专题4 14.1全等三角形及其性质四种题型 典例剖析及举一反三训练2025-2026学年八年级数学上册【提优专题+重点题型+单元试卷 】（人教版）

专题4 14.1全等三角形及其性质四种题型举一反三训练 题型一 可以全等三角形的性质求角 【典例1】（2024秋•寿县期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【分析】由△ABC≌△ADE，可得∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD），根据三角形外角性质可得∠DFB＝∠FAB+∠B，因为∠FAB＝∠FAC+∠CAB，即可求得∠DFB的度数；根据三角形内角和定理可得∠DGB＝∠DFB﹣∠D，即可得∠DGB的度数． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC（∠EAB﹣∠CAD）． ∴∠DFB＝∠FAB+∠B＝∠FAC+∠CAB+∠B＝10°+55°+25°＝90° ∠DGB＝∠DFB﹣∠D＝90°﹣25°＝65°． 综上所述：∠DFB＝90°，∠DGB＝65°． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质，找到相应等量关系的角是解题的关键，做题时要结合图形进行思考． 【举一反三】 1．（2023秋•南康市月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝20°，∠BAE＝80°，求∠BAC、∠DAC的度数． 【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠C＝∠E，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求出∠BAC，先求出∠CAE，再根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠BAC，然后根据∠DAC＝∠DAE+∠CAE代入数据计算即可得解． 【详解】解：∵△ABC≌△ADE， ∴∠C＝∠E＝20°， 在△ABC中，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣20°＝130°； ∵∠BAE＝80°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝130°﹣80°＝50°， ∵△ABC≌△ADE， ∴∠DAE＝∠BAC＝130°， ∴∠DAC＝∠DAE+∠CAE＝130°+50°＝180°． 故，∠BAC＝130°，∠DAC＝180°． 【点睛】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．（2023秋•镇江期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 【分析】由全等三角形的性质推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE，由三角形内角和定理求出∠BCE＝40°，即可得到∠ACD＝40°． 【详解】解：∵△ABC≌△DEC， ∴CE＝BC，∠ACB＝∠DCE， ∴∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE， ∵∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∴∠ACD＝40°． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是由△ABC≌△DEC，推出CE＝BC，∠ACB＝∠DCE，得到∠CEB＝∠B＝70°，∠ACD＝∠BCE． 3．（2025春•宝山区期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果． 【详解】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握． 题型二 利用三角形全等的性质求两线段的位置关系 【典例2】（2021秋•赵县月考）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由． 【分析】根据全等三角形的性质得出∠ADF＝∠CBE，进而得出∠DBC＝∠ADB，利用平行线判定解答即可． 【详解】解：AD∥BC，理由如下： ∵△ADF≌△CBE， ∴∠ADF＝∠CBE， ∴∠DBC＝∠ADB， ∴AD∥BC． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质得出∠ADF＝∠CBE． 【举一反三】 1．（2023秋•临桂区期中）如图，△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝5cm （1）求DE的长； （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等得到BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm，计算即可； （2）根据全等三角形的对应角相等和平角的定义解答． 【详解】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BD＝BC＝5cm，BE＝AB＝2cm， ∴DE＝BD﹣BE＝3cm； （2）DB与AC垂直， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC， 又A、B、C在一条直线上， ∴∠EBC＝90°， ∴DB与AC垂直． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．（2023秋•宜兴市月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC． （1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长； （2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）关键是根据全等三角形的性质解答即可； （2）关键是根据全等三角形的性质和旋转的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵△ABD≌△EBC， ∴BE＝AB＝2，BD＝BC＝3， ∵点E在BD上， ∴DE＝BD﹣BE＝3﹣2＝1； （2）AD与CE所在直线的位置关系为AD⊥CE，理由如下： ∵点A，B，C在同一直线上，且△ABD≌△EBC， ∴∠ABD＝∠EBC＝90°， ∴将△ABD绕点B顺时针方向旋转90°得到△EBC， ∴AD绕点B顺时针方向旋转90°得到EC， ∴AD⊥CE． 【点睛】此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的对应角和对应边相等解答． 3．（2025春•崂山区期中）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 【分析】（1）根据全等三角形的性质及直角三角形的性质求出∠ACE＝90°，就可以得出AC⊥CE； （2）如图2，根据△ABC≌△CDE可以得出∠BFC＝90°，从而得出结论； （3）根据S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，可得S△BFCS△ABC＝3，由△ABC≌△BDE，得S△BDE＝S△ABC＝12，进而可以解决问题． 【详解】解：（1）AC⊥CE，理由如下： ∵AB⊥BD， ∴∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵△ABC≌△CDE， ∴∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠E， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∵∠DCE+∠ACB+∠ACE＝180°， ∴∠ACE＝90°， ∴AC⊥CE； （2）AC⊥BE，理由如下： ∵△ABC≌△BDE， ∴∠A＝∠EBD，∠ACB＝∠E， ∵∠B＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∴∠EBD+∠ACB＝90°， ∴∠BFC＝90°， ∴AC⊥BE； （3）∵S△ABC＝12，AF：CF＝3：1， ∴S△BFCS△ABC＝3， ∵△ABC≌△BDE， ∴S△BDE＝S△ABC＝12， ∴四边形CDEF的面积＝12﹣3＝9． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平移的性质的运用，垂直的判定及性质的运用，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 题型三 利用全等三角形的性子求线段的长 【典例3】（2023秋•全椒县期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠DBE，计算即可； （2）根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：（1）∵∠ABE＝162°，∠DBC＝30°， ∴∠ABD+∠CBE＝132°， ∵△ABC≌△DBE， ∴∠ABC＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝132°÷2＝66°， 即∠CBE的度数为66°； （2）∵△ABC≌△DBE， ∴DE＝AC＝AD+DC＝5，BE＝BC＝4， ∴△CDP与△BEP的周长和＝DC+DP+PC+BP+PE+BE＝DC+DE+BC+BE＝2.5+5+4+4＝15.5． 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质、角的和与差的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【举一反三】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，DE＝5，BE＝13，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】由全等三角形的性质推出BD＝AB＝12，BC＝DE＝5，即可求出CD的长． 【详解】解：∵△ABC≌△BDE， ∴BD＝AB＝12，BC＝DE＝5， ∴CD＝BD﹣BC＝7． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 2．（2025春•耀州区月考）如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由全等三角形的性质推出BE＝CF，求出CF的长，即可得到BE的长． 【详解】解：∵△ABC≌△DEF， ∴BC＝EF， ∴BE＝CF， ∵CF＝EF﹣EC＝7﹣4＝3， ∴BE＝3． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 3．（2024秋•重庆期中）如图，在△ADF和△BCE中，AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm．求： （1）∠1的度数； （2）AC的长． 【分析】（1）由题意可证△ADF≌△BCE，可得∠E＝∠F＝28°，即可求∠1的度数； （2）由△ADF≌△BCE可得AD＝BC，即可求AC的长． 【详解】解：（1）∵AC＝BD ∴AD＝BC且AF＝BE，∠A＝∠B ∴△ADF≌△BCE（SAS） ∴∠E＝∠F＝28°， ∴∠1＝∠B+∠E＝32°+28°＝60°； （2）∵△ADF≌△BCE ∴AD＝BC＝5cm，且CD＝1cm， ∴AC＝AD+CD＝6cm． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键． 题型四 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题 【典例4】（2022秋•平坝区期中）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知∠BAF＝60°，求∠DAE的度数． 【分析】由题意知△ADE≌△AFE，得∠DAE．欲求∠DAE，需求∠DAF．已知∠BAF＝60°，若知∠BAD，则可求得∠DAF． 【详解】解：由题意知：△ADE≌△AFE． ∴∠DAE＝∠FAE． ∴∠DAE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠BAF+∠DAF＝90°． ∴∠DAF＝90°﹣∠BAF＝90°﹣60°＝30°． ∴∠DAE． 【点睛】本题主要考查矩形的性质以及图形折叠的性质，熟练掌握矩形的性质以及图形折叠的性质是解决本题的关键． 【举一反三】 1．（2024春•利通区期末）如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF等于（　　） A．55° B．60° C．70° D．90° 【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出∠ADE＝∠FDE＝55°，则∠BDF即可求． 【详解】解：∵D、E为△ABC两边AB、AC的中点，即DE是三角形的中位线． ∴DE∥BC ∴∠ADE＝∠B＝55° ∴∠EDF＝∠ADE＝55° ∴∠BDF＝180﹣55﹣55＝70°． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质及三角形中位线的性质；解题的关键是，理解折叠就是得到全等的三角形，根据全等三角形的对应角相等就可以解决． 2．（2024春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　16　 cm． 【分析】根据平移的性质得出AB＝DC＝6cm，AC＝DE＝6cm，BC＝EC＝4cm，△ABC≌△DCE，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DEC，∠B＝∠DCE，则AC∥DE，AD∥CE，根据“两条平行线间的平行线线段相等”得出AD＝CE＝4cm，根据周长定义求解即可． 【详解】解：根据平移的性质得，AB＝DC＝6cm，AC＝DE＝6cm，BC＝EC＝4cm，△ABC≌△DCE， ∴∠ACB＝∠DEC，∠B＝∠DCE， ∴AC∥DE，AD∥CE， ∴AD＝CE＝4cm， ∴△ACD的周长＝AD+AC+CD＝4+6+6＝16（cm）， 故答案为：16． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质、平移的性质，熟练掌握全等三角形的性质、平移的性质是解题的关键． 3．（2024秋•江岸区月考）如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转90°，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转90°，连接BM，MN．若△OBM和△AMN全等，则点N表示的数为（　　） A．或 B．或 C．2或 D．2或4 【分析】根据全等三角形的性质得出OB＝MA或AN＝OB，进而结合数轴即可求解． 【详解】解：依题意，OB，OA＝4， ∵△OBM和△AMN全等， ∴OB＝MA， ∴OM＝OA﹣MA＝4， ∴ON＝OA+AN＝OA+OM＝4+48， ∵△OBM和△AMN全等， ∴AN＝OB， ∴ON＝OA+AN＝4， ∴N表示的数为8或4， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质以及实数与数轴，熟练掌握全等三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 4．（2023春•沈丘县期末）将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF． （1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； （2）若BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，求△ABC平移的距离． 【分析】（1）根据平移的性质求出∠2＝∠F，再利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解； （2）先求出BE，再根据平移的性质可得BE即为平移距离． 【详解】解：（1）由图形平移的特征可知△ABC和△DEF的形状与大小相同， 即△ABC≌△DEF， ∴∠2＝∠F＝26°， ∵∠B＝74°， ∴∠A＝180°﹣（∠2+∠B）＝180°﹣（26°+74°）＝80°； （2）∵BF＝5.5cm，EC＝3.5cm， ∴BE+CF＝BF﹣EC＝5.5﹣3.5＝2cm， ∴BE＝CF＝1cm， ∴△ABC平移的距离为1cm． 【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 14.1全等三角形及其性质四种题型举一反三训练 题型一 可以全等三角形的性质求角 【典例1】（2024秋•寿县期末）如图，△ABC≌△ADE，且∠CAD＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数． 【举一反三】 1．（2023秋•南康市月考）如图，△ABC≌△ADE，∠B＝30°，∠E＝20°，∠BAE＝80°，求∠BAC、∠DAC的度数． 2．（2023秋•镇江期末）如图，△ABC≌△DEC，点E在线段AB上，∠B＝70°，则∠ACD的度数为（　　） A．20° B．30° C．40° D．50° 3．（2025春•宝山区期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 题型二 利用三角形全等的性质求两线段的位置关系 【典例2】（2021秋•赵县月考）如图所示，△ADF≌△CBE，且点E，B，D，F在一条直线上，判断AD与BC的位置关系，并说明理由． 【举一反三】 1．（2023秋•临桂区期中）如图，△ABD≌△EBC，AB＝2cm，BC＝5cm （1）求DE的长； （2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？ 2．（2023秋•宜兴市月考）如图，点A，B，C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC． （1）若AB＝2，BC＝3，求DE的长； （2）判断AD与CE所在直线的位置关系，并说明理由． 3．（2025春•崂山区期中）已知：如图①，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且△ABC≌△CDE． （1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由； （2）如图②，若把△CDE沿直线BD向左移动，使△CDE的顶点C与B重合，AC与BE交于点F，此时AC与BE的位置关系怎样？请说明理由； （3）图②中，若S△ABC＝12，AF：CF＝3：1，求四边形CDEF的面积． 题型三 利用全等三角形的性子求线段的长 【典例3】（2023秋•全椒县期末）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P，已知∠ABE＝162°，∠DBC＝30°，AD＝DC＝2.5，BC＝4． （1）求∠CBE的度数． （2）求△CDP与△BEP的周长和． 【举一反三】 1．（2025春•宣汉县期末）如图，△ABC≌△BDE，若AB＝12，DE＝5，BE＝13，则CD的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2025春•耀州区月考）如图，△ABC≌△DEF，B，E，C，F四个点在同一直线上，若EF＝7，EC＝4，则BE的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2024秋•重庆期中）如图，在△ADF和△BCE中，AF＝BE，AC＝BD，∠A＝∠B，∠B＝32°，∠F＝28°，BC＝5cm，CD＝1cm．求： （1）∠1的度数； （2）AC的长． 题型四 利用全等三角形的性质解决图形变换中的问题 【典例4】（2022秋•平坝区期中）如图，长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知∠BAF＝60°，求∠DAE的度数． 【举一反三】 1．（2024春•利通区期末）如图，D、E为△ABC两边AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B＝55°，则∠BDF等于（　　） A．55° B．60° C．70° D．90° 2．（2024春•太原期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移使点B与点C重合，得到△DCE，连接AD，则△ACD的周长为 　 　 cm． 3．（2024秋•江岸区月考）如图1，数轴上从左至右依次有B，O，M，A，N五个点，其中点B，O，A表示的数分别为，0，4．如图2，将数轴在点O的左侧部分绕点O顺时针方向旋转90°，将数轴在点A的右侧部分绕点A逆时针方向旋转90°，连接BM，MN．若△OBM和△AMN全等，则点N表示的数为（　　） A．或 B．或 C．2或 D．2或4 4．（2023春•沈丘县期末）将△ABC沿BC的方向平移得到△DEF． （1）若∠B＝74°，∠F＝26°，求∠A的度数； （2）若BF＝5.5cm，EC＝3.5cm，求△ABC平移的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$