精品解析：2025年甘肃省陇南市礼县中考三模学情监测数学试卷

2024–2025学年九年级学情监测试卷 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正五边形内接于 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形 中把矩形沿直线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 ．若，则 的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知正方形的边长为3，对角线 ， 交于点 ，以 为圆心， 长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 8. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是 （ ） A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为小时 B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时 C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高 D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时 9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形 中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 12. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是________． 13. 对于有理数 ， 定义一种新运算“※”如下：，则_______． 14. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________． 15. 在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽 的方案：在河塘外选一点 ，连接，，测得，，延长，分别到 ， 两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 16. 已知矩形 的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径 上．若，则矩形 的面积为_______． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点A为中心，将 绕点A逆时针旋转 得到，画出； （2）以点A为位似中心，在点A的上方将 按相似比2放大，画出放大后的图形． 21. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的名字． （1）将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是______________． （2）将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 22. 如图所示分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，拉杆 的长度都相等，即，点B，点F在线段 上，点C在 上，支杆，，，．求 的长度．（结果保留一位小数，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 弘扬数学文化，展现思维风采．某校举办了数学创新应用大赛，赛后学习小组从八年级和九年级各随机抽取了10名学生，成绩整理如下（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分） 八年级10名学生的成绩中，C组成绩为85，85，88． 九年级10名学生的成绩为：62，75，78，80，85，88，95，95，95，98． 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 85 九年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________， __________； （2）根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的数学创新应用大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八、九年级各有200人参赛，估计两个年级的成绩在D组的学生共有多少人？ 24. 如图，正比例函数 与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）如果，求点D的坐标． 25. 如图，四边形 为矩形， 为边 的中点，连接 ，以 为直径的 交 于点 ，连接，交 于点． （1）连接 ，若，，求 的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 26. 是边长为5的等边三角形，点D在 边上，点E在 边的延长线上，且，延长 交 于点F． （1）将问题特殊化：如图1，当D为 的中点时，求 的长； （2）将问题一般化：如图2，当 时，求 的长． 27. 在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与x轴交于，两点，且． （1）若抛物线与x轴交于两点，坐标分别为，，且．直接写出，，，的大小关系； （2）当，时，抛物线与y轴交于点C，连接 ． ①求抛物线的表达式； ②如图2，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作，，垂足为点Q，判断是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024–2025学年九年级学情监测试卷 数学 考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．所有试题均在答题卡上作答，否则无效． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确选项． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 如图，在大圆柱体中挖去一个小圆柱体，那么这个几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图的定义， 理解 “从正面看几何体，所看到的视图是主视图．”，理解画轮廓线时，看见的轮廓线线用实线，看不见的轮廓线用虚线是解题的关键． 【详解】解：从正面看到的平面图形是， 故选：B． 3. 计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 4. 下列式子中，表示y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义逐一进行判断．解决问题的关键是将一般式（）转化为或（）的形式． 【详解】解：A、由原式子得到，符合反比例函数的定义，故符合题意； B、该函数式表示y与成反比例关系，故不符合题意； C、该函数式表示y与x成正比例关系，故不符合题意； D、该函数式不是反比例函数，故不符合题意； 故选：A． 5. 如图，正五边形内接于 ，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆内接正多边形，根据正五边形内接于 ，得，结合半径相等以及三角形内角和，即可作答． 【详解】解：∵正五边形内接于 ， ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：C 6. 如图，矩形 中 把矩形沿直线 折叠，点 落在点 处， 交 于点 ．若，则 的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质和翻转变换的性质得到，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ，又， ， ， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 7. 已知正方形的边长为3，对角线 ， 交于点 ，以 为圆心， 长为半径作圆心角为 的扇形，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，扇形的面积，由正方形的性质可证，得到，再根据即可求解，由正方形的性质证明是解题的关键． 【详解】解：如图所示， ∵四边形 是正方形， ∴，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8. “双减”政策实施后，中小学生的家庭作业明显减少．如图是某班甲、乙两名同学一周内每天完成家庭作业（作业相同）所花费时间的折线统计图，下列说法正确的是 （ ） A. 甲完成家庭作业所花费时间最长为小时 B. 乙完成家庭作业所花费时间最长为2小时 C. 这一周乙完成家庭作业的平均效率比甲高 D. 同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多了1小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线统计图中的信息依次判断即可． 【详解】解：由统计图可知，甲完成家庭作业所花费时间最长为2小时， 乙完成家庭作业所花费时间最长为小时，故选项A，B中的说法错误，不合题意． 这一周甲每天完成家庭作业平均花费的时间为（小时）， 乙每天完成家庭作业平均花费的时间为1.8（小时）， ∵甲、乙两名同学每天的作业是相同的， ∴这一周甲完成家庭作业的平均效率比乙高，故选项C中的说法错误，不合题意． 由统计图可知，同一天中，乙完成家庭作业花费的时间最长比甲多1小时，故选项D中的说法正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了平均数，从折线图中获取有用信息是解题的关键． 9. 元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，慢马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马 天可追上慢马，由题意得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设快马 天可追上慢马，根据路程相等，列出方程即可求解． 【详解】解：设快马 天可追上慢马，由题意得 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 10. 如图，在正方形 中，，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自D点出发沿折线DC-CB以每秒2cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两部分计算 的关系式：①当点 在 上时，易得的关系式，的面积关系式为一个一次函数；②当点 在 上时，底边不变，表示出的关系式，的面积关系式为一个开口向下的二次函数． 【详解】解： 点 自 点出发沿折线以每秒的速度运动，到达 点时运动同时停止， 到 的时间为：， 分两部分： ①当时，如图1，此时 在 上， ， ②当时，如图2，此时 在 上， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式，先提公因式，再利用平方差公式进行分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是： ， 故答案为：． 13. 对于有理数 ，定义一种新运算“※”如下：，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 14. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，正确列举符合条件的等可能性结果是解答本题的关键．根据题意画出树状图，列举符合条件的等可能性结果，再利用概率的计算公式计算即可． 【详解】 如图，先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，共有4种等可能性结果，即正正，正反，反正，反反，其中结果为正反的只有1种，所以抛掷一枚质地均匀的硬币，若第一次是正面朝上，第二次反面朝上的概率为， 故答案为：． 15. 在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽 的方案：在河塘外选一点 ，连接，，测得，，延长，分别到 ， 两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用；由题意得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 即，且， ∴， ∴， ∴ 即河塘宽； 故答案为：． 16. 已知矩形 的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径 上．若，则矩形 的面积为_______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆的有关概念，掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 连接，可由勾股定理求得，再证明，则，那么，即可求解矩形面积． 【详解】解：连接，则， ∵， ∴， ∵矩形 ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形 的面积为， 故答案为：24． 三、解答题：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，零次幂的含义，负整数指数幂，先计算算术平方根，立方根，绝对值，负整数指数幂，零次幂，再合并即可． 【详解】解： ； 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】分别解两个不等式得到两个不等式的解集，再取解集的公共部分可得答案． 【详解】解： 由①得： 由②得： 不等式组的解集是：． 【点睛】本题考查的是解不等式组，掌握不等式组的解法是解题关键． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键． 【详解】解： ； 当时， 原式． 20. 已知 在平面直角坐标系中的位置如图所示． （1）以点A为中心，将 绕点A逆时针旋转 得到，画出； （2）以点A为位似中心，在点A的上方将 按相似比2放大，画出放大后的图形． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换以及旋转的变换，旋转的性质，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． （1）根据旋转的性质，得到 各点的对应点，，依次连接即可得到； （2）根据位似的性质，得到 各点在第四象限内的对应点，，依次连接即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作背面完全相同的三张卡片，正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》的名字． （1）将这三张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是______________． （2）将（1）中小白抽出的卡片与剩余两张卡片混合后正面朝下放置在桌面上，小天再从中抽出一张，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率计算，用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． （1）用概率公式计算即可； （2）设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为，画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有 种，用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得共有 种等可能的结果，其中抽到《周髀算经》的结果有种， 小白先从中抽出一张，抽到《周髀算经》的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：设《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别为，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有 种， 两人抽到同一张卡片的概率为． 22. 如图所示分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆 ，箱长 ，拉杆 的长度都相等，即，点B，点F在线段 上，点C在 上，支杆，，，．求 的长度．（结果保留一位小数，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过点F作于点H，求解，，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点F作于点H， ， ，，， ∴在中，，， 在中，， ， ， ， ， ． 答： 的长度约为． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 弘扬数学文化，展现思维风采．某校举办了数学创新应用大赛，赛后学习小组从八年级和九年级各随机抽取了10名学生，成绩整理如下（A组：；B组：；C组：；D组：；单位：分） 八年级10名学生的成绩中，C组成绩为85，85，88． 九年级10名学生的成绩为：62，75，78，80，85，88，95，95，95，98． 八、九年级所抽学生大赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 a 85 九年级 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中__________，__________， __________； （2）根据以上数据分析，你认为我校八、九年级中哪个年级学生的数学创新应用大赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校八、九年级各有200人参赛，估计两个年级的成绩在D组的学生共有多少人？ 【答案】（1）85；95；30 （2） 解：九年级学生的成绩更好，理由为：八、九年级学生的成绩平均数相同，而九年级学生成绩的中位数大于八年级学生成绩的中位数（答案不唯一）． （3）估计两个年级的成绩在D组的学生共有140人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，读懂统计图表的信息是解题的关键． （1）先求出八年级D组学生人数，得出所占百分比，求出 的值，再根据中位数和众数的定义分别求出的值，即可解答； （2）根据平均数和中位数进行分析即可； （3）分别计算出八年级人数乘以八年级D组人数占比，九年级人数乘以九年级D组人数占比，再相加即可求解． 【小问1详解】 解：由扇形图可知，八年级10名学生的成绩中A、B组学生人数都为（人）， 八年级D组学生人数为（人）， 八年级D组学生人数所占百分比为，即， 将八年级10名学生的成绩从小到大的顺序排列，则中位数为第5位和第6位的平均数， 中位数， 由题意得，九年级10名学生的成绩的众数， 综上所述，，，． 故答案为：85；95；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计两个年级的成绩在D组的学生共有140人． 24. 如图，正比例函数 与反比例函数的图象相交于点A，其中点A的横坐标为2，点C是双曲线上点A右侧的一点（不与点A重合），过点C分别作，轴，垂足分别为点D，点E． （1）求反比例函数的表达式； （2）如果，求点D的坐标． 【答案】（1） （2）点 的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据点A在 上，且横坐标为2，求出点，再代入即可求解． （2）根据题意求出点，在中，求出，设，表示出，，在中，根据，列出方程求出，即可求解． 【小问1详解】 解： 点A在 上，且横坐标为2， ， 把代入得， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 轴，且， 点 的横坐标为4， 在中，令 ，则， 在 中，， ． 点 在直线 上，设， ， 在中，， 即，整理得， 解得： （舍去，不符合题意），， ， 点 的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式求解，反比例函数和正比例函数交点问题，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 25. 如图，四边形 为矩形， 为边 的中点，连接 ，以 为直径的 交 于点 ，连接，交 于点 ． （1）连接 ，若，，求 的长； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2） 证明： 四边形 是矩形， ， 为边 的中点，， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）证明是等边三角形，得到； （2）根据矩形的性质得到，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 解：， ， ， 是等边三角形， ； 【小问2详解】 略 26. 是边长为5的等边三角形，点D在 边上，点E在 边的延长线上，且，延长 交 于点F． （1）将问题特殊化：如图1，当D为 的中点时，求 的长； （2）将问题一般化：如图2，当 时，求 的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，由三线合一定理可得，导角证明，则 ，据此可得答案； （2）过点D作，交 于点H，可证明是等边三角形，得到，则，证明，得到，则，证明，利用相似三角形的性质求出 的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：是边长为5的等边三角形， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，交 于点H， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ． 27. 在平面直角坐标系中，如图1，抛物线与x轴交于，两点，且． （1）若抛物线与x轴交于两点，坐标分别为，，且．直接写出，，，的大小关系； （2）当，时，抛物线与y轴交于点C，连接 ． ①求抛物线的表达式； ②如图2，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作，，垂足为点Q，判断是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②PQ存在最大值； 【解析】 【分析】（1）由二次函数图象的平移得向下平移一个单位得到，结合图象，即可求解； （2）解：①将，代入解析式，即可求解； ②过点P作于点N，交 于点M．由待定系数法求出直线 的表达式为，由等腰三角形的判定及性质，结合勾股定理得，PM的值最大时，PQ的值最大，设，则，表示出，利用二次函数图象的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得 向下平移一个单位得到，如图， ； 【小问2详解】 解：①，， ，， ， 解得， 抛物线的表达式为； ②PQ存在最大值； 如图，过点P作于点N，交 于点M． 抛物线与y轴交于点C， 时，， ， ， ， ， 设直线 的表达式为， 将代入得： ， 解得：， 直线 的表达式为， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 的值最大时，的值最大， 设，则， ， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值． 【点睛】本题考查了二次函数有关线段长度的综合问题，二次函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点，待定系数法，等腰三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握待定系数法，能熟练利用等腰三角形的判定及性质，勾股定理找出线段长度的表达式及取得最值的条件是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $