精品解析：2024年江苏省苏州工业园区金鸡湖学校九年级中考数学二模试题

2023-2024学年第二学期模拟考试 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚；保持答题纸卷面清洁． 一、选择题<本大题共8小题，每题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1. 春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是外接圆，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分，请将答案填在答题卡相应的位置） 9. 使在实数范围内有意义的应满足的条件是__________． 10. 2024年3月初全国两会在北京召开，会议对2023年工作进行了回顾，经济总体呈现出回升向好趋势，国内生产总值超过126万亿元，增长率，增速居世界主要经济体前列．数“126000000000000”可以用科学记数法表示___________． 11. 用方差公式计算一组数据的方差：，则______． 12. 已知抛物线与x轴交于，，则的值为__________． 13. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是__________． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 15. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________． 16. 如图，已知点，，点C在y轴上运动．将绕A顺时针旋转得到，则的最小值为____． 三、解答题（本大题共11题，满分82分，解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置） 17. 计算：． 18. 解不等式组：． 19. 先化简，再求值： ，其中． 20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆， （1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ； （2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率． 21. 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 22. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　名学生，这些学生成绩的中位数是　　　； （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 24. 如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到) （1）求显示屏所在部分宽度； （2）求镜头到地面距离． 25. 如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接． （1）求证：； （2）若．求和的长． 26. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 20 乙 24 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元． （1）求的值； （2）该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值． 27. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第二学期模拟考试 初三年级数学学科 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚；保持答题纸卷面清洁． 一、选择题<本大题共8小题，每题3分，满分24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在答题卡相应的位置上． 1. 春节期间冰雪旅游大热，泰州的小明同学准备去旅游，考虑温差准备着装时，他查询了当时的气温，泰州的气温是，哈尔滨的气温是，则此刻两地的温差是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，用泰州的气温减去哈尔滨的气温即可求解． 【详解】解：由题意，得 ． 故选A． 2. 如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，从正面看到的图形有两列，数量分别为1、2，据此即可判断答案． 【详解】解：由图形可知，主视图为 故选：D． 3. 下列整式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】合并同类项运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算错误，不符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查整式混合运算，涉及合并同类项运算、积的乘方运算、同底数幂的乘法运算等知识，熟练掌握整式的混合运算法则是解决问题的关键． 4. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∵ ∴， 故选：C． 5. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，自行车右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，三角形内角和定理，过A作，根据三角形内角和定理得到，结合正弦的定义求解即可得到答案 【详解】解：过A作， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 6. 如图，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线，交于点E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和角平分线的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】∵，， ∴， 由题意可得，是的平分线， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角的性质，尺规作角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h，，则实际速度为km/h，根据题意“提前1小时到达目的地”，列分式方程即可求解． 【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h， 根据题意所列方程是 故选C 【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题的关键． 8. 如图，在中，对角线相交于点O，，若过点O且与边分别相交于点E，F，设，则y关于x的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点O向AB作垂线，交AB于点M，根据含有30°角的直角三角形性质以及勾股定理可得AB、AC的长，再结合平行四边形的性质可得AO的长，进而求出OM、AM的长，设，则，然后利用勾股定理可求出y与x的关系式，最后根据自变量的取值范围求出函数值的范围，即可做出判断． 【详解】解：如图过点O向AB作垂线，交AB于点M， ∵AC⊥BC，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∵BC＝4， ∴AB＝8，AC＝， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 当时，, 当时，． 且图像是二次函数的一部分 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、含有30°角的直角三角形的性质以及二次函数图象等知识，解题关键是求解函数解析式和函数值的范围． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，满分24分，请将答案填在答题卡相应的位置） 9. 使在实数范围内有意义的应满足的条件是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：使在实数范围内有意义的应满足的条件是，解得， 故答案为：． 10. 2024年3月初全国两会在北京召开，会议对2023年工作进行了回顾，经济总体呈现出回升向好趋势，国内生产总值超过126万亿元，增长率，增速居世界主要经济体前列．数“126000000000000”可以用科学记数法表示为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 用方差公式计算一组数据的方差：，则______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了方差公式，方差是各数据值离差的平方和的平均数，熟练掌握计算公式是解答本题的关键．对于n个数，方差的计算公式为：．根据方差计算公式列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 12. 已知抛物线与x轴交于，，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．熟练掌握根与系数的关系是解决此题的关键． 根据抛物线与轴的交点问题可得方程的两个实数解，，根据根与系数的关系可得到，，直接代入即可求解． 【详解】解：抛物线与轴交于，，，， 方程的两个实数解，， ，， ， 故答案为：． 13. “七巧板”是古代中国劳动人民的发明，被誉为“东方魔板”．图①是由该图形组成的正方形，图2是用该七巧板拼成的“和平鸽”图形，则飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．根据七巧板对应图形的面积，计算出和平鸽头部（阴影部分）与正方形面积比，结合简单概率公式求解即可得到结论．熟练掌握几何概率的求法是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设阴影部分的等腰直角三角形的直角边为，则由七巧板的特征可知，， 在等腰中，， ，，则阴影部分的面积是七巧板面积的，故飞镖落在和平鸽头部（阴影部分）的概率是， 故答案为：． 14. 如图，物理实验中利用一个半径为的定滑轮提起砝码，小明向下拉动绳子一端，使得定滑轮逆时针转动了，此时砝码被提起了____________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，根据砝码提起的长度等于半径为圆心角为的弧长，由此即可计算． 【详解】解：根据题意，砝码提起的长度为：， 故答案为：． 15. 如图，直线交双曲线于两点，交轴于点，且，连接．若，则的值为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】作 轴于, 轴于, 则, 得到 ，利用反比例函数系数k几何意义得到设A点坐标为 即可得到点坐标为利用,得到 ，于是可计算出 的值． 详解】连接, 作轴于, 轴于,则 设点坐标， ∵， ， ， ， ∴点坐标为 ， ， ， ， 即， ， 解得， 故答案为:． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了平行线分线段成比例定理，反比例函数系数的几何意义，反比例图象上点的坐标特征, 由得到关于的方程是解题的关键． 16. 如图，已知点，，点C在y轴上运动．将绕A顺时针旋转得到，则最小值为____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键， 由“”可证，可得，则点D在过点H且垂直于的直线上运动，由矩形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】以为边作等边三角形，连接． 点，， ，， 是等边三角形， ，， 将绕A顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 点D在过点H且垂直于的直线上运动， 当时，有最小值， 此时，如图，过点A作于N， ，，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 三、解答题（本大题共11题，满分82分，解答时应写出必要的计算或说明过程，并把解答过程填写在答题卡相应的位置） 17. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 分别根据计算算术平方根，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 18. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解出每一个不等式，再由不等式组解集的求法即可得到答案，熟记“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得； 原不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，属于基础题，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先通分，再将分子和分母分解因式，根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：      当时， 原式． 20. 某博物馆开设了A，B，C三个安检通道．甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆， （1）甲从A 通道进入博物馆的概率是 ； （2）求甲、乙从不同通道进入博物馆的概率． 【答案】（1） （2）甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 【解析】 【分析】本题考查的是利用概率的定义求解概率，列表法或树状图法求解概率，熟练掌握概率的定义，以及列出正确的表格或树状图找出符合条件的可能结果是解题关键． （1）直接利用概率公式求解可得答案； （2）先列表得出所有等可能结果，从中找出符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：进入博物馆总共有三个通道，即三种可能的结果，并且他们发生的可能性相等， 而甲从A 通道进入博物馆是三种可能结果中的一种结果，其概率为：， 故答案为：； 【小问2详解】 根据题意列表如下： 甲 乙 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种， 则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 ， 答：甲、乙从不同通道进入博物馆概率为． 21. 如图，中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作，交DE的延长线于点F． （1）求证：； （2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论． 【答案】（1）见解析 （2）当时，四边形ADCF是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由 得∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA，结合，可证，根据全等三角形的性质即求解； （2）由，，易得四边形ADCF是平行四边形，若，点D是AB的中点，可得，即得四边形ADCF是菱形． 【小问1详解】 证明：∵， ∴∠ADF=∠CFD，∠DAC=∠FCA． ∵点E是AC的中点， ∴AE=CE， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形ADCF是菱形． 证明如下： 由（1）知，， ∵， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵， ∴是直角三角形． ∵点D是AB的中点， ∴， ∴四边形ADCF是菱形． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及菱形的判定，解题的关键是掌握全等三角形判定定理及菱形的判定定理． 22. 2024年3月22日是第32届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校2000名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： （1）本次调查共抽取了　　　　名学生，这些学生成绩的中位数是　　　； （2）补全上面不完整的条形统计图； （3）根据比赛规则，98分及以上（含98分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 【答案】（1）60，96分 （2）见解析 （3）900名 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图和条形统计图，中位数和平均数数，由样本所占百分比求总体数量，解题的关键是理解题意，结合图形求解． （1）结合图形求出被抽查的学生总数，再求出分数为94分的人数，利用中位数定义求解即可； （2）根据（1）中所求数值，补充条形统计图即可； （3）求出98分及以上（含98分）的学生所占的百分比，再乘以2000即可． 【小问1详解】 解：， ∴本次调查共抽取了60名学生， ∵， ∴94分的有12人， ∵，， ∴这些学生成绩的中位数是96分． 故答案为：60，96分； 【小问2详解】 解：补全统计图： ； 【小问3详解】 解：2000×=900（名）． 答：估计全校2000名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是900名． 23. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）为轴上的一动点，当的面积为时，求的值． 【答案】（1）的值为2，的值为6 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及待定系数法确定函数关系式、平面直角坐标系中求三角形面积等知识，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的关键． （1）把代入中求出，然后把代入一次函数解析式确定，进而代入反比例函数解析式确定； （2）根据列出方程求出值即可． 【小问1详解】 解：把代入中，得，解得， 一次函数为， 把代入中，得， ， 将代入反比例函数中得， 的值为2，的值为6； 【小问2详解】 解：一次函数为， 当时，， ， ， ，解得或． 24. 如图1是某门禁自动识别系统，主要由可旋转摄像机和其下方固定的显示屏构成．图2是其示意图，已知摄像机长，点为摄像机旋转轴心，为的中点，显示屏的上沿与平行，，与连接，杆，，，点到地面的距离为．若与水平地面所成的角的度数为．(参考数据：，，，结果精确到) （1）求显示屏所在部分的宽度； （2）求镜头到地面的距离． 【答案】（1）显示屏所在部分的宽度约为12.3cm （2）镜头A到地面的距离约为68.2cm 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）过点作，垂足为，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）连接，过点作，交的延长线于点，根据已知可求出从而可证四边形是矩形，进而可得，然后利用平角定义求出，从而求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：，与水平地面所成的角的度数为， 显示屏上沿与水平地面所成的角的度数为． 过点作交点所在铅垂线的垂线，垂足为，则． ， ， 【小问2详解】 如图，连接，作垂直反向延长线于点， 为的中点， ， ， ， ，， 四边形为矩形，， ， ． ． ， 镜头到地面的距离为． 25. 如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接． （1）求证：； （2）若．求和的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】对于（1），根据正方形性质得出，可证，再证即可； 对于（2），根据点E为中点，求出，利用勾股定理求得，，然后证明，得出求出，再根据（1）求出，最后根据得出答案． 【小问1详解】 证明：正方形内接于， ∴ ∴， ∴. 又∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：∵点E为中点， ∴. ∵四边形为正方形， ∴， 根据勾股定理，得，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 由（1）得， ∴. 【点睛】本题主要考查了圆内接正方形性质，弧，弦，圆周角关系，勾股定理，三角形相似判定与性质，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法． 26. 某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果．某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类 进价（元/千克） 售价（元/千克） 甲 20 乙 24 该超市购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元． （1）求的值； （2）该超市决定回馈顾客，开展促销活动，购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3820元．将其中的千克甲种水果和千克乙种水果按进价销售，剩余的甲、乙水果以原售价出售，若购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于600元，求正整数的最大值． 【答案】（1）的值为17，的值为20 （2）正整数的最大值为8 【解析】 【分析】（1）根据“购进甲种水果15千克和乙种水果5千克需要355元；购进甲种水果20千克和乙种水果10千克需要540元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不超过3820元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每千克甲种水果的销售利润销售数量每千克乙种水果的销售利润销售数量，可找出关于的函数关系式，利用一次函数的性质及获得的最大利润不低于600元，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【小问1详解】 解：根据题意得，解得， 答：的值为17，的值为20； 【小问2详解】 解：设购进千克甲种水果，则购进千克乙种水果，根据题意得，解得， 设购进的200千克水果全部售出后获得的总利润为元，则，即， ， 随的增大而减小， 又，且的最大值不低于600元， ，解得， 又为正整数， 的最大值为8， 答：正整数的最大值为8． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 27. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，D为顶点，其中点B的坐标为，点D的坐标为． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E是线段上的一点，过点E作x轴的垂线，垂足为F，且，求点E的坐标． （3）试问在该二次函数图象上是否存在点G，使得的面积是的面积的？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点E的坐标为；（3）存在，点G的坐标为或 【解析】 【分析】（1）依题意，利用二次函数的顶点式即可求； （2）可通过点B，点D求出线段所在的直线关系式，点E在线段上，即可设点E的坐标，利用点与点的关系公式，通过即可求； （3）先求线段所在的直线解析式，设点的坐标为，然后分为和时两种情况利用割补法表示和，然后根据题意列方程解题即可． 【小问1详解】 解：依题意，设二次函数的解析式为， 将点B代入得，得， ∴二次函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：依题意，点，点，设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴线段所在的直线为， 设点的坐标为：， ∴， ， ∵， ∴， 整理得， 解得，（舍去）， 故点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为； 【小问3详解】 解：存在点， 设点的坐标为， 且由二次函数的对称性可知，， ∴点仅可能在对称轴的左侧， ①当时，如图， 令对称轴与轴交于点，过点作轴，交轴于点， 由（1）可知， 则， 由题意可知， 则， 与联立可得或(舍去)， ∴点坐标为； ②当时，如图， 令对称轴与轴交于点，过点作轴，交轴于点，过点作轴的垂线，交于点， 则， ， 由题意可知， 则 与联立可得，或1(舍去)， ∴点坐标为 综上可知，存在满足题意的点，坐标为或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合．解题关键是掌握待定系数法求二次函数的解析式，利用割补法表示三角形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$