1.2.3 勾股定理的逆定理 教学设计2024－2025学年八年级数学下册（湘教版2012）

湘教版八年级（下） 第1章 直角三角形 1.2.3《勾股定理的逆定理》教学设计 课题 1.2.3勾股定理的逆定理 学科 初中数学 教材 湘教版（2012） 教师 吴军庆 单位 道县第四中学 年级 八年级 课标要求 1、理解勾股定理的逆定理，并能运用其判断三角形是否为直角三角形； 2、通过探索勾股定理的逆定理，发展学生的几何直观和逻辑推理能力； 3、能够运用勾股定理及其逆定理解决实际问题. 学情分析 八年级学生通过上一节对《勾股定理》的学习，已经对直角三角形的性质有了初步的了解，同时具备一定的数学抽象素养,这为本堂课的学习奠定了基础。然而，此时的学生在平面几何方面的直观想象能力仍有所欠缺，因此教师需要充分考虑到学生的认知发展水平，在已有的知识基础上发挥学生的主体性，积极进行师生对话。 教材分析 本节课选自湘教版八年级下册第一章《直角三角形》中的内容。教材通过古代构造直角的方法引入勾股定理的逆定理，结合具体实例和几何证明，帮助学生理解逆定理的内容及其应用。教材注重从实际问题出发，通过数形结合的方式培养学生的数学思维。 教学目标 1、能应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，会运用勾股定理的逆定理解决有关证明与计算问题； 2、经历“观察-实验-猜想-验证-证明”的探究历程，感悟定理生成过程，获得命题学习的一般思路，体会从特殊到一般与数形结合的思想方法； 3、经历定理的推导、证明过程，发展逻辑推理核心素养、创新精神，培养摆事实、讲道理的理性精神；在主线式情境教学中，体会我国古人的劳动智慧，涵养民族自豪感。 教学重点、难点 教学重点：勾股定理的逆定理的证明与应用。 教学难点：构造一个直角三角形，证明勾股定理的逆定理及在实际问题中的灵活运用。 教学方法分析 恰当利用多媒体，使问题形象化、直观化，增强学生的参与程度，提高课堂教学效率；教学中采用问题教学法和探索发现法，用层层推进的提问启发学生通过深入思考和主动探究获取知识，使学生真正成为教学的主体，让他们充分体会参与的乐趣和获得成功的喜悦。 教学过程 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 情 景 引 入 情景 1：在我们的生活中，随处可见直角或直角三角形的形象。而遥远的古代，没有三角板、量角器等作图工具，古人是如何构造直角的呢？ 情景 2：我国古代典籍《史记》中，这样描述到“大禹治水”：“左准绳，右规矩，载四时，以通九州。”其中，准、绳、规、矩是我国古代劳动人民常用的测量工具。大禹将一根长绳打上等距离的 13 个结，然后以 3 个结间距、4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中有一个角便是直角。你知道其中蕴藏着怎样的数学奥秘吗？ 激发兴趣，引入课题. 融入了我国经典神话故事，创设问题情境，既激发学习兴趣，又有利于培养民族自豪感，让学生感受数学文化. 探 究 新 知 问题 1：故事情境中，能抽象出一个怎样的数学问题？ 师生活动：如果一个三角形的三边长分别为 3,4,5，那么这个三角形是直角三角形。 追问：三角形三边的数量关系与该三角形是否为直角三角形有什么联系？换成其他三边，画出的三角形还是直角三角形吗？ 画一画：以这些数为边长画出三角形(单位：cm) ①3,4,5; ②6,8,10； ③2.5,6,6.5. 算一算：三角形的三边长分别满足怎样的数量关系？ 量一量：用量角器量一量，你有什么发现吗？ 问题 2：若三角形的三边长分别为a,b,c，你能提出怎样的猜想？ 问题 3：我们的猜想一定正确吗？有没有不同的想法？ 师生活动：测量结果可能有误差，而且前面只取了几组数据，不能由部分代表整体。结合几何画板的动态演示，再多验证几组数据。 推理证明： 问题4：已知：如图，△ABC的三边长a,b,c，满足a2+b2 =c2.求证：△ABC是直角三角形． 师生活动：解决几何问题，往往从目标出发。目标为证明一个角是直角，回顾相关证明方法，无法直接证明。再从条件a2 +b2 =c2，联想到勾股定理。实施转换，既然条件、目标都集中在“直角”这个关键点上，怎么办？生活中可以通过买或借的方式获得，数学中可以通过自己画一个直接获得。这样，引 导构造出一个直角三角形，获得证明思路。 1、 学生在情境中体会,回答 教 师提出的问题。 2、 由上面的几个例子，我们猜想：如果三角形的三边长a,b, c，满足a2 +b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。 3、学生小组合作验证，并上台展示小组成果。 1、结合情境和问题，引导学生用数学的眼光发现问题，用恰当的数学语言描述问题。 2、通过动手操作，先从特殊的三角形开始研究，再到一般情况，符合认知规律。鼓励学生大胆猜想，发展合情推理能力。 3、 不仅要学生养成说话、办事摆事实、讲道理的习惯，还要培养学生求真、严 谨、有理、有据的理性精神。 4、 先从结论出发，搜索原来的方法，有困难，产生认知冲突。再结合已知，自然引出“构造”的证明方法。在探究活动中，发展逻辑推理核心素养。 新 知 归 纳 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。 几何语言： ∵ △ABC的三边a,b,c，满足a2+b2 =c2， ∴ △ABC是直角三角形. 追问：勾股定理的逆定理的作用是什么？ 师生活动：能判定一个三角形是否为直角三角形。它可直接根据“数”的关系式，得出“形”的特征。 4、学生独立总结，并回答教师提出的问题。 5、规范定理的文字语言、符号语言、图形语言，小结定理的作用。 典 例 精 析 例1：判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=6，b=8，c= 10; (2) a= 12，b= 15，c=20. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 答案： (1) ∵62+82=100，102=100， ∴62+82=102, ∴这个三角形是直角三角形. (2) ∵122+152=369，202=400， ∴122+152≠202, ∴这个三角形不是直角三角形. 拓展：像 6,8,10 这样，能够成为直角三角形三边长的三个正整数称为勾股数。 例2：如图，在△ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC= 17. 求DC的长. 答案： 在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8， ∵62+82=102, 即AD2+ BD2=AB2, ∴△ADB为直角三角形. ∴∠ADB= 90°. ∴∠ADC= 180°－∠ADB= 90°. 在Rt△ADC中，由勾股定理得DC2=AC2－AD2, ∴DC==15. 5、 学生独立完成例1，巩固本堂课所学知识。 6、几何图形，应用所学知识解决问题。学生上台讲解，其他学 生质疑补充。 6、及时复习所学内容，加深学生对知识的理解，检验学生对知识的掌握情况。 7、通过例2及时拔高，结合图形发展学生的几何直观和逻辑推理能力。 实 际 应 用 如图，某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 答案： 解:根据题意得， PQ =16×1.5 =24, PR =12×1.5 =18, QR =30. ∵ 242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2, ∴ ∠QPR =∠90° 又∵∠1=45°，∴∠2=45°. 即“海天”号沿西北方向航行. 7、同学们上台板书过程。同学分享:书写的时候要有步骤。要先证明三边关系后，再判断是否为直角。 8、同学们自己书写例题，印象深刻。 能 力 提 升 大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, ∠B=90°， 求该四边形ABCD的面积. 【解题思路】连接AC.由∠B=90°，依据勾股定理求出AC的长,再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，最后分别求出Rt△ABC和Rt△ACD的面积，进而可求出四边形ABCD的面积. 8、学 生 在 情境中体会。学生上台、讲解，其他学生质 疑补充。 9、让学生体会数学在实际生活中的应用。 课 堂 小 结 问题 1：本节课我们共同研究哪些知识？ 师生活动：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。 问题 2：还记得是按照怎样的路径研究的吗？ 问题 3：你有哪些感悟或收获呢？ 学生交流讨论，总结收获。 分享解题的思路，提出疑惑,交流。全班同学共同讨论。 让学生在小组中交流讨论，总结这节课的收获，提出新的疑惑。教师进行点评、指导与总结，在学生小组讨论和展示交流之后，对解题的思路与方法进行提升。 作 业 布 置 1、 基础题：教材P16： 习题A组 T2、T3； 2、 选做题：教材P17： 习题A组 T6. 学生课后根据自身情况独立完成作业。 分层布置作业，适合不同层次的学生，有助于学生的巩固本堂课所学的知识。 板 书 设 计 1.2.3 勾股定理的逆定理 1、勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c，满足a2+b2 =c2，那么这个三角形是直角三角形。 2、几何语言： ∵ △ABC的三边a,b,c，满足a2+b2 =c2， ∴ △ABC是直角三角形. 3、 作用：判断直角三角形的依据 4、 例题板书： 教 学 反 思 成功之处： 1、通过情境引入和探究活动，学生积极参与，课堂氛围活跃。 2、逆定理的证明过程清晰，学生能够理解逻辑关系。 不足之处： 1、部分学生在实际问题的建模中表现吃力，需加强练习。 2、逆定理的应用范围可以进一步扩展，如结合四边形问题。 改进措施： 1、增加更多实际问题的案例，帮助学生建立数学模型。 2、在课后作业中分层设计题目，满足不同学生的学习需求。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$