高二下学期期末考试（考试范围：选择性必修二）-2024-2025学年高二数学重难点突破及混淆易错规避（苏教版2019选择性必修第二册）

高二第二学期期末考试 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：选择性必修二 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中含项的系数为（    ） A． B．5 C． D． 3．某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机，现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供选择，公司决定从四个牌子中随机选两个购买，则甲牌打印机被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 4．下列说法中不正确的是（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则期望 C．已知随机变量的分布列为，则 D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 5．下列说法中，正确的命题的序号是（    ） ①．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则 ②．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 ③．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立 ④．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16 A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 6．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 7．蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇.现在有一只蜜蜂从入口向下（不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的.蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为.例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．（多选）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 男 40 10 女 30 20 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 经计算，则可以推断出（    ） A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 B．该学校女生中经常体育锻炼的概率的估计值为 C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 10．某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（    ） A． B． C． D． 11．正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点D到平面的距离相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知n个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 13．若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 ． 14．将7个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求： ①每个盒子至少放1个球； ②编号为1的盒子中小球数量为偶数； ③若编号为2的盒子放奇数个球，则其中必须有一个小球编号（编号为1至7）是其放入小球总数的倍数（例如放入3个球时，其中至少有一个球编号是3的倍数）. 满足条件的放法共有 种. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 16．如图，已知面ABCD，，，G，F分别为SB，SD的中点，． (1)证明：面SBC； (2)在线段GF（不含端点）上是否存在一点H，使得面ABH与面SCD所成角的正弦值为？若存在，求GH的长；若不存在，说明理由． 17．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 18．固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 19．如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二第二学期期末考试 题号 一 二 三 四 总分 得分 考试范围：选择性必修二 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若，，构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于 A , 假设 共面, 则可设 方程组无解, 不共面, 可以作为空间一组基底, A 正确; 对于 B, 共面, 不能作为空间一组基底, B 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, C 错误; 对于 共面, 不能作为空间一组基底, D 错误. 故选： A 2．二项式的展开式中含项的系数为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】因为二项式的展开式， 令，解得， 则，即含项的系数为5. 故选：B. 3．某企业为了提高办公效率决定购买一批打印机，现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供选择，公司决定从四个牌子中随机选两个购买，则甲牌打印机被选中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】现有甲、乙、丙、丁四个牌子的打印机可供选择， 公司决定从四个牌子中随机选两个购买，基本事件总数， 其中甲牌打印机被选中包含的基本事件个数， 则甲牌打印机被选中的概率为． 故选：B． 4．下列说法中不正确的是（    ） A．若随机变量，，则 B．若随机变量，则期望 C．已知随机变量的分布列为，则 D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为 【答案】C 【详解】对于A：随机变量且， 则，故A正确； 对于B：随机变量，则期望，故B正确； 对于C：因为，所以，，， 所以，解得，所以，故C错误； 对于D：从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率，故D正确； 故选：C 5．下列说法中，正确的命题的序号是（    ） ①．已知随机变量服从正态分布N（2，），，则 ②．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和 ③．若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B独立 ④．若样本数据的方差为2，则数据的方差为16 A．①④ B．③④ C．②③ D．①② 【答案】D 【详解】解：对于①，因为N（2，），， 所以，故①正确； 对于②，两边同时取对数可得， 则， 又因， 所以， 所以，故②正确； 对于③，若事件A与事件B互斥，则事件A与事件B不会同时发生， 当事件A与事件B独立，两事件可以同时发生，故③错误； 若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故④错误. 所以正确的为①②. 故选：D. 6．某市选派9名医生到3个乡镇义诊，其中有5名主治医师，4名实习医生，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师，则不同的分配方法种数为（   ） A．720 B．1480 C．1080 D．1440 【答案】D 【详解】由题意，要求每个乡镇分配3名医生，且每个乡镇至少有一名主治医师， 则主治医师的分配方案有2种，即“”或“”. 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为； 当主治医师按照“”分配时，主治医师的分法种数为， 再将4名实习医生按照“”与之配成对应的三组，分法种数为， 最后将分好的三组分配到3个乡镇，分配方法种数为， 根据分步乘法计数原理，不同的分配方法种数为. 根据分类加法计数原理，不同的分配方法种数为. 故选：D. 7．蜜蜂是“天才的数学家兼设计师”.如图所示是一个蜂巢和部分蜂巢截面.图中竖直线段和斜线都表示通道，并且在交点处相遇.现在有一只蜜蜂从入口向下（不能向上）运动，蜜蜂在每个交点处向左到达下一层或者向右到达下一层的可能性是相同的.蜜蜂到达第n层（有n条竖直线段）第m通道（从左向右计）的不同路径数为.例如：，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，， 且， 结合杨辉三角的性质和以及以上递推关系， 可推得，，所以，即， 因为， 所以可能取到0，1，2，7，8，9，所以解集为， 故选：B. 8．在长方体中，已知，，点是四边形内（包含边界）的一个动点，若点到平面的距离为1，则点的轨迹的长度为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，将，，分别延长至，，， 使得，，，连接， 则平面即平面， 则满足条件的点的轨迹为和平面平行的平面与平面的交线 落在四边形内部（含边界）的部分，不妨设为线段. 由面面平行的性质知，线段与平行.设点到平面的距离为， 连接，则由，得， 解得，连接，则线段在的左侧.不妨设点在线段上，在线段上. 过点分别作，交于点，于点，连接， 作于点，易知，，平面， 从而有平面，作，垂足为，则，， 平面，从而有平面，即点到平面的距离为. 易知，， 因为，所以. 设，则，故，，.由及可得， 解得（舍去）或，故为的中点，所以为的中点， 所以，即点的轨迹的长度为，. 解法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为点在平面内， 所以可设， 则，，. 设平面的法向量为，则由，得， 即，取，则， 则点到平面的距离为，所以. 因为点是四边形内（包含边界）的一个动点，所以， 即，由得， 即点的轨迹方程为，. 所以点的轨迹的长度为. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．（多选）某中学为了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，从本校所有学生中随机调查了50名男生和50名女生，得到如下列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 男 40 10 女 30 20 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 经计算，则可以推断出（    ） A．该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为 B．该学校女生中经常体育锻炼的概率的估计值为 C．有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 D．有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异 【答案】BC 【详解】对选项A：该学校男生中经常体育锻炼的概率的估计值为，错误； 对选项B：该学校女生中经常体育锻炼的概率的估计值为，正确； 对选项C：，故有95%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，正确； 对选项D：，故没有99%的把握认为男、女生在体育锻炼的经常性方面有差异，错误． 故选：BC． 10．某校高二年级在一次研学活动中，从甲地的3处景点、乙地的4处景点中随机选择一处开始参观，要求所有景点全部参观且不重复.记“第站参观甲地的景点”为事件，，2，…，7，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】由题意可得 A正确； ，故B正确； 由于，C错误； ,所以D错误. 故选：AB. 11．正方体的校长为2，E，F，G分别为的中点．则（    ） A．直线与直线垂直 B．直线与平面平行 C．平面截正方体所得的截面面积为 D．点和点D到平面的距离相等 【答案】BCD 【详解】 以D为原点,分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 对于A:因为，所以直线与直线不垂直.故A错误； 对于B：设平面AEF的法向量，则取y=1,得.∵且A1G平面AEF,∴直线A1G与平面AEF平行.故B正确； 对于C： 连接∵E,F分别是的中点， ∴面AEF截正方体所得的截面为梯形AEFD1， ∴面AEF截正方体所得的截面面积为：.故C正确； 对于D：由前面可知平面AEF的法向量. ∴点A1到平面AEF的距离， 点D到平面AEF的距离, ∴点和点D到平面的距离相等.故D正确. 故选:BCD. 【点睛】立体几何题目的基本方法： (1)用几何法证明或计算； (2) 向量法：①建立合适的坐标系；②把要用到的向量正确表示；③利用向量法证明或计算. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知n个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，直线经过点，其中， 所以，从而． 故答案为： 13．若在关于的展开式中，常数项为4，则的系数是 ． 【答案】 【详解】， 展开式的通项为：， 取得到常数项为，故. 分别取和得到的系数是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．将7个不同的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求： ①每个盒子至少放1个球； ②编号为1的盒子中小球数量为偶数； ③若编号为2的盒子放奇数个球，则其中必须有一个小球编号（编号为1至7）是其放入小球总数的倍数（例如放入3个球时，其中至少有一个球编号是3的倍数）. 满足条件的放法共有 种. 【答案】780 【详解】由题意，1号盒只能放2个或放4个． （1）1号盒放2个，2号盒放2个，3号盒放3个：对应放法数为； （2）1号盒放2个，2号盒放4个，3号盒放1个：对应放法数为； （3）1号盒放2个，2号盒放1个，3号盒放4个：对应放法数为； （4）1号盒放2个，2号盒放3个，3号盒放2个： 此时2号盒需至少有一个球的编号是3的倍数（即3或6）． 情形一：1号盒不放编号3和6的球：对应放法数为； 情形二：1号盒放编号3或6的球其中之一：对应放法数为； （5）1号盒放4个，2号盒放1个，3号盒放2个：对应放法数为； （6）1号盒放4个，2号盒放2个，3号盒放1个：对应放法数为． 综上，满足条件的放法共有． 故答案为：780． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．在的展开式中，前3项的系数成等差数列． (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项及各二项式系数和； (3)求展开式中含的项的系数及有理项． 【答案】(1) (2)展开式中二项式系数最大的项为，各二项式系数和为 (3)展开式中含的项的系数为，有理项为，， 【详解】（1）解：由二项式展开式的通项为， 因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为， 所以，即，所以（舍去）或． （2）解：当时，可得所以展开式中二项式系数最大的项为第五项， 即，且各二项式系数和为． （3）解：由二项式展开式的通项公式为：， 令，可得，所以含的项的系数为； 设展开式中第项为有理项，由， 当，4，8时对应的项为有理项，其中有理项分别为：． 16．（辽宁省葫芦岛市2025届高三第二次模拟考试数学试题）如图，已知面ABCD，，，G，F分别为SB，SD的中点，． (1)证明：面SBC； (2)在线段GF（不含端点）上是否存在一点H，使得面ABH与面SCD所成角的正弦值为？若存在，求GH的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在满足题意的点H，此时 【详解】（1）∵，G为SB的中点，∴， 又∵面ABCD，∴， 又∵，，SA，面SAB，∴面SAB， ∵，∴面SAB， ∵面SAB，∴， ∵，，SB，面SBC，∴面SBC． （2） 由（1）知，，， 可以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 于是，，，，． 假设在线段GF（不含端点）上存在一点H，使得平面ABH与平面SCD所成角的正弦值为， 则，， 设平面SCD的法向量为， 则，所以，令，则平面SCD的一个法向量为， 设平面ABH的法向量为， 则，所以， 令，则平面ABH的一个法向量为，设平面ABH与平面SCD所成角为， 则，∵， 所以， 整理得，∵，∴， ． 故存在满足题意的点H，此时． 17．某材料实验室研究了某种金属材料在不同冷却速率下的凝固点温度，以及冷却环境对材料热物性的影响．下表为某金属材料凝固点温度（单位：）随冷却速率（单位：）变化的统计数据． 10 20 30 40 50 650 640 600 590 580 (1)一般认为当时，经验回归方程的拟合效果非常好；当时，经验回归方程的拟合效果良好．试问该经验回归方程的拟合效果是非常好还是良好？说明你的理由． (2)请利用所给数据求该金属凝固点温度与冷却速率之间的经验回归方程，并预测冷却速率为时，该金属的凝固点温度． 参考公式：； 相关系数． 参考数据：． 【答案】(1)拟合效果非常好，理由见解析 (2)； 【详解】（1）易知， 因为，， ， 因为 所以该经验回归方程的拟合效果非常好． （2）由（1）知，由， 因为， 所以，故所求的经验回归方程为． 当时，， 所以冷却速率为时，该金属的凝固点温度为． 18．固态电池是纯电动汽车搭载的新一代电池，与使用电解液的传统液态锂离子电池相比，固态电池具有安全性能高、能量密度大等特点．某公司试生产了一批新型固态电池，为了了解该批次固态电池的“循环寿命”x（循环寿命是指：电池的容量下降到初始容量的某一阈值时，完成充放电循环的次数）的情况，从这批固态电池中随机抽取了100组进行了测试，并统计绘制了下表： 循环寿命x（千次） 组数y 5 15 a b 5 已知循环寿命x（千次）的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． (1)求a，b的值； (2)根据测试数据可以认为“循环寿命”x近似服从正态分布，经计算样本标准差s的估计值为0.7．用样本数据的平均值作为的值，用样本标准差s的估计值作为的值． （ⅰ）若规定：循环寿命的电池为一等品；的电池为优等品．求试生产的电池的一等品率和优等品率的估计值（结果用百分数表示）； （ⅱ）在该型电池的生产中，称发生概率低于0.27%的事件为小概率事件，在质量控制时，如果小概率事件未发生，则认为该批产品合格；否则可以认为该批产品不合格．若这100组电池中，循环寿命x的最大值和最小值分别为6.5和2.3．请判断该批固态电池是否合格？并说明理由． 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】(1)，． (2)（ⅰ）一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%；（ⅱ）不合格，理由见解析 【详解】（1）由题，①， ②， 由①②解得，． （2）由题，，， （ⅰ）因为 ； ， 所以一等品率的估计值为13.59%；优等品率的估计值为2.275%． （ⅱ）不合格．理由如下： 由题，， 所以， 又，， 故小概率事件发生，所以该批固态电池不合格． 19．如图①所示，长方形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，，得到图②的四棱锥． (1)若为等边三角形，求四棱锥的体积； (2)在图②中画出平面与平面的交线，并陈述作图方法的理由； (3)设二面角的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】(1) (2)作图及理由见解析 (3) 【详解】（1）取的中点G，连接， 因为，所以，，. 因为三角形为等边三角形，所以， 所以，故， 因为平面，，所以平面， 因为底面四边形为梯形，所以四边形的面积为， 所以四棱锥的体积为. （2）延长和交于点Q，连接， 则平面与平面的交线为直线.理由如下： 因为，所以直线AM和BC必相交，设交点为Q， 因为平面，平面，所以平面，平面， 因为平面，平面，所以平面与平面的交线为直线. （3）由（1）得，，所以为二面角的平面角， 即， 因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面，且平面平面. 在平面中，过点D作，则平面， 如图，以D为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 过P作于点H， 因为平面平面，平面平面，所以平面. 设， 因为，所以， 所以， 所以， 所以， 设平面PAM的法向量为，则， 令，则，     设平面的法向量为， 因为 则， 令，则， 设平面PAM和平面PBC的夹角为， 则 令，则，所以， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 所以当时，函数有最大值，最大值为， 此时有最小值，最小值为， 所以平面和平面夹角余弦值的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$