精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

初二数学试题2025.05 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图所示，在湖边取一个可以直接到达A、B两点的点O，连结OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连结CD，并测得CD＝a，由此就知道了AB间的距离是( ) A. a B. 2a C. a D. 3a 5. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 平行四边形对角线互相平分 7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 等腰梯形 D. 对角线互相垂直的四边形 9. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 11. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 12. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 14. 点到原点的距离是________． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 16. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 17. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 18. 如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________． 19. 如图，已知：，点、、…在射线ON上，点、、…在射线OM上，、、…均为等边三角形，若，则的面积为________ 三、解答题（20题8分，21题5分，22、23、24每题8分，25题12分，26题14分） 20. 计算： （1）； （2） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： （1）这个模具是否符合规定要求？请说明理由； （2）如图2，连接，求的长． 23. 如图，的对角线与交于点，、是对角线上两点，且，，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的长． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形； （2）当为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 25. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为_______． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：______． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围______． 26. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． （1）直接写出正方形的边长； （2）如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； （3）如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学试题2025.05 一、单选题（每题3分，共36分） 1. 下列一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，解题的关键是掌握被开方数非负．根据二次根式定义逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A、不一定大于等于0，故不一定是二次根式，不符合题意； B、不一定大于等于0，故不一定是二次根式，不符合题意； C、由得到，故一定是二次根式，符合题意； D、的根指数为3，不是二次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 的三条边分别为a，b，c，下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、设则 ∵， ∴，解得， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； C、此三角形是直角三角形，不符合题意； D、由，设，， ∵， ∴此三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 3. 下列计算错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A.，正确； B.和不是同类项，无法计算，错误； C.，正确； D.，正确． 4. 如图所示，在湖边取一个可以直接到达A、B两点的点O，连结OA、OB，分别在OA、OB上取中点C、D，连结CD，并测得CD＝a，由此就知道了AB间的距离是( ) A. a B. 2a C. a D. 3a 【答案】B 【解析】 【分析】由D，C分别是边OB，OA的中点，首先判定DC是三角形AOB的中位线，然后根据三角形的中位线定理，由CD的长，进一步求出AB． 【详解】解：∵C、D分别是OA、OB的中点， ∴CD是△AOB的中位线， ∴AB=2CD=2a． 故选B． 【点睛】此题是中位线定理在实际中的运用，中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用． 5. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的基本性质，先根据平行四边形的性质得出，再根据，可求出，从而得出最后的结果． 【详解】解：如下图， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故选：D． 6. 下列命题中，其逆命题不成立的是（ ） A. 三角形的三边a、b、c满足，则该三角形是直角三角形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 平行四边形对角线互相平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．交换命题的题设和结论后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：直角三角形的三边为a、b、c，则一定满足；因为c不一定是斜边，故其逆命题不一定成立，该选项符合题意； B、逆命题为：平行四边形的两组对边分别平行，成立，该选项不符合题意； C、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，成立，该选项不符合题意； D、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，成立，该选项不符合题意． 故选：A． 7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定，如：．则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题属于新定义运算，二次根式混合运算，理解新定义运算法则，掌握二次根式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键． 根据定义新运算法则列式，然后先算乘方和乘法，再算加减． 【详解】解： 故选：D． 8. 若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是（　　） A. 对角线相等的四边形 B. 对角线相等的平行四边形 C. 等腰梯形 D. 对角线互相垂直的四边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键． 根据菱形的性质，得，结合三角形的中位线定理得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意，四边形是菱形，点、、、分别是、、、的中点， ，，， ， 原四边形一定是对角线相等的四边形． 故选：A． 9. 如图，平行四边形，，，以B为圆心，某一长度为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接交于点E，连接，，的延长线交于点F，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，尺规作图—作角平分线，等角对等边，全等三角形的判定和性质，根据作图得到平分，平行四边形的性质，推出，证明，得到即可． 【详解】解：∵平行四边形，，， ∴，， ∴，， 由作图可知：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选B． 10. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 11. 如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP = CQ，连接CP，QD，则PC + QD的最小值为（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】连接BP，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE、CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接BP， 在矩形ABCD中，AD∥BC，AD=BC=6， ∵AP=CQ， ∴AD-AP=BC-CQ， ∴DP=QB，DP∥BQ， ∴四边形DPBQ是平行四边形， ∴PB∥DQ，PB=DQ， 则PC+QD=PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值， 在BA的延长线上截取AE=AB=4，连接PE，CE， 则BE=2AB=8， ∵PA⊥BE， ∴PA是BE的垂直平分线， ∴PB=PE， ∴PC+PB=PC+PE， 连接CE，则PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE， ∴CE==10， ∴PC+PB的最小值为10， 即PC+QD的最小值为10， 故选：B． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证出PC+QD=PC+PB=PC+PE≥CE是解题的关键． 12. 如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．利用菱形的性质和等边三角形的判定可判断①；根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理可判断②④；根据三角形的内角和定理可判断③，进而可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴为等边三角形，，则， 故①②正确； ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， 故③④正确， 综上，正确的有4个， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共21分） 13. 代数式有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式和二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握分式和二次根式的定义，从而完成求解．根据分母不为0和被开方数为非负数列出不等式，即可得到答案． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：． 14. 点到原点的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系的点与点的距离，勾股定理，依题意，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴点到原点的距离是， 故答案为：． 15. 如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件______，使平行四边形是菱形．（写出一个即可） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解． 【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形， ∴当时，可使平行四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，数轴上点表示的数为，化简的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 17. 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质得出是直角三角形，为斜边上的中线，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，， ∴，， ∴ ∴是直角三角形， ∴， ∵为线段的中点， ∴图中阴影部分的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 18. 如图，点A、B、C的坐标分别是（0，2）、（2，2）、（0，-1），那么以点A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标是：________． 【答案】（2，-1）或（-2，-1）或（2，5） 【解析】 【分析】分情况讨论，当平行四边形的一组对边平行于x轴时，可得点D的坐标为（2，-1）或（-2，-1），当平行于x轴的AB为平行四边形的对角线时，可得点D的坐标为（2，5）．注意不要遗漏可能组成平行四边形的情况． 【详解】解：①如下图：当以AB为边时，点D的坐标为（2，-1）； ②如下图：当以AB为边时，点D的坐标也可以为（-2，-1）； ③如下图：当以AB为对角线时，点D的坐标为（2，5）； 【点睛】本题考查平行四边形的判定、坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 19. 如图，已知：，点、、…在射线ON上，点、、…在射线OM上，、、…均为等边三角形，若，则的面积为________ 【答案】 【解析】 【分析】分别求出、、的边长，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形 ∴ ∵， ∴ 故：是边长为：，的等边三角形 同理可得：是边长为：，的等边三角形 是边长为：，的等边三角形 ．．．． 则是边长为：，的等边三角形 如图： ， ∴ 故答案为： 【点睛】本题以规律探索为背景，考查了等边三角形的性质、勾股定理等知识点．确定各等边三角形的边长是解题关键． 三、解答题（20题8分，21题5分，22、23、24每题8分，25题12分，26题14分） 20. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂和化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先根据完全平方公式和平方差公式去括号，再计算加减法即可得到答案． 【小问1详解】 解； ； 【小问2详解】 解： ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，因式分解−运用公式法，以及二次根式的性质与化简，原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键． 【详解】 ， 当时，原式． 22. 一个四边形的模具如图1所示，其中，，，，，按规定这个模具中也应为直角，解答下列问题： （1）这个模具是否符合规定要求？请说明理由； （2）如图2，连接，求的长． 【答案】（1）解：符合规定要求，理由如下： ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴符合规定要求； （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解（2）的关键． （1）先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理判断即可； （2）作交的延长线与点E，根据证明得，，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 作交的延长线与点E ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 如图，的对角线与交于点，、是对角线上两点，且，，连接、． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°， 在△AEB和△CFD中， ∴△AEB≌△CFD（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形； （2） 【解析】 【分析】（1）证△AEB≌△CFD，得AE＝CF，再由AE∥CF，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设，交于 由（1）知，四边形为平行四边形， ， 故的长 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEB≌△CFD是解题的关键． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点停止，同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是，连接、、，设点、运动的时间为． （1）当为何值时，四边形是矩形； （2）当为何值时，四边形是菱形； （3）分别求出（2）中菱形的周长和面积． 【答案】（1） （2） （3）周长为，面积为 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （2）由菱形的性质可得，据此可建立一元一次方程，解方程即可求出答案； （3）先利用的值求出的长，然后根据和即可求出菱形的周长和面积． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形； 四边形是菱形， ， 即：， 解得：， 答：当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：当时，， 菱形的周长为：， 菱形的面积为：． 【点睛】本题主要考查了（特殊）平行四边形的动点问题，矩形的性质，菱形的性质，解一元一次方程，代数式求值，多边形的周长，利用菱形的性质求面积等知识点，利用各种图形的性质建立方程解决问题是解题的关键． 25. 数学课上老师让学生们折矩形纸片．由于折痕所在的直线不同．折出的图形也不同．所以各个图形中所隐含的“基本图形”也不同．我们可以通过发现基本图形，来研究这些图形中的几何问题． 问题解决： （1）如图1，将矩形纸片沿直线折叠，使得点与点重合，点落在点的位置，连接，线段交于点，则： ①与的关系为_______． ②小丽说：“图1中的四边形是菱形”，请你帮她证明． 拓展延伸： （2）如图2，矩形纸片中，，，小明将矩形纸片沿直线折叠，点落在点的位置，交于点，请你直接写出线段的长：______． 综合探究： （3）如图3，是一张矩形纸片，，在矩形的边上取一点（不与和点重合），在边上取一点（不与和点重合），将纸片沿折叠，使线段与线段交于点，得到，请你确定面积的取值范围______． 【答案】（1）①全等 ②证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）①利用翻折变换的性质以及全等三角形的判定定理解决问题即可； ②先证明四边形是平行四边形，由可证明四边形是菱形； （2）由矩形和折叠的性质证明，设，利用勾股定理构建方程求解即可； （3）分别求出的面积的最大值与最小值即可解决问题． 【详解】（1）①解：由折叠的性质得，，垂直平分， ， ， 故答案为：全等 ②略 （2）解：， ， 矩形， ，， ， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， 设，则， ， ， 解得， ， 故答案为：； （3）解：如图，当点与点重合时，的面积最大，作于点， ， 由题意得，设，则， ， ， 解得， ， ， 的最大值为； 当点与点重合时，此时最小，最小值为， 的最小值为， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定与性质，是解题的关键． 26. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到． （1）直接写出正方形的边长； （2）如图1，若点D为中点，延长交于点H． ①求的长； ②连并延长交于点F，求的长； （3）如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长． 【答案】（1）6 （2）①2；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据根据二次根式被开方数的非负性即可作答； （2）①由翻折得，，进而推出，设，根据勾股定理即可求得； ②同角的余有相等，进而推出，，作答即可； （3）由翻折，由，当、、共线时，最大，，，即可作答． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， ，即， 正方形的边长为6； 【小问2详解】 由（1）知正方形达长为6， ∵是的中点，∴， ①由翻折得，， ， 连接， 则， ， ， ， 设， 则， 在中， 由， 即， 解得， 的长为2； ②由，， 得垂直平分， ， 又， （同角的余有相等）， 又，， ， ， ， 即的长为； 【小问3详解】 由翻折知， 又是的中点， ， 由， 当、、共线时，最大， 如图所示， ， ， ， ， ， ， ， 点运动的路径长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质，三角形全等的判定与性质，折叠性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $