第19章 矩形、菱形与正方形&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（华东师大版）

书 考 点 解 密 　　　　　 　　　　　 　　　　　考点１：矩形的性质 例１　 如图 １，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１，ＡＤ＝２，点 Ｅ在边ＡＤ上，点 Ｆ在边 ＢＣ 上，且 ＡＥ＝ＣＦ，连结 ＣＥ， ＤＦ，则ＣＥ＋ＤＦ的最小值为 ． 解：如图１，连结ＢＥ．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＢ＝ＣＤ，∠ＢＡＥ＝∠ＤＣＦ＝９０°．又因为ＡＥ＝ＣＦ，所以 △ＡＢＥ≌△ＣＤＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＥ＝ＤＦ．所以ＣＥ＋ＤＦ ＝ＣＥ＋ＢＥ．作点Ｂ关于ＡＤ的对称点Ｂ′，连结ＣＢ′，则Ｂ′Ｃ 即为ＣＥ＋ＤＦ的最小值．由题意，得∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＢ′＝ ２，ＢＣ＝２．由勾股定理，得Ｂ′Ｃ＝ ＢＢ′２＋ＢＣ槡 ２ ＝槡８． 故填槡８． ●专项练习 １．如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ， 过点Ｏ作ＥＦ⊥ＡＣ交ＡＤ于点Ｅ，交ＢＣ于点Ｆ．已知ＡＢ ＝４，△ＡＯＥ的面积为５，则ＤＥ的长为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．５ 槡Ｃ．６ Ｄ．３ ２．如图３，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，ＡＢ＝ＢＯ，ＡＥ平分∠ＢＡＤ交ＢＣ于点Ｅ，点Ｅ，Ｆ关于ＡＣ 对称，连结ＥＦ，则∠ＡＥＦ的度数为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　考点２：矩形的判定 例 ２　 如图 ４，点 Ｍ 在 ＡＢＣＤ的边 ＡＤ上，ＢＭ ＝ＣＭ， 请从以下三个选项：①∠１ ＝ ∠２；②ＡＭ ＝ＤＭ；③∠３＝∠４ 中，选择一个合适的选项作为已 知条件，使ＡＢＣＤ是矩形． （１）你添加的条件是 （填序号）； （２）添加条件后，请证明ＡＢＣＤ是矩形． 解：（１）①（或②）； （２）因为四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，所以 ＡＢ∥ ＤＣ，ＡＢ＝ＤＣ．所以∠Ａ＋∠Ｄ＝１８０°． 选择①．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，∠１＝∠２， ＢＭ ＝ＣＭ， 所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． 所以ＡＢＣＤ是矩形． 选择②．证明如下： 在△ＡＢＭ和△ＤＣＭ中，因为ＡＢ＝ＤＣ，ＡＭ＝ＤＭ， ＢＭ ＝ＣＭ， 所以△ＡＢＭ≌△ＤＣＭ（Ｓ．Ｓ．Ｓ．）． 所以∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． 所以ＡＢＣＤ是矩形． ●专项练习 ３．如图５，平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交 于点 Ｏ，且 ＯＡ ＝ＯＢ，∠ＯＡＤ ＝６５°，则 ∠ＯＤＣ ＝ ． ４．如图６，已知ＡＢ∥ＤＥ，ＡＢ＝ＤＥ，ＡＣ＝ＦＤ，∠ＣＥＦ ＝９０°． （１）求证：△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ； （２）求证：四边形ＢＣＥＦ是矩形． 考点３：菱形的性质 例３　 如图７，菱形 ＡＢＣＤ 中，连结ＡＣ，ＢＤ．若 ∠１＝２０°， 则∠２的度数为 （　　） Ａ．２０° Ｂ．６０° Ｃ．７０° Ｄ．８０° 解：因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＡＣ⊥ ＢＤ．所以∠ＤＣＡ＝∠１＝２０°．所以∠２＝９０°－∠ＤＣＡ ＝７０°． 故选Ｃ． ●专项练习 ５．将两个完全相同的菱形按如图 ８方式放置，若 ∠ＢＡＤ＝α，∠ＣＢＥ＝β，则β＝ （　　） Ａ．４５°＋１２α Ｂ．４５°＋ ３ ２α Ｃ．９０°－１２α Ｄ．９０°－ ３ ２α ６．如图９，已知菱形ＡＢＣＤ的面积等于２４，对角线ＢＤ 的长为８． （１）ＡＣ＝ ； （２）点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是边 ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＡＤ上的点， 且ＢＥ＝ＢＦ＝ＣＧ＝ＡＨ，则ＥＦ＋ＧＨ＝ ． 考点４：菱形的判定 例４　如图１０，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ ＡＣ，ＡＤ是边ＢＣ上的中线，点Ｅ在ＤＡ的 延长线上，连结ＢＥ，过点Ｃ作ＣＦ∥ＢＥ交 ＡＤ的延长线于点Ｆ，连结ＢＦ，ＣＥ．求证： 四边形ＢＥＣＦ是菱形． 证明：因为ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ是ＢＣ边上 的中线，所以ＡＤ垂直平分ＢＣ．所以ＥＢ ＝ＥＣ，ＦＢ＝ＦＣ．因为ＣＦ∥ＢＥ，所以∠ＢＥＤ＝∠ＣＦＤ， ∠ＥＢＤ ＝∠ＦＣＤ．因为 ＢＤ ＝ＣＤ，所以 △ＥＢＤ≌ △ＦＣＤ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＥ＝ＣＦ．所以ＥＢ＝ＦＢ＝ＦＣ＝ ＥＣ．所以四边形ＢＥＣＦ是菱形． ●专项练习 ７．如图１１，在四边形ＡＢＣＤ 中，ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ于点Ｏ， 点 Ｅ是 ＤＢ延长线上一点，ＯＥ ＝ＯＤ，ＢＦ⊥ＡＥ于点Ｆ． （１）求证：四边形ＡＥＣＤ是 菱形； （２）若ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＯＢ＝３，ＢＥ＝５，求ＥＦ和ＡＤ 的长． （下转第２３版                                                                                               ） 书 知 识 回 顾 １．矩形的性质 （１）定义：有一个角是 的平行四边形叫做 矩形． （２）性质：①具有平行四边形的所有性质； ②矩形的四个角都是 ； ③矩形的对角线 ． ２．矩形的判定 （１）定义； （２）有三个角是 的四边形是矩形； （３）对角线相等的 是矩形． ３．菱形的性质 （１）定义：有一组邻边 的平行四边形叫做 菱形． （２）性质：①具有平行四边形的所有性质； ②菱形的四条边都 ； ③菱形的对角线互相 ，并且每一条对角线 一组对角； ④菱形的面积等于 （适用于所有 对角线互相垂直的四边形）． ４．菱形的判定 （１）定义； （２）四条边 的四边形是菱形． （３）对角线互相 的平行四边形是菱形； ５．正方形的性质 （１）定义：有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形． （２）性质：正方形既是矩形又是菱形，因此，正方形 既有 的性质又有 的性质． ６．正方形的判定 （１）定义； （２）先判定四边形为矩形，再判定它也是菱形； （３）先判定四边形为菱形，再判定它也是矩形． !" ! " # $ !# ! !" #$% !"# $%!&# '# (# ) * # &'()*+,-. ! " ! " # $ ! # " $ % & ' ! # ! ! " & $ ' % ! # ! $ " ! % $ ! " $ (# ! % # ! " % $ ! & ! ' ! " $ ' & # ) * " ' & $ ! ! " # ! ( ! ) " * $ ) # ' & ! " $ & # ' ! ! "* ! "" " $ % ! ' & # ! " $ " & ' # ! !! 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　 　　　　　 　　　　　１．如图１，正方形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，则∠ＣＢＯ＝（　　） Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° ２．矩形具有而菱形不一定具有的 性质是 （　　） Ａ．对角相等 Ｂ．对角线相等 Ｃ．对边相等 Ｄ．对角线互相平分 ３．若菱形的周长为１６，高为２，则该菱形的面积为 （　　） Ａ．２ Ｂ．４ Ｃ．８ Ｄ．１６ ４．矩形的两条对角线的夹角为６０°，对角线长为１５， 则矩形的较短边长为 （　　） Ａ．１２ Ｂ．１０ Ｃ．７．５ Ｄ．５ ５．如图２，点Ｅ，Ｆ分别是菱形ＡＢＣＤ的边ＡＤ，ＣＤ的 中点，ＥＧ⊥ＢＣ交ＣＢ的延长线于点Ｇ．若∠ＧＥＦ＝６６°， 则∠Ａ的度数是 （　　） Ａ．２４° Ｂ．３３° Ｃ．４８° Ｄ．６６° ６．如图３，将三角尺ＡＢＣ沿边ＢＣ所在直线平移后得 到△ＤＣＥ，连结ＡＤ，ＡＥ，下列结论错误的是 （　　） Ａ．△ＡＢＥ是等腰三角形 Ｂ．四边形ＡＢＣＤ是平行四边形 Ｃ．四边形ＡＣＥＤ是矩形 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ是菱形 ７．如图４，菱形ＡＢＣＤ的边长为３，过点Ａ，Ｃ作对角线 ＡＣ的垂线，分别交ＣＢ和ＡＤ的延长线于点Ｅ，Ｆ，ＡＥ＝４， 则四边形ＡＥＣＦ的周长为 （　　） Ａ．２２ Ｂ．２０ Ｃ．１８ Ｄ．１６ ８．如图５，在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，点Ｅ是ＢＡ延 长线上一点，２ＣＦ＝ＢＦ，ＡＥ＝ＣＦ，则线段ＤＧ的长是 （　　） 槡 槡Ａ． ８０ Ｂ． ２０ 槡Ｃ． １０ Ｄ．５ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图６，Ｅ是菱形ＡＢＣＤ的对角线ＢＤ上一点，过点 Ｅ作ＥＦ⊥ＢＣ于点Ｆ．若ＥＦ＝４，则点Ｅ到边ＡＢ的距离 是 ． １０．如图７，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点 Ｏ，过点Ｏ的直线分别交ＣＤ，ＡＢ于点Ｅ，Ｆ．已知ＡＢ＝６， ＢＣ＝４，则图中阴影部分的面积是 ． １１．已知正方形ＡＢＣＤ的边长是３，Ｅ是边ＡＢ上的三 等分点，连结ＤＥ，则ＤＥ的长是 ． １２．如图８，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ，Ｅ， Ｆ是对角线ＡＣ上的两个动点，分别从Ａ，Ｃ同时出发，相 向而行，速度均为２ｃｍ／ｓ，运动时间为ｔ（０≤ｔ≤５）ｓ．若 Ｇ，Ｈ分别是ＡＢ，ＤＣ的中点，且ｔ≠２．５，当Ｅ，Ｇ，Ｆ，Ｈ为顶 点的四边形为矩形时，ｔ的值为 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图９，Ｅ是正方形ＡＢＣＤ的边ＢＣ延长线 上一点，且ＣＥ＝ＢＤ，求∠Ｅ的度数． １４．（８分）如图１０，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＤ 平分∠ＣＡＢ，ＤＥ⊥ＡＢ，垂足为点Ｅ，ＥＦ∥ＢＣ交ＡＤ于点 Ｆ，连结ＣＦ．求证：四边形ＣＤＥＦ是菱形． １５．（１０分）如图１１，四边形ＡＢＣＤ是矩形，点Ｆ是ＤＡ 延长线上一点，连结ＣＦ，交ＡＢ于点Ｅ，点Ｇ是ＣＦ上一点， 并且∠ＡＣＧ＝∠ＡＧＣ，∠ＧＡＦ＝∠Ｆ，则∠ＥＣＢ与∠ＡＣＢ 有什么数量关系？为什么？ １６．（１２分）如图１２，在矩形ＡＦＣＧ中，ＢＤ垂直平分 对角线ＡＣ，交ＣＧ于点Ｄ，交ＡＦ于点Ｂ，交ＡＣ于点Ｏ，连 结ＡＤ，ＢＣ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形； （２）若Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，求∠ＢＤＣ的度数． １７．（１４分）如图１３，在平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｏ是对 角线ＡＣ，ＢＤ的交点，延长边ＣＤ到点Ｆ，使ＤＦ＝ＤＣ，过点 Ｆ作ＥＦ∥ＡＣ交ＯＤ的延长线于点Ｅ，连结ＯＦ，ＥＣ． （１）求证：△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ； （２）若 ＯＤ＝ＤＣ且 ∠ＢＥＣ＝４５°，请判断四边形 ＯＣＥＦ的形状，并证明你的结论                                                                                                                                                                     ． !" ! " # $ !" # $ % ! ! ! " & ! " $ % ! # ! ' " ( $ % & ! $ ' & " % ! $ ! % ! ) $ ' & ( " % & !" $ % ! & ' ( " ! & % $ ! !! ' " & % # ! $ ( ! !' ! & $ ' # % " ! !" ( " ! ' $ & % ! ( ! & ' $ % " ! ) "$ ! & ' % ! !* & " % ! $ ! + ' # !" , #$%"& '()*+, -#.-% -. !" ! " # $ !# 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　 　　　　　 　　　　　１．对角线相等且互相平分的四边形一定是 （　　） Ａ．梯形 Ｂ．矩形 Ｃ．菱形 Ｄ．平行四边形 ２．已知正方形ＡＢＣＤ对角线的长为４，则这个正方形 的面积为 （　　） Ａ．８ Ｂ．４ Ｃ．１６ Ｄ．６ ３．在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，则ＯＡ ∶ＯＢ∶ＢＣ的值可以是 （　　） Ａ．１∶１∶２ Ｂ．１∶２∶３ Ｃ．２∶３∶４ Ｄ．３∶４∶５ ４．在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ交于点 Ｏ，设 ∠ＤＢＣ＝θ，∠ＢＯＣ＝β，若β关于θ的函数关系式是β＝ １８０°－２θ（０°＜θ＜９０°），则下列说法正确的是（　　） Ａ．ＢＯ＝ＢＣ Ｂ．ＯＣ＝ＢＣ Ｃ．四边形ＡＢＣＤ是菱形 Ｄ．四边形ＡＢＣＤ是矩形 ５．如图１，矩形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与数轴重合（点Ｃ 在正半轴上），ＡＢ＝５，ＢＣ＝１２，点Ａ表示的数是 －１，则 对角线ＡＣ，ＢＤ的交点表示的数是 （　　） Ａ．５．５ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．６．５ ６．如图２，小浔受赵爽弦图的启发，制作了该图形： 将边长为１的正方形ＡＢＣＤ的四边ＡＤ，ＤＣ，ＣＢ，ＢＡ分别 延长至点Ｈ，Ｇ，Ｆ，Ｅ，使得ＡＥ＝ＣＧ，ＢＦ＝ＤＨ．若∠ＢＦＥ ＝４５°，ＡＨ＝３ＡＥ，则四边形ＥＦＧＨ的面积为 （　　） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．７ Ｄ．８ ７．如图３，四边形ＥＦＧＨ是由矩形ＡＢＣＤ的外角平分 线围成的，则四边形ＥＦＧＨ的形状是 （　　） Ａ．矩形 Ｂ．菱形 Ｃ．平行四边形 Ｄ．正方形 ８．如图４，在ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别为边ＡＢ，ＣＤ的中 点，ＢＤ是对角线，ＡＧ∥ＤＢ，交ＣＢ的延长线于点Ｇ，连结 ＧＦ，若 ＡＤ⊥ ＢＤ，有下列结论：①ＤＥ∥ ＢＦ；② 四边形 ＡＤＢＧ是矩形；③Ｓ△ＢＦＧ ＝ １ ４ＳＡＢＣＤ；④ＦＧ⊥ ＡＢ，其中正 确的是 （　　） Ａ．①②③④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．①③④ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图５，正方形ＡＢＣＤ的边长为１，点Ｅ在ＢＣ的延 长线上．若ＢＥ＝ＢＤ，则ＣＥ＝ ． １０．如图６，四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ，且互相垂直，添加一个条件能判定四边形 ＡＢＣＤ为菱 形．你添加的条件是 ． １１．如图７，在矩形ＡＢＣＤ中，在边ＣＤ上取一点Ｅ，使 ＡＥ＝ＣＤ．若∠ＡＥＤ＝３２°，则∠ＥＢＣ的度数为 ． １２．如图８，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＢ＝８，ＢＣ＝ ４，点Ｐ为斜边ＡＢ上的一个动点（不与点Ａ，Ｂ重合），过点 Ｐ作ＰＤ⊥ＡＣ，ＰＥ⊥ＢＣ，垂足分别为点Ｄ，Ｅ，连结ＤＥ，ＰＣ 交于点Ｑ，连结ＡＱ，当 △ＡＰＱ为直角三角形时，ＡＰ的长 是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图９，四边形ＡＢＣＤ是菱形，Ｅ是ＡＢ的中 点，ＡＣ的垂线ＥＦ交ＡＤ于点Ｍ，交ＣＤ的延长线于点Ｆ． 求证：ＡＭ ＝ＡＥ． １４．（８分）如图１０，在ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在边 ＢＣ，ＡＤ上，ＢＥ＝ＤＦ，ＡＣ＝ＥＦ．求证：四边形ＡＥＣＦ是矩 形． １５．（１０分）如图１１，一张矩形纸片ＡＢＣＤ，将点Ｂ翻 折到对角线ＡＣ上的点Ｍ处，折痕ＣＥ交ＡＢ于点Ｅ，将点 Ｄ翻折到对角线ＡＣ上的点Ｈ处，折痕ＡＦ交ＤＣ于点Ｆ， 折叠出四边形ＡＥＣＦ． （１）求证：ＡＦ∥ＣＥ； （２）当∠ＢＡＣ＝ °时，四边形 ＡＥＣＦ是菱 形？请说明理由． １６．（１２分）如图１２，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＣ与 ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＤＢ的平分线ＤＥ交ＡＢ于点Ｅ，∠ＡＯＢ ＝４∠ＥＤＢ． （１）求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形； （２）若ＯＢ＝５，ＣＤ＝８，求线段ＢＥ的长． １７．（１４分）如图１３，四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都 是正方形，点Ｅ在射线ＣＤ上，ＡＣ交ＢＥ于点Ｏ，ＧＨ⊥ＡＢ 交ＡＢ的延长线于点Ｈ． （１）过点Ｄ作ＤＭ∥ＢＥ，交ＡＣ于点Ｍ，求证：ＯＢ＝ ＭＤ； （２）求证：                                                                                                                                                                     ＡＢ＝ＢＨ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. ! " # $ ! " & % ! " & ' $ # ( ! ' ! ( )" & ! * ( + # ' $ % , ! " % ( & $ # ! ) (! " $ # ! # ! * ! $ - # " " ! ( $ # ! + ! % " * ( , ! $ # ! $ & + " ( # ! , ! ( " $ &# ! "& " ! ( ' + & $ # ! "" " ! - ( # $ ! "' '" % ! - # $ ( & ! "( + 书 （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，ＡＦ平分 ∠ＢＡＤ，ＣＥ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝∠ＦＣＥ＝∠ＤＣＥ．因为∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＢ，所 以∠ＦＣＥ＝∠ＡＦＢ．所以ＡＦ∥ＣＥ．所以四边形ＡＦＣＥ是平行四 边形．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＤ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＤＥ＝ＢＦ．所 以四边形 ＢＦＤＥ是平行四边形．所以 ＢＥ∥ ＤＦ．所以四边形 ＥＧＦＨ是平行四边形．所以ＥＦ和ＧＨ互相平分． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ｏ是对角线ＢＤ 的中点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＯＢＥ＝∠ＯＤＦ，∠ＯＥＢ ＝∠ＯＦＤ．所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＥ＝ＤＦ．所 以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．所以∠ＤＥＮ＋∠ＥＤＮ ＝９０°，∠ＢＤＮ＝９０°－∠ＣＢＤ＝４５°＝∠ＣＢＤ．由（１），得ＢＦ∥ ＤＥ．因为ＣＰ⊥ＢＦ，所以ＣＧ⊥ＤＥ．所以∠ＣＥＧ＋∠ＥＣＧ＝９０°． 所以∠ＥＤＮ＝∠ＥＣＧ．因为ＤＥ＝ＤＣ，ＤＮ⊥ＥＣ，所以∠ＥＤＮ＝ ∠ＣＤＮ．所以∠ＥＣＧ＝∠ＣＤＮ．因为∠ＣＤＢ＝∠ＢＤＮ＋∠ＣＤＮ ＝４５°＋∠ＣＤＮ，∠ＤＨＣ＝∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＨ＝４５°＋∠ＥＣＧ，所 以∠ＣＤＢ＝∠ＤＨＣ．所以ＣＤ＝ＣＨ． 《矩形、菱形与正方形》专项练习 １．Ｄ；　２．７５°；　３．２５°． ４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所以 ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即ＡＦ＝ＤＣ．在△ＡＢＦ和△ＤＥＣ中，因为 ＡＦ ＝ ＤＣ，∠Ａ ＝ ∠Ｄ，ＡＢ ＝ ＤＥ， 所 以 △ＡＢＦ ≌ △ＤＥＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． ５．Ｄ；　６．（１）６，（２）６． ７．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＡＦ ＝ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ ＢＥ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即 （ＡＥ－４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形， 所以ＡＤ＝ＡＥ＝１０． ８．Ｂ． ９．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连结ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． １０．Ｂ． １１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１），得ＯＥ＝ＯＢ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＯＣ＝ＯＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为ＡＢ∥ＣＤ，ＣＦ ⊥ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ， ＣＦ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《矩形、菱形与正方形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．４；　１０．１２；　１１．槡１０或槡１３；　１２．０．５或４．５． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＣ＝ＢＤ，∠ＡＣＢ ＝４５°．因为ＣＥ＝ＢＤ，所以 ＡＣ＝ＣＥ．所以 ∠Ｅ＝∠ＣＡＥ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝２２．５°． １４．因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＢ，ＡＤ平分∠ＣＡＢ，所以ＤＣ＝ ＤＥ，∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ．所以 ９０°－∠ＣＡＤ ＝９０°－∠ＥＡＤ，即 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＥＦＤ．所以 ∠ＥＦＤ＝∠ＥＤＦ．所以ＥＦ＝ＤＥ＝ＤＣ．又因为ＥＦ∥ＤＣ，所以四 边形ＣＤＥＦ是菱形． １５．∠ＡＣＢ＝３∠ＥＣＢ．理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｆ＝ ∠ＥＣＢ．因为∠ＧＡＦ＝∠Ｆ，所以∠ＡＧＣ＝∠Ｆ＋∠ＧＡＦ＝２∠Ｆ． 因为 ∠ＡＣＧ ＝∠ＡＧＣ，所以 ∠ＡＣＧ ＝２∠Ｆ．所以 ∠ＡＣＦ ＝ ２∠ＥＣＢ．所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＦ＋∠ＥＣＢ＝３∠ＥＣＢ． １６．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ＢＣ．因为四边形 ＡＦＣＧ是矩形，所以 ＣＧ∥ ＡＦ．所以 ∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＣＤ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ是等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １７．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中，因为∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ，ＤＣ＝ＤＦ，∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ，所 以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． 《矩形、菱形与正方形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ 二、９．槡２－１；　１０．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分； １１．１６°；　１２．６或槡４８． 三、１３．连结ＢＤ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＣ⊥ ＤＢ，ＡＤ＝ＡＢ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为ＥＭ⊥ＡＣ，所以ＭＥ∥ ＢＤ．所以∠ＡＭＥ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝∠ＡＥＭ．所以ＡＭ＝ＡＥ． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．因为 ＡＦ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°， 所以∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ ＝ＣＥ．所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １６．（１）因为ＤＥ平分∠ＡＤＢ，所以∠ＡＤＢ＝２∠ＥＤＢ．因为 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＡＯ＋∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＯ＋２∠ＥＤＢ＝４∠ＥＤＢ．所以 ∠ＤＡＯ＝２∠ＥＤＢ＝∠ＡＤＢ．所以ＡＯ＝ＤＯ．因为四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，所以ＡＣ＝２ＡＯ，ＢＤ＝２ＤＯ．所以ＡＣ＝ＢＤ．所以 四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，图略．所以∠ＤＦＥ＝∠ＢＦＥ ＝９０°．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＢＤ＝２ＯＢ＝１０，ＡＢ＝ＣＤ ＝８，∠ＤＡＢ＝９０°．所以ＡＤ＝ ＢＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝６．因为ＤＥ平分 ∠ＡＤＢ，所以ＥＦ＝ＡＥ．在Ｒｔ△ＤＡＥ和 Ｒｔ△ＤＦＥ中，因为 ＤＥ＝ ＤＥ，ＡＥ＝ＦＥ，所以Ｒｔ△ＤＡＥ≌Ｒｔ△ＤＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＦ＝ＡＤ ＝６．所以ＢＦ＝ＢＤ－ＤＦ＝４．在 Ｒｔ△ＢＥＦ中，由勾股定理，得 ＥＦ２＋ＢＦ２ ＝ＢＥ２，即（８－ＢＥ）２＋４２ ＝ＢＥ２．解得ＢＥ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ＝４５°．所以∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为ＤＭ∥ ＢＥ，所以∠ＣＤＭ＝∠ＣＥＯ．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和 △ＣＤＭ中，因为∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ， 所以△ＡＢＯ≌△ＣＤＭ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＢ＝ＭＤ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１），得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《数据的整理与初步处理》专项练习 １．８；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．Ｄ；　５．７；　６．１２．２； ７．Ａ；　８．Ｃ；　９．－２或０；　１０．Ｄ；　１１．Ｃ． １２．（１）表格从左到右、从上到下依次填入７０，１９９．３６，８０，８０． （２）１２００×６＋１４＋５０×２０％ ＋５０×１０％１００ ＝４２０（名）． 答：七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学生约有 ４２０名． （３）八年级学生知识竞赛的成绩更好．理由如下： 因为八年级学生知识竞赛成绩的中位数、众数均大于七年 级学生知识竞赛成绩的中位数、众数，所以八年级学生知识竞赛 的成绩更好（答案不惟一，合理即可）． 《数据的整理与初步处理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．２２．５；　１０．１３；　１１．８；　１２．２８． 三、１３．（１）小明家每天的平均用电量是：（１４６－１０４）÷７＝ ６（度）． （２）０．５６×６×３０＝１００．８（元）． 答：小明家４月份的电费约为１００．８元． １４．（１）根据题意，得ｘ＋ｙ＝２０－１－５－２＝１２，（６０＋７０ ×５＋８０ｘ＋９０ｙ＋１００×２）÷２０＝８２．解得ｘ＝５，ｙ＝７． （２）众数ａ＝９０分，中位数ｂ＝（８０＋８０）÷２＝８０（分）． １５．乙的光合作用速率更稳定．理由如下： 甲的方差为： １ ５ ×［（３５－２５） ２＋（３０－２５）２＋（２３－２５）２ ＋（１７－２５）２＋（２０－２５）２］＝４３．６； 乙的方差为： １ ５ ×［（２７－２５） ２＋（２５－２５）２＋（２６－２５）２ ＋（２４－２５）２＋（２３－２５）２］＝２． 因为４３．６＞２，所以两个大豆品种中乙的光合作用速率更 稳定． １６．（１）甲的得票分是：４０×２５％ ×２＝２０（分）； 乙的得票分是：４０×４０％ ×２＝３２（分）； 丙的得票分是：４０×３５％ ×２＝２８（分）． （２）甲的得分是：（７５＋９０＋２０）÷３＝１８５３（分）； 乙的得分是：（８０＋８０＋３２）÷３＝６４（分）； 丙的得分是：（８４＋８０＋２８）÷３＝６４（分）． 因为６４＝６４＞１８５３，所以无法确定人选． （３）甲的个人成绩是：７５×４０％ ＋９０×３５％ ＋２０×２５％ ＝ ６６．５（分）； 乙的个人成绩是：８０×４０％ ＋８０×３５％ ＋３２×２５％ ＝ ６８（分）； 丙的个人成绩是：８４×４０％ ＋８０×３５％ ＋２８×２５％ ＝ ６８．６（分）． 因为６８．６＞６８＞６６．５，所以丙将被选中． １７．（１）２０，３． （２）该班男生对篮球节目的“关注指数”是：１３２０×１００％ ＝ ６５％．因为该班级女生对篮球赛的“关注指数”比男生低５％，所 以女生对篮球赛的“关注指数”是６０％． 设该班级的女生有 ｘ人．根据题意，得 ｘ－（１＋３＋６）＝ ６０％ｘ．解得ｘ＝２５． 答：该班级的女生有２５人． （３）该班级男生收看篮球赛次数的平均数是：（１×２＋２×５ ＋３×６＋４×５＋５×２）÷２０＝３， 方差是： １ ２０×［２×（１－３） ２＋５×（２－３）２＋６×（３－３）２ ＋５×（４－３）２＋２×（５－３）２］＝１．３． 因为２＞１．３，所以该班女生收看篮球赛次数的波动幅度比 男生的大． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、１３．ｘ＝１；　１４．－１；　１５．ｙ＝ １２ｘ；　１６．３或７． 三、１７．（１）ｘ＝７；　（２）无解． １８．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＤ．因为ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＤ．所以∠ＯＣＤ＝∠ＯＡＤ．所以ＣＤ＝ ＡＤ．因为ＡＢ＝ＡＤ，所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）６０． １９．（１）５２，５２．５． （２）２＋５＋８＋６＋４＋５＝３０（辆），６００×２＋５＋８＋６３０ ＝ ４２０（辆）． 答：６００辆来往车辆在该路口车速在５０～５３ｋｍ／ｈ之间的车 辆数约为４２０． ２０．（１）对于ｙ＝－６ｘ，当ｘ＝－２时，ｙ＝３；当ｙ＝－２时， ｘ＝３．所以Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２）．将Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 －２ｋ＋ｂ＝３， ３ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝１{ ．所以一次函数                                                                                                                                                                                         ｙ＝ !" ! 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