精品解析：新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州伊宁市第三中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

伊宁市第三中学2024－2025学年第二学期 高二年级第三次月考数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一个符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照补集交集的定义求解即可. 【详解】因为，，所以． 故选：． 2. 以下各组函数中，不是同一函数的是（       ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于选项B，C，D中两个函数的定义域相同，对应法则相同，故均为同一函数，而对于A选项，两个函数对应法则不同，故两个函数不是同一函数. 【详解】对于A选项，两个函数的定义域相同， ，两者的函数解析式不相同，故两者不是同一函数； 对于B，，两个函数的定义域和对应法则相同， 故得到两个函数是同一函数； 对于C，两个函数的定义域相同为， 且对应法则相同，故得到两个函数是同一函数； 对于D，两个函数定义域相同，， 对应法则相同，故两个函数是同一函数. 故选：A. 3. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 【答案】D 【解析】 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 4. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 【答案】D 【解析】 【分析】根据捆绑法、插空法和特殊位置法计算，依次判断选项可得答案. 【详解】A. 如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项A正确. B. 如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个整体， 此时有种不同排法，选项B正确. C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的5个空中， 此时有种不同排法，选项C正确. D. 如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制， 此时有种不同排法，选项D错误. 故选：D. 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数的单调性，结合幂函数与二次函数的单调性即可得解. 【详解】由题意，得，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则开口向上，对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 而在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：D. 6. 如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量服从正态分布 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD. 【详解】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A错误； 对于B, ,故B错误， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 7. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数在各段上单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】若为上的增函数，则，解得， 故的取值范围是． 故选：A． 8. 若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值，再借助恒成立建立不等式并求解. 【详解】正实数满足，则， 因此， 当且仅当时，即时取等号， 由不等式恒成立，得，解得， 实数的取值范围是. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由特称命题的否定可判断选项正误；对于B，由基本不等式可判断选项正误；对于C，由二次不等式与二次方程关系结合韦达定理可判断选项正误；对于D，由必要，充分条件定义可判断选项正误. 【详解】对于A，“，使得”的否定是“，都有，故A正确； 对于B，由基本不等式，，当且仅当， 即时，取等号，故B正确； 对于C，不等式的解集为， 则的根为，由韦达定理， ，则，故C正确. 对于D，时，可得，，可得或， 则，得不到，则“”是“”的充分不必要条件，故D错误. 故选：ABC 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为120 B. 各二项式系数的和为64 C. 各项系数的和为1 D. 各二项式系数的最大值为240 【答案】BC 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式、二项式系数的性质以及各项系数和的求法来逐一分析选项. 【详解】对于二项式，根据二项式展开式的通项公式可得： ，.  令，则，解得. 将代入通项公式可得常数项为，所以选项A错误.  根据二项式系数和的性质，所以的各二项式系数的和为，选项B正确.  要求各项系数的和，可令，则，所以各项系数的和为，选项C正确.  因为，所以二项式系数最大的是中间项，即第项，其二项式系数为，选项D错误.  故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求的值判断选项A；当时验证结论是否正确去判断选项B；由在上的解析式去判断选项C；分析法证明不等式去判断选项D. 【详解】选项A：.判断正确； 选项B： 画出部分图像如下： 当时，由，可得或 由，可得或；由，可得 即当时，由可得3个不同的解，不是5个. 判断错误； 选项C：当时，， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 当时， 若即，则 则，为减函数； 综上，在上单调递减. 判断正确； 选项D：当时，可化为， 同一坐标系内做出与的图像如下： 等价于 即，而恒成立. 判断正确. 故选：ACD 【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法可得出原不等式的解集. 【详解】不等式等价于不等式，解得. 故原不等式的解集为. 故答案为：. 13. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 【答案】0.7## 【解析】 【分析】计算出选出的男生人数有人及人的概率即可得. 【详解】设选中的男生人数为， 则. 故答案为：. 14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数新定义得，结合方程得求范围，然后对的范围进行分类讨论，求出的值，然后解方程即可. 【详解】由题意，则， 所以， 令，则，所以， 由可得，解得或， 由可得，解得， 所以，或， 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 当时，，此时，， 由可得或（舍去）； 又因为， 综上所述，函数的零点有个. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于根据，得出关于的范围，再结合的范围得出的可能取值，结合代数法求解即可. 四、解答题：本题共3小题，共77分，解答题写出必要文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，若在处取得极值10，. （1）求的值； （2）方程在有解，求实数的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，列出方程组，求得的值，结合极值定义，进行验证，即可求解； （2）由（1）得到，且，利用导数求得函数的单调性与最值，得出的值域，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 因为在处取得极值10，所以， 解得或， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，此时无极值，不符合题意， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，且， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，函数取得最小值，最小值为， 又由，所以函数在上的值域为， 要使得方程在有解，则. 16. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【小问1详解】 由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； 【小问2详解】 设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； 【小问3详解】 ，由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 17. 某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3米，其余部分离墙1米（如图）．设体育馆室内长为x米，三块区域的总面积为S平方米． （1）求S关于x的函数关系式； （2）当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值． 【答案】（1）， （2）当矩形温室的室内长为60m时，S最大，最大为676 【解析】 【分析】（1）由长方形面积公式即可求解； （2）由基本不等式即可求解； 【小问1详解】 由题设，得 ， 由已知得故． 所以，． 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当时等号成立，从而． 故当矩形温室的室内长为60m时，S最大，最大为676． 18. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计， 具体数据见下表: 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8 并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表: 认可 不认可 50 岁以下 140 60 50 岁及以上 120 80 （1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联? 附: ① 经验回归方程中，； ②，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关联 【解析】 【分析】（1）由题意计算，求解回归方程即可； （2）由题意计算，结合独立性检验的原理判断即可. 【小问1详解】 由题意，得， 则 ，所以 则， 故广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程为. 【小问2详解】 零假设为：市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度无关联. 由题中表格数据， 计算得. 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05. 19. 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． （1）若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； （2）若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； （3）假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）0.67，高于 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可； （2）依题意可知，的可能取值为0，1，2，且，先利用独立重复实验的概率公式可得分布列，再利用期望公式可得答案. （3）利用全概率公式求出电影原声音乐片段的可用率，再与0.65比较大小即可. 【小问1详解】 由题意知，每个音乐片段被抽到的可能是相同的． 因为甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为， 所以若只取1个音乐片段，它是由乙工作室录制的概率为； 【小问2详解】 设事件分别表示随机抽取的1个音乐片段分别是由甲、乙、丙工作室录制的， 若只取1个音乐片段，则， 所以由乙或丙工作室录制的概率为． 依题意可知，的可能取值为0，1，2，且． 所以，， ， 所以的分布列为 0 1 2 数学期望； 【小问3详解】 设事件表示音乐片段被录用，由（1）（2）知． 所以． 又， 即《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率约为0.67． 又，所以此次音乐片段的可用率高于以往平均可用率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊宁市第三中学2024－2025学年第二学期 高二年级第三次月考数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一个符合题目要求. 1. 已知全集，，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 以下各组函数中，不是同一函数的是（       ） A. B. C. D. 3. 已知，则函数的解析式为（        ） A. B. （） C. （） D. （） 4. 有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法错误的是（ ） A. 如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法 B. 如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法 C. 如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法 D. 如果女生不能站在两端，那么有种不同排法 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（ ） （参考数据：，） A. 变量服从正态分布 B. C. D. 7. 若是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若两个正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 在下列四个命题中，正确的是（ ） A. 命题“，使得”的否定是“，都有” B. 当时，的最小值是5 C. 若不等式的解集为，则 D. “”是“”的必要不充分条件 10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 常数项为120 B. 各二项式系数的和为64 C. 各项系数的和为1 D. 各二项式系数的最大值为240 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 关于的方程有个不同的解 C. 在上单调递减 D. 当时，恒成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集为__________. 13. 在3名女生和2名男生中任选2人参加一项交流活动，其中至少有1名男生的概率为__________． 14. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基人之一.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数为高斯函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，则函数的零点有__________个. 四、解答题：本题共3小题，共77分，解答题写出必要文字说明，证明过程及演算步骤. 15. 已知函数，若在处取得极值10，. （1）求的值； （2）方程在有解，求实数的范围. 16. 已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. （1）确定函数的解析式； （2）用定义证明在上是增函数； （3）解不等式. 17. 某高校为了方便冬季体育活动，计划建造一间室内面积为900的体育馆，在馆内划出三块相同的矩形区域供三个班级同时使用，相邻区域之间间隔3米，其余部分离墙1米（如图）．设体育馆室内长为x米，三块区域的总面积为S平方米． （1）求S关于x的函数关系式； （2）当体育馆室内长为多少米时，三块区域的总面积最大？并求其最大值． 18. 随着科技的进步，近年来，我国新能源汽车产业迅速发展，各大品牌新能源汽车除了靠不断提高汽车的性能和质量来提升品牌竞争力，在广告投放方面的花费也是逐年攀升.某校数学兴趣小组对某品牌新能源汽车近 5 年的广告费投入（单位:亿元）进行了统计， 具体数据见下表: 年份代号 1 2 3 4 5 广告费投入 4.8 5.6 6. 2 7. 6 8. 8 并随机调查了 400 名市民对该品牌新能源汽车的认可情况， 得到的部分数据见下表: 认可 不认可 50 岁以下 140 60 50 岁及以上 120 80 （1）求广告费投入与年份代号之间的线性经验回归方程； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄与对该品牌新能源汽车的认可度有关联? 附: ① 经验回归方程中，； ②，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 19. 《哪吒2：魔童闹海》作为2025年备受瞩目的动画电影，一经上映便迅速火爆全球，影片在特效制作、角色设计、音乐制作等方面都做到了极致．假设其电影原声的音乐制作由甲、乙、丙三个音乐工作室负责．在音乐录制过程中，由于各种因素，部分录制片段会因不符合要求而不被采用．甲、乙、丙三个工作室录制音乐片段总数之比为，音乐片段可用率（能被采用的片段数占录制片段总数的比例）分别为0.8，0.6，0.6．现在从三个工作室录制的所有音乐片段中随机抽取，且每个音乐片段被抽到的可能是相同的，用频率估计概率． （1）若只取1个音乐片段，求它是由乙工作室录制的概率； （2）若抽取2个音乐片段，其中由甲工作室录制的音乐片段数记为，求的分布列和数学期望； （3）假设以往电影原声音乐片段的平均可用率为0.65，计算此次《哪吒2：魔童闹海》电影原声音乐片段的可用率，并判断此次音乐片段的可用率是否高于以往平均可用率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $