八年级下学期期末综合质量检测卷(一)-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（沪科版 安徽专版）

书 八年级第二学期 期末综合质量检测卷（一） ◆ 数理报社试题研究中心 　（说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间９０分钟，满分１２０分）　 题　号 一 二 三 总　分 得　分 一、精心选一选 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 得分 答案 二、细心填一填 得分 　１１． ；　　１２． ； 　１３． ；　　１４． ； 　１５． ． 一、精心选一选（本大题共１０小题，每小题４分，满分４０分） １．在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒 时间的长短而变化，这个问题中，自变量是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．太阳光强弱 Ｂ．水的温度 Ｃ．所晒时间 Ｄ．热水器 ２．要使代数式 槡ｘｘ－３有意义，则ｘ的取值范围是 （　　） Ａ．ｘ≥０ Ｂ．ｘ≠３ Ｃ．ｘ＞３ Ｄ．ｘ≥０且ｘ≠３ ３．九（２）班大部分学生的年龄都是１５周岁，这里的１５周岁指的是 九（２）班全体学生年龄的 （　　） Ａ．方差 Ｂ．众数 Ｃ．中位数 Ｄ．平均数 ４．如图１，ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝１２５°，点Ｂ，Ｃ，Ｅ在一条直线上，则∠１ 的度数是 （　　） Ａ．６５° Ｂ．５０° Ｃ．５５° Ｄ．４５° ５．已知ｘ＝１是关于ｘ的一元二次方程ｘ２＋ａｘ＋２ｂ＝０的解，则２ａ ＋４ｂ的值是 （　　） Ａ．－１ Ｂ．１ Ｃ．－２ Ｄ．２ ６．下表是韩梅参加演讲比赛的得分表，表格中“△”部分被污损，她 的总得分是 （　　） 韩梅 演讲内容 言语表达 形象风度 得分 ８０ ９５ ８０ 权重 ２５％ ４０％ △ Ａ．８６ Ｂ．８５．５ Ｃ．８６．５ Ｄ．８８ ７．下列各组数中，能构成直角三角形的是 （　　） Ａ．４，５，６ Ｂ．１，１，槡２ Ｃ．６，８，１１ Ｄ．５，１０，１２ ８．如图２，菱形 ＡＢＣＤ的一边中点 Ｍ到对角线交点 Ｏ的距离为 １０ｃｍ，则菱形ＡＢＣＤ的周长为 （　　） Ａ．４０ｃｍ Ｂ．６０ｃｍ Ｃ．８０ｃｍ Ｄ．１００ｃｍ ９．实数 ａ，ｂ在数轴上的位置如图 ３所示，则化简 （ａ＋ｂ）槡 ２· （ａ－ｂ）槡 ２的结果是 （　　） Ａ．ａ２＋ｂ２ Ｂ．－ａ２－ｂ２ Ｃ．ａ２－ｂ２ Ｄ．ｂ２－ａ２ １０．如图４，平面直角坐标系中，有两点 Ａ（ａ， ０），Ｂ（０，ｂ），且满足ｂ＝ ａ－槡 ３＋ ３槡 －ａ＋４，Ｐ为 ＡＢ上一动点（不与 Ａ，Ｂ重合），ＰＥ⊥ ｘ轴，ＰＦ⊥ ｙ 轴，垂足分别为Ｅ，Ｆ，连接ＥＦ，则ＥＦ的最小值为 （　　） Ａ．２．４ Ｂ．３ Ｃ．４ Ｄ．５ 二、细心填一填（本大题共５小题，每小题４分，满分２０分） １１．甲、乙两名学生１０次立定跳远成绩的平均数相同，若甲１０次立 定跳远成绩的方差为ｓ２甲 ＝０．６，乙１０次立定跳远成绩的方差为 ｓ ２ 乙 ＝ ０．３５，则甲、乙两名学生１０次立定跳远成绩比较稳定的是 （填 “甲”或“乙”）． １２．如图５，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＢＣ的中点，点Ｅ，Ｆ分别在线段ＡＤ 及其延长线上，且 ＤＥ＝ＤＦ，请你添加一个条件： ，使四边形 ＢＥＣＦ是菱形． １３．如图６，在四边形ＡＢＣＤ中，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°，分别以ＡＢ， ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ为边向外作正方形．若乙的面积是２２，丙的面积是１８，丁的 面积是９，则ＡＢ＝ ． １４．如图７，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝９０°，ＡＣ＝６，Ｄ是ＢＣ边的中点，点 Ｅ在ＡＢ边上．若∠ＤＥＢ＝３０°，则ＤＥ的长为 ． １５．已知一元二次方程ｘ２＋２ｘ－８＝０的两根为ｘ１，ｘ２，则 ｘ２ ｘ１ ＋２ｘ１ｘ２ ＋ ｘ１ ｘ２ 的值为 ． 三、耐心解一解（本大题共６小题，满分６０分） １６．（满分８分）计算： （１）槡１５×槡５－槡１２； （２）６×槡２２＋｜１－槡２｜－槡８×（π－３） ０－（１２） －２． １７．（满分８分）解方程： （１）ｘ２＋６ｘ＋２＝０； （２）（ｘ－３）（２ｘ＋１）＝（ｘ－３）２． !"# ! " # $ % & ! ' ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - ! " . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . ! " # $ % & ! ' $ ( ) : + , 8 ! " . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . ! " # # $ #$%! % ! & " $ & % ' # ! $ ( ' ) ! ( " * $ # ! % ! % ! ) $ ( " # % ) * + ! * " $ # % ! + % ! & , * # - ! + 书 １８．（满分１０分）如图８，在ＡＢＣＤ中，ＤＦ平分∠ＡＤＣ，交ＡＢ于点 Ｆ，ＢＥ∥ＤＦ，交ＡＤ的延长线于点Ｅ．若∠Ａ＝４６°，求∠ＣＢＥ的度数． １９．（满分１０分）交通管理部门在一个路口统计的某个时段来往车 辆的车速（ｋｍ／ｈ）情况如下表： 车速 ５０ ５１ ５２ ５３ ５４ ５５ 车辆数 ２ ５ ８ ６ ４ ５ （１）该样本数据的众数是 ，中位数是 ； （２）根据样本数据，估计 ６００辆来往车辆在该路口车速在 ５０～ ５３ｋｍ／ｈ之间的车辆数． ２０．（满分１２分）如图９，小明在某泳池沿泳道ｌ练习游泳，点Ａ处有 一个攀梯，游了一段时间后，在Ｂ处的小明想上岸休息，他决定游至点Ｃ 后再向攀梯游去．已知 Ｂ，Ｃ，Ｄ三点都在直线 ｌ上，且 ＢＣ＝９米，ＡＣ＝ １２米，ＡＢ＝１５米． （１）ＡＣ的长是否为攀梯Ａ到泳道ｌ的最近距离，请通过计算加以说 明； （２）小明游至点Ｃ后又沿泳道ｌ滑行２米到达点Ｄ，若从点Ｄ游至攀 梯Ａ，求ＤＡ的长度（保留根号）． ２１．（满分１２分）（１）将矩形纸片ＡＢＣＤ沿过点Ｄ的直线折叠，使点 Ａ落在ＣＤ上的点Ａ′处，得到折痕ＤＥ，如图１０．求证：四边形ＡＥＡ′Ｄ是正 方形； （２）将图１０中的矩形纸片ＡＢＣＤ沿过点Ｅ的直线折叠，点Ｃ恰好落 在ＡＤ上的点Ｃ′处，点Ｂ落在点Ｂ′处，得到折痕ＥＦ，Ｂ′Ｃ′交ＡＢ于点Ｍ， 如图１１．线段ＭＣ′与ＭＥ是否相等？若相等，请给出证明；若不相等，请说 明理由． !"# ! " # $ % & ! ' $ ( ) * + , - ! " . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . ! " # $ % & ! ' $ ( ) : + , 8 ! " . / 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . ! " # $ % & ! # & ! " % ' ! $ " &! % & # ! !! "! " ! # $ % ( ) & ! %& ! %% !"#$%& %'(%# '( ! " # $ !" 书 （３）该班级男生收看篮球赛次数的平均数是：（１×２ ＋２×５＋３×６＋４×５＋５×２）÷２０＝３， 方差是： １ ２０×［２×（１－３） ２＋５×（２－３）２＋６×（３ －３）２＋５×（４－３）２＋２×（５－３）２］＝１．３． 因为２＞１．３，所以该班女生收看篮球赛次数的波动 幅度比男生的大． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｃ Ｃ Ａ 二、１１．乙；　１２．答案不惟一，如ＡＢ＝ＡＣ； １３．槡３１；　１４．６；　１５．－ ３７ ２． 三、１６．（１）槡３３；　（２）槡２２－５． １７．（１）ｘ１ ＝－３＋槡７，ｘ２ ＝－３－槡７； （２）ｘ１ ＝３，ｘ２ ＝－４． １８．因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ．因为∠Ａ＝４６°，所以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠Ａ ＝１３４°．因为ＤＦ平分∠ＡＤＣ，所以∠ＡＤＦ＝１２∠ＡＤＣ＝ ６７°．因为 ＤＦ∥ ＢＥ，所以 ∠Ｅ＝∠ＡＤＦ＝６７°．所以 ∠ＣＢＥ＝∠Ｅ＝６７°． １９．（１）５２，５２．５． （２）２＋５＋８＋６＋４＋５ ＝３０（辆），６００× ２＋５＋８＋６ ３０ ＝４２０（辆）． 答：６００辆来往车辆在该路口车速在５０～５３ｋｍ／ｈ 之间的车辆数约为４２０． ２０．（１）ＡＣ的长为攀梯Ａ到泳道ｌ的最近距离．理由 如下： 在△ＡＢＣ中，因为ＢＣ２＋ＡＣ２ ＝９２＋１２２ ＝２２５＝ ＡＢ２，所以∠ＢＣＡ＝９０°，即ＡＣ⊥ｌ．所以ＡＣ的长为攀梯Ａ 到泳道ｌ的最近距离． （２）因为ＡＣ⊥ｌ，所以∠ＡＣＤ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＣＤ中， 由勾股定理，得ＤＡ＝ ＡＣ２＋ＣＤ槡 ２ ＝ 槡２ ３７米． ２１．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ∠Ａ＝ ∠ＡＤＣ＝９０°．根据折叠的性质，得ＡＤ＝Ａ′Ｄ，∠ＥＡ′Ｄ＝ ∠Ａ＝９０°．所以四边形ＡＥＡ′Ｄ是正方形． （２）ＭＣ′＝ＭＥ．证明如下： 连接Ｃ′Ｅ，图略．因为四边形 ＡＥＡ′Ｄ是正方形，所以 ＡＤ＝ＡＥ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＤ＝ＢＣ，∠Ｂ ＝９０°．根据折叠的性质，得 Ｂ′Ｃ′＝ＢＣ，∠Ｂ＝∠Ｂ′＝ ９０°．所以ＡＥ＝Ｂ′Ｃ′．在Ｒｔ△ＥＣ′Ａ和Ｒｔ△Ｃ′ＥＢ′中，因为 ＥＣ′ ＝ Ｃ′Ｅ，ＡＥ ＝ Ｂ′Ｃ′， 所 以 Ｒｔ△ＥＣ′Ａ ≌ Ｒｔ△Ｃ′ＥＢ′（ＨＬ）．所以 ∠Ｃ′ＥＡ＝∠ＥＣ′Ｂ′．所以 ＭＣ′＝ ＭＥ． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（二） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ａ Ｄ Ｃ Ａ Ｃ Ｃ Ｄ Ｃ Ａ Ｄ 二、１１．５６０；　１２．３１．５°；　１３．－４； １４．（１０＋ 槡１０３）；　１５．槡２２． 三、１６．（１）槡５３；　（２）１＋ 槡２２． １７．因为ＡＤ＝３，ＡＥ＝４，ＥＤ＝５，所以ＡＤ２＋ＡＥ２＝ ＥＤ２．所以∠Ａ＝９０°．又因为∠Ｃ＝９０°，ＢＤ平分∠ＡＢＣ， 所以ＡＤ＝ＣＤ． １８．（１）这个三角形的周长为：２３ ９槡ｘ＋６ ｘ 槡４ ＋ ２ｘ １槡ｘ ＝２槡ｘ＋３槡ｘ＋２槡ｘ＝７槡ｘ． （２）答案不惟一，如当ｘ＝４时，这个三角形的周长 为１４． １９．（１）８．１分． （２）被抽查学生成绩的中位数是８分． （３）根据题意，得２０００×４＋２２０ ＝６００（名）． 答：估计该校２０００名学生中有６００名学生将获得 “优秀安全消防员”称号． ２０．（１）设去年果农李大爷售出 Ａ种广柑 ｘ千克，Ｂ 种广柑ｙ千克． 根据题意，得 ｘ＋ｙ＝９００， ３ｘ＋４ｙ＝３０００{ ．解得 ｘ＝６００， ｙ＝３００{ ． 答：去年果农李大爷售出Ａ种广柑６００千克，Ｂ种广 柑３００千克． （２）根据题意，得３（１＋１３ａ％）×６００×２＋４（１＋ ２ａ％）×３００（１－２ａ％）＝３０００×（１＋６０％）． 整理，得ａ２－２５ａ＝０． 解得ａ１ ＝０（不合题意，舍去），ａ２ ＝２５． 答：ａ的值为２５． ２１．（１）因为 Ｒｔ△ＤＨＡ≌ Ｒｔ△ＣＧＤ≌ Ｒｔ△ＢＦＣ≌ Ｒｔ△ＡＥＢ，所以∠ＡＨＤ＝∠ＣＧＤ＝∠ＢＦＣ＝∠ＡＥＢ＝ ９０°，ＤＨ＝ＣＧ＝ＢＦ＝ＡＥ，ＡＨ＝ＤＧ＝ＣＦ＝ＢＥ．因为ＡＭ ＝ＡＥ，ＣＮ＝ＣＧ，所以ＡＥ＋ＡＭ＝ＣＧ＋ＣＮ，即ＭＥ＝ＮＧ， ＡＨ＋ＡＭ＝ＣＦ＋ＣＮ，即ＭＨ＝ＮＦ．在△ＭＤＨ和△ＮＢＦ 中，因为 ＭＨ＝ＮＦ，∠ＭＨＤ＝∠ＮＦＢ，ＤＨ＝ＢＦ，所以 △ＭＤＨ≌△ＮＢＦ（ＳＡＳ）．所以 ＤＭ ＝ＢＮ．在 △ＭＢＥ和 △ＮＤＧ中，因为ＭＥ＝ＮＧ，∠ＭＥＢ＝∠ＮＧＤ，ＢＥ＝ＤＧ， 所以△ＭＢＥ≌△ＮＤＧ（ＳＡＳ）．所以ＢＭ ＝ＤＮ．所以四边 形ＭＢＮＤ是平行四边形． （２）因为ＡＨ＝４，ＤＨ＝５，所以ＢＥ＝４，ＡＭ＝ＡＥ＝ ５，ＥＨ＝ＡＥ－ＡＨ＝１．所以ＭＨ＝ＡＨ＋ＡＭ＝９，ＭＥ＝ ＡＥ＋ＡＭ ＝１０．所以 Ｓ四边形ＭＢＮＤ ＝２Ｓ△ＭＤＨ ＋２Ｓ△ＭＢＥ ＋ Ｓ四边形ＥＦＧＨ ＝２× １ ２ＤＨ·ＭＨ＋２× １ ２ＢＥ·ＭＥ＋ＥＨ ２＝８６． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ａ 二、１１．１０；　１２．７；　１３．２；　１４．２；　１５．２０或８０． 三、１６．（１）ｘ１ ＝－６，ｘ２ ＝２； （２）ｘ１ ＝ ３ ２，ｘ２ ＝１． １７．（１）原式 ＝２ ２槡ｘｙ－２ｙ． 当ｘ＝３，ｙ＝４时，原式 ＝ 槡４６－８． （２）原式 ＝３槡ｘｙ－ ４ 槡ｘ ｘｙ ｙ ． 当ｘ＝ ３２，ｙ＝２７时，原式 ＝ 槡２５２ ２ ． １８．（１）根据勾股定理，得 ＣＤ＝ ＢＣ２－ＢＤ槡 ２ ＝ ２０米．所以ＣＥ＝ＣＤ＋ＤＥ＝２１．６米． 答：风筝的垂直高度ＣＥ为２１．６米． （２）风筝沿ＣＤ方向下降１２米到达点Ｆ．所以ＤＦ＝ ＣＤ－ＣＦ＝８米．根据勾股定理，得ＢＦ＝ ＤＦ２＋ＢＤ槡 ２ ＝ １７米．所以他应该往回收线：２５－１７＝８（米）． １９．（１）３２，３５． （２）５０×４１０＝２０（名）． 答：八年二班地理模拟成绩不低于３５分的同学约有 ２０名． （３）八年二班的地理模拟成绩更好．理由如下： 因为八年一班和八年二班地理模拟的平均成绩相 同，但八年二班的方差小于八年一班的方差，所以八年 二班的地理模拟成绩更好． ２０．（１）ｘ＝±槡３９． （２）（ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５ ＋ ４ｘ ２－２ｘ－槡 ５） · （ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５ － ４ｘ ２－２ｘ－槡 ５） ＝ （ ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５） ２－（ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５） ２ ＝（４ｘ２＋６ｘ－ ５）－（４ｘ２ －２ｘ－５） ＝８ｘ．因为 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＋ ４ｘ２－２ｘ－槡 ５ ＝ ４ｘ， 所 以 ４ｘ ２＋６ｘ－槡 ５ － ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝８ｘ÷４ｘ＝２．所以 ４ｘ ２＋６ｘ－槡 ５＝２ｘ ＋１， ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝２ｘ－１．所以（ ４ｘ ２＋６ｘ－槡 ５） ２＝ （２ｘ＋１）２．所以４ｘ２＋６ｘ－５＝４ｘ２＋４ｘ＋１．解得ｘ＝３． 同理，解 ４ｘ２－２ｘ－槡 ５＝２ｘ－１，得 ｘ＝３．所以方程 ４ｘ２＋６ｘ－槡 ５＋ ４ｘ ２－２ｘ－槡 ５＝４ｘ的解是ｘ＝３． ２１．（１）因为ＤＥ⊥ＡＣ，所以∠ＡＥＤ＝∠ＦＥＤ＝９０°． 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＤ＝ＣＢ，ＡＤ∥ ＣＢ．所以∠ＤＡＥ＝∠ＢＣＦ．又因为ＡＥ＝ＣＦ，所以△ＡＤＥ ≌△ＣＢＦ（ＳＡＳ）．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＦＢ＝９０°．由对顶角 相等，得 ∠ＡＦＧ＝∠ＣＦＢ＝９０°．因为 ＤＧ∥ ＡＣ，所以 ∠ＥＤＧ＝１８０°－∠ＦＥＤ＝９０°．所以四边形ＤＥＦＧ是矩 形． （２）四边形ＤＥＦＧ是正方形．理由如下： 由（１），得ＤＥ∥ＢＦ，ＤＥ＝ＢＦ．所以四边形ＤＥＢＦ是 平行四边形．所以ＤＦ∥ＢＥ．所以∠ＡＦＤ＝∠ＢＥＦ．因为 ∠ＤＦＧ＝∠ＢＥＦ，所以 ∠ＡＦＤ＝∠ＤＦＧ．因为四边形 ＤＥＦＧ是矩形，所以∠Ｇ＝９０°．所以ＤＧ⊥ＦＧ．所以ＤＥ ＝ＤＧ．所以四边形ＤＥＦＧ是正方形． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（四） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ａ Ａ Ｄ Ｃ Ｂ Ｂ Ｄ Ａ Ｃ 二、１１．４；　１２．－２；　１３．１０；　１４．２＋槡７； １５． 槡２ １３． 三、１６．设这个正多边形一个外角的度数为 ｘ°．根据 题意，得１８０－ｘ＝３ｘ＋２０．解得ｘ＝４０．所以这个正多 边形的边数为：３６０°÷４０°＝９．所以这个正多边形的内 角和为：（９－２）×１８０°＝１２６０°． １７．设上、下边衬的宽为 ｘｃｍ，则左、右边衬的宽为 ２ｘｃｍ． 根据题意，得（２００－４ｘ）（１００－２ｘ）＝２００×１００×（１ －９２５）． 整理，得（ｘ－５０）２ ＝１６００． 解得ｘ１ ＝１０，ｘ２ ＝９０（不合题意，舍去）． 所以２ｘ＝２０． 答：左、右边衬的宽为２０ｃｍ． １８．过点Ｂ作ＢＥ⊥ＣＤ于点Ｅ，图略．所以∠ＢＥＤ＝ ９０°．由勾股定理，得ＤＥ＝ ＢＤ２－ＢＥ槡 ２ ＝１米．所以ＣＤ ＝ＣＥ＋ＥＤ＝２．６米． 答：感应器离地面的高度ＣＤ为２．６米． １９．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ ＣＤ．所以∠Ｂ＝∠ＤＣＥ．因为 ＣＦ⊥ ＡＢ，ＤＥ⊥ ＢＣ，所以 ∠ＣＦＢ＝∠Ｅ＝９０°．又因为 ＣＦ＝ＤＥ，所以 △ＢＦＣ≌ △ＣＥＤ（ＡＡＳ）．所以ＢＣ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是菱形，所以 ＡＢ＝ＢＣ．在 Ｒｔ△ＢＣＦ中，∠Ｂ＝６０°，所以∠ＢＣＦ＝３０°．所以ＦＢ＝ １ ２ＢＣ，即ＢＣ－５＝ １ ２ＢＣ．解得ＢＣ＝１０． ２０．（１）ｍ＝１１０×（６＋７＋７＋８＋８＋８＋８＋９＋９ ＋１０）＝８；乙快递公司服务质量得分从小到大排列为： ４，５，５，６，６，７，８，９，１０，１０，其中位数ｎ＝６＋７２ ＝６．５． （２）甲快递公司服务质量得分的方差为：１１０×［（５ －７）２＋（６－７）２×２＋（７－７）２×３＋（８－７）２×４］＝ １；乙快递公司服务质量得分的方差为：１１０×［（４－７） ２＋ （５－７）２×２＋（６－７）２×２＋（７－７）２＋（８－７）２＋（９ －７）２＋（１０－７）２×２］＝４．２． 因为１＜４．２，所以种植户对甲快递公司的服务质量 的评价越一致． （３）选择乙快递公司，从配送速度角度，甲快递公司 的配送速度的平均数小于乙快递公司，所以选择乙公司 （答案不惟一）． ２１．（１）连接ＢＤ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所 以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＡＤ＝ＣＤ＝４．因为∠Ａ＝６０°，所以 △ＡＢＤ是等边三角形．因为 Ｅ是 ＡＢ的中点，所以 ＡＥ＝ １ ２ＡＢ＝２，ＤＥ⊥ＡＢ．所以∠ＡＥＤ＝∠ＣＤＥ＝９０°．根据 勾股定理，得ＤＥ＝ ＡＢ２－ＡＥ槡 ２ ＝ 槡２３．在Ｒｔ△ＤＥＣ中， ＤＣ＝４，根据勾股定理，得ＥＣ＝ ＤＣ２＋ＤＥ槡 ２ ＝ 槡２７． （２）延长ＣＤ至点Ｈ，使ＣＤ＝ＤＨ，连接 ＮＨ，ＡＨ，图 略．因为ＡＤ＝ＣＤ，所以ＡＤ＝ＤＨ．因为ＣＤ∥ＡＢ，所以 ∠ＨＤＡ＝∠ＢＡＤ＝６０°．所以△ＡＤＨ是等边三角形．所以 ＡＨ＝ＡＤ，∠ＨＡＤ＝６０°．因为△ＡＭＮ是等边三角形，所 以ＡＭ ＝ＡＮ，∠ＮＡＭ ＝６０°．所以 ∠ＨＡＤ－∠ＮＡＧ＝ ∠ＮＡＭ－∠ＮＡＧ，即 ∠ＨＡＮ ＝∠ＤＡＭ．在 △ＡＮＨ和 △ＡＭＤ中，因为ＡＨ＝ＡＤ，∠ＨＡＮ＝∠ＤＡＭ，ＡＮ＝ＡＭ， 所以△ＡＮＨ≌△ＡＭＤ（ＳＡＳ）．所以ＨＮ＝ＤＭ．因为Ｄ是 ＣＨ的中点，Ｑ是ＮＣ的中点，所以ＨＮ＝２ＤＱ．所以ＤＭ＝ ２                                                                                                                                                                                         ＤＱ．