《概率初步》复习检测卷-【数理报期末复习】2024-2025学年新教材七年级数学下册升级突破（北师大版2024）

! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 书 《概率初步》复习检测卷 ◆ 数理报社试题研究中心 （时间：９０分钟　满分：１２０分） 题号 一 二 三 总分 得分 第Ⅰ卷 选择题 （共３０分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 一、精心选一选（本大题共１０个小题，每小题３分，共３０分） １．下列事件中，是必然事件的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．期末考试数学得满分 Ｂ．回家的路口遇到的都是绿灯 Ｃ．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 Ｄ．垂线段最短 ２．下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是 （　　） Ａ．守株待兔 Ｂ．大海捞针 Ｃ．返老还童 Ｄ．旭日东升 ３．罗浮山、丹霞山、西樵山、鼎湖山是广东四大名山．暑期来 临之际，李强计划从这四座名山中任意选择一个去游玩，则他恰 好选中罗浮山的概率为 （　　） Ａ．１２ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ６ Ｄ． １ ８ ４．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共１２个，这些球除 颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录颜色后放回，经 过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在０．２５左右，则箱子 中红球的个数约是 （　　） Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６ ５．小张进行投壶训练，经过大量重复的练习，他投中的概率 为０．７，下列说法正确的是 （　　） Ａ．小张投壶１次，一定投不中 Ｂ．小张投壶１０次，一定可以投中７次 Ｃ．小张投壶６次，至少可以投中２次 Ｄ．小张投壶１次，不一定能投中 ６．小明有两根长度为４ｃｍ和９ｃｍ的木棒，他 想钉一个三角形木框．如图１，桌上有长度不同的 ５根木棒供他选择，现从桌上随机抽取一根木棒， 则小明能钉一个三角形木框的概率为 （　　） Ａ．１５ Ｂ． ２ ５ Ｃ．３５ Ｄ． ４ ５ ７．现有一批饮料中有２瓶已过了保质期，从中任取１瓶，恰好 取到已过保质期的饮料的概率是 １ ２５，则这批饮料中没有过期的有 （　　） Ａ．９６瓶 Ｂ．４８瓶 Ｃ．５０瓶 Ｄ．１００瓶 ８．动物学家通过大量的调查估计出，某种动物活到２０岁的概 率是０．８，活到２５岁的概率是０．５，活到３０岁的概率是０．３，现年 龄为２５岁的这种动物活到３０岁的概率是 （　　） Ａ．０．３ Ｂ．０．４ Ｃ．０．５ Ｄ．０．６ ９．下列四个转盘分别被分成不同等份，若让转盘自由转动一 次，停止后指针落在阴影区域内的概率最大的是 （　　） １０．某小组在“用频率估计概率”的试验 中，统计了某种结果出现的频率，并绘制了如 图２所示的折线图，那么最符合这一结果的试 验是 （　　） Ａ．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果 是正面向上 Ｂ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上一面的点数 是６ Ｃ．在一副扑克中随机抽取一张，抽到的牌是红桃 Ｄ．不透明袋中有红球、黄球、蓝球各１个，每个球除颜色外其 余均相同，从中随机摸出一个球是黄球 第Ⅱ卷 非选择题 （共９０分） 二、细心填一填（本大题共５个小题，每小题３分，共１５分） １１．事件“某人的体温是 １００℃”是 事件（填“随 机”“不可能”或“必然”）． １２．２０２４年农业主导品种主推技术发布，山西的谷子品种“晋 谷２１号”上榜．为了进一步验证该种子的性能，某生物兴趣小组 的同学在相同实验条件下，对其发芽率进行了研究，并得到了以 下部分数据： 种子数 ３０ ７５ １５０ ２００ ４００ ８００ １２００ ２５００ 发芽数 ２８ ６９ １４１ １９２ ３８８ ７７８ １１６７ ２４３５ 发芽频率 ０．９３３ ０．９２０ ０．９４０ ０．９６０ ０．９７０ ０．９７３ ０．９７３ ０．９７４ 根据上面的数据，估计这种种子在该实验条件下发芽的概率 是 （精确到０．０１）． １３．七年级（１）班有４０位同学，他们的学号是１～４０，随机抽 取一名学生参加座谈会，下列事件：① 抽到的学号为奇数；②抽 到的学号是个位数；③抽到的学号不小于３５，其中发生可能性最 小的事件为 （填序号）． １４．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋 线”．如图３，长方形ＡＢＣＤ是以斐波那契数为 边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中 作一个圆心角为９０°的圆弧，这些圆弧所连 成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在 长方形ＡＢＣＤ内任取一点，该点取自阴影部分的概率为 ． １５．在一个不透明的盒子里放有除颜色外其余均相同的红、 白、黑三种颜色的小球，三种球的总数不超过２０个，从盒子中随机 摸出一个球，摸到红球的概率是 １ ４，摸到白球的概率是 １ ２，则盒子 里的黑球有 个． 三、耐心解一解（本大题共８个小题，共７５分） １６．（本题共２个小题，每小题５分，共１０分） （１）随着人工智能大模型的发展，某大模型训练需要用到Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ四类数据，其中Ａ类数据有２０亿文本，Ｂ类数据有３０亿文 本，Ｃ类数据有５０亿文本，Ｄ类数据有４０亿文本，现随机从这四类 数据中抽一条文本，求抽中Ｃ类数据的概率． （２）数学兴趣小组做了４０次“任意抛掷一枚均匀的骰子”的 试验，在试验中，他们将统计的数据列成了如下统计表： 朝上一面的点数 １ ２ ３ ４ ５ ６ 出现的次数 ８ ６ ８ ７ ７ ４ 圆圆认为，这次试验和我们平时玩游戏时一样，说明朝上一 面的点数是６的可能性是最小的，你认为圆圆的说法对吗，为什 么？ ! "!!#!!$%!&%% '%% %(%' %(&% %(&' %($% %($' !" #$ ! $ &$ )* +% )* &, )* ' )* - )* ! + !"# ! " # $ ! - % % % & ' ( ) * + & , ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 . / 0 1 书 １７．（６分）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的１２个小 球，其中红球４个，黑球８个． （１）先从袋子中取出ｍ（ｍ＞１）个红球，再从袋子中随机摸 出１个球，将“摸出黑球”记为事件Ａ．请完成下列表格： 事件Ａ 必然事件 随机事件 ｍ的值 （２）当（１）中的ｍ＝２时，请直接写出事件Ａ发生的概率． １８．（７分）在一个不透明的箱子中装有１５个白色乒乓球和若 干个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外全相同，摇匀后从中随机 摸出一个乒乓球，记下它的颜色后放回．不断重复这一过程，共摸 了１００次，发现有２５次摸到红色乒乓球，由此可估计箱子中有多 少个红色乒乓球？ １９．（９分）六一儿童节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客， 设立了一个可以自由转动的转盘（如图４，转盘被等分成１８个扇 形），并规定：顾客每购买１００元的商品，就能获得一次转动转盘 的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域， 顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了 １２５元的商品，获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： （１）小明获得中性笔的概率是多少？ （２）小明获得奖品的概率是多少？ （３）为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为 ５ ９，则需要在原转盘的基础上再将几个空白扇形涂上颜色？ 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 ２０．（９分）盒中有ｘ枚白棋和ｙ枚黑棋，这些棋子除颜色外无 任何差别． （１）现从盒中随机取出一枚棋子，若它是黑棋的概率为４９， 请写出ｙ与ｘ之间的关系式； （２）若往盒中再放入１２枚黑棋，且取得黑棋的概率变为２３， 求ｘ与ｙ的值． ２１．（１０分）如图５，是两个可以自由转动的转盘． （１）转动转盘１，当转盘停止转动时，指针落在红色区域和白 色区域的概率分别是多少？ （２）请在转盘２中设计：自由转动这个转盘，当转盘停止转动 时，指针落在红色区域的概率为 １ ３，落在黄色区域的概率为 ５ １２，落 在绿色区域的概率为 １ ４．要求： ①注明区域的颜色，标记圆心角的度数； ②画出的圆心角不可误差太大． ２２．（１１分）如图６，地面上有一个封闭图形ＡＢＣＤ，为了求得 它的面积，小明在此封闭图形内画出一个半径为２ｍ的圆后，并在 附近闭上眼睛向封闭图形内掷小石子（把小石子看成点），记录如 下： 小石子落在图形ＡＢＣＤ内的总次数ｍ＋ｎ ５０ １５３ ３００ … 小石子落在圆内（含圆上）的次数ｍ ２０ ６２ １２４ … 小石子落在圆外（含边界）的次数ｎ ３０ ９１ １７６ … ｍ ｎ（精确到０．０１） ａ ０．６８ ０．７０ … （１）填空：ａ＝ （精确到０．０１）； （２）当投掷的次数很大时，ｍｎ的值越来越接近 （精 确到０．１）； （３）若以小石子所落的有效区域为总数（即 ｍ＋ｎ），则随着 投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率 ｍ ｍ＋ｎ稳定在 附近（精确到０．１）； （４）请利用（３）中所得频率的值，估计整个封闭图形的面积 （结果保留π）． ２３．（１３分）【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内 设置了４个共享雨伞放置区，共投放２４０把雨伞．小明发现雨天时 各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用， 而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明 和同学们展开了研究． 【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情 况、人流量进行数据收集，数据如表１，２： 表１：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据 放置区 教学楼 图书馆 食堂 宿舍楼 经过放置区的师生人数 ８０ １１０ ７０ ９０ 使用共享雨伞的人数 ６ ８ ７ ６ 表２：雨天经过放置区的平均人流量 放置区 教学楼 图书馆 食堂 宿舍楼 人流量（单位：人） ２８０ ３３０ ２００ ２２５ 【问题解决】 （１）求经过食堂的师生使用共享雨伞的概率； （２）请设计一个合理的投放方案，以应对该校师生使用共享 雨伞的需求． !"# !"#$%&' !"#!$ () ! " # $ ! % ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - . / 0 1 2 ! " ! " !&&! #$ ! #$ ' ! & " % & % & " % & % 书 ∠４＋１０°，所以∠４＋１０°＋∠４＝５８°．解得∠４＝２４°． 所以∠Ｈ＝３４°． ２３．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＢＭＮ＝∠ＣＮＭ．因为 ｌ∥ＦＧ，所以∠ＦＧＣ＝∠ＣＮＭ．所以∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ． （２）如图１，过点Ｆ作ＦＨ∥ＡＢ． 因为ＡＢ∥ＣＤ，所以ＡＢ∥ＣＤ∥ＦＨ．所以∠ＭＥＦ＝ ∠ＥＦＨ，∠ＦＧＣ＝∠ＧＦＨ．由（１）知∠ＢＭＮ＝∠ＦＧＣ．所 以∠ＢＭＮ＝∠ＧＦＨ．所以∠ＥＦＧ＝∠ＧＦＨ＋∠ＥＦＨ＝ ∠ＢＭＮ＋∠ＭＥＦ． （３）因为ＥＲ平分 ∠ＦＥＢ，ＧＲ平分 ∠ＦＧＤ，所以设 ∠ＢＥＲ＝∠ＦＥＲ＝ｘ，∠ＦＧＲ＝∠ＤＧＲ＝ｙ．所以∠ＡＥＦ ＝１８０°－２ｘ．如图２，过点Ｆ作ＦＴ∥ＡＢ，过点Ｒ作ＲＳ∥ ＡＢ．因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ＦＴ∥ ＡＢ∥ ＣＤ∥ ＲＳ．所以 ∠ＥＲＳ＝∠ＢＥＲ＝ｘ，∠ＧＲＳ＝∠ＤＧＲ＝ｙ，∠１＝∠ＦＧＣ ＝１８０°－２ｙ．所以∠ＥＲＧ＝ｘ＋ｙ．因为∠ＨＦＧ＝９０°，所 以∠２＝９０°－∠１＝９０°－（１８０°－２ｙ）＝２ｙ－９０°．所 以∠ＦＨＤ＝∠２＝２ｙ－９０°．因为 ∠ＦＨＤ－∠ＡＥＦ＝ ３０°，所以２ｙ－９０°－（１８０°－２ｘ）＝３０°，即２ｘ＋２ｙ＝ ３００°．所以 ｘ＋ｙ＝１５０°．所以 ∠ＥＲＧ＝１５０°．所以 ∠ＨＭＮ＝ １６∠ＥＲＧ＝２５°． 《概率初步》专项练习 １．Ｃ；　２．Ｃ；　３．Ｂ；　４．６０％；　５．４； ６．Ｃ；　７．１２；　８．１４． ９．（１）设盒子中有黑球ｘ个．由题意，得ｘ＝１３（３＋ ７＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：盒子中有５个黑球． （２）由题意，得７＝ １３（３＋７＋ｍ）．解得ｍ＝１１． １０．４７；　１１．Ａ． 《概率初步》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｄ Ｄ Ｂ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｄ Ｂ 二、１１．不可能；　１２．０．９７；　１３．③；　１４．π４； １５．１或２或３或４或５． 三、１６． （１） 抽 中 Ｃ 类 数 据 的 概 率 为： ５０ ２０＋３０＋５０＋４０＝ ５ １４． （２）不对，因为试验次数太少，不足以说明，当试验 次数足够大时，每个点数出现的次数大致相等． １７．（１）表格中从左至右依次填４，２或３． （２）事件Ａ发生的概率为： ８１２－２＝ ４ ５． １８．因为摸了１００次，发现有２５次摸到红色乒乓球，所 以估计摸到红色乒乓球的概率为： ２５ １００＝ １ ４．设箱子中有 红色乒乓球ｘ个．由题意，得ｘ＝１４（１５＋ｘ）．解得ｘ＝５． 答：估计箱子中有５个红色乒乓球． １９．（１）Ｐ（小明获得中性笔）＝ ３１８＝ １ ６． （２）Ｐ（小明获得奖品）＝２＋３＋４１８ ＝ １ ２． （３）１８×５９ ＝１０（个），１０－９＝１（个），所以需要再 将１个空白扇形涂上颜色． ２０．（１）因为盒中有ｘ枚白棋和ｙ枚黑棋，所以盒中 共有（ｘ＋ｙ）枚棋子．由题意，得ｙ＝４９（ｘ＋ｙ）．所以ｙ与 ｘ之间的关系式为ｙ＝ ４５ｘ． （２）由题意，得ｙ＋１２＝ ２３（ｘ＋ｙ＋１２）． 由（１）得ｙ＝ ４５ｘ，所以 ４ ５ｘ＋１２＝ ２ ３（ｘ＋ ４ ５ｘ＋ １２）．解得ｘ＝１０．所以ｙ＝８． ２１．（１）Ｐ（指针落在红色区域）＝１４４３６０＝ ２ ５， Ｐ（指针落在白色区域）＝３６０－１４４３６０ ＝ ３ ５． （２）红色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１３ ＝ １２０°，黄色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×５１２＝ １５０°，绿色区域的扇形圆心角的度数为：３６０°×１４ ＝ ９０°．画图略． ２２．（１）０．６７；　（２）０．７；　（３）０．４； （４）根据题意，得４π０．４＝１０π（平方米）． 答：估计整个封闭图形的面积是１０π平方米． ２３．（１）由表１可知，经过食堂的师生有７０人，使用 共享雨伞的有７人，所以经过食堂的师生使用共享雨伞 的概率是： ７ ７０＝ １ １０． （２）４个放置区使用共享雨伞的平均人数分别是： 教学楼：２８０×６８０＝２１，图书馆：３３０× ８ １１０＝２４，食 堂：２００×７７０＝２０，宿舍楼：２２５× ６ ９０＝１５． 所以雨天使用共享雨伞的平均人数约为：２１＋２４＋ ２０＋１５＝８０，所以在４个放置区投放雨伞的把数分别为： 教学楼：２４０×２１８０＝６３，图书馆：２４０× ２４ ８０＝７２，食堂：２４０ ×２０８０＝６０，宿舍楼：２４０× １５ ８０＝４５． 所以投放方案是教学楼６３把，图书馆７２把，食堂 ６０把，宿舍４５把． 《三角形》专项练习 １．３；　２．钝角；　３．三角形具有稳定性； ４．９０°或６０°；　５．５０；　６．Ｂ；　７．１９； ８．７；　９．Ｂ；　１０．２０°或８０°． １１．（１）１２； （２）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°．因 为∠Ｃ＝７０°，所以∠ＤＡＣ＝９０°－∠Ｃ＝２０°．因为∠Ｃ ＝７０°，∠ＢＡＣ＝６０°，所以∠ＡＢＣ＝１８０°－∠Ｃ－∠ＢＡＣ ＝５０°．因为 ＢＦ是 △ＡＢＣ的角平分线，所以 ∠ＡＢＦ＝ １ ２∠ＡＢＣ＝２５°．所以∠ＡＦＢ＝１８０°－∠ＡＢＦ－∠ＢＡＣ＝ ９５°． １２．①②③④；　１３．２；　１４．１２；　１５．Ｄ；　１６．Ａ． １７．因为点Ｃ是线段ＡＢ的中点，所以ＡＣ＝ＢＣ．因为 ∠ＡＣＤ ＝∠ＢＣＥ，所以 ∠ＡＣＤ＋∠ＤＣＥ＝∠ＢＣＥ＋ ∠ＤＣＥ，即∠ＡＣＥ＝∠ＢＣＤ．设ＢＤ与ＡＥ交于点Ｏ，因为 ∠ＤＭＥ＝∠ＤＮＥ，∠ＤＯＭ＝∠ＥＯＮ，所以１８０°－∠ＤＭＥ －∠ＤＯＭ＝１８０°－∠ＤＮＥ－∠ＥＯＮ，即∠Ｄ＝∠Ｅ．所以 △ＡＣＥ≌△ＢＣＤ（ＡＡＳ）． １８．５５°；　１９．１２． ２０．因为ＤＦ∥ＢＣ，所以∠Ｆ＝∠ＯＧＣ．又因为∠Ｃ ＝∠ＯＧＣ，所以∠Ｆ＝∠Ｃ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＦ中，因为 ∠Ｃ＝∠Ｆ，ＡＣ＝ＤＦ，∠Ａ＝∠ＥＤＦ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＤＥＦ（ＡＳＡ）．所以ＢＣ＝ＥＦ． ２１．全等三角形的对应角相等． ２２．图略． 《三角形》复习检测卷 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ｄ Ｂ Ｂ Ｄ Ｂ Ｄ Ａ Ｄ 二、１１．三角形具有稳定性；　１２．９．５，９．５； １３．１４０°；　１４．１６；　１５．４．２或０．８． 三、１６．（１）由三角形的三边关系，得ａ＋ｃ＞ｂ，ｃ－ａ ＜ｂ．所以原式 ＝ａ＋ｃ－ｂ＋ｃ－ａ－ｂ＝２ｃ－２ｂ． （２）因为△ＡＢＥ≌△ＡＣＤ，所以ＡＥ＝ＡＤ，ＡＢ＝ＡＣ． 因为Ｄ，Ｅ分别为ＡＢ和ＡＣ上的点，所以ＡＢ－ＡＤ＝ＡＣ－ ＡＥ，即ＢＤ＝ＣＥ． １７．如图３，△ＡＢＣ和△ＡＢＣ′即为所求． １８．因为∠ＢＣＡ＝４０°，∠ＡＢＣ＝６０°，所以∠ＢＡＣ＝ １８０°－∠ＢＣＡ－∠ＡＢＣ＝８０°．因为ＡＥ是△ＡＢＣ的角平 分线，所以∠ＥＡＣ＝１２∠ＢＡＣ＝４０°．因为ＢＦ是△ＡＢＣ 的高，所以∠ＢＦＡ＝９０°．所以∠ＡＯＦ＝９０°－∠ＥＡＣ＝ ５０°．所以∠ＥＯＦ＝１８０°－∠ＡＯＦ＝１３０°． １９．（１）因为∠ＢＣＥ＝∠ＡＣＤ＝９０°，所以∠ＢＣＡ＋ ∠ＡＣＥ＝９０°，∠ＥＣＤ＋∠ＡＣＥ＝９０°．所以 ∠ＢＣＡ＝ ∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＤＥＣ中，因为∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ，ＢＣ ＝ＥＣ，∠ＢＣＡ＝∠ＥＣＤ，所以△ＡＢＣ≌△ＤＥＣ（ＡＳＡ）．所 以ＡＣ＝ＤＣ． （２）由（１）知 ＡＣ＝ＤＣ．因为 ∠ＡＣＤ＝９０°，所以 ∠ＣＡＤ＝∠ＡＤＣ＝４５°．因为 ＡＣ＝ＡＥ，所以 ∠ＡＣＥ＝ ∠ＡＥＣ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝６７．５°．所以 ∠ＤＥＣ＝ １８０°－∠ＡＥＣ＝１１２．５°． ２０．因为ＡＢ⊥ＢＣ，ＤＥ⊥ＣＤ，所以∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ ＝９０°．又因为 ∠ＡＣＢ＝６８．２°，所以 ∠ＢＡＣ＝９０°－ ∠ＡＣＢ＝２１．８°＝∠ＥＣＤ．在△ＡＢＣ和△ＣＤＥ中，∠ＢＡＣ ＝∠ＤＣＥ，∠ＡＢＣ＝∠ＣＤＥ，ＢＣ＝ＤＥ，所以 △ＡＢＣ≌ △ＣＤＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＢ＝ＣＤ．因为ＣＤ＝１２ｍ，所以ＡＢ ＝１２ｍ，即教学楼高度ＡＢ为１２ｍ． ２１．（１）因为∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ，所以∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ ＝∠ＤＣＥ＋∠ＢＣＤ，即 ∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ．在 △ＡＣＤ和 △ＢＣＥ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＡＣＤ＝∠ＢＣＥ，ＣＤ＝ＣＥ，所 以△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ（ＳＡＳ）．所以ＡＤ＝ＢＥ． （２）△ＣＰＱ为等腰直角三角形．理由如下： 由（１）知ＡＤ＝ＢＥ．因为ＡＤ，ＢＥ的中点分别为点Ｐ， Ｑ，所以ＡＰ＝ＢＱ．因为△ＡＣＤ≌△ＢＣＥ，所以∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ．在△ＡＣＰ和△ＢＣＱ中，因为ＣＡ＝ＣＢ，∠ＣＡＰ＝ ∠ＣＢＱ，ＡＰ＝ＢＱ，所以△ＡＣＰ≌△ＢＣＱ（ＳＡＳ）．所以ＣＰ ＝ＣＱ，∠ＡＣＰ＝∠ＢＣＱ．又因为∠ＡＣＰ＋∠ＰＣＢ＝９０°， 所以 ∠ＢＣＱ＋∠ＰＣＢ＝９０°，即 ∠ＰＣＱ ＝９０°．所以 △ＣＰＱ为等腰直角三角形． ２２．（１）２４０； （２）因为∠Ａ＝４５°，所以∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝１８０°－ ∠Ａ＝１３５°．因为∠Ｅ＋∠Ｆ＝１０５°，所以∠Ｄ＝１８０°－ （∠Ｅ＋∠Ｆ）＝７５°．所以∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１８０°－∠Ｄ ＝１０５°．所以 ∠ＡＢＤ＋∠ＡＣＤ ＝∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ－ （∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ）＝３０°． （３）不能．理由如下： 由（２）知∠ＤＢＣ＋∠ＤＣＢ＝１０５°．若ＢＤ，ＣＤ分别平 分∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ，所以 ∠ＡＢＣ＋∠ＡＣＢ＝２∠ＤＢＣ＋ ２∠ＤＣＢ＝２１０°，与三角形内角和定理相矛盾．所以不能 将△ＤＥＦ摆放到某个位置，使得ＢＤ，ＣＤ分别平分∠ＡＢＣ 和∠ＡＣＢ． ２３．（１）因为ＡＤ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＤＣ＝９０°． 因为ＢＥ是△ＡＢＣ的高，所以∠ＡＥＢ＝∠ＢＥＣ＝９０°．所 以∠ＥＡＯ＋∠ＡＣＤ＝９０°，∠ＥＢＣ＋∠ＥＣＢ＝９０°．所以 ∠ＥＡＯ＝∠ＥＢＣ．在△ＡＯＥ和△ＢＣＥ中，因为∠ＥＡＯ＝ ∠ＥＢＣ，ＡＥ＝ＢＥ，∠ＡＥＯ ＝∠ＢＥＣ，所以 △ＡＯＥ≌ △ＢＣＥ（ＡＳＡ）．所以ＡＯ＝ＢＣ＝５． （２）如图４，设点 Ｐ的运动时间为 ｘ秒．由已知得 ＯＰ＝ｘ，ＢＱ＝４ｘ．因为 ＡＯ＝５，所以ＡＰ＝ＡＯ－ＯＰ＝５－ｘ．在 △ＡＰＥ和 △ＢＱＥ中，因为 ∠ＡＰＥ ＝ ∠ＢＱＥ，∠ＥＡＰ＝∠ＥＢＱ，ＡＥ＝ＢＥ，所以 △ＡＰＥ≌△ＢＱＥ（ＡＡＳ）．所以ＡＰ＝ＢＱ． 所以５－ｘ＝４ｘ．解得ｘ＝１．所以点Ｐ的 运动时间是１秒． （３）存在ｔ值，使以点 Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形与以 点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等． 由（１）知△ＡＯＥ≌△ＢＣＥ．所以∠ＡＯＥ＝∠ＢＣＥ．所 以１８０°－∠ＡＯＥ＝１８０°－∠ＢＣＥ，即∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ． ①如图 ５－①，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以５－ ４ｔ＝ｔ，解得ｔ＝１； ②如图 ５－②，当 ＯＰ＝ＣＱ时，因为 ＯＢ＝ＣＦ， ∠ＰＯＢ＝∠ＱＣＦ，所以△ＢＯＰ≌△ＦＣＱ（ＳＡＳ），所以４ｔ－ ５＝ｔ，解得ｔ＝ ５３． 综上所述，存在ｔ值，使以点Ｂ，Ｏ，Ｐ为顶点的三角形 与以点Ｆ，Ｃ，Ｑ为顶点的三角形全等，符合条件的ｔ值为１ 或 ５ ３． 《图形的轴对称》专项练习 １．Ｂ． ２．如图６                                                                                                                                                                                         ． ! " # $ !" ! " # $ % & ' ( ) * + ! ! ! " # $ ! % )(* , & - . " ' + ! " ! # ! " # $ ! " # $ / % 0 1 ! $ ! % ! % " # $ 1 / 0 & $ 1 & % " # 0 / ! ! " ! & + 2 2 ! " # $ 2 2 "! !