第19章 矩形、菱形与正方形2-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（华东师大版）

17 第19章　矩形、菱形与正方形2 (满分:100分 时间:90分钟) 一、 选择题(每题3分,共21分) 1. (德州中考)下列条件中,能判定▱ABCD 为 菱形的是 ( ) A. AB=CD B. AB=BC C. ∠BAD=90° D. AC=BD 2. 如图,在矩形 ABCD 中,AC、BD 相交于 点O.若△AOB 的面积为2,则矩形ABCD 的面积为 ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 第2题 第3题 3. 如图,四边形ABCD 为正方形,在BA 的延 长线上取一点E,使BE=BD,连结DE,则 ∠EDA 的度数为 ( ) A. 10° B. 15° C. 30° D. 22.5° 4. 如图,延长矩形ABCD 的边BC 至点E,使 CE=CA,连结AE.若∠BAC=52°,则∠E 的度数是 ( ) A. 18° B. 19° C. 20° D. 40° 第4题 第5题 5. 如图,菱形OABC的边OA 在x轴上,点B的 坐标为(6,2),分别以点B、C为圆心,大于12BC 的长为半径画弧,两弧交于点D、E,作直线 DE,交x轴于点F,则点F 的坐标为( ) A. 13 3 ,0 B. 103,0 C. 8 3 ,0 D. (6.5,0) 6. 两张矩形纸片ABCD 和AECF 按如图所示 的方式交叉叠放在一起,AB=AF,AE= BC.若AB=1,BC=3,则图中重叠(涂色) 部分的面积为 ( ) A. 2 B. 3 C. 5 3 D. 4 3 第6题 第7题 答案讲解 7. 如图,P 是正方形ABCD 的对角线 BD 上一点(不与点B、D 重合), PE⊥BC 于 点E,PF⊥CD 于 点F,连结EF.有下列结论:① AP=EF; ② AP⊥EF;③ △APD 一定是等腰三角 形;④ ∠PFE=∠BAP.其中,正确结论的 个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、 填空题(每题4分,共20分) 8. 如图,在矩形ABCD 中,对角线AC、BD 相 交于点O,∠ACB=30°,则∠AOB 的度数为 . 第8题 第9题 9. 如图,菱形ABCD 的两条对角线AC、BD 相 交于点O.若菱形的边长为 5,AO=2,则菱 形ABCD 的面积为 . 第10题 10. 如图,在正方形ABCD 中,P 为 对角线AC 上一点,∠ABP= 15°,那 么 ∠DPC 的 度 数 为 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 拍 照 批 改 18 11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=12. P 是AD 边上不与点A 和点D 重合的一个 动点,过点P 分别作AC 和BD 的垂线,垂 足分别为E、F,则PE+PF= . 第11题 第12题 答案讲解 12. ★如图,在矩形ABCD 中,AB= 4cm,AD=12cm,点P 从点A 出 发,向点D 以1cm/s的速度匀速 运动,点Q 以4cm/s的速度从点C 出发, 在B、C 两点之间往返匀速运动,两点同时 出发,点P 到达点D 时停止运动(同时 点Q 也停止运动).设运动时间为ts,这段 时间内,当t的值为 时,以P、Q、 C、D 为顶点的四边形是矩形. 三、 解答题(共59分) 13. (10分)如图,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 边上任意一点,连结AE,作BF⊥ AE,DG⊥AE,垂足分别为F、G.求证: AF=DG. 第13题 14. (10分)(邵阳中考)如图,在菱形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于点O,点E、F 在 对角线BD 上,且BE=DF,OE=OA.求 证:四边形AECF 是正方形. 第14题 15. (12分)(舟山中考)小惠自编一题:如图,在 四边形ABCD 中,对角线AC、BD 相交于 点O,AC⊥BD,OB=OD.求证:四边形 ABCD 是菱形.她将自己的证明过程与同 学小洁交流,如下表: 小 惠 小 洁 证明:∵ AC⊥BD,OB=OD, ∴ AC 垂直平分BD. ∴ AB=AD,CB=CD. ∴ 四边形ABCD 是菱形. 这个题目还缺 少条件,需要 补充一个条件 才能证明. 若赞同小惠的证法,请在小惠的证法处画 “􀳫”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条 件,并证明. 第15题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(华师版)八年级 19 16. (12分)(十堰中考)如图,在▱ABCD 中, AC、BD 相交于点O,E、F 分别是OA、OC 的中点.连结BE、ED、DF、FB. (1) 求证:BE=DF. (2) 设AC BD =k ,当k 为何值时,四边形 DEBF 是矩形? 请说明理由. 第16题 答案讲解 17. (15分)如图①,在Rt△CEF 中, ∠C=90°,△CEF 的两条外角平 分线交于点A,过点A 分别作直 线CE、CF 的垂线,垂足为B、D. (1) ∠EAF= °. (2) ① 求证:四边形ABCD 是正方形; ② 若BE=EC=3,求DF 的长. (3) 如图②,在△PQR 中,∠QPR=45°, PH⊥QR,PH=5,QH=2,则HR 的长度 是 . 第17题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1复习进阶 5 △ABE 和△CDF 中, ∠B=∠D, AB=CD, ∠BAE=∠DCF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABE≌ △CDF.(2) 当△ABC 满足AB=AC 时,四边形AECF 是矩形.理由:由(1),易知∠CAE=∠ACF,∴ AE∥ CF.∵ △ABE≌△CDF,∴ AE=CF.∴ 四边形AECF 是平行四边形.又∵ AB=AC,AE 平分∠BAC,∴ AE⊥ BC.∴ ∠AEC=90°.∴ 四边形AECF 是矩形. 16. (1) ①或③.(2) 选择①,∵ 四边形ABCD 是平行四边 形,∴ ∠A=∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠1=∠2, ∠A=∠C, AE=CF, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌△CDF.∴ AD=CD.∴ 四边形ABCD 为菱 形;选择③,∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ ∠A= ∠C.在△ADE 和△CDF 中, ∠3=∠4, AE=CF, ∠A=∠C, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ADE≌ △CDF.∴ AD=CD.∴ 四边形ABCD 为菱形. 菱形的判定方法 判定四边形是菱形时,可以证明四边形的四条边 都相等,也可以先证明四边形是平行四边形,再从两个 方面考虑:(1) 证明四边形的一组邻边相等;(2) 证明 四边形的对角线互相垂直.注意根据题目条件灵活选 用判定方法. 17. (1) 四边形ADCF 为矩形.∵ AF=DC,AF∥BC, ∴ 四边形ADCF 为平行四边形.又∵ E 为AD 的中点, AF∥BD,∴ AE=DE,∠AFE=∠DBE.在△AEF 和 △DEB 中, ∠AFE=∠DBE, ∠AEF=∠DEB, AE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF ≌ △DEB. ∴ AF=DB.∴ DB=DC.∵ AB=AC,∴ △ABC 为等 腰三角形.∴ AD⊥BC.∴ ∠ADC=90°.∴ 四边形 ADCF 为矩形.(2) 当△ABC 为等腰直角三角形时,四边 形ADCF 为正方形.由(1),知DB=DC,四边形ADCF 为平行四边形.∵ △ABC为等腰直角三角形,DB=DC, ∴ AD⊥BC,AD 平分∠BAC.∴ ∠ADC=90°.∴ 四边 形 ADCF 为 矩 形.∵ ∠BAC =90°,∴ ∠BAD = ∠DAC=45°,∠ABC= ∠ACB=45°.∴ ∠DAC= ∠ACD.∴ AD=CD.∴ 四边形ADCF 为正方形. 18. (1) 过点A 作AE⊥MN 于点E.∵ 四边形ABCD 是 正方 形,∴ AB=AD,∠D = ∠B= ∠BAD =90°. ∵ ∠MAN=45°,∴ ∠BAM+∠DAN =90°-45°= 45°.在△ABM 和△ADN 中, AB=AD, ∠B=∠D, BM=DN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABM≌ △ADN.∴ AM=AN,∠BAM=∠DAN=12×45°= 22.5°.又∵ AE⊥MN,∴ ∠NAE=12∠MAN=22.5° , MN=2EN.∴ ∠DAN=∠NAE.∴ AN 为∠DAE 的 平分线.∵ AE⊥MN,∠D=90°,∴ EN⊥AE,DN⊥ AD.∴ DN=EN. ∴ BM=DN=EN.∴ BM+DN= MN.(2) BM+DN=MN.(3) DN-BM=MN.理由: 在DC 上 截 取 DF=BM,连 结 AF.易 证△ADF≌ △ABM,∴ ∠DAF=∠BAM,AF=AM.∴ ∠FAM= ∠BAM+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD=90°. ∵ ∠MAN=45°,∴ ∠FAN =∠FAM -∠MAN = 45°.∴ ∠FAN=∠MAN.∵ 在△MAN 和△FAN 中, AM=AF, ∠MAN=∠FAN, AN=AN, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △MAN ≌△FAN.∴ FN = MN,即DN-DF=MN.∴ DN-BM=MN. 第19章　矩形、菱形与正方形2 一、 1. B 2. C 3. D 4. B 5. A 6. C 7. C 解析:如图,连结PC,与EF相交于点O,延长AP 交 EF于点H,延长FP 交AB 于点G.在正方形ABCD 中, ∠ABP=∠CBP=45°,AB=CB,∠ABC=∠BCD=90°. 在△ABP 和△CBP 中, AB=CB, ∠ABP=∠CBP, BP=BP, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABP≌ △CBP.∴ AP=CP,∠BAP=∠BCP.∵ PE⊥BC, PF⊥CD,∠BCD=90°,∴ 四 边 形 PECF 是 矩 形. ∴ PC=EF,PF∥EC,OE=OC.∴ AP=EF,∠PFE= ∠FEC,∠FEC = ∠BCP.∴ ∠PFE = ∠BCP.又 ∵ ∠BAP=∠BCP,∴ ∠PFE=∠BAP.故①④正 确.只有当P 为BD 的中点或PD=AD 时,△APD 才是 等腰 三 角 形,故 ③ 错 误.∵ PF∥BC,∴ ∠AGF= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 ∠ABC=90°.∵ ∠PFE=∠BAP,∠FPH=∠APG, ∴ ∠AHF=∠AGP=90°.∴ AP⊥EF.故②正确.综上 所述,正确结论的个数是3. 第7题 二、 8. 60° 9. 4 10. 60° 11. 60 13 12. 2.4或4或7.2 解析:根据题意,知当点P 从点A 运 动到点D 的过程中,点Q 将按照C→B→C→B→C 运 动.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AD∥BC,∠D=90°. ∴ PD∥CQ.若DP=CQ,则四边形PDCQ 是矩形.根据 题意,得DP=(12-t)cm.当0≤t≤3时,CQ=4tcm, 12-t=4t,解得t=2.4.当3<t≤6时,CQ=(24- 4t)cm,12-t=24-4t,解得t=4.当6<t≤9时,CQ= (4t-24)cm,12-t=4t-24,解得t=7.2.当9<t≤12 时,CQ=(48-4t)cm,12-t=48-4t,解得t=12,此时无 法构成矩形,故舍去.综上所述,当t=2.4或4或7.2时, 以P、Q、C、D 为顶点的四边形是矩形. 因对动点的位置考虑不全面而丢解 与动点有关的问题,一定要注意考虑题目中涉及 的情形是否是唯一的.如果情形不唯一,那么题目就有 多个解.本题中因为点Q 在B、C 两点之间往返运动, 所以表示线段CQ 的长度的代数式是随着点Q 的运动 而变化的,因此要考虑全面,防止丢解. 三、 13. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=AD, ∠DAB=90°.∵ BF⊥AE,DG⊥AE,∴ ∠AFB= ∠AGD=∠ADG+∠DAG=90°.∵ ∠DAG+∠BAF= ∠DAB=90°,∴ ∠ADG=∠BAF.在△BAF 和△ADG 中, ∠BAF=∠ADG, ∠AFB=∠DGA, AB=DA, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BAF≌△ADG.∴ AF=DG. 14. ∵ 四边形ABCD 是菱形,∴ AC⊥BD,OA=OC, OB=OD.∵ BE=DF,∴ OB-BE=OD-DF,即 OE=OF.∴ 易得四边形AECF 是菱形.∵ OE=OA= OF,AC⊥BD,∴ ∠EAO=∠AEO=∠FAO=∠AFO= 45°.∴ ∠EAF=90°.∴ 四边形AECF 是正方形. 15. 赞成小洁的说法,补充的条件不唯一,如OA=OC. ∵ OA=OC,OB=OD,∴ 四边形ABCD 是平行四边 形.又∵ AC⊥BD,∴ 四边形ABCD 是菱形. 16. (1) ∵ 四边形ABCD 是平行四边形,∴ OB=OD, OA=OC.∵ E、F 分别是OA、OC 的中点,∴ OE= 1 2OA ,OF=12OC.∴ OE=OF.又∵ OB=OD,∴ 四边 形DEBF 是平行四边形.∴ BE=DF.(2) 当k=2时,四 边形DEBF 是矩形.理由:由(1),知四边形DEBF 是平 行四边形,∴ 当BD=EF 时,四边形 DEBF 是矩形. ∵ E、F 分别是OA、OC 的中点,∴ EF=OE+OF= 1 2OA+ 1 2OC= 1 2 (OA+OC)=12AC.∴ BD=12AC , 即AC BD=2.∴ 当k=2时,四边形DEBF 是矩形. 17. (1) 45.(2) ① 作 AG⊥EF 于点G,则∠AGE= ∠AGF=90°.∵ AB⊥CE,AD⊥CF,∴ ∠B=∠D= 90°=∠C.∴ 四边形ABCD 是矩形.∵ △CEF 的两条外 角平分线交于点A,∴ AB=AG,AD=AG.∴ AB= AD.∴ 矩形ABCD 是正方形.② 设DF=x.∵ BE= EC=3,∴ BC=6.由①,得四边形ABCD 是正方形, ∴ CD =BC =6.在 Rt△ABE 和 Rt△AGE 中, AB=AG, AE=AE, ∴ Rt△ABE≌Rt△AGE.∴ GE=BE=3.同 理,GF=DF=x.∴ FC=CD-DF=6-x,EF=GE+ GF=3+x.在Rt△CEF 中,EC2+FC2=EF2,即32+ (6-x)2=(3+x)2,解得x=2.∴ DF=2.(3) 15 7. 第20章　数据的整理与初步处理 一、 1. C 2. B 3. B 4. B 平均数、中位数和众数的选用 (1) 平均数不能反映个体性质,易受极端数的影 响;(2) 中位数不受极端数的影响,但是不能利用所有 数的信息;(3) 当某些数据多次重复出现可以用众数描 述集中趋势,但是众数不能利用所有数据的信息.选用 时需根据数据的特点和需要进行选择. 5. D 6. B 二、 7. 8 8. 5 9. 1t 1t 10. 乙 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈