专题1 三角形四类常考导角模型-2025-2026学年八年级数学上【提优专题+重点题型+单元试卷 】典例剖析及举一反三训练（人教版）

专题1 三角形四类常考导角模型（解析版） 类型一 A字型模型 【典例1】（2023秋•鹰潭期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 　20°　 ． 【分析】利用三角形的外角性质先求∠ABD，再根据角平分线的定义，可得∠DBC＝∠ABD，运用平行线的性质得∠BDE的度数． 【详解】解：∵∠A＝30°，∠BDC＝50°， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝20°． ∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠DBC＝∠ABD＝20°， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC＝20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，涉及到平行线的性质及三角形内角与外角的关系，熟知以上知识是解题的关键． 【变式训练】（2022春•贵溪市期末）如图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝100°，∠ABP的大小为 　85°　 ． 【分析】由平行线的性质得到∠AEP＝100°，再由三角形外角定理即可求解． 【详解】解：∵AB∥CD，∠CFP＝100°， ∴∠AEP＝∠CFP＝100°， ∵∠AEP＝∠ABP+∠P，∠P＝15°， ∴∠ABP＝∠AEP﹣∠P＝100°﹣15°＝85°， 故答案为：85°． 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键． 类型二 燕尾型模型 【典例2】（2024秋•立山区期中）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是　50°　 ． 【分析】连接AC并延长交EF于点M．由平行线的性质得∠BAC＝∠FCM，∠ECM＝∠DAC，再由等量代换得∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCM+∠ECM＝∠FCE，先求出∠FCE即可求出∠A． 【详解】解：连接AC并延长交EF于点M． ∵AB∥CF， ∴∠BAC＝∠FCM， ∵AD∥CE， ∴∠ECM＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝∠FCM+∠ECM＝∠FCE， ∵∠FCE＝180°﹣∠E﹣∠F＝180°﹣80°﹣50°＝50°， ∴∠BAD＝∠FCE＝50°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题． 【变式训练】（2024秋•小店区校级月考）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现： （1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　50　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　85°　 ． 【分析】（1）连接AD并延长至点F，根据三角形外角性质即可得到∠BDC与∠A，∠B，∠C之间的数量关系； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A，再根据∠A＝40°，∠D＝90°，即可得出∠ABD+∠ACD的度数； （ii）根据（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP，∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD，再根据BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，即可得出∠BDC的度数． 【详解】解：（1）如图①，连接AD并延长至点F， 根据外角的性质，可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD， 又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF， ∠BAC＝∠BAD+∠CAD， ∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C； （2）（i）由（1）可得，∠BDC＝∠ABD+∠ACD+∠A； 又∵∠A＝40°，∠D＝90°， ∴∠ABD+∠ACD＝90°﹣40°＝50°， 故答案为：50； （ii）由（1），可得∠BPC＝∠BAC+∠ABP+∠ACP， ∠BDC＝∠BAC+∠ABD+∠ACD， ∴∠ABP+∠ACP＝∠BPC﹣∠BAC＝130°﹣40°＝90°， 又∵BD平分∠ABP，CD平分∠ACP， ∴， ∴∠BDC＝45°+40°＝85°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 类型三 蝴蝶形（8字型）模型 【典例3】（2024秋•定安县期末）如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝23°，则∠1的值为（　　） A．77° B．67° C．45° D．23° 【分析】根据对顶角相等，直角三角形两锐角互余得到∠1＝∠2，即可得到答案． 【详解】解：∵∠A＝∠C＝90°， ∴∠1+∠CED＝90°，∠2+∠AEB＝90°，∠CED＝∠AEB， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝23°， ∴∠1＝23°， 故选：D． 【点睛】本题考查对顶角相等，掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【变式训练】如图，∠BAD与∠BCE的平分线AP和CP相交于点P，BC交AD于O，CE的反向延长线交AD于D，则∠P与∠B，∠D的数量关系是（　　） A．2∠P﹣∠B+∠D＝180° B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° C．2∠P+∠B﹣∠D＝180° D．2∠P+∠B+∠D＝360° 【分析】设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：设PC交AD于G， 设∠PAB＝∠OAP＝x，∠ECP＝∠PCB＝y，则∠BAO＝2x，∠BCE＝2y， ∵∠AOB＝∠COD，∠AGP＝∠CGD， ∴∠B+∠BAO＝∠D+∠OCD，∠P+∠PAG＝∠D+∠GCD， ∴， ①﹣2×②，可得∠B﹣2∠P＝﹣∠D﹣180°，则2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，熟记定理并准确识图是解题的关键． 【变式训练】如图（1），已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图（2），若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ②根据①的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）． 【分析】（1）利用三角形内角和即可得答案； （2）①根据角平分线的定义得到∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，再由”8字型“得到∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，两等式相减得到∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P（∠C+∠B），最后把∠C＝120°，∠B＝100°代入计算即可； ②根据①的结果直接写出∠B、∠C、∠P之间的关系． 【详解】（1）证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠O+∠D＝180°， ∠BOD＝∠AOC， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）解：①以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P（∠B+∠C）（100°+120°）＝110°； ②以M为交点”8字型“中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP， 以N为交点”8字型“中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP ∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP， ∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC， ∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP， ∴2∠P＝∠B+∠C． 【点睛】本题考查了三角形内角与外角的关系，以及多边形内角和．也考查了角平分线的定义，关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 类型四 双角平分线模型 （一）双内角平分线 【典例4】（2024春•北林区校级期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于D2……依次类推，∠ABD3与∠ACD3角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数为 　30°　 ． 【分析】根据题目信息，利用角平分线的性质得出，，以此类推 ，，的度数，依次类推即可求得∠BD4C的度数了． 【详解】解：∵∠A＝20°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB， ∴，， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1， ∴，， 同理可得，， ，， ∴， ∴∠BCD+∠CBD＝160°﹣10°＝150°， ∴∠BDC＝180﹣∠BCD﹣∠CBD＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 【变式训练】（2021秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F． （1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数； （2）求证：2∠BFC＝∠A+180°． 【分析】（1）先利用三角形内角和定理得到∠ACB＝76°，再结合角平分线的定义可求解∠BFC的度数，进而可求解∠CFD的度数； （2）利用角平分线的定义可求解∠BFC＝180°（∠ABC+∠ACB），再结合角平分线的定义可得∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，进而可证明结论． 【详解】（1）解：∵∠A＝54°，∠ABC＝50°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ACB＝180°﹣50°﹣54°＝76°， ∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F， ∴∠CBF∠ABC＝25°，∠BCF∠ACB＝38°， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣25°﹣38°＝117°， ∴∠CFD＝180°﹣117°＝63°； （2）证明：∵△ABC的角平分线BD、CE相交于点F， ∴∠CBF∠ABC，∠BCF∠ACB， ∴∠BFC＝180°﹣∠CBF﹣∠BCF＝180°﹣（ABCACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠BFC＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A， 即2∠BFC＝180°+∠A． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理：三角形内角和是180°．本题的关键是利用三角形内角和把∠BFC与∠A联系起来． （二）一内角一外角平分线模型 【典例5】如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACB的外角（∠ACD）的平分线交于点A1；∠A1BC的平分线与∠A1CB的外角的平分线交于点A2，…，以此类推，则∠A2022＝　　 ．（用含α的式子表示） 【分析】先利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求∠A1∠A，再以此类推得，∠A2∠A；…∠An∠A；找出规律，从而求∠A2022的值． 【详解】解：∵∠BA1C+∠A1BC＝∠A1CD，2∠A1CD＝∠ACD＝∠BAC+∠ABC， ∴2（∠BA1C+∠A1BC）＝∠BAC+∠ABC，2∠BA1C+2∠A1BC＝∠BAC+∠ABC， 而2∠A1BC＝∠ABC， ∴2∠BA1C＝∠BAC， ∴∠A1∠A， 以此类推得，∠A2∠A；…∠An∠A， ∴∠BA2022C， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并整体思想的利用是解题的关键． 【变式训练】（2023春•沛县期中）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． （1）若∠BAD的度数为m，则∠ABN的度数为 　90°+2m，　 （用含有m的代数式表示）； （2）随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． 【分析】（1）根据角分线得出∠BAO＝2∠BAD＝2m，利用外角性质得出∠ABN， （2）根据∠D＝180°﹣∠DBO﹣∠AEO（∠ABO+∠OAB），用角平分线和三角形内角和进行等量代换即可． 【详解】解：（1）AD平分∠BAO，∠BAD＝m， ∴∠BAO＝2∠BAD＝2m， ∵∠AOB＝90°， ∴∠ABN＝90°+2m， 故答案为：90°+2m； （2）结论：∠D＝45°，值不变． 理由：设AD与BO相交于点E， ∠D＝180°﹣∠DBO﹣∠AEO ＝180°∠ABN﹣（90°﹣∠OAE） ＝90°∠ABN∠OAB ＝90°（180°﹣∠ABO）∠OAB ＝（∠ABO+∠OAB） 90°＝45°； ∴∠D的度数不发生改变． 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形外角，角平分线的定义．熟练掌握定义，用好等量代换是解决本题的关键． 三、双外角平分线 【典例6】如图，在△ABC中，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，求∠G的度数． 【分析】由三角形外角的性质即三角形的内角和定理可求解∠DBC+∠ECB＝260°，再利用角平分线的定义可求解∠FBC+∠FCB＝130°，即可得∠GBC+∠GCB＝65°，再利用三角形内角和定理可求解． 【详解】解：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC， ∵∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°＝80°+180°＝260°， ∵BF平分外角∠DBC，CF平分外角∠ECB， ∴∠FBC∠DBC，∠FCB∠ECB， ∴∠FBC+∠FCB（∠DBC+∠ECB）＝130°， ∵BG平分∠CBF，CG平分∠BCF， ∴∠GBC∠FBC，∠GCB∠FCB， ∴∠GBC+∠GCB（∠FBC+∠FCB）＝65°， ∴∠G＝180°﹣（∠GBC﹣∠GCB）＝180°﹣65°＝115°． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，求解∠FBC+∠FCB＝130°是解题的关键． 【变式训练】（2020秋•江岸区校级月考）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB． （1） 如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数　130°　 ； （2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN， ①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为　210°或240°　 ． 【分析】（1）首先根据四边形的内角和及角平分线的定义，求出∠OBC+∠OCD，进而根据三角形的内角和定理即可求解； （2）①首先由已知求出∠OBC∠ABC，∠PBC∠MBC，根据平角的定义得出∠PBO＝∠PBC+∠OBC180°＝120°，同理∠PCO＝120°，根据四边形的内角和定理即可求解； ②在△BQP中，由①得∠PBQ＝120°，根据题意分二种情况进行讨论：（a）∠P＝2∠Q，（b）∠Q＝2∠P，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB， ∴当n＝2时，∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB， ∴∠ABC＝2∠CBO，∠DCB＝2∠OCB， ∵∠A+∠D＝260°，∠A+∠D+∠ABC+∠DCB＝360°， ∴∠ABC+∠DCB＝100°， ∴∠CBO+∠OCB＝50°， ∴∠O＝180°﹣（∠CBO+∠OCB）＝130°； 故答案为：130°； （2）①∠O+∠P＝120°． 证明：∵∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB， ∴当n＝3时，∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB， ∵∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN， ∴∠CBP∠CBM，∠BCP∠BCN， ∴∠PBO＝∠PBC+∠OBC（∠CBM+∠ABC）180°＝120°， 同理∠PCO＝120°， ∵∠O+∠P+∠PBO+∠PCO＝360°， ∴∠O+∠P＝360°﹣120°﹣120°＝120°． ②由①得：∠PBQ＝120°，∠PCO＝120°， 如果△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，那么分二种情况： （a）∠P＝2∠Q， ∵∠PBQ＝120°， ∴∠Q＝20°，则∠P＝40°， ∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣40°＝140°， ∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣140°＝100°， ∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB， ∴∠ABC+∠DCB＝150°， ∴∠A+∠D＝360°﹣150°＝210°； （b）∠Q＝2∠P， ∵∠PBQ＝120°， ∴∠P＝20°，则∠Q＝40°， ∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣20°＝160°， ∴∠CBO+∠OCB＝2×120°﹣160°＝80°， ∵∠OBC∠ABC，∠OCB∠DCB， ∴∠ABC+∠DCB＝120°， ∴∠A+∠D＝360°﹣120°＝240°． 综上所述，∠A+∠D的度数为：210°或240°． 故答案为：210°或240°． 【点睛】本题考查四边形的内角和及角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟知四边形的内角和是360°是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1 三角形四类常考导角模型（原卷版） 类型一 A字型模型 【典例1】（2023秋•鹰潭期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝30°，∠BDC＝50°，则∠BDE的度数是 　 ． 【变式训练】（2022春•贵溪市期末）如图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB∥CD，∠P＝15°，∠CFP＝100°，∠ABP的大小为 　 ． 类型二 燕尾型模型 【典例2】（2024秋•立山区期中）如图，在△CEF中，∠E＝80°，∠F＝50°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是　 　 ． 【变式训练】（2024秋•小店区月考）问题情境： 如图①所示的图形，像我们常见的学习用品﹣﹣圆规．我们不妨把这样的图形叫做“规形图”． 探究发现：（1）观察“规形图”，试探究∠D与∠BAC，∠B，∠C之间的数量关系，并说明理由； 解决问题： （2）请你利用以上结论，解决下列问题： （i）如图②，把一块三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝40°，则∠ABD+∠ACD＝　 　 °； （ii）如图③，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠P＝130°，∠D的度数 　 　 ． 类型三 蝴蝶形（8字型）模型 【典例3】（2024秋•定安县期末）如图，∠A＝∠C＝90°，AD、BC交于点E，∠2＝23°，则∠1的值为（　　） A．77° B．67° C．45° D．23° 【变式训练】如图，∠BAD与∠BCE的平分线AP和CP相交于点P，BC交AD于O，CE的反向延长线交AD于D，则∠P与∠B，∠D的数量关系是（　　） A．2∠P﹣∠B+∠D＝180° B．2∠P﹣∠B﹣∠D＝180° C．2∠P+∠B﹣∠D＝180° D．2∠P+∠B+∠D＝360° 【变式训练】如图（1），已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，形如这样的图形称为“8字型”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图（2），若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别相交于点M，N． ①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ②根据①的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）． 类型四 双角平分线模型 （一）双内角平分线 【典例4】（2024春•北林区期中）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于D2……依次类推，∠ABD3与∠ACD3角平分线交于点D4，则∠BD4C的度数为 　 　 ． 【变式训练】（2021秋•合川区期末）如图，△ABC的角平分线BD、CE相交于点F． （1）若∠A＝54°，∠ABC＝50°，求∠CFD的度数； （2）求证：2∠BFC＝∠A+180°． （二）一内角一外角平分线模型 【典例5】如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACB的外角（∠ACD）的平分线交于点A1；∠A1BC的平分线与∠A1CB的外角的平分线交于点A2，…，以此类推，则∠A2022＝　 ．（用含α的式子表示） 【变式训练】（2023春•沛县期中）如图，∠MON＝90°，点A、B分别在OM、ON上运动（不与O重合），BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线交∠OAB的平分线于点D． （1）若∠BAD的度数为m，则∠ABN的度数为 　 　 （用含有m的代数式表示）； （2）随着点A、B的运动，∠D的大小会变吗？如果不会，求∠D的度数；如果会，请说明理由． 三、双外角平分线 【典例6】如图，在△ABC中，∠A＝80°，BF平分外角∠CBD，CF平分外角∠BCE，BG平分∠CBF，CG平分∠BCF，求∠G的度数． 【变式训练】（2020•江岸区）在四边形ABCD中，O在其内部，满足∠ABO∠ABC，∠DCO∠DCB． （1） 如图1，当n＝2时，如果∠A+∠D＝260°，直接写出∠O的度数　 　 ； （2）当n＝3时，M、N分别在AB、DC的延长线上，BC下方一点P，满足∠CBP＝2∠PBM，∠BCP＝2∠PCN， ①如图2，判断∠O与∠P之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，延长线段BO、PC交于点Q，△BQP中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，直接写出∠A+∠D的度数为　 　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$