八年级下学期期末综合质量检测卷(四)-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（湘教版）

书 八年级第二学期 期末综合质量检测卷（四） ◆数理报社试题研究中心 （答题时长１２０分钟，满分１２０分） 一、选择题（本题共１０小题，每小题３分，共３０分） 　　　　　　　 　　　　　　　 　　　　　　　１．在ＡＢＣＤ中，若∠Ａ＝３８°，则∠Ｃ＝ （　　） Ａ．１４２° Ｂ．１３２° Ｃ．３８° Ｄ．５２° ２．在一次调查中，出现Ａ种情况的频率为０．３，其余情况出现的 频数之和为７０，则调查的总数为 （　　） Ａ．１４０ Ｂ．１００ Ｃ．９０ Ｄ．７０ ３．已知点Ａ（３ａ＋１，－４ａ－２）在平面直角坐标系的第二、四象 限角平分线上，则点Ａ的坐标是 （　　） Ａ．（１，－１） Ｂ．（－２，２） Ｃ．（４，－４） Ｄ．（－５，５） ４．下列图象中，表示ｙ是ｘ的函数的是 （　　） ５．如图１，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ∥ＤＣ，点Ｅ在ＢＤ的延长线上，∠ＡＤＥ＝ １５０°，要使得四边形ＡＢＣＤ是菱形，则∠Ａ＝ （　　） Ａ．１２０° Ｂ．１００° Ｃ．８０° Ｄ．６０° ６．如图２，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个 全等的直角三角形围成的，若ＡＣ＝１２，ＢＣ＝７，将四个直角三角形 中边长为１２的直角边分别向外延长一倍，得到如图３所示的“数学 风车”，则这个风车的外围周长是 （　　） Ａ．１４８ Ｂ．１００ Ｃ．１９６ Ｄ．１４４ ７．如图４，在ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，对于下列 条件：①∠２＋∠３＝９０°；②ＢＣ２＋ＣＤ２＝ＡＣ２；③∠１＝∠２；④ＡＣ⊥ ＢＤ，能判定四边形ＡＢＣＤ是矩形的有 （　　） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ８．如图５，在菱形 ＡＢＣＤ中，∠ＢＡＤ＝１２０°，ＣＥ⊥ ＡＤ且 ＣＥ＝ ＢＣ，连接ＢＥ，则∠Ｅ＝ （　　） Ａ．４５° Ｂ．５０° Ｃ．３５° Ｄ．１５° ９．△ＡＢＣ在平面直角坐标系中的位置如图６所示，ＡＣ＝ＢＣ＝ １３，点Ａ，Ｂ的坐标分别为（２，０），（１２，０），将△ＡＢＣ沿ｘ轴向左平移， 当点Ｃ落在直线ｙ＝－ｘ＋８上时，△ＡＢＣ平移的距离为 （　　） Ａ．８ Ｂ．９ Ｃ．１０ Ｄ．１１ １０．如图７，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，点Ｅ是ＡＤ上的一点，ＡＥ ＝６，ＢＥ的垂直平分线交ＢＣ的延长线于点Ｆ，连接ＥＦ交ＣＤ于点Ｇ， 若Ｇ是ＣＤ的中点，则ＢＣ的长是 （　　） Ａ．１２．５ Ｂ．１２ Ｃ．１０ Ｄ．１０．５ 二、填空题（本题共８小题，每小题３分，共２４分） １１．一个七边形的内角和等于 ． １２．如图８，线段 ＣＥ的长为４，延长 ＥＣ到点 Ｂ，以ＣＢ为一边作正方形ＡＢＣＤ，连接ＤＥ，以ＤＥ 为一边作正方形 ＤＥＦＧ，设正方形 ＡＢＣＤ的面积 为Ｓ１，正方形ＤＥＦＧ的面积为Ｓ２，则Ｓ２－Ｓ１的值 为 ． １３．某校在研学旅行活动中，一名老师带领ｘ名学生到北京中国 科学技术馆参观．已知成人票每张３０元，团体学生票每张１５元．设 门票的总费用为ｙ元，则ｙ与ｘ的关系式为 ． １４．在平面直角坐标系中，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象如 图９所示，则关于ｘ的不等式ｋｘ＋３ｂ＞０的解集为 ． １５．如图１０，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，点Ｍ，Ｎ分别是ＢＣ， ＡＤ的中点，连接ＡＭ，ＣＮ．若四边形ＡＭＣＮ为菱形，则ＡＢＣＤ的面积 为 ． １６．图１１－①是一个地铁站入口的双翼闸机．如图１１－②，它的 双翼展开时，双翼边缘的端点Ａ与Ｂ之间的距离为１０ｃｍ，双翼的边 缘ＡＣ＝ＢＤ＝５４ｃｍ，且与闸机侧立面的夹角 ∠ＰＣＡ＝∠ＢＤＱ＝ ３０°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ． １７．已知函数ｙ１＝ｘ＋２，ｙ２＝４ｘ－４，ｙ３＝－ １ ２ｘ＋１，若无论ｘ取 何值，ｙ总取ｙ１，ｙ２，ｙ３中的最大值，则ｙ的最小值是 ． １８．如图１２，线段 ＡＢ的长为１０，点 Ｄ 在ＡＢ上，△ＡＣＤ是边长为３的等边三角 形，过点Ｄ作与ＣＤ垂直的射线ＤＰ，过ＤＰ 上一动点Ｇ（不与Ｄ重合）作矩形ＣＤＧＨ， 记矩形 ＣＤＧＨ的对角线交点为 Ｏ，连接 ＯＢ，则线段ＢＯ的最小值为 ． 三、解答题（本题共８小题，共６６分） １９．（６分）如图１３，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ的顶点都在网 格点上，且每个小方格都是边长为１个单位长度的正方形． （１）请写出△ＡＢＣ各顶点的坐标； （２）求△ＡＢＣ的面积． ２０．（６分）如图１４，∠Ａ＝∠Ｂ＝９０°，Ｅ是ＡＢ上一点，且ＡＤ＝ ＢＥ，∠１＝∠２．求证：Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＢＥＣ． !"# ! " # ! " # ! " # ! " # ! " # $ ! % $ % & ! & & ' ( $ % & ( ' " % % & $ ! ( ! ) ( & ' $ % ! * ! % $ " & # #)*!++ , & - ( ' " % . $ ! , ' , - & ( $ % ! + ! - ! ' " # & / % ( 0 $ ! &. ! && '.! ! " # & $1 ( '.! ! " $ 2 % $ % ! &' # ! " & $ % & % ' ( ) * , + + , * ) ( ' % & /& /% ! /% /& & % ' ( $ & % ! &( ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 " 8 $ 9 & : ( ) * + , - ; / < = 2 3 4 5 6 ! ' % 1 - ( " . & $ ! &% 书 ２１．（８分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，已知某一次函数的图象是 由函数ｙ＝－１３ｘ的图象平移得到的，且该一次函数的图象经过点 （１，－２）． （１）求该一次函数的解析式； （２）若点Ａ（ａ，ｙ１），Ｂ（ａ＋１，ｙ２）在这个一次函数的图象上，直接 写出ｙ１与ｙ２的大小关系． ２２．（８分）如图１５，在ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，延长ＢＣ至 Ｆ点，使ＣＦ＝ＢＥ，连接ＡＦ，ＤＥ，ＤＦ． （１）求证：四边形ＡＥＦＤ是矩形； （２）若ＡＢ＝５，ＤＥ＝１２，ＢＦ＝１３，求ＡＥ的长． ２３．（９分）某校八年级根据学生的学习成绩、学习能力将学生依 次分为Ａ，Ｂ，Ｃ三个层次，第一次月考后，选取了其中一个Ａ层次班级 的数学考试成绩分布情况进行分析处理，制成不完整的频数分布表 和如图１６所示的频数直方图（成绩得分均为整数）． 组别 成绩分组 频数 百分比 １ ３９．５～４９．５ ２ ５％ ２ ４９．５～５９．５ ４ １０％ ３ ５９．５～６９．５ ａ ２０％ ４ ６９．５～７９．５ １０ ２５％ ５ ７９．５～８９．５ ｂ ｃ ６ ８９．５～１００ ６ １５％ 合计 ４０ １００％ 根据表中提供的信息解答下列各题： （１）频数分布表中的 ａ ＝ ，ｂ＝ ，ｃ＝ ； （２）将频数直方图补充完整； （３）小明正好在所选取的班级中，他认为：学校八年级共有２０ 个班（平均每班４０人），根据本班的成绩分布情况可知，在这次考试 中，全年级９０分以上为优秀，则优秀的人数约为 人，６０分及 以上为及格，则及格的人数约为 人，及格的百分比约为 ； （４）小明得到的数据会与实际情况相符吗？为什么？ ２４．（９分）某生态示范园积极响应政府提出的“践行生态有机 理念，推动有机农业发展”经济政策，培育优良品种，种植了多种有 机水果．某超市从该示范园第一次用３００元购进甲种水果，３００元购 进乙种水果．乙种水果的进价是甲种水果进价的１．５倍，超市所进甲 种水果比所进乙种水果多１０千克． （１）求甲、乙两种水果的进价分别是每千克多少元？ （２）第一次购进的水果很快销售完毕，为满足消费者需求，该超 市准备再次购进甲、乙两种水果共１００千克，其中甲种水果的质量不 少于乙种水果质量的３倍．若甲种水果的售价为１３元 ／千克，乙种水 果的售价为２０元 ／千克，超市购进两种水果各多少千克时，第二次 获得最大利润？最大利润是多少？ ２５．（１０分）如图１７，已知直线ｌ１：ｙ＝ｋｘ＋２与ｘ轴相交于点Ａ， 与ｙ轴相交于点Ｂ，且ＡＢ＝槡５，直线ｌ２经过点（２，２）且平行于直线ｙ ＝－２ｘ，直线ｌ２与ｘ轴交于点Ｃ，与ｙ轴交于点Ｄ，与直线ｌ１交于点Ｎ． （１）求ｋ的值； （２）求四边形ＯＣＮＢ的面积； （３）若线段ＣＤ上有一动点Ｐ（不含端点），过Ｐ点作ｘ轴的垂线， 垂足为Ｍ，设点Ｐ的横坐标为ｍ，若ＰＭ≤３，求ｍ的取值范围． ２６．（１０分）如图１８－①，四边形ＡＢＣＤ是正方形，△ＡＢＥ是等边 三角形，Ｍ为对角线ＢＤ上任意一点（不与点Ｂ重合），将ＢＭ绕点Ｂ 逆时针旋转６０°得到ＢＮ，连接ＥＮ，ＡＭ，ＣＭ． （１）连接ＭＮ，△ＢＭＮ是等边三角形吗？为什么？ （２）求证：△ＡＭＢ≌△ＥＮＢ； （３）①当Ｍ点在何处时，ＡＭ＋ＣＭ的值最小？ ②如图１８－②，当Ｍ点在何处时，ＡＭ＋ＢＭ＋ＣＭ的值最小？请 你画出图形，并说明理由． !"# !"#$%& !" '( ! !" ! " #$ %& !"#$% &'"()*!"+,- !# !$ % & ' # ()*" ')*" ")*" &)*" +)*" %)*" ,$$ )*#.% ! ,& $ ! ,% " $ ' % & ( ) * $ % & ) $ % + * ' , & - $ ( % . ! ,+ ! " # $ % & ' ( ) * + , - . / 0 1 2 3 4 5 6 7 " 8 $ 9 & : ( ) * + , - ; / < = 2 3 4 5 6 ! " # $ !" 书 ③张华从家到画社的骑行速度为０．６４ ＝０．１５（ｋｍ／ｍｉｎ），张 华从 画 社 到 文 化 广 场 的 骑 行 速 度 为 １．５－０．６ ６ ＝ ０．１５（ｋｍ／ｍｉｎ）． 当０≤ｘ≤４时，ｙ＝０．１５ｘ；当４＜ｘ≤１９时，ｙ＝０．６；当１９ ＜ｘ≤２５时，ｙ＝０．１５（ｘ－１９）＋０．６＝０．１５ｘ－２．２５， 所以当０≤ｘ≤２５时，ｙ与ｘ的函数解析式如下： ｙ＝ ０．１５ｘ（０≤ｘ≤４）， ０．６（４＜ｘ≤１９）， ０．１５ｘ－２．２５（１９＜ｘ≤２５） { ． （２）张华爸爸的步行速度为１．５２０ ＝０．０７５（ｋｍ／ｍｉｎ）， 根据题意得０．１５ｘ－２．２５＝０．０７５（ｘ－８），解得ｘ＝２２，０．１５ ×２２－２．２５＝１．０５（ｋｍ）． 答：从画社到文化广场的途中，两人相遇时离家的距离为 １．０５ｋｍ． ２６．（１）证明：因为△ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以ＡＣ＝ＤＦ＝ＢＦ， ＢＣ＝ＥＦ＝ＡＦ，在四边形ＡＣＢＦ中，ＡＣ＝ＢＦ，ＢＣ＝ＡＦ，所以四 边形ＡＣＢＦ是平行四边形．又因为∠ＡＣＢ＝９０°，所以平行四边 形ＡＣＢＦ是矩形． （２）证明：在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝６０°，∠Ａ＝３０°．因为 △ＡＢＣ≌△ＤＥＦ，所以ＢＣ＝ＥＦ，∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＦ，所以ＢＣ∥ ＥＦ，所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．又因 为 ∠ＡＣＢ＝９０°，∠Ａ＝３０°，所以 ＢＣ＝ １ ２ＡＢ，因为点Ｅ与ＡＢ的中点重合，所以ＣＥ ＝ １２ＡＢ，所以ＢＣ＝ＣＥ＝ １ ２ＡＢ．在平行四 边形ＢＣＥＦ中，ＢＣ＝ＣＥ，所以平行四边形 ＢＣＥＦ是菱形． （３）解：如图１９所示，构图方法为将 △ＤＥＦ向下平移 ＤＦ的长度，得到四边形 ＡＣＤＢ为平行四边形． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（三） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｃ Ｂ Ｄ Ｄ Ａ Ｃ Ａ Ｄ Ｄ 二、１１．ｘ≥３；　１２．ｘ＝１；　１３．（５，６）；　１４．１４４°；　１５．４； １６．８０°；　１７．ｙ＝－ｘ＋３；　１８．槡３３． 三、１９．解：（１）高中楼． （２）平面直角坐标系如图２０所示． （３）校门在第四象限，图书馆的坐标为（４，１），操场的坐标 为（１，３），故答案为四；（４，１）；（１，３）． ２０．证明：连接ＡＣ，图略．因为ＡＥ＝ＡＦ，ＣＥ＝ＣＦ，ＡＣ＝ＡＣ， 所以△ＡＣＥ≌△ＡＣＦ（ＳＳＳ），所以∠ＣＡＥ＝∠ＣＡＦ．因为∠Ｂ＝ ∠Ｄ＝９０°，所以ＣＢ＝ＣＤ． ２１．（１）证明：因为ＡＢ∥ＣＤ，ＡＢ＝ＣＤ，所以四边形ＡＢＣＤ是 平行四边形．因为∠ＡＢＥ＝９０°，所以四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）解：因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＣＤ＝ＡＢ＝７，ＢＣ＝ ＡＤ＝ＤＥ ＝２５，∠Ｃ ＝９０°，所以 ＣＥ ＝ ＤＥ２－ＣＤ槡 ２ ＝ ２５２－７槡 ２ ＝２４，所以ＢＥ＝ＢＣ－ＣＥ＝２５－２４＝１，所以ＡＥ＝ ＡＢ２＋ＢＥ槡 ２ ＝ ７２＋１槡 ２ ＝ 槡５２．因为点Ｆ是ＡＥ的中点，所以 ＢＦ＝ １２ＡＥ＝ 槡５２ ２． ２２．解：（１）３６°，６０°，５４０°７ ，９０°． （２）存在，ｎ＝１２．由（１），得∠α＝１８０°－２×３６０°ｎ．将∠α ＝１２０°代入，解得ｎ＝１２． ２３．（１）证明：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＣＤ，ＯＡ＝ＯＣ，所以∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ． 在△ＡＯＥ和△ＣＯＦ中， ∠ＥＡＯ＝∠ＦＣＯ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ { ， 所以△ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ（ＡＳＡ），所以ＯＥ＝ＯＦ． （２）解：因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＤ＝１３，所以ＯＢ ＝ＯＤ＝ １２ＢＤ＝ １３ ２．在Ｒｔ△ＢＯＥ中，因为ＯＥ ２＋ＢＥ２＝ＯＢ２， 所以ＯＥ２＋６２＝ １３( )２ ２ ，所以ＯＥ＝ ５２．由（１）可知ＯＥ＝ＯＦ， 所以ＥＦ＝２ＯＥ＝２×５２ ＝５． ２４．解：（１）由题图可知，Ａ岛与Ｂ岛之间的距离为４０ｋｍ，Ｂ 岛与Ｃ岛之间的距离为８０ｋｍ，因为Ａ，Ｂ，Ｃ三个海岛在同一条直 线上，所以Ａ岛与Ｃ岛之间的距离为４０＋８０＝１２０（ｋｍ）．巡航 船的速度为４０÷０．５＝８０（ｋｍ／ｈ），所以ａ＝１２０÷８０＝１．５． （２）当０≤ｘ≤０．５时，ｙ＝４０－８０ｘ， 当０．５＜ｘ≤１．５时，ｙ＝８０（ｘ－０．５）＝８０ｘ－４０， 所以ｙ＝ －８０ｘ＋４０（０≤ｘ≤０．５）， ８０ｘ－４０（０．５＜ｘ≤１．５）{ ． （３）对于ｙ＝－８０ｘ＋４０，令ｙ＝３０，得３０＝－８０ｘ＋４０，解得 ｘ＝ １８．对于ｙ＝８０ｘ－４０，令ｙ＝３０，得３０＝８０ｘ－４０，解得ｘ ＝ ７８．因为 ７ ８ － １ ８ ＝ ３ ４（ｈ），所以该巡航船接收信号的有效 时长为 ３ ４ｈ． ２５．（１）证明：因为ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＥ＝ＯＤ，所以四边形ＡＢＤＥ 是平行四边形，ＡＤ＝ＢＥ，所以四边形ＡＢＤＥ是矩形．因为ＡＢ＝ ＢＤ，所以四边形ＡＢＤＥ是正方形． （２）解：过点Ｏ分别作ＯＦ⊥ＢＣ于点Ｆ，ＯＧ⊥ＡＣ交ＣＡ的 延长线于点Ｇ，图略，则∠ＯＦＣ＝∠ＯＦＢ＝∠ＯＧＣ＝９０°．因为 ∠ＡＣＢ＝９０°，所以四边形ＯＧＣＦ为矩形，所以∠ＦＯＧ＝９０°．因 为四边形ＡＢＤＥ为正方形，所以 ∠ＡＯＢ＝９０°，所以 ∠ＡＯＢ－ ∠ＡＯＦ＝∠ＦＯＧ－∠ＡＯＦ，即 ∠ＢＯＦ＝∠ＡＯＧ．在 △ＡＯＧ和 △ＢＯＦ中， ∠ＯＧＡ＝∠ＯＦＢ， ∠ＡＯＧ＝∠ＢＯＦ， ＯＡ＝ＯＢ { ， 所以△ＡＯＧ≌△ＢＯＦ（ＡＡＳ），所 以ＡＧ＝ＢＦ，ＯＧ＝ＯＦ，所以四边形ＯＧＣＦ是正方形，所以ＣＧ＝ ＣＦ＝ＯＦ．因为ＯＣ＝ 槡６２，根据勾股定理，得ＣＦ２＋ＯＦ２＝ＯＣ２， 即２ＣＦ２ ＝（槡６２）２．解得ＣＦ＝６．所以ＢＦ＝ＡＧ＝ＣＧ－ＡＣ＝ １，所以ＢＣ＝ＣＦ＋ＢＦ＝７． ２６．解：（１）①因为ＣＤ⊥ｘ轴，ＡＥ⊥ＣＤ，所以ＡＥ∥ｘ轴，四 边形ＡＥＣＯ为长方形，所以点Ｂ到ＡＥ的距离等于ＯＡ的长，因为 点Ａ（０，３），点Ｃ（２，０），所以ＡＥ＝ＯＣ＝２，ＯＡ＝ＣＥ＝３，所以 Ｓ△ＡＢＥ ＝ １ ２ＡＥ·ＯＡ＝ １ ２ ×２×３＝３，故答案为３． ②因为点Ｂ的坐标为（３，０），所以 ＯＢ＝３，设点 Ｐ的坐标为（２，ａ），如图 ２１，Ｓ△ＡＢＰ ＝ Ｓ△ＡＰＤ ＋ Ｓ△ＢＰＤ ＝ １ ２ＤＰ（ＡＥ＋ＢＣ） ＝ １ ２ＤＰ·ＯＢ ＝ ３ ２ＤＰ．因为Ｓ△ＡＢＰ ＝Ｓ△ＡＢＥ ＝３，所以 ３ ２ＤＰ＝３，所以ＤＰ＝２．设直线ＡＢ的 解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０），因为点Ａ 的坐标为（０，３），点Ｂ的坐标为（３，０）， 所以 ３ｋ＋ｂ＝０， ｂ＝３{ ， 解得 ｋ＝－１， ｂ＝３{ ，所以直线ＡＢ的解析式为 ｙ＝ －ｘ＋３．当ｘ＝２时，ｙ＝１，所以Ｄ（２，１），所以｜ａ－１｜＝２，解 得ａ＝－１或３，因为点Ｐ不与点Ｅ重合，所以ａ＝－１，所以点Ｐ 的坐标为（２，－１）．故答案为（２，－１）． （２）存在点Ｍ，使Ａ′Ｍ∥Ｅ′Ｂ．理由： 由题意知，Ａ′（ｔ，３），Ｍ（２ｔ，０），Ｅ′（２＋ｔ，３），当 Ａ′Ｍ∥ Ｅ′Ｂ 时，因为Ａ′Ｅ′∥ＭＢ，所以四边形Ａ′ＭＢＥ′是平行四形，所以Ａ′Ｅ′ ＝ＭＢ，所以２＋ｔ－ｔ＝３－２ｔ，解得ｔ＝ １２，所以ｔ的值为 １ ２． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（四） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 答案 Ｃ Ｂ Ｂ Ａ Ａ Ａ Ｂ Ａ Ｄ Ｄ 二、１１．９００°；　１２．１６；　１３．ｙ＝１５ｘ＋３０；　１４．ｘ＜９； １５．１２；　１６．６４ｃｍ；　１７．４３；　１８．５． 三、１９．解：（１）Ａ（－１，－１），Ｂ（４，２），Ｃ（１，３）． （２）△ＡＢＣ的面积为：５×４－１２ ×２×４－ １ ２ ×１×３－ １ ２ ×３×５＝７． ２０．证明：因为∠１＝∠２，所以ＣＥ＝ＥＤ． 在Ｒｔ△ＡＤＥ和Ｒｔ△ＢＥＣ中，因为ＥＤ＝ＣＥ，ＡＤ＝ＢＥ， 所以Ｒｔ△ＡＤＥ≌Ｒｔ△ＢＥＣ（ＨＬ）． ２１．解：（１）因为某一次函数的图象是由函数ｙ＝－１３ｘ的图 象平移得到的，所以设该一次函数的解析式为ｙ＝－１３ｘ＋ｂ（ｂ ≠０），将（１，－２）代人解析式，得 －１３ ×１＋ｂ＝－２，解得ｂ＝ －５３，所以该一次函数的解析式为ｙ＝－ １ ３ｘ－ ５ ３． （２）因为ｙ＝－１３ｘ－ ５ ３中，ｋ＝－ １ ３ ＜０，所以ｙ随ｘ的 增大而减小，因为点Ａ（ａ，ｙ１），Ｂ（ａ＋１，ｙ２）在这个一次函数的图 象上，ａ＜ａ＋１，所以ｙ１ ＞ｙ２． ２２．（１）证明：因为ＣＦ＝ＢＥ，所以ＣＦ＋ＥＣ＝ＢＥ＋ＥＣ，即 ＥＦ＝ＢＣ．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ且ＡＤ ＝ＢＣ，所以ＡＤ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＦＤ是平行四边形．因为ＡＥ ⊥ＢＣ，所以∠ＡＥＦ＝９０°，所以四边形ＡＥＦＤ是矩形． （２）解：因为四边形ＡＥＦＤ是矩形，ＤＥ＝１２，所以ＡＦ＝ＤＥ ＝１２．因为ＡＢ＝５，所以ＡＢ２＋ＡＦ２＝５２＋１２２＝１６９＝１３２＝ ＢＦ２，所以△ＡＢＦ是直角三角形，∠ＢＡＦ＝９０°．因为ＡＥ⊥ＢＦ，所 以△ＡＢＦ的面积 ＝１２ＡＢ·ＡＦ＝ １ ２ＢＦ·ＡＥ，所以ＡＥ＝ ＡＢ·ＡＦ ＢＦ ＝６０１３． ２３．解：（１）８，１０，２５％． （２）补图略． （３）１２０，６８０，８５％． （４）小明得到的数据与实际情况不相符，因为选择Ａ层次班 级的成绩不具有代表性． ２４．解：（１）设甲种水果的进价是ｘ元 ／千克，则乙种水果的 进价为１．５ｘ元 ／千克． 根据题意，得 ３００ ｘ － ３００ １．５ｘ＝１０，解得ｘ＝１０． 经检验，ｘ＝１０是原分式方程的解，且符合题意． 所以１．５ｘ＝１５． 答：甲种水果的进价是 １０元 ／千克，乙种水果的进价为 １５元 ／千克． （２）设第二次购进甲种水果ａ千克，则购进乙种水果（１００－ ａ）千克，利润为ｗ元． 由题意，得ｗ＝（１３－１０）ａ＋（２０－１５）（１００－ａ）＝－２ａ＋ ５００．因为 －２＜０，所以ｗ随ａ的增大而减小． 因为甲种水果的质量不少于乙种水果质量的３倍，所以ａ≥ ３（１００－ａ），解得ａ≥７５． 所以当ａ＝７５时，ｗ取得最大值，此时ｗ＝３５０，１００－ａ＝ ２５． 答：超市购进甲种水果７５千克，乙种水果２５千克时，第二次 获得最大利润，最大利润是３５０元． ２５．解：（１）对于ｙ＝ｋｘ＋２，当ｘ＝０时，ｙ＝２，所以Ｂ（０，２）， ＯＢ＝２．因为ＡＢ＝槡５，所以ＯＡ＝ ＡＢ２－ＯＢ槡 ２ ＝１，所以Ａ（－１， ０）．把（－１，０）代入ｙ＝ｋｘ＋２，得 －ｋ＋２＝０，解得ｋ＝２． （２）由（１）得直线ｌ１的函数表达式为ｙ＝２ｘ＋２．因为直线 ｌ２平行于直线ｙ＝－２ｘ，设直线ｌ２的函数表达式为ｙ＝－２ｘ＋ｂ． 因为直线ｌ２经过点（２，２），所以 －２×２＋ｂ＝２，解得ｂ＝６，所以 直线ｌ２的函数表达式为 ｙ＝－２ｘ＋６．当 ｘ＝０时，ｙ＝６，所以 Ｄ（０，６）．当ｙ＝０时，－２ｘ＋６＝０，解得ｘ＝３，所以Ｃ（３，０）．解 ｙ＝２ｘ＋２， ｙ＝－２ｘ＋６{ ，得 ｘ＝１， ｙ＝４{ ，所以 Ｎ（１，４）．所以 Ｓ四边形ＯＣＮＢ ＝ Ｓ△ＯＣＤ －Ｓ△ＤＢＮ ＝ １ ２ ×３×６－ １ ２ ×４×１＝７． （３）根据题意，得ＰＭ＝－２ｍ＋６．因为ＰＭ≤３，所以 －２ｍ ＋６≤３，解得ｍ≥ ３２．因为点Ｐ在线段ＣＤ上（不含端点），Ｃ（３， ０），所以 ３２≤ｍ＜３． ２６．（１）解：△ＢＭＮ是等边三角形． 理由如下：如图２２．因为ＢＭ绕 点Ｂ逆时针旋转６０°得到ＢＮ，所以 ＢＭ ＝ＢＮ，∠ＭＢＮ ＝６０°，所以 △ＢＭＮ是等边三角形． （２）证明：因为 △ＡＢＥ和 △ＢＭＮ都是等边三角形，所以 ＡＢ ＝ＥＢ，ＢＭ＝ＢＮ，∠ＡＢＥ＝∠ＭＢＮ ＝６０°，所以∠ＭＢＮ－∠ＡＢＮ＝∠ＡＢＥ－∠ＡＢＮ，即∠ＡＢＭ ＝ ∠ＥＢＮ．在△ＡＭＢ和△ＥＮＢ中， ＡＢ＝ＥＢ， ∠ＡＢＭ＝∠ＥＢＮ， ＢＭ＝ＢＮ { ， 所以△ＡＭＢ ≌ △ＥＮＢ（ＳＡＳ）． （３）解：①连接ＡＣ，如图２２，则ＡＭ＋ＭＣ≥ＡＣ，所以当Ａ，Ｍ， Ｃ三点共线时，ＡＭ＋ＣＭ的值最小．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形， 所以点Ｍ为ＢＤ的中点，所以当Ｍ点为ＢＤ中点时，ＡＭ＋ＣＭ的 值最小． ②如图２３．当点Ｍ为ＣＥ与ＢＤ 的交点时，ＡＭ＋ＢＭ＋ＣＭ的值最 小．理由如下： 连接 ＭＮ．因为 △ＡＭＢ≌ △ＥＮＢ，所以 ＡＭ ＝ ＥＮ．因为 △ＢＭＮ是等边三角形，所以ＢＭ ＝ ＭＮ，所以ＡＭ＋ＢＭ＋ＣＭ＝ＥＮ＋ＭＮ＋ＣＭ，当点Ｅ，Ｎ，Ｍ，Ｃ在同 一直线上时，ＥＮ＋ＭＮ＋ＣＭ的值最小，即点Ｍ为ＣＥ与ＢＤ的交 点时，ＡＭ＋ＢＭ＋ＣＭ的值最小． ! 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