精品解析：2025年四川省泸州市龙马潭区联考三模数学试题

2025年四川省泸州市龙马潭区中考模拟质量监测 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120分；考试时间为120分钟． ⒉答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，根据无限不循环小数为无理数即可求解，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：1、开方开不尽的数， 2、无限不循环小数，3、含有的数． 【详解】解： ，，0都是有理数，是无理数， 故选：C． 2. 下列图形中既是轴对称又是中心对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项正确，符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　） A. 众数是1 B. 平均数是4 C. 方差是 D. 中位数是6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了众数，平均数，方差，中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据中位数、众数、方差、平均数的概念计算即可得解． 【详解】A、这组数据中1出现的次数最多，所以这组数据的众数为1，此选项正确； B、，求得这组数据的平均数为4，故此选项正确； C、，故此选项正确； D、将这组数据按从大到小的顺序排列，第3个数是5，故中位数为5，故此选项错误； 故选：D． 5. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：B． 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：B． 8. 如图，四边形为的内接四边形，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同弧所对圆心角等于圆周角的2倍求出的度数，然后根据圆内接四边形的性质得到的度数． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴ ∵四边形为的内接四边形， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟记并运用解题是关键． 9. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程应用，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出一元二次方程即可，根据题意列出方程是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 依题意得：， 故选：． 10. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定，所对直角边是斜边的一半，先由，，得，，根据矩形的性质，，，证得，再根据勾股定理求得的长，即可得到的长，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】∵，， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， ∴， ∴， 故选：． 11. 如图，在矩形中，，E为边的中点，F为边上一点，连接，与关于对称，延长，分别交边于点．若，则为（ 　）． A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图：连接，由对称的性质可得，，；再证，可得，进而得到，由点E是中点，得，然后可证明，则有，可得；再证，由相似的性质可求得的长，进而可得． 【详解】解：如图：连接， ∵与关于对称， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴,， ∴， 和中， ， ∴， ∴， ∴F为边的中点，即， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键． 12. 如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】分类求解确定MN的位置，进而求解． 详解】解：解 得或， ∴点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（2，0）， 当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线只有一个公共点， ∵M，N的距离为4，而A、B的水平距离是3，故此时只有一个交点，即﹣1≤＜2； 当点M在点A的左侧时，线段MN与抛物线没有公共点； 当点M在点B的右侧时，当 ＝3时，抛物线和MN交于抛物线的顶点（1，﹣1），即＝3时，线段MN与抛物线只有一个公共点， 综上，﹣1≤＜2 或＝3． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质、坐标与图形变化﹣平移，分类求解确定MN的位置是解题的关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系、成为解题的关键． 根据根与系数的关系可得，根据题意可知，即，然后将代入得到关于a的一元二次方程求解，再检验即可得解． 【详解】解∶∵，是关于的方程的两个实数根， ∴， ∵，即， ∴，整理得：， 解得：或5． 当时，， ，符合题意； 当时，， ，不符合题意； 故答案为：． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线交、于点、，连接、，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目作图方法可得为的垂直平分线，所以进一步求得和，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：由题得为的垂直平分线， ∴，，， 又∵，， ， ∴， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是垂直平分线的尺规作图，相似三角形的知识，解题的关键是根据题意推断线段之间的关系，往所求线段上靠． 16. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，可得，可证，再利用直角三角形斜边中线可得，最后根据求出的最小值． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， 取中点，连接、 ∴， ∴， ∴当点P在线段上时，最小，最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线等知识，得到是解题的关键． 三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分） 17. 计算： 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算，零指数幂以及负整数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 18. 已知：如图，点A、B、E同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D， 求证:AB=BD. 【答案】见解析. 【解析】 【分析】根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】∵AC∥BD， ∴∠BAC=∠DBE， 在△ABC与△BDE中 ∴△ABC≌△BDE（AAS）， ∴AB=BD． 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握其运算法则是解题的关键． 先把除法转化为乘法，然后约分即可． 【详解】解： ． 四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分） 20. 某学校九年级进行了一次古文化知识测试，九年级共有700名学生．李老师将九（1）班和九（2）班各名同学的成绩进行了统计，把成绩分为5组（得分用表示，满分为150分）：：，：，：，：，：，并整理绘制了如图所示的统计图 已知九（1）班和九（2）班成绩处于组的人数是相同的，根据图中给出的信息，完成下列问题， （1）________，________； （2）组人数最多的班级是________； （3）已知该校各班级人数相同且都为平行班，记120分及120分以上的成绩为优秀，请利用这两个班的成绩估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数． 【答案】（1）50，10 （2）九（2）班 （3）350人 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由组人数及其所占百分比即可得出的值，根据各组人数之和等于总人数且、组人数相等求解即可； （2）求出九（2）班组人数即可得出答案； （3）总人数乘以样本中、、组人数和所占比例即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ； 【小问2详解】 解：九（2）班组人数为：（人）， ∵九（1）班组人数为人， ∴组人数最多的班级是九（2）班； 【小问3详解】 解：由题意得： （人）， ∴估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数为人． 21. 为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． （1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元 （2）当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元，根据“若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元”列出二元一次方程组，解之即可得解； （2）设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，根据“买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元”列出一元一次不等式组，求出的取值范围，销售总利润为，根据一次函数的性质知当时，获得利润最大，即可得解． 【小问1详解】 解：设购进A种纪念品每件价格为m元，B种纪念品每件价格为n元， 根据题意可知：， 解得：， 答：购进A种纪念品每件需要元，B种纪念品每件需要元； 【小问2详解】 解：设购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件， 根据题意可得：， 解得：， 销售总利润为， 由由一次函数性质可知，随的增大而减小， 当时，获得利润最大，最大利润（元）， 答：当购进A种纪念品件，B种纪念品件时，获得的利润最大，最大利润是元． 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：） 【答案】250米 【解析】 【分析】过点A作于点E，过点C作于点F，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可． 【详解】解∶如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则四边形是矩形， ∴， 根据题意可知∶米，米，， ∴（米），， ∴（米）， ∴米． 在中，， ∴（米）． 答：户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离为250米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形． 23. 如图，在直角坐标系中，面积为的矩形的边在轴上，点的坐标为，双曲线经过点． （1）求双曲线的解析式； （2）连接，若将矩形沿着轴的负方向平移个单位时，线段与双曲线恰有两个公共点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，掌握以上的知识是解题的关键； （1）首先根据矩形面积求出点坐标，然后即可求解反比例函数解析式． （2）需要先设平移后的直线的解析式为，然后和双曲线解析式联立方程组，求出的值，然后当点移动到双曲线上时，求出的值，最后根据平移和图象即可求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，由图得线段为矩形的长， ∴ 点和点的横坐标相等， 设点， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∵双曲线经过点， ∴把代入双曲线， 解得：， ∴双曲线； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴直线解析式为， ∵将矩形沿着轴的负方向平移个单位， ∴平移后的直线的解析式为， ∴， 化简得：， ∵平移后的线段与双曲线恰有两个公共点， ∴， 即解得：， ∵， ∴， ∴当时，平移后的线段与双曲线有1个公共点， ∴当时，平移后的线段与双曲线恰有两个公共点； 当点移动到双曲线上时，即当时，，解得， ∴， 由图象可知，当时，线段与双曲线有1个公共点， ， 综上可知：当． 24. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，只要证明，即可证明是的切线； （2）作于G，证明，求得，，在中，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：作于G，则， ∵， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设， 在中，， 解得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标； （3）直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把，代入抛物线解析式求解即可； （2）根据（1）的解析式，求出点A坐标，求得，再利用待定系数法求得直线的解析式，过点D作x轴的平行线，交于点M，设点，则，然后根据证得，得出，从而得出结论； （3）直线过定点，记为点Q，联立方程组，由韦达定理得出，由函数的性质求得的最小值，再利用三角形面积公式求得面积的最小值即可． 【小问1详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线对称轴为， ∵， ∴， ∴， 如图，过点D作x轴的平行线，交于点M， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∴或； 【小问3详解】 解：∵直线过定点，记为点Q， 又∵， ∴轴且， ∴， ∴， ∴， 由韦达定理得，， ∴， ∴当时，有最小值， ∴面积的最小值． 【点睛】本题考查二次函数最值问题、一元二次方程的根与系数的关系、相似三角形的性质与判定、平行线的性质、用待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年四川省泸州市龙马潭区中考模拟质量监测 数 学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分．全卷满分为120分；考试时间为120分钟． ⒉答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，在本试卷和草稿纸上答题无效．考试结束后，试题卷由学校收回并保管，答题卡交回． 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．每个小题只有一个选项符合题目要求） 1. 下列各数中，无理数是（ ） A. B. C. D. 0 2. 下列图形中既是轴对称又是中心对称是（ ） A B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 对于一组统计数据1，1，6，5，7．下列说法错误的是（　　） A. 众数是1 B. 平均数是4 C. 方差是 D. 中位数是6 5. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的为( ) A. B. C D. 8. 如图，四边形为的内接四边形，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形的对角线与交于点，过点作的垂线交，于两点，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在矩形中，，E为边的中点，F为边上一点，连接，与关于对称，延长，分别交边于点．若，则为（ 　）． A B. C. 1 D. 12. 如图，已知抛物线与直线交于A，B两点．点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移4个单位长度得到点N，若线段MN与抛物线只有一个公共点，则点M的横坐标的取值范围是（ ）． A. B. 或 C. D. 或 第II卷（非选择题） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：______． 14. 已知：，是关于的方程的两个实数根，，则的值为_________． 15. 如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点、，作直线交、于点、，连接、，则_______． 16. 如图，正方形的边长为4，点E，F分别是和上的动点，且，和相交于点P，连接，则的最小值为______． 三、解答题（本大题共3个小题，每题6分，共18分） 17. 计算： 18. 已知：如图，点A、B、E在同一直线上，AC∥BD且AC=BE，∠ABC=∠D， 求证:AB=BD. 19. 计算：． 四、解答题（本大题共2个小题，每题7分，共14分） 20. 某学校九年级进行了一次古文化知识测试，九年级共有700名学生．李老师将九（1）班和九（2）班各名同学成绩进行了统计，把成绩分为5组（得分用表示，满分为150分）：：，：，：，：，：，并整理绘制了如图所示的统计图 已知九（1）班和九（2）班成绩处于组的人数是相同的，根据图中给出的信息，完成下列问题， （1）________，________； （2）组人数最多的班级是________； （3）已知该校各班级人数相同且都为平行班，记120分及120分以上的成绩为优秀，请利用这两个班的成绩估计整个九年级本次古文化知识成绩为优秀的人数． 21. 为了抓住我市旅游文化艺术节的商机，某商店决定购进A，B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要元． （1）求购进A，B两种纪念品每件各需多少元？ （2）若该商店决定购进这两种纪念品共件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这件纪念品的资金不少于元，但不超过元，若销售每件A种纪念品可获利润元，每件B种纪念品可获利润元，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？ 五、解答题（本大题共2个小题，每题8分，共16分） 22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为核心素养教育下的新内容和新方式．某中学组织学生进行研学活动，学生到达基地后，他们先从如图所示的基地门口A处沿南偏西方向走了400米，到达昆虫博览馆B处，再从B处向正东方向走了400米到达农耕体验区D处，然后从D处沿正北方向到达户外拓展区C处，最后再从C处沿北偏西方向回到A处．求户外拓展区C处与基地门口A处之间的距离．（参考数据：） 23. 如图，在直角坐标系中，面积为的矩形的边在轴上，点的坐标为，双曲线经过点． （1）求双曲线的解析式； （2）连接，若将矩形沿着轴的负方向平移个单位时，线段与双曲线恰有两个公共点，求的取值范围． 24. 如图，内接于，是的直径，交于点E，交于点F，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点A，点，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，点D是直线上方抛物线上一动点，连接，交于点E． 若，求点D的坐标； （3）直线与抛物线交于F，H两点，取点，连接、，求面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $