精品解析：2025年四川省南充市名校联测中考二模数学试卷

2025年南充中考名校联测（二） 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答題卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5亳米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答題卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 在下列4个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的外角平分线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（ ） A. B. C. D. 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，以向上的点数构成下列事件，概率最小的是（ ） A. 点数为奇数 B. 点数为偶数 C. 点数为质数 D. 点数为合数 6. 关于的方程一定有根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不能确定 8. 关于的方程组，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，分别是的中点．将绕点旋转到，边与交于．当与的一边平行时，的长所有可能取值之和为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8 10. 二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答題卡对应题号的横线上． 11. 计算：_____________． 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 13. 如图，是外接圆的直径，切线与的延长线交于．若，则的度数是_____________． 14. 在直角坐标系中，一次函数的图象经过的定点是_____________． 15. 体育课上，分组训练6名男生引体向上成绩（个）的中位数与平均数恰好相等．已知其中5人成绩为6，6，8， 10，11，则另一人成绩为_____________个． 16. 如图，矩形的对角线交于点，．是线段上的动点，以为边作等边三角形，点分别位于两侧．在点运动的全过程中，的最大值为，的最小值为．则_____________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 18. 如图，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点落在点处，写出图中全等的三角形和四边形，并证明全等的三角形． 19. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 20. 关于的方程为，为实数． （1）判断方程根的情况． （2）求整数，使原方程至少有一个整数根． 21. 如图，矩形的顶点均在双曲线上，边经过原点，对角线与轴平行，． （1）求双曲线的解析式． （2）求顶点的坐标． 22. 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于弧的2倍． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）当时，求的长． 23. 某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 （1）第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． （2）第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 24. 如图，四边形是正方形，作等腰直角三角形，直角顶点在对角线或其延长线上，顶点在边或其延长线上． （1）如图1，点在对角线上，与之间有无确定的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在对角线的延长线上，连接．当时，求与的数量关系． 25. 如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． （1）求抛物线的解析式． （2）当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． （3）判断是否为定值，并说明由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年南充中考名校联测（二） 数学试题 （时间120分钟，满分150分） 注意事项： （1）答题前将姓名、座位号、考号填在答题卡指定位置． （2）所有解答内容均需涂、写在答题卡上． （3）选择题须用2B铅笔将答題卡相应题号对应选项涂黑，若需改动，须擦净另涂． （4）填空题、解答题在答题卡对应题号位置用0.5亳米黑色字迹笔书写． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 每小题都有代号为A，B，C，D四个答案选项，其中只有一个是正确的，请根据正确选项的代号填涂答題卡对应位置，填涂正确记4分，不涂、涂错或多涂记0分． 1. 在下列4个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查实数的比较大小，先计算各选项的结果 ，再进行大小比较即可． 【详解】解：；；；， ∵ ∴ ∴最小的数是， 故选：D． 2. 如图，是实数在数轴上的对应点位置．下列结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是绝对值实数与数轴，由图可知，a在与之间，b在1与2之间，在这基础上用实数的运算法则进行计算即可． 【详解】解：由图可知，a在与之间，b在1与2之间， ∴，；， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C错误，符合题意； ，故D正确，不符合题意； 故选：C． 3. 如图，是的外角平分线，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，对角线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由平行四边形的性质得，，所以，，再由角平分线的定义即可解答． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， ，， 是的外角平分线， ， 故选：B． 4. 在正六边形中，是对角线上一点，．则的面积与的面积的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数和相似三角形的判定与性质的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 作，垂足为，然后分别证明得和，然后得到，通过相似三角形的性质即可求解； 【详解】解：作，垂足为，如图： ， 在正六边形中， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴在中，设， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积，的面积， ∴， ∴， 故选：C； 5. 抛掷一枚质地均匀的骰子，以向上的点数构成下列事件，概率最小的是（ ） A. 点数为奇数 B. 点数为偶数 C. 点数为质数 D. 点数为合数 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据题意分别计算出点数为奇数，偶数，质数和合数的概率即可得到答案． 【详解】解：1到6这6个数字中，奇数有1，3，5，共3个数，偶数有2，4，6，共3个数， 质数有2、3、5，共3个数，合数有4，6，共2个数， ∴抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数是奇数的概率为，是偶数的概率为，是质数的概率为，是合数的概率为， ∴概率最小的是点数为合数， 故选：D． 6. 关于的方程一定有根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程有根的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，由分式方程有根的条件得，所以，解得，即可得解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 关于的方程一定有根， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 7. 如图，在，，则的值为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出的长是解题的关键．设，过点A作于点D，在中，根据，可得，，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设， 如图，过点A作于点D， 在中，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 8. 关于的方程组，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 9. 如图，中，，分别是的中点．将绕点旋转到，边与交于．当与的一边平行时，的长所有可能取值之和为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求旋转性质、全等三角形性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质．根据题意，由旋转性质，结合直线与的一边平行，分两类：当时；当时；两种情况讨论求解即可得到答案， 【详解】解：根据题意，将绕点D按顺时针方向旋转得到，即， 在中，， ∴． ∵点D，E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， 当时，如图所示： ∴， ∵， ∴，， ∴和均为等腰三角形，且， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． ∴． 故选：B． 10. 二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性并结合已知可得出，，即可判断①、②；把A、B的坐标代入函数解析式，并结合不等式的性质，即可判断③、④，根据作差法即可判定⑤． 【详解】解∵当时，随的增大而减小， ∴，故①错误； ，即， ∴， ∴，故②正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在该范围内成立，故③正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， 又，则， ∴，即， 在该范围内成立，故④正确； ∵，， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分） 请将答案填在答題卡对应题号的横线上． 11. 计算：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了特殊角的三角函数值，立方根，化简绝对值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算特殊角的三角函数值，立方根，然后化简绝对值，然后计算加减即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 12. 关于的一元二次方程的根的判别式的值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用根的判别式，建立关于m的方程求得m的值是解题的关键． 【详解】解：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，是外接圆的直径，切线与的延长线交于．若，则的度数是_____________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角和三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接，由圆周角定理得到，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求出，然后由切线得到，进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接 ∵， ∴ ∵ ∴ ∵切线与的延长线交于 ∴ ∴． 故答案为：． 14. 在直角坐标系中，一次函数的图象经过的定点是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； 由可知，当时，不论取何值，总有，然后即可求解 【详解】解：，由可知，当时，不论取何值，总有， ∴直线必经过点， 故答案为：． 15. 体育课上，分组训练6名男生引体向上成绩（个）的中位数与平均数恰好相等．已知其中5人成绩为6，6，8， 10，11，则另一人成绩为_____________个． 【答案】1或13##13或1 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数以及中位数．设另一人成绩为x个，可求出平均数为，然后分三种情况结合中位数的定义解答，即可求解． 【详解】解：设另一人成绩为x个，则 平均数为， 若，此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：； 若， 此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：（舍去）， 若，此时中位数为， ∵中位数与平均数恰好相等， ∴， 解得：； 综上所述，另一人成绩为1或13个． 故答案为：1或13 16. 如图，矩形的对角线交于点，．是线段上的动点，以为边作等边三角形，点分别位于两侧．在点运动的全过程中，的最大值为，的最小值为．则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明出是等边三角形，得到，，证明出，得到，，然后求出的最大值；然后得到是的角平分线，即点F在的角平分线上运动，得到，如图所示，延长交于点G，得到的最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点，． ∴， ∴是等边三角形 ∴， ∵是线段上的动点，以为边作等边三角形， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵是线段上的动点， ∴当点E运动到点O时，取得最大值，此时取得最大值，即的长度， ∴的最大值； ∵ ∴ ∴ ∴是的角平分线，即点F在的角平分线上运动 ∵ ∴ 如图所示，延长交于点G ∴ ∴当点F和点G重合时，取得最小值，即的长度 ∴的最小值 ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，特殊角的三角函数值的运用，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答题应写出必要的文字说明或推演步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，利用分式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，将平行四边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，点落在点处，写出图中全等的三角形和四边形，并证明全等的三角形． 【答案】，四边形四边形四边形；见解析 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，全等图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定；由平行四边形的性质得，，，，由折叠的性质得，，，由即可得证； 掌握折叠的性质，全等图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：图中，，四边形四边形四边形． 证明：∵是平行四边形， ∴， ， ． 由折叠重合得， ， ． ∴， ， ． ， ∴， 在和中 ， ∴（）． 19. “阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A文学类，B科幻类，C漫画类，D数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查（每位学生仅选一类）．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表： 书籍类别 学生人数 A文学类 24 B科幻类 m C漫画类 16 D数理类 8 （1）本次抽查的学生人数是_________，统计表中的_________； （2）在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是_________； （3）若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率． 【答案】（1）80，32 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用A文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B科幻类的百分比即可得到m的值； （2）用乘以“C漫画类”对应的百分比即可得到“C漫画类”对应的圆心角的度数； （3）用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D数理类”书籍的学生人数； （4）画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，本次抽查的学生人数是（人）， 统计表中的， 故答案为：80，32 【小问2详解】 在扇形统计图中，“C漫画类”对应的圆心角的度数是： ， 故答案为： 【小问3详解】 由题意得，（人）， 即估计该校学生选择“D数理类”书籍的学生为人； 【小问4详解】 树状图如下： 从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种， ∴P（小文、小明选择同一社团）． 【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键． 20. 关于的方程为，为实数． （1）判断方程根的情况． （2）求整数，使原方程至少有一个整数根． 【答案】（1）为任何实数，原方程均有实数根 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一元二次方程的根．解题关键是掌握根的判别式及根定义，分类讨论，是解题的关键． （1）分类讨论，当时，或，方程为一元一次方程，一定有一个实数根；当时，利用根的判别式，则一元二次方程必有两个实数根；综合以上即可得证； （2）至少有一实数根为整数，由两实数根为整数，则， ，即可求解． 【小问1详解】 解：当时，或． 原方程为，或．有实数根． 当时， ．有实数根． 综上，为任何实数，原方程均有实数根． 【小问2详解】 解：由（1），当时，原方程有整数根． 当时， 两根为． 即． 若是整数， 则． ∴． 取． 若是整数， 则． ∴． 综上，，原方程至少有一个整数根． 21. 如图，矩形的顶点均在双曲线上，边经过原点，对角线与轴平行，． （1）求双曲线的解析式． （2）求顶点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）设与x轴交于E，则，利用勾股定理求出的长得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得点关于原点对称．则，证明，得到，则，再根据矩形对角线中点坐标相同列式求解即可． 【小问1详解】 解：设与x轴交于E， ∵轴，， ∴． ∴． ∴． 设双曲线为， ∴． ∴双曲线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵点在双曲线上，经过原点， ∴点关于原点对称． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 如图，在四边形中，，的平分线交于，过三点的圆交于，恰是圆的切线，弦，弧等于弧的2倍． （1）比较与的大小，并说明理由． （2）当时，求的长． 【答案】（1），见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，等角对等边，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）连接，．由得是直径，由恰是圆的切线得，根据平分可得，求得，根据同弧所对圆周角相等可得结论； （2）连接，证明，得出．再证明，得出． 【小问1详解】 解：． 理由：连接． ∵， ∴是直径． ∵是切线， ∴．即, ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∴，即． 【小问2详解】 解：连接，则． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵弧等于弧的2倍， ∴． ∴．． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 23. 某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 （1）第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． （2）第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ （3）商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】（1）两款分别购进100条，80条 （2）应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元 （3）从利润率的角度看，第二次更划算 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A款购进条，则款购进条．根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设第二次A款购进条，则款购进条．利润为元，先根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润的利润的利润，得出y关于x的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． （3）先分别算出第一次的销售利润（A款利润与B款利润相加），再根据利润率公式算出第一次利润率；接着算出第二次进货成本和利润，进而得出第二次利润率；最后比较两次利润率大小，判断哪次更划算． 【小问1详解】 解：设A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即两款分别购进100条，80条． 【小问2详解】 设第二次A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为元，则． 随增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． 【小问3详解】 第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 24. 如图，四边形是正方形，作等腰直角三角形，直角顶点在对角线或其延长线上，顶点在边或其延长线上． （1）如图1，点在对角线上，与之间有无确定的数量关系？请说明理由． （2）如图2，点在对角线的延长线上，连接．当时，求与的数量关系． 【答案】（1），见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）本题要探究正方形中，等腰直角三角形顶点在正方形对角线时，线段 与 的数量关系．通过连接正方形对角线 ，利用正方形性质得到相关角度和线段比例关系，再根据等腰直角三角形 中 ，推出角相等，进而证明 与 相似，最后根据相似三角形对应边成比例得出 与 的数量关系． （2）已知点 在对角线 延长线上且 ，求 与 的数量关系．通过作辅助线 、 ，利用正方形性质得出一些线段相等和角度关系，再根据等腰直角三角形 的性质证明 ，得到线段相等关系．然后设未知数，根据勾股定理列出方程，通过换元法求解方程，最终得出 与 的数量关系． 【小问1详解】 解：如图1，与有确定的数量关系，． 理由：连接． ∵是正方形， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：如图2，作于，于． 则． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设，则． ∴． 在中， ∴． 设，则． ∴．则． ∴．即． ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质（如对角线平分对角、对角线与边长的数量关系等）、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理． 解题关键：（1）小题关键是连接正方形对角线，利用角度关系证明三角形相似；（2）小题关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形性质和勾股定理建立方程求解． 25. 如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． （1）求抛物线的解析式． （2）当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． （3）判断是否为定值，并说明由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为8 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【小问1详解】 解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $