二次根式的化简，绝对值的化简，解方程，熟练掌握二次根式的化简，解方程是解题的关键． 14. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，的中点，求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ， ∵E，F分别是，的中点， ，， ， ∴四边形是平行四边形， ． 【解析】 【分析】根据四边形是平行四边形，可得到，再由E，F分别是，的中点，可得，从而得到四边形是平行四边形，进而证得． 【详解】略 15. 小明参加某个智力挑战赛节目，答对最后的两道单选题就可以顺利通关．第一道单选题有4个选项，第二道单选题有3个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人在其中一题的选项中去掉一个错误选项） （1）如果小明第一道题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是______； （2）若小明将“求助”留在第二道题使用，请用画树状图或列表方法求小明通关概率； （3）从概率的角度分析，建议小明在第______道题使用“求助”． 【答案】（1） （2） （3）二 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）列表法得到共有8种等可能的结果数，小明顺利通关的结果数为1，然后根据概率公式求解； （3）根据概率公式分别求出第一次和第二次使用求助的概率，然后进行比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意得：小明答对第一道题的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设第一题的四个选项是A，B，C，D，不妨设正确答案是C． 第二题三个选项是1，2，3， 正确答案是2．“求助”用在第二道题． 去掉一个错误答案1．列表如图1． 小明通关概率为； 【小问3详解】 解：若“求助”用在第一道题．不妨设去掉一个错误答案A．列表如图2． 小明通关概率为； ∵， ∴建议小明“求助”用在第二道题． 故答案为：二． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键． 16. 如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺，在给定的方格中按要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的上作点，使得， （2）在图2中的上作点，使得． 【答案】（1） 解∶如图，点D即为所求， （2） 解∶如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶ （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接交于点即可． 【小问1详解】 解∶如图，点D即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解∶如图，点E即为所求， 根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴． 17. 如图，已知直线l交x轴，y轴于A，B两点，动点在直线l上，且满足：． （1）直接写出直线l的解析式为：　　； （2）若反比例函数的图象与直线相交于C、D两点，连接，已知点C的横坐标为8，求的面积． 【答案】（1） （2）30 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积． （1）将直线变形即可； （2）先根据直线l的解析式，求出、两点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，将两个函数的解析式联立求出交点的坐标，然后根据，即可求解． 【小问1详解】 解：∵动点在直线l上，且满足：， ∴直线的解析式为． 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为． 令，解得， ∴， ∴ ． 四、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，有甲、乙两条数轴．甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32，乙数轴上的三点D，E，F所对应的数依次为0，x，12． （1）计算A，B，C三点所对应的数的和，并求的值； （2）当点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐，求x的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离的含义，一元一次方程的应用，理解题意是解本题的关键； （1）直接列式求解三个数的和即可，再分别计算，从而可得答案； （2）由题意可得，对应线段是成比例的，再建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵甲数轴上的三点A，B，C所对应的数依次为，2，32， ∴，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵点A与点D上下对齐时，点B，C恰好分别与点E，F上下对齐， ∴， ∴， 解得：； 19. 近年来，随着科技的飞速发展，人工智能（）逐渐走进人们的日常生活. 技术已广泛应用于手机、家居、医疗、教育等领域，为社会进步做出了巨大贡献.某研究小组对不同人工智能软件使用情况进行调查统计，为人工智能的开发者提供一些参考. 【数据收集与整理】 研究小组对市面上不同的软件进行整理，请使用者进行评价打分.从使用较好甲、乙两款软件的评价得分中，分别随机抽取了20个使用者的打分（百分制）数据，进行整理.成绩均高于90分（成绩得分用x表示，共分为五组：A：；B：；C：；D：；E：） 下面给出了部分信息：甲款软件20名使用者打分为： 92，94，94，94，95，95，97，97，97，98，99，99，99，100，100，100，100，100，100，100. 乙款软件20名使用者打分在B等级的数据是：97，97，98，98，98，98. 甲、乙两款软件抽取的使用者打分统计表 类型 平均数 众数 中位数 甲款软件 a 乙款软件 99 b （1）上述表中_______；_______； 【数据分析与运用】 （2）下列结论一定正确的是_______. ①甲乙两款样本数据的中位数均在A组； ②得分96分以上的样本数据甲乙一样多； ③甲乙两款样本数据的满分一样多. （3）根据甲、乙两款软件样本的特征数，试估计哪款软件更优，并说明理由. 【答案】（1），； （2）②； （3）甲款软件更优，理由如下： 因为甲、乙两款软件的平均数相同，而甲款软件的众数和中位数都大于乙款软件的众数和中位数 ∴甲款软件更优． 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图，众数、中位数的计算，读懂统计图，熟练众数，中位数的计算是解题的关键． （1）根据众数和中位数的定义计算判断解答即可． （2）根据样本，计算各自的中位数，满分人数，96分以上人数，后比较判定解答即可． （3）根据中位数，众数决策即可． 【详解】解：（1）∵甲款打分中，100分出现了7次，次数最多， ∴甲款打分的众数为100分，即； 把乙款20个打分按照从高到低的顺序排列，中位数是第10名和第11名打分的平均数， ∵乙款打分中，A等级的人数为人， B等级从大到小排序为：98，98，98，98，97，97 第10名和第11名的打分为98分，98分， ∴乙款打分的中位数为分，即． （2）解：根据题意，得甲的中位数是，在A组；乙的中位数是，在B组；故①错误； 样本数据甲得分96分以上的人数为14人；样本数据乙得分96分以上的人数为人；故②正确； 样本数据甲得满分的人数为7人；而样本数据乙的众数为99分，故乙满分人数一定小于；故③错误． （3）略 20. 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，过点作，垂足为点，的延长线交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴  ∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，则可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么，则半径，再由弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 五、（本大题共2个小题，每小题9分，共18分） 21. 某学校操场的主席台安装了如图1所示的遮阳棚，其截面示意图如图2所示，其中四边形是矩形，主席台高为1米.上午某时刻，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域的宽度为米.一段时间后，经过点的太阳光线恰好照射在上的点处，测得，阴影区域的宽度为米，点，，，，，，均在同一竖直平面内.（结果精确到米，参考数据：，，，，，） （1）求点距离地面的高度； （2）当太阳光线与地面夹角为时，若要使主席台受遮阳棚遮挡所形成的阴影区域宽度为米，点需在原高度的基础上向上或向下移动多少米？ 【答案】（1）米 （2）向下移动米 【解析】 【分析】（1）过点作于点，交于点，则四边形为矩形，米，设的长度为米，则，．建立方程解答即可； （2）设改变后的长度为米，同理，米，根据题意，解得，，从而得到点需在原高度的基础上向下移动米． 本题考查了矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【小问1详解】 解：过点作于点，交于点， 则四边形为矩形，米， 设的长度为米， 由题意得，在中，，，， ． 在中，，，， ． 米，米， 米， 米， 即． 解得：， 米． 答：点距离地面的高度约为米； 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴米， ∴米， 设改变后的长度为米， 同理，米， ∵为米， ∴，解得， ， ∴点需在原高度的基础上向下移动米． 22. 课本再现 （1）如图1，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，且交于点，则与之间的数量关系是___________； 【数学模型】 （2）如图2，在正方形中，是边上的动点，连接．过点作于点，连接，当是以为底的等腰三角形时，求的长； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点E，F分别在边上，且，垂足为G，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，据此即可得到； （2）作于点，同理，，得到，设，利用勾股定理求得，即，，根据，列式计算即可求解； （3）过C作于N，交的延长线于点M，证明，得出，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，设，则，由勾股定理证出，则可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：作于点， ∵是以为底的等腰三角形， ∴，， 同（1）理，， ∴， ∴， 设，则， ∵， 由勾股定理得， 解得， ∴，， ∵，即， ∴； （3）解：过C作于N，交的延长线于点M， ∵，即， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， 设，则，设，则， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得（舍去）， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 六、（本大题共12分） 23. 综合与实践 问题提出 如图，在中，，过点A作于点D，，点E从点B出发沿向点A运动，速度为1个单位长度/秒，点P从点D出发沿向点C运动，速度为2个单位长度/秒，过点E作，过点P作，点P在点E出发2秒后出发，当一动点到达终点时另一动点也停止运动．设点E的运动时间为t秒，的面积为S． 初步感知 （1）如图1，当时，解答下列问题： （1）若，则S的值为________； （2）S关于t的函数解析式为________． （2）如图2，当时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图3所示的不完整的图象．请根据图象信息，解答下列问题： ①求图象最高点的坐标，并直接写出自变量t的取值范围； ②连接，若四边形是平行四边形，求S的值． 延伸探究 （3）当时，是否存在某一时刻t，使以点A，E，F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①最高点，；②；（3）存在，或或 【解析】 【分析】（1）①②当时，记交于点，过点E作于点M，由题意得，，可得，那么，可证明四边形为平行四边形，则，故，再把时代入即可求解； （2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点，此时同上：，那么，再化为二次函数求最值；②由平行四边形的性质得到四边形，而四边形为平行四边形，则，故，即可求解面积； （3）分三种情况讨论，结合相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质即可． 【详解】解：（1）①当时，记交于点，过点E作于点M，如图： 由题意得， ∵， ∴， ∴， ∵， ，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 故答案为：，； 解：②，解析见①， 故答案为：； （2）①当时，如图，过点E作于点M，记交于点， 此时 同上： ∴， ∴， ∵， ∴最高点为：； ②如图： ∵， ∴四边形是平行四边形时，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）存在，理由如下： 当时，如图： 由题意得：， 解得：； 当时，如图： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， 解得： 当时，如图，过点作于点K， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数求最值问题，勾股定理等知识点，难度较大，熟练掌握知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $