1.2.3 勾股定理的逆定理 课件2024－2025学年八年级数学下册（湘教版2012）

湘教版 八年级下册 第1章 直角三角形 1.2.3 勾股定理的逆定理 道县第四中学 吴军庆 2025年“湘道杯”优质教学资源评选活动 在我们的生活中，随处可见直角或直角三角形的形象…… 情境引入 而遥远的古代，没有三角板、量角器等作图工具，古人是如何构造直角的呢? “典籍”中的数学 左准绳，右规矩，载四时，以通九州。 ——《史记》 “典籍”中的数学 左准绳，右规矩，载四时，以通九州。 ——《史记》 准 绳 规 矩 将一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中有一个角便是直角. 故事情境 抽象 数学情境 “典籍”中的数学 探究新知 画一画 1 算一算 2 量一量 3 以这些数字为边长画出三角形(单位：cm) ①3, 4, 5; ②6, 8, 10; ③2.5, 6, 6.5. 三角形的三边长分别满足怎样的数量关系？ 用量角器量一量角度，你有什么发现吗？ ①3, 4, 5; ②6, 8, 10; ③2.5, 6, 6.5. ①3, 4, 5; ②6, 8, 10; ③2.5, 6, 6.5. 32+ 42= 52 62+ 82= 102 2.52+ 62= 6.52 猜一猜 4 若三角形的三边长分别为a,b,c，提出你的猜想. 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 由上面的几个例子，我们猜想： 证一证 5 已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2 = c2. 求证：△ABC是直角三角形． 只需证△ABC≌△A′B′C′ 　 只需证∠C 是直角 要证△ABC 是直角三角形 构造两直角边分别为a，b 的Rt△A′B′C′ A B C a b c A' B' C' a b 证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′= b. ∴ △ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴ ∠C=∠C′= 90°. 根据勾股定理得 A′B′2=B′C′2+A′C′2 = a2 +b2， ∵ a2 +b2=c2， ∴ A′B′2=c2. ∴ A′B′=c. 在△ABC和△A′B′C′中， ∵ BC=B′C′=a， AC=A′C′=b， AB=A′B′=c， ∴ △ABC 是直角三角形. 新知归纳 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 几何语言： A B C a b c ∵△ABC的三边a,b,c满足 a2 +b2=c2， ∴ △ABC 是直角三角形. 新知归纳 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形. 作用： A B C a b c 判定一个三角形是否为直角三角形. “数”的关系式 “形”的特征 典例精析 例1 判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=6，b=8，c= 10; (2) a= 12，b= 15，c=20. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 例1 判断由线段a, b, c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a=6，b=8，c= 10; (2) a= 12，b= 15，c=20. 解：(1) ∵62+82=100，102=100， ∴62+82=102, ∴这个三角形是直角三角形. (2) ∵122+152=369，202=400， ∴122+152≠202, ∴这个三角形不是直角三角形. 例2 如图，在△ABC中，已知AB=10， BD=6，AD=8， AC= 17. 求DC的长. 解:在△ABD中，AB= 10，BD=6，AD=8， ∵62+82= 102, 即AD2+ BD2=AB2, ∴△ADB为直角三角形. ∴∠ADB= 90°. ∴∠ADC= 180°－∠ADB= 90°. 在Rt△ADC中，由勾股定理得 DC2=AC2－AD2, ∴=15. 实际应用 如图，某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后分别位于点Q,R处，且相距30海里.如果知道“远航”号沿东方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 实际应用 解:根据题意得， PQ =16×1.5 =24,PR =12×1.5 =18,QR =30. ∵ 242+182=302, 即 PQ2+PR2=QR2, ∴ QPR =∠90° 又∵∠1=45°，∴∠2=45°. 即“海天”号沿西北方向航行. 能力提升 大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°， 求该四边形ABCD的面积. 【解题思路】连接AC.由∠B=90°，依据勾股定理求出AC的长,再由勾股定理的逆定理判断出△ACD是直角三角形，最后分别求出Rt△ABC和Rt△ACD的面积，进而可求出四边形ABCD的面积. 能力提升 大禹治水后测得一四边形田地相关数据如图，在四边形ABCD中，AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°， 求该四边形ABCD的面积. 解：连接AC. ∵ AB=3,BC=4,∠B=90°. ∴ . 在△ACD中，∵AC=5，CD=12,AD=13. ∴ AC2 + CD2=AD2， ∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， ∴ 四边形ABCD面积为. 课堂小结 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 问题1：本节课我们共同研究哪些知识？ 问题2：还记得是按照怎样的路径研究的吗？ 问题3：通过本节课得学习你有哪些感悟或收获呢？ 作业布置 基础题：教材P16： 习题A组 T2、T3； 选做题：教材P17： 习题A组 T6. 课后作业 $$