精品解析：湖北省孝感市八校2025届高三下学期三模联考数学试题

2025届湖北省孝感市八校三模联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断. 【详解】A. 当时， ，故错误； B. 当时，，故错误； C. 当时，，不成立，故错误； D 由，则，则，故正确； 故选：D 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用及角的范围变形得到，从而得到. 【详解】， 又，所以， 所以， 又，所以，， 所以， 故． 故选：B 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求复数z，进而可求模长. 【详解】∵，则， ∴. 故选：D. 4. 某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（ ） A. 2023年第四季度的销售额为280万元 B. 2023年上半年的总销售额为500万元 C. 2023年2月份的销售额为60万元 D. 2023年12个月的月销售额的众数为50万元 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的双层饼状图求出全年总销售额，再逐项计算判断. 【详解】由第二季度的销售额为260万元，第二季度的销售额占全年总销售额的百分比为26%，得全年总销售额为1000万元， 对于A，2023年第四季度的销售额为(万元)，A正确； 对于B，2023年上半年的总销售额为(万元)，B错误； 对于C，2023年2月份的销售额为(万元)，C错误； 对于D，2023年12个月的月销售额(单位：万元)分别是50，50，60，60，90，110，80，100， 120，120，100，60，众数是60，D错误. 故选：A 5. 如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（ ）. A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由，两边平方后展开整理，即可求得，则的长可求． 【详解】解：， ， ，， ，， ． ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 6. 若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可得： . 本题选择C选项. 7. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的导数，再求得导函数在处的函数值. 【详解】因为，则， 所以， 故选：A. 8. 抛掷一枚骰子，“向上的面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ） A. B. C. 表示向上的面的点数是1或2或3 D. 表示向上的面的点数是1或2或3 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得到事件，所包含的基本事件，由此分析判断即可． 【详解】解：由题意可知，，，，， 所以，，2，， 则表示向上的面的点数是1或2或3，故ABD错误，C正确． 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】设，可得函数在上单调递减，根据复合函数的单调性即可得的范围即可判断AB，利用单调性即可判断CD. 【详解】的定义域为． 设，可得函数在上单调递减， 在上单调递增， 根据复合函数的单调性可得，故A正确，B错误； 由，可得， 又在上单调递减， 则，故C正确，D错误． 故选：AC． 10. 如图，已知半圆上有一个动点，是上靠近点的三等分点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的几何性质，结合平面向量线性运算法则逐一判断即可. 【详解】如图，对于选项，取的中点，连接，因为是的中点，所以在中，，所以.因为是靠近的三等分点，所以是的中点，从而是的中点，所以，A正确. 对于B选项，，B正确； 对于C选项，，C错误； 对于D选项，，D正确. 故选：ABD 11. 已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（ ） A. 若则是等差数列 B. 若则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且则 【答案】BC 【解析】 【分析】由求，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，取时，结合等比数列求和公式作差比较与大小即可判断D. 【详解】对于A选项，若，当时，，不满足，故A错误； 对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确； 对于C选项，若是等差数列，则，故C正确. 对于D选项，当时，，故当时不等式不等式，故不成立，所以D错误. 故选：BC 【点睛】本题考查数列的前项和为与之间的关系，等差数列的性质，等比数列的前项和为的公式等，考查运算求解能力.本题D选项解题的关键将问题特殊化，讨论时，与大小情况.此外还需注意一下公式：；若是等差数列，则. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用()，得，即可求，利用余弦定理即可求解. 【详解】由()，得， 所以， 即， 即． 由余弦定理，得， 所以． 故答案为：9. 13. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角正弦值为________. 【答案】 【解析】 【详解】解：因为长方体中, 则, 则作出与平面所成角， 结合直角三角形可知其正弦值. 14. 圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】 先设圆心为，由题中条件，求出圆的方程，根据点与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】设圆心为，由得， 所以， 则半径， 故圆的方程为， 又在圆内， 所以，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足：（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】（1）， （2）投入3万元时 【解析】 【分析】（1）根据已知先求k，表示出销售价格，然后由题意可得函数关系； （2）由（1），，再根据基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，∴， ∴， ∴每件产品的销售价格为（元）， ∴，， 即， 【小问2详解】 由（1），，又当时，， 当且仅当，即时，y取得最大值，∴， 故该厂家的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大． 16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用两角差的正弦公式展开整理可得，再利用三角形内角关系化简得，由锐角三角形可知，利用两角和的正切公式和基本不等式即可求得的最小值；（2）根据可求得或，即可求出角的正弦值，再由利用正弦定理即可求得. 【小问1详解】 由已知得， 整理得， 因为，所以， 又因为， 所以， 可得， ， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 小问2详解】 由（1）知，所以， 又因为，所以或，8分 当时，，由正弦定理得， 当时，，由正弦定理得. 综上，或. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. （1）证明：MN平面PDC； （2）在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，Q为BC的中点 【解析】 【分析】（1）证明后可得线面平行； （2）过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连结NQ，NE，可以证明平面MNQ⊥平面PAD，再根据已知条件求得点位置即可． 【小问1详解】 在四边形ABCD中，由AB＝BC＝，AD＝CD＝1， 可得△ABD≌△CBD，可得AC⊥BD，且M为AC的中点， 由AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，可得DM＝CDcos 60°＝，AC＝2CDsin 60°＝， 则BM＝×＝，由＝＝，可得MN∥PD， 而MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，可得MN∥平面PDC. 【小问2详解】 过M作ME⊥AD，垂足为E，延长EM交BC于Q，连结NQ，NE，如图， 由PA⊥平面ABCD，EQ⊂平面ABCD，可得PA⊥EQ， 又EQ⊥AD，,平面， 所以EQ⊥平面PAD，EQ⊂平面MNQ，所以平面MNQ⊥平面PAD，故存在这 样的点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD， 在RtDME中，∠EMD＝90°－60°＝30°， 在BQM中，∠QBM＝∠BMQ＝30°，∠BQM＝120°， 由BM＝，＝，可得BQ＝＝，即Q为BC的中点， 则Q为BC的中点时，平面MNQ⊥平面PAD. 18. 如图所示的在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面平行及面面平行的判定定理即可完成证明, （2）方法一先建系求法向量，再利用向量法求两平面的夹角，方法二利用几何法找到面面角，利用三角形知识求两平面的夹角. 【小问1详解】 如图，取中点，连接，因为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以， 又因为平面平面，所以平面， 因为点分别是中点，所以， 又因为平面平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 方法一：因为，所以， 由（1）知平面平面， 所以， 所以两两相互垂直， 如图，以点为坐标原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 由， 得，即，解得， 取，得， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为. 方法二：因为平面平面，所以平面和平面的夹角即二面角. 如图，过点作，垂足为点，过点作交于点， 则为二面角所成平面角. 在中，， 在中，， 在直角梯形中，因为，,所以， 所以 在中，， 所以， 利用三角形等面积可得， 所以， 因为，所以， 过点作于，则， 所以， 在中，， 所以， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 19. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列． （1）求数列的前项和； （2）若数列的首项，求数列的通项公式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，即可进行基本量的计算求解； （2）对数列进行迭代相减，再累加计算，即可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 因为成等比数列，所以， 又等差数列的公差为， 所以 可解得， 所以数列的前项和； 【小问2详解】 ①， 当时，，可得， 可得②， 由②式减①式，得， 所以 ， 且符合上式，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖北省孝感市八校三模联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数z满足，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4. 某保险公司销售某种保险产品，根据2023年全年该产品的销售额(单位：万元)和该产品的销售额占全年总销售额的百分比，绘制出如图所示的双层饼图．根据双层饼图，下列说法正确的是（ ） A. 2023年第四季度的销售额为280万元 B. 2023年上半年的总销售额为500万元 C. 2023年2月份的销售额为60万元 D. 2023年12个月的月销售额的众数为50万元 5. 如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（ ）. A. 2 B. 3 C. D. 4 6. 若椭圆：短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. B. C. D. 7. 记函数的导函数为.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 抛掷一枚骰子，“向上面的点数是1或2”为事件，“向上的面的点数是2或3”为事件，则（ ） A. B. C. 表示向上的面的点数是1或2或3 D. 表示向上的面的点数是1或2或3 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知半圆上有一个动点，是上靠近点的三等分点，且与交于点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C D. 11. 已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（ ） A. 若则是等差数列 B. 若则是等比数列 C. 若是等差数列，则 D. 若是等比数列，且则 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC边的中线AD=，那么BC=____________． 13. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________. 14. 圆的圆心在轴上，并且经过点，，若在圆内，则的范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足：（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 16. 在锐角三角形中，内角的对边分别为，，，已知. （1）求的最小值； （2）若，，求. 17. 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝BC＝，AD＝CD＝1，∠ADC＝120°，点M是AC与BD的交点，点N在线段PB上，且PN＝PB. （1）证明：MN平面PDC； （2）在线段BC上是否存在一点Q，使得平面MNQ⊥平面PAD，若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由. 18. 如图所示在多面体中，，平面平面，平面平面，点分别是中点. （1）证明：平面平面； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知等差数列的公差为2，且成等比数列． （1）求数列的前项和； （2）若数列首项，求数列的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $