第18章 平行四边形&复习自测题&复习检测题-【数理报期末复习】2024-2025学年八年级数学下册升级突破（华东师大版）

书 （上接第２６版） 考点５：正方形的性质 例５　如图１２，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ 为正方形内一点，连结 ＢＥ，ＢＥ＝ＢＡ，连 结ＣＥ并延长，与∠ＡＢＥ的平分线交于点 Ｆ，连结ＡＦ．求证：∠ＡＦＣ＝９０°． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＢ＝ＢＣ， ∠ＡＢＣ＝９０°． 因为ＢＥ＝ＢＡ，所以ＢＥ＝ＢＣ． 所以∠ＢＥＣ＝∠ＢＣＥ． 所以∠ＥＢＣ＝１８０°－２∠ＢＥＣ． 所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＥＢＣ＝２∠ＢＥＣ－９０°． 因为 ＢＦ平分 ∠ＡＢＥ，所以 ∠ＡＢＦ ＝∠ＥＢＦ ＝ １ ２∠ＡＢＥ＝∠ＢＥＣ－４５°． 所以∠ＢＦＥ＝∠ＢＥＣ－∠ＥＢＦ＝４５°． 在△ＢＡＦ和 △ＢＥＦ中，因为 ＡＢ＝ＥＢ，∠ＡＢＦ＝ ∠ＥＢＦ，ＢＦ＝ＢＦ，所以△ＢＡＦ≌△ＢＥＦ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． 所以∠ＢＦＥ＝∠ＢＦＡ＝４５°． 所以∠ＡＦＣ＝∠ＢＦＡ＋∠ＢＦＥ＝９０°． ●专项练习 ８．如图１３，点Ｅ是正方形ＡＢＣＤ对角线ＢＤ上一点， 点Ｆ在边ＢＣ上且ＥＦ＝ＥＣ，连结ＡＥ，ＡＦ．若∠ＥＣＦ＝α， ∠ＡＦＢ＝β，则 （　　） 　　　　　 　　　　　 　　　　　Ａ．β－α＝１５° Ｂ．α＋β＝１３５° Ｃ．２β－α＝９０° Ｄ．２α＋β＝１８０° ９．如图１４，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ为边ＢＣ上的点，连结 ＡＥ，作ＡＥ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｇ，交ＣＤ于点Ｆ，连结 ＧＥ．已知ＢＧＢＥ＝ ３ ４． （１）若正方形ＡＢＣＤ的边长为４，求ＢＧ的长； （２）求证：ＤＦＣＦ＝ １ ７． 考点６：正方形的判定 例６　如图１５，ＡＢＣＤ的 对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，分别 以点Ｂ，Ｃ为圆心，１２ＡＣ， １ ２ＢＤ 的长为半径画弧，两弧交于点 Ｐ，连结ＢＰ，ＣＰ． （１）试判断四边形ＢＰＣＯ的形状，并说明理由； （２）请说明当 ＡＢＣＤ的对角线满足什么条件时， 四边形ＢＰＣＯ是正方形？ 解：（１）四边形ＢＰＣＯ是平行四边形．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＣ＝１２ＡＣ， ＯＢ＝ １２ＢＤ． 由题意，得ＣＰ＝ＯＢ，ＢＰ＝ＯＣ． 所以四边形ＢＰＣＯ是平行四边形． （２）当ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ时，四边形ＢＰＣＯ是正方 形．理由如下： 因为ＡＣ⊥ＢＤ，所以∠ＢＯＣ＝９０°． 所以四边形ＢＰＣＯ是矩形． 因为ＡＣ＝ＢＤ，所以ＯＢ＝ＯＣ． 所以四边形ＢＰＣＯ是正方形． ●专项练习 １０．当一个四边形的两组对边分别平行，四条边都相 等，四个角都相等时，这个四边形是 （　　） Ａ．平行四边形 Ｂ．正方形 Ｃ．菱形 Ｄ．矩形 １１．如 图 １６，ＡＢＣＤ 中，过点 Ｃ作 ＣＦ⊥ ＣＤ，ＣＦ ＝ＣＤ，ＣＦ交ＤＢ的延长线于 点Ｆ；过点Ｃ作ＣＥ∥ＤＢ，交 ＡＢ的延长线于点 Ｅ，ＢＥ交 ＣＦ于点Ｏ，连结ＥＦ，ＡＢ＝２ＢＯ＝４． （１）求ＯＥ的长； （２）求证：四边形ＢＣＥＦ是正方形． （全文完，专项练习答案参见第１５～１８版                                                                       ） ! " # $ % & ! !" ! !# ! # % ' $ " & ( ! " ) & % ! !$ " & % $ ) ! # ! !% 书 考 点 解 密 考点１：平行四边形的性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　例１　如图１，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝３，∠ＤＡＢ 的平分线ＡＥ交线段ＣＤ于点Ｅ， 则ＥＣ＝ ． 解：因为四边形 ＡＢＣＤ是平 行四边形， 所以ＡＢ∥ＣＤ，ＤＣ＝ＡＢ＝５． 所以∠ＤＥＡ＝∠ＥＡＢ． 因为ＡＥ平分∠ＤＡＢ， 所以∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＢ． 所以∠ＤＥＡ＝∠ＤＡＥ． 所以ＤＥ＝ＡＤ＝３． 所以ＥＣ＝ＤＣ－ＤＥ＝２． 故填２． ●专项练习 １．在平行四边形ＡＢＣＤ中，∠Ａ＋∠Ｃ＝１００°，则∠Ｄ ＝ （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．５０° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．１３０° ２．如图２，在ＡＢＣＤ中，ＢＣ＝１０，ＡＣ＝１４，ＢＤ＝８， 则△ＢＯＣ的周长是 （　　） Ａ．２１ Ｂ．２２ Ｃ．２５ Ｄ．３２ ３．如图３，ＡＢＣＤ的顶点坐标分别为Ａ（１，４），Ｂ（１， １），Ｃ（５，２），则点Ｄ的坐标为 （　　） Ａ．（５，５） Ｂ．（５，６） Ｃ．（６，６） Ｄ．（５，４） ４．如图４，在ＡＢＣＤ中，ＢＤ＝ＣＤ，ＡＥ⊥ＢＤ于点Ｅ． 若∠Ｃ＝７０°，则∠ＢＡＥ＝ °． ５．如图５，已知直线ｌ１∥ｌ２，点Ａ在直线ｌ１上，点Ｂ，Ｃ 在直线ｌ２上，ＡＣ⊥ｌ２．如果ＡＢ＝５ｃｍ，ＢＣ＝４ｃｍ，则平 行线ｌ１，ｌ２之间的距离是 ｃｍ． ６．如图６，在ＡＢＣＤ中，ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，ＡＦ⊥ＣＤ 于点Ｆ．若ＡＥ＝４，ＡＦ＝６，且ＡＢＣＤ的周长为４０，则 ＡＢＣＤ的面积为 ． 考点２：平行四边形的判定 例２　如图７，已知ＥＦ∥ＡＣ，Ｂ，Ｄ分别是ＡＣ和ＥＦ 上的点，∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ．求证：四边形ＢＣＤＥ是平行四 边形． 解：因为ＥＦ∥ＡＣ， 所以∠ＥＤＣ＋∠Ｃ＝１８０°． 因为∠ＥＤＣ＝∠ＣＢＥ， 所以∠ＣＢＥ＋∠Ｃ＝１８０°． 所以ＥＢ∥ＤＣ． 所以四边形ＢＣＤＥ是平行四边形． ●专项练习 ７．依据所标数据，一定是平行四边形的是 （　　） ８．如图８，已知ＡＢ∥ＣＤ，增加下列条件可以使四边 形ＡＢＣＤ成为平行四边形的是 （　　） Ａ．∠１＝∠２ Ｂ．ＡＤ＝ＢＣ Ｃ．ＯＡ＝ＯＣ Ｄ．ＡＤ＝ＡＢ ９．如图９，在△ＡＢＣ中，Ｄ是边ＡＣ的中点，连结ＢＤ并 延长至点Ｅ，使ＤＥ＝ＢＤ，延长ＢＣ至点Ｆ，使ＣＦ＝ＢＣ，连 结ＡＥ，ＥＦ．求证：四边形ＡＣＦＥ是平行四边形． （专项练习答案参见第１５～１８版                                                                                         ） 书 知 识 回 顾 １．平行四边形 （１）定义：有两组对边分别 的四边形叫 做平行四边形． （２）性质：①平行四边形的对边 ； ②平行四边形的对角 ； ③平行四边形的对角线 ． （３）判定：①定义； ②两组对边分别 的四边形是平行四边形； ③一组对边 的四边形是平行四 边形； ④对角线 的四边形是平行四边形． （４）平行四边形是 图形，它的对称中心 是 ． ２．两条直线平行，其中一条直线上的任意一点到 另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 性质：平行线之间的距离 ． !" ! " # $ ! !" #$% ! & $ ! % " # & ! ' ! % " & ) ! ( ) * + , $ -!.! !..! '.! !!.! !!.! /.! /.! $ $ $ $ $ $ " # & % ! $ ! % $ " # & % ! ! / " # & % ! ! ! * 0 * ! & % ! ! $ " & % ! ) ! 0 + ! " & % ) , ! " ! % # " & ! # """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" ! % # " $ & ! !0 !" ! " # $ !# 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 １．如图１，在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｏ．若ＡＣ＝８，则线段ＡＯ的长是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．１６ ２．如图２，两条平行线之间画了一个矩形和一个平 行四边形，矩形的长是８ｃｍ，宽是６ｃｍ，则平行四边形的 面积是 （　　） Ａ．２４ｃｍ２ Ｂ．４８ｃｍ２ Ｃ．９６ｃｍ２ Ｄ．无法确定 ３．在 ＡＢＣＤ中，Ｏ是对角线 ＡＣ，ＢＤ的交点．若 △ＡＯＢ的面积是８，则ＡＢＣＤ的面积是 （　　） Ａ．１６ Ｂ．２４ Ｃ．３２ Ｄ．４０ ４．在四边形ＡＢＣＤ中，两组对边分别平行．若∠Ｂ＝ ７０°，则∠Ｃ的度数是 （　　） Ａ．１００° Ｂ．１１０° Ｃ．１２０° Ｄ．１３０° ５．如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ＣＤ，ＢＣ＝ＡＤ．若 ∠Ｄ＝１２０°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．７０° Ｃ．８０° Ｄ．９０° ６．将∠ＡＢＣ及ＥＦＧＨ按如图４所示摆放，点 Ｈ，Ｇ 在边ＡＢ上，点Ｆ在边ＢＣ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，∠ＨＥＦ＝ １１０°，则∠ＢＦＧ的度数是 （　　） Ａ．８０° Ｂ．７０° Ｃ．６０° Ｄ．５０° ７．如图５，ＡＢＣＤ中，要在对角线 ＢＤ上找两点 Ｅ， Ｆ，使四边形ＡＥＣＦ是平行四边形，现有甲、乙、丙三种方 案： 甲：只需要满足ＢＦ＝ＤＥ； 乙：只需要满足ＡＥ＝ＣＦ； 丙：只需要满足ＡＥ∥ＣＦ， 则正确的方案是 （　　） Ａ．甲、乙、丙 Ｂ．乙、丙 Ｃ．甲、乙 Ｄ．甲、丙 ８．如图６，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于 点Ｏ．若ＡＢ＝１０，ＢＣ＝８，∠ＡＣＢ＝９０°，则ＢＤ的长是 （　　） 槡 槡Ａ．２ ７３ Ｂ． ７３ 槡 槡Ｃ．２ ７２ Ｄ． ７２ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图７，在 ＡＢＣＤ中，ＡＣ是对角线，∠Ｄ＝６５°， ∠１＝７５°，则∠ＤＡＣ的度数是 ． １０．如图８，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ， ＢＤ交于点 Ｏ，现有三个条件：①ＡＤ＝ＢＣ；②ＯＢ＝ＯＤ； ③ＡＢ＝ＣＤ，其中可以判定四边形ＡＢＣＤ是平行四边形的 有 （只填序号）． １１．如图 ９，Ｐ是 ＡＢＣＤ 内一点，已知 Ｓ△ＰＡＢ ＝６，Ｓ△ＰＡＤ ＝２，则阴影部分的面积是 ． １２．在平面直角坐标系中， 有Ａ（３，２），Ｂ（－１，－４），Ｐ是ｘ轴上的一点，Ｑ是ｙ轴上 的一点．若以Ａ，Ｂ，Ｐ，Ｑ四个点为顶点的四边形是平行四 边形，则点Ｑ的坐标是 ． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１０，在ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２ＡＢ，Ｅ为ＡＤ 的中点．求证：ＢＥ平分∠ＡＢＣ． １４．（８分）如图１１，在四边形 ＡＢＣＤ中，已知 ＡＢ＝ ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＤ，ＣＢ的延长线上，且ＤＥ ＝ＢＦ．求证：ＢＥ＝ＤＦ． １５．（１０分）如图１２，在ＡＢＣＤ中，ＥＦ过对角线的 交点Ｏ，且与ＡＢ，ＣＤ边分别相交于点Ｅ，Ｆ．已知ＡＢ＝４， ＡＤ＝３，ＯＦ＝１．３，求四边形ＢＣＦＥ的周长． １６．（１２分）如图１３，在平行四边形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ在ＡＣ上，点Ｇ，Ｈ在ＢＤ上，且 ＡＥ＝ＣＦ，ＢＧ＝ＤＨ． （１）若ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝７０°，求∠ＡＢＣ的度数； （２）求证：四边形ＥＧＦＨ是平行四边形． １７．（１４分）如图１４，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＣＤ，Ｆ为 边ＡＢ上一点，ＤＦ与ＡＣ交于点Ｅ，ＤＥ＝ＦＥ． （１）求证：四边形ＡＦＣＤ是平行四边形； （２）若ＣＤ＝１４，ＢＣ＝２４５ＣＥ＝２４，ＢＣ⊥ＡＣ，求ＢＦ 的长                                                                                                                                                                     ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. ! " # $ % ! " ! & ! ' # $ ! & # ' (& ) * $ ! ( ! # + $ ! * ) " $ + % ! " ! ) $+ ! " " ! * ! + + $ ! " , ! *" + $ ! ", ) + $ " ! * ! "" ! "& + $ ! * ) " % + $ ! ' * ( ) % " ! "' +) " * $ ! ! "( ! % + $! " % !" ! " # $ 书 一、精心选一选（每小题４分，共３２分） 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 　　　　　　　　　　　　　　　　　　１．在ＡＢＣＤ中，∠Ａ＝３２°，则∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．１５８° Ｂ．１４８° Ｃ．５８° Ｄ．３２° ２．小红同学周末在家做家务，不慎把家里的一块平 行四边形玻璃打碎成如图１所示的四块，为了能从玻璃 店配到一块与原来相同的玻璃，她应该带去玻璃店的两 块玻璃是 （　　） Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．②③ Ｄ．①③ ３．如图２，直线ａ∥ｂ，且直线ａ和ｂ的距离为１，点Ａ， Ｂ分别在直线ａ，ｂ上，∠１＝４５°，则线段ＡＢ的长度为 （　　） Ａ．１２ 槡Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．２ ４．如图３，在ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝５，ＡＣ的垂直 平分线交ＡＤ于点Ｅ，则△ＣＤＥ的周长是 （　　） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．９ Ｄ．１０ ５．如图４，在平面直角坐标系中，ＯＡＢＣ的边ＯＣ落 在ｘ轴的正半轴上，且点Ｃ（４，０），Ｂ（６，２），直线ｙ＝２ｘ＋ １以每秒１个单位的速度向下平移，则该直线将平行四边 形ＯＡＢＣ的面积平分需要 （　　） Ａ．４秒 Ｂ．５秒 Ｃ．６秒 Ｄ．７秒 ６．在平面直角坐标系中，有四个点的坐标分别为 Ａ（－１，３），Ｂ（３，３），Ｃ（－２，－１），Ｄ（５，１），现将点Ｄ进行 平移，下面平移方案不能使Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ围成的四边形是平 行四边形的是 （　　） Ａ．将点Ｄ先向左平移１个单位，再向上平移６个单位 Ｂ．将点Ｄ先向左平移１个单位，再向上平移７个单位 Ｃ．将点Ｄ先向左平移３个单位，再向下平移２个单位 Ｄ．将点Ｄ先向左平移１１个单位，再向下平移２个单 位 ７．如图５，四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＧ⊥ ＢＣ于点 Ｇ，ＡＢ＝ ＣＤ＝５，ＡＧ＝４，ＣＧ＝２ＢＧ，点 Ｐ在 ＡＣ上，Ｅ，Ｆ分别在 ＡＢ，ＡＤ上，且ＰＥ∥ＢＣ，ＰＦ∥ＣＤ，ＡＢ∥ＣＤ，连结ＥＦ，则 图中阴影部分的面积是 （　　） Ａ．２４ Ｂ．２０ Ｃ．１８ Ｄ．１６ ８．如图６，平行四边形ＡＢＣＤ中，以点Ｂ为圆心，适当 长为半径作弧，交 ＢＡ，ＢＣ于点 Ｆ，Ｇ，分别以点 Ｆ，Ｇ为圆 心，大于 １ ２ＦＧ的长为半径作弧，两弧交于点Ｈ，作ＢＨ交 ＡＤ于点Ｅ，连结ＣＥ．若ＡＢ＝１０，ＤＥ＝６，ＣＥ＝８，则ＢＥ 的长是 （　　） 槡 槡Ａ． １６４ Ｂ． ３２００ 槡 槡Ｃ． ８０ Ｄ． ３２０ 二、细心填一填（每小题４分，共１６分） ９．如图７，点Ａ，Ｂ在直线ｌ 上，Ｄ为直线 ｌ外一点，连结 ＡＤ，分别以点 Ｂ，Ｄ为圆心， ＡＤ，ＡＢ的长为半径画弧，两弧 交于点Ｃ，连结ＣＤ，ＢＣ，则四边 形ＡＢＣＤ是平行四边形的理由是 ． １０．已知三条相互平行的直线 ｌ１，ｌ２，ｌ３，其中 ｌ１，ｌ２之 间的距离为２ｃｍ，ｌ２，ｌ３之间的距离为３ｃｍ，则ｌ１与ｌ３之 间的距离为 ． １１．如图８，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝６０°， ∠Ｄ＝１５０°，ＡＤ＝ １２，ＡＢ＝１，ＢＣ＝ ５ ２，则 ＣＤ的长为 ． １２．如图９，在平面直角坐标系中，已知点 Ａ（４，０）， Ｂ（－３，２），Ｃ（０，２），点Ｐ从点Ｂ出发，以每秒２个单位的 速度沿射线 ＢＣ运动，点 Ｑ从点 Ａ出发，开始以每秒 １个单位的速度向原点Ｏ运动，到达原点后立刻以原来 ３倍的速度沿射线ＯＡ运动．若Ｐ，Ｑ两点同时出发，设运 动时间为ｔ秒，则当ｔ＝ 时，以点Ａ，Ｑ，Ｃ，Ｐ为顶 点的四边形是平行四边形． 三、耐心解一解（共５２分） １３．（８分）如图１０，在 ＡＣＦＤ中，点 Ｂ，Ｅ分别在 ＡＣ，ＤＦ上，ＡＢ＝ＦＥ，ＡＦ分别交ＢＤ，ＣＥ于点Ｍ，Ｎ．求证： 四边形ＢＣＥＤ是平行四边形． １４．（８分）如图 １１，在同一平面内的平行四边形 ＡＢＣＤ和平行四边形 ＣＤＥＦ的周长相等，且 ∠ＢＡＤ ＝ ６０°，∠Ｆ＝１１０°，求∠ＤＡＥ的度数． １５．（１０分）如图１２，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，对 角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ在ＢＣ边的延长线上，且ＯＥ＝ ＯＢ，∠ＡＤＢ＝∠ＯＥＢ，连结ＤＥ．求证：ＤＥ⊥ＢＥ． １６．（１２分）如图１３，在ＡＢＣＤ中，ＡＦ平分 ∠ＢＡＤ 交ＢＣ于点Ｆ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ交ＡＤ于点Ｅ． （１）若ＡＤ＝１２，ＡＢ＝８，求ＣＦ的长； （２）连结ＢＥ，与ＡＦ交于点Ｇ，连结ＤＦ，与ＣＥ交于点 Ｈ，连结ＥＦ，ＧＨ交于点Ｏ，求证：ＥＦ和ＧＨ互相平分． １７．（１４分）如图１４－①，在ＡＢＣＤ中，点Ｏ是对角 线ＢＤ的中点，点Ｅ在边ＢＣ上，ＥＯ的延长线与ＡＤ交于点 Ｆ，连结ＢＦ，ＤＥ． （１）求证：四边形ＢＥＤＦ是平行四边形； （２）如图１４－②，若ＤＥ＝ＤＣ，∠ＣＢＤ＝４５°，过点Ｃ 作ＣＰ⊥ＢＦ，分别交ＤＥ，ＢＤ于点Ｇ，Ｈ．求证：                                                                                                                                                                     ＣＤ＝ＣＨ． !" ! #$%"& '()*+, "#$"%-. ! " # $ ! " ! " # $ " ! & %&' ( $ )*&%+" ) ! ' ! % &! , - ! ( ! & - . , ( & - / 0 . 1, ! # ( 2 - 3 $ ! ) ! * 4 2 0 5 ' $ +( % ) +& +" " & ( " & ( ' 2 4 $ 6 7 1 . - ! ", ! "" 4 & - . 1 , ! "( 4 & - . 1 , / 8 ' ! "' 4 & - . 1 , ' 4 & - . 1 , ' 0 8 / ! " & / 4 8 - . , 1 ! - . &4 ' - , ! "& ! " # $ !" 书 根据题意，得 ２ｘ＋３ｙ＝９０， ３ｘ＋ｙ＝６５{ ．解得 ｘ＝１５， ｙ＝２０{ ． 答：Ａ，Ｂ两种品牌小电器每台的进价分别为１５元、２０元． （２）设购进Ａ种品牌小电器 ａ台，则购进 Ｂ种品牌小电器 （１５０－ａ）台． 根据题意，得２７５０≤１５ａ＋２０（１５０－ａ）≤２８５０． 解得３０≤ａ≤５０． 答：购进Ａ种品牌小电器数量的取值范围为３０≤ａ≤５０． （３）设获利ｗ元．根据题意，得ｗ＝３ａ＋４（１５０－ａ）＝－ａ ＋６００．根据题意，得 －ａ＋６００≥５６５．解得ａ≤３５．所以３０≤ａ ≤３５．所以甲合理的采购方案有６种，方案一：购进Ａ种品牌小电 器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台；方案二：购进Ａ种品牌小电器３１ 台，Ｂ种品牌小电器１１９台；方案三：购进Ａ种品牌小电器３２台， Ｂ种品牌小电器１１８台；方案四：购进Ａ种品牌小电器３３台，Ｂ种 品牌小电器１１７台；方案五：购进Ａ种品牌小电器３４台，Ｂ种品牌小 电器１１６台；方案六：购进Ａ种品牌小电器３５台，Ｂ种品牌小电器１１５ 台．因为 －１＜０，所以ｗ随ａ的增大而减小．所以当ａ＝３０时，获利 最大，最大利润是：－３０＋６００＝５７０元． 答：购进Ａ种品牌小电器３０台，Ｂ种品牌小电器１２０台获得 的利润最大，最大利润是５７０元． ２５．Ｂ；　２６．－６． ２７．（１）把Ｂ（４，－３）代入ｙ＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２ ＝－１２．所以反比 例函数的表达式为ｙ＝－１２ｘ．把Ａ（ｍ，６）代入ｙ＝－ １２ ｘ，得ｍ＝ －２．所以Ａ（－２，６）．把Ａ（－２，６），Ｂ（４，－３）代入ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ， 得 －２ｋ１＋ｂ＝６， ４ｋ１＋ｂ＝－３ { ．解得 ｋ１ ＝－ ３ ２， ｂ＝３ { ． 所以一次函数的表达式为 ｙ＝－３２ｘ＋３． （２）由函数图象，得当 ｋ２ ｘ ＞ｋ１ｘ＋ｂ＞０时，自变量ｘ的取值 范围是 －２＜ｘ＜０． （３）对于ｙ＝－３２ｘ＋３，当ｙ＝０时，ｘ＝２．所以Ｃ（２，０）．设 Ｐ（ｐ，０），则ＰＣ＝｜ｐ－２｜．因为△ＰＡＣ的面积为９，所以 １２ ×｜ｐ －２｜×６＝９．解得ｐ＝５或 －１．所以Ｐ（５，０）或Ｐ（－１，０）． 《函数及其图象》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｄ Ａ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ｂ 二、９．日期；　１０．±２；　１１． ｘ＝２， ｙ＝４{ ；　１２．１２． 三、１３．（１）设ｙ＝ｋｘ．把ｘ＝－２，ｙ＝４代入，得 －２ｋ＝４．解 得ｋ＝－２．所以ｙ与ｘ之间的函数表达式为ｙ＝－２ｘ． （２）根据题意，得 －２ａ＝－２．解得ａ＝１． １４．（１）由函数图象，得当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围是ｘ＜２． （２）把Ｐ（２，ｍ）代入ｙ＝ｘ＋１，得ｍ＝３．所以Ｐ（２，３）．把 （０，－２），Ｐ（２，３）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 ｂ＝－２， ２ｋ＋ｂ＝３{ ．解得 ｋ＝ ５２， ｂ＝－２ { ． 所以直线ｌ１的函数表达式为ｙ＝ ５ ２ｘ－２． １５．（１）由题意，得Ｃ（－３，０），Ｄ（０，３）．将其代入 ｙ＝ｍｘ＋ ｎ，得 －３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝３{ ． 解得 ｍ＝１， ｎ＝３{ ．所以一次函数的表达式是 ｙ ＝ｘ＋３．当ｘ＝－１时，ｙ＝２．所以Ａ（－１，２）．把Ａ（－１，２）代入 ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝－２．所以反比例函数的表达式是ｙ＝－ ２ ｘ． （２）Ｓ△ＡＯＣ ＝ １ ２ＯＣ·ｙＡ ＝３． １６．（１）因为｜ａ－５２｜＋（ｂ－４） ２＝０，所以ａ＝５２，ｂ＝４． 所以点Ｃ的坐标是（４，５２），点Ｄ的坐标是（０， ５ ２）． （２）设直线ＡＣ的函数表达式为 ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把 Ａ（－１，０）， Ｃ（４，５２）代入，得 －ｋ＋ｂ＝０， ４ｋ＋ｂ＝ ５２ { ．解得 ｘ＝ １ ２， ｙ＝ １２ { ．所以直线 ＡＣ 的函数表达式为ｙ＝ １２ｘ＋ １ ２．设直线ＢＤ的函数表达式为ｙ＝ ｍｘ＋ｎ．把 Ｂ（３，０），Ｄ（０， ５２）代入，得 ３ｍ＋ｎ＝０， ｎ＝ ５２ { ． 解得 ｍ＝－５６， ｎ＝ ５２ { ． 所以直线ＢＤ的函数表达式为ｙ＝－５６ｘ＋５２．解 ｙ＝ １２ｘ＋ １ ２， ｙ＝－５６ｘ＋ ５ ２ { ，得 ｘ＝ ３ ２， ｙ＝ ５４ { ．所以点Ｐ的坐标为（３２，５４）． １７．（１）点Ａ的实际意义是：出发３小时，快车到达乙地，此 时快车与慢车相距１２０ｋｍ． （２）因为点Ｂ的横坐标为：３＋３０６０＝３．５，点Ｂ的纵坐标为： １２０－３０６０×７０＝８５，所以点Ｂ的坐标为（３．５，８５）．设线段ＡＢ所 表示的函数关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．将Ａ（３，１２０），Ｂ（３．５，８５）代入， 得 ３ｋ＋ｂ＝１２０， ３．５ｋ＋ｂ＝８５{ ．解得 ｋ＝－７０， ｂ＝３３０{ ．所以线段 ＡＢ所表示的函数 关系式为ｙ＝－７０ｘ＋３３０（３≤ｘ≤３．５）． （３）快车从返回到遇见慢车所用的时间为：４－３．５＝ ０．５（ｈ）．所以快车从乙地返回甲地时的速度为：８５÷０．５－７０＝ １００（ｋｍ／ｈ）．所以４×７０÷１００＝２．８（ｈ）． 答：到达甲地还需２．８ｈ． 《函数及其图象》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ａ Ｄ Ａ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｄ 二、９．－２；　１０．（１２７， ３ ７）；　１１．三；　１２．１５０． 三、１３．（１）将Ａ（２，３）代入ｙ＝ ｋｘ，得ｋ＝６．所以这个反比 例函数的表达式为ｙ＝ ６ｘ． （２）Ｂ（－１，－６）在这个反比例函数的图象上，Ｃ（－３，２）不 在这个反比例函数的图象上．理由如下： 当ｘ＝－１时，ｙ＝－６，所以Ｂ（－１，－６）在这个反比例函数 的图象上；当ｘ＝－３时，ｙ＝－２≠２，所以Ｃ（－３，２）不在这个反 比例函数的图象上． １４．（１）设直线ｌ１的函数表达式是 ｙ＝２ｘ＋ｂ．把（０，５）代 入，得ｂ＝５．所以直线ｌ１的函数表达式是ｙ＝２ｘ＋５．因为直线 ｌ１向上平移３个单位得到直线ｌ２，所以直线ｌ２的函数表达式是ｙ ＝２ｘ＋８． （２）对于ｙ＝２ｘ＋８，令ｙ＝０，则２ｘ＋８＝０．解得ｘ＝－４． 所以Ａ（－４，０）．所以ＯＡ＝４．令ｘ＝０，则ｙ＝８．所以Ｂ（０，８）． 所以ＯＢ＝８．所以Ｓ△ＡＯＢ ＝ １ ２ＯＡ·ＯＢ＝１６． １５．（１）把Ａ（－４，－２）代入ｙ２＝ ｋ２ ｘ，得ｋ２＝８．所以反比 例函数的表达式为ｙ２＝ ８ ｘ．把Ｂ（２，ｍ）代入ｙ２＝ ８ ｘ，得ｍ＝４． 所以Ｂ（２，４）．把 Ａ（－４，－２），Ｂ（２，４）代入 ｙ１ ＝ｋ１ｘ＋ｂ，得 －４ｋ１＋ｂ＝－２， ２ｋ１＋ｂ＝４ { ． 解得 ｋ１ ＝１， ｂ＝２{ ．所以一次函数的表达式为 ｙ１ ＝ｘ＋２． （２）由题意，得当ｙ１＜ｙ２时，ｘ的取值范围是ｘ＜－４或０＜ ｘ＜２． １６．（１）０．９． （２）设ＢＣ段的函数表达式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ．把（１０，３）和（３０， ６）代入，得 １０ｋ＋ｂ＝３， ３０ｋ＋ｂ＝６{ ．解得 ｋ＝ ３２０， ｂ＝ ３２ { ．所以ＢＣ段的函数表达 式为ｙ＝３２０ｘ＋ ３ ２（１０≤ｘ≤３０）．设ＣＤ段的函数表达式为ｙ＝ ｍ ｘ．把（３０，６）代入，得ｍ＝１８０．所以ＣＤ段的函数表达式为ｙ＝ １８０ ｘ（ｘ≥３０）． （３）把ｙ＝４代入ｙ＝ ３２０ｘ＋ ３ ２，得ｘ＝ ５０ ３；把ｙ＝４代入 ｙ＝１８０ｘ，得ｘ＝４５．因为４５－ ５０ ３ ＝ ８５ ３ ＞２８，所以本次消毒有效． １７．（１）根据题意，得Ａ（ｍ，２）．将Ａ（ｍ，２）代入ｙ＝２ｘ，得２ｍ ＝２．解得ｍ＝１．所以Ａ（１，２）．将Ａ（１，２）代入 ｙ＝－ｘ＋ｂ，得 －１＋ｂ＝２．解得ｂ＝３．所以ｌ２的函数表达式为ｙ＝－ｘ＋３． （２）①将ｘ＝２代入ｙ＝２ｘ，得ｙ＝４．所以Ｍ（２，４）．将ｘ＝ ２代入ｙ＝－ｘ＋３，得ｙ＝１．所以Ｎ（２，１）．所以ＭＮ＝４－１＝３． ②设翻折后点Ａ落在点Ｆ处，连结ＡＦ，交ｙ＝ｋｘ（ｋ≠０）于 点Ｐ，连结ＯＦ，图略．由折叠的性质，得ＯＡ＝ＯＦ，点Ｐ为ＡＦ的中 点．设点Ｆ的坐标为（２，ｔ）．因为Ａ（１，２），ＯＡ２ ＝ＯＦ２，所以１２＋ ２２ ＝２２＋ｔ２．解得ｔ＝±１． 当ｔ＝１时，点Ｆ的坐标为（２，１），点Ｐ的坐标为（３２， ３ ２）． 因为点Ｐ（３２， ３ ２）在直线ｙ＝ｋｘ上，所以 ３ ２ｋ＝ ３ ２．解得ｋ＝１． 当ｔ＝－１时，点Ｆ的坐标为（２，－１），点Ｐ的坐标为（３２， １ ２）．因为点Ｐ（ ３ ２， １ ２）在直线ｙ＝ｋｘ上，所以 ３ ２ｋ＝ １ ２．解得 ｋ＝ １３． 综上所述，ｋ的值是１或 １３． 《平行四边形》专项练习 １．Ｄ；　２．Ａ；　３．Ａ；　４．５０；　５．３； ６．４８；　７．Ｂ；　８．Ｃ． ９．连结ＣＥ，图略．因为Ｄ是ＡＣ边的中点，所以ＡＤ＝ＣＤ．因 为ＤＥ＝ＢＤ，所以四边形ＡＢＣＥ是平行四边形．所以ＡＥ＝ＢＣ，ＡＥ ∥ＢＣ．因为ＣＦ＝ＢＣ，所以ＣＦ＝ＡＥ．所以四边形ＡＣＦＥ是平行 四边形． 《平行四边形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｄ Ａ 二、９．４０°；　１０．①②；　１１．４； １２．（０，－６）或（０，－２）或（０，６）． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ．所 以∠ＡＥＢ＝∠ＥＢＣ．因为Ｅ为ＡＤ的中点，所以ＡＤ＝２ＡＥ．因为 ＡＤ＝２ＡＢ，所以ＡＥ＝ＡＢ．所以∠ＡＢＥ＝∠ＡＥＢ．所以∠ＡＢＥ＝ ∠ＥＢＣ，即ＢＥ平分∠ＡＢＣ． １４．因为ＡＢ＝ＣＤ，ＡＤ＝ＢＣ，所以四边形ＡＢＣＤ是平行四边 形．所以ＡＤ∥ＢＣ．因为ＤＥ＝ＢＦ．所以四边形ＤＥＢＦ是平行四边 形．所以ＢＥ＝ＤＦ． １５．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＯＡ＝ ＯＣ，ＢＣ＝ＡＤ＝３．所以 ∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ．由对顶角相等，得 ∠ＡＯＥ＝∠ＣＯＦ．所以 △ＡＯＥ≌△ＣＯＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＡＥ＝ ＣＦ，ＯＥ＝ＯＦ．所以ＥＦ＝２ＯＦ＝２．６．所以四边形ＢＣＦＥ的周长 为：ＥＦ＋ＣＦ＋ＢＣ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＡＥ＋ＢＣ＋ＢＥ＝ＥＦ＋ＢＣ＋ＡＢ ＝９．６． １６．（１）因为ＡＣ＝ＡＤ，∠ＣＡＤ＝７０°，所以∠ＡＤＣ＝∠ＡＣＤ ＝ １２（１８０°－∠ＣＡＤ）＝５５°．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 所以∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＣ＝５５°． （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＯＢ＝ ＯＤ．因为ＡＥ＝ＣＦ，ＢＧ＝ＤＨ，所以ＯＡ－ＡＥ＝ＯＣ－ＣＦ，ＯＢ－ＢＧ ＝ＯＤ－ＤＨ，即ＯＥ＝ＯＦ，ＯＧ＝ＯＨ．所以四边形ＥＧＦＨ是平行四 边形． １７．（１）因为 ＡＢ∥ ＣＤ，所以 ∠ＥＤＣ＝∠ＥＦＡ，∠ＥＣＤ＝ ∠ＥＡＦ．在△ＥＣＤ和△ＥＡＦ中，因为∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＦ，∠ＥＤＣ＝ ∠ＥＦＡ，ＤＥ＝ＦＥ，所以△ＥＣＤ≌△ＥＡＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＣＤ＝ ＡＦ．又因为ＣＤ∥ＡＦ，所以四边形ＡＦＣＤ是平行四边形． （２）因为ＢＣ＝２４５ＣＥ＝２４，所以ＣＥ＝５．因为四边形ＡＦＣＤ 是平行四边形，所以ＡＦ＝ＣＤ＝１４，ＡＣ＝２ＣＥ＝１０．因为ＢＣ⊥ ＡＣ，所以∠ＡＣＢ＝９０°．由勾股定理，得 ＡＢ＝ ＡＣ２＋ＢＣ槡 ２ ＝ ２６．所以ＢＦ＝ＡＢ－ＡＦ＝１２． 《平行四边形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ 二、９．两组对边分别相等的四边形是平行四边形； １０．１ｃｍ或５ｃｍ；　１１．槡３；　１２．１或３或１３． 三、１３．因为四边形ＡＣＦＤ是平行四边形，所以ＡＣ∥ＤＦ，ＡＣ ＝ＤＦ．因为ＡＢ＝ＦＥ，所以ＡＣ－ＡＢ＝ＤＦ－ＦＥ，即ＢＣ＝ＤＥ．所 以四边形ＢＣＥＤ是平行四边形． １４．由题意，得∠ＣＤＥ＝∠Ｆ＝１１０°，ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ＝ＤＥ．所 以∠ＡＤＣ＝１８０°－∠ＢＡＤ＝１２０°，∠ＤＡＥ＝∠ＤＥＡ．所以∠ＡＤＥ ＝３６０°－∠ＡＤＣ－∠ＣＤＥ＝１３０°．所以 ∠ＤＡＥ＝ １２（１８０°－ ∠ＡＤＥ）＝２５°． １５．因为 ＯＥ＝ＯＢ，所以 ∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ．因为 ∠ＡＤＢ＝ ∠ＯＥＢ，所以∠ＯＢＥ＝∠ＡＤＢ．所以ＡＤ∥ＢＣ．因为ＡＤ＝ＢＣ，所 以四边形ＡＢＣＤ是平行四边形．所以ＯＢ＝ＯＤ．因为ＯＥ＝ＯＢ，所 以ＯＥ＝ＯＤ．所以 ∠ＯＥＤ＝∠ＯＤＥ．因为 ∠ＯＢＣ＋∠ＯＥＢ＋ ∠ＯＥＤ＋∠ＯＤＥ＝１８０°，即２（∠ＯＥＢ＋∠ＯＥＤ）＝１８０°，所以 ∠ＤＥＢ＝９０°．所以ＤＥ⊥ＢＥ． １６．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ ＝ＡＤ＝１２．所以 ∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＢ．因为 ＡＦ平分 ∠ＢＡＤ，所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ．所以∠ＡＦＢ＝∠ＢＡＦ．所以ＢＦ＝ＡＢ＝８．所以 ＣＦ＝ＢＣ－ＢＦ＝４                                                                                                                                                                                         ． 书 （２）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＡＤ＝ ＢＣ，∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ，ＡＦ平分 ∠ＢＡＤ，ＣＥ平分 ∠ＢＣＤ，所以 ∠ＢＡＦ＝∠ＤＡＦ＝∠ＦＣＥ＝∠ＤＣＥ．因为∠ＤＡＦ＝∠ＡＦＢ，所 以∠ＦＣＥ＝∠ＡＦＢ．所以ＡＦ∥ＣＥ．所以四边形ＡＦＣＥ是平行四 边形．所以ＡＥ＝ＣＦ．所以ＡＤ－ＡＥ＝ＢＣ－ＣＦ，即ＤＥ＝ＢＦ．所 以四边形 ＢＦＤＥ是平行四边形．所以 ＢＥ∥ ＤＦ．所以四边形 ＥＧＦＨ是平行四边形．所以ＥＦ和ＧＨ互相平分． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，点Ｏ是对角线ＢＤ 的中点，所以ＡＤ∥ＢＣ，ＢＯ＝ＤＯ．所以∠ＯＢＥ＝∠ＯＤＦ，∠ＯＥＢ ＝∠ＯＦＤ．所以△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＥ＝ＤＦ．所 以四边形ＢＥＤＦ是平行四边形． （２）过点Ｄ作ＤＮ⊥ＥＣ于点Ｎ，图略．所以∠ＤＥＮ＋∠ＥＤＮ ＝９０°，∠ＢＤＮ＝９０°－∠ＣＢＤ＝４５°＝∠ＣＢＤ．由（１），得ＢＦ∥ ＤＥ．因为ＣＰ⊥ＢＦ，所以ＣＧ⊥ＤＥ．所以∠ＣＥＧ＋∠ＥＣＧ＝９０°． 所以∠ＥＤＮ＝∠ＥＣＧ．因为ＤＥ＝ＤＣ，ＤＮ⊥ＥＣ，所以∠ＥＤＮ＝ ∠ＣＤＮ．所以∠ＥＣＧ＝∠ＣＤＮ．因为∠ＣＤＢ＝∠ＢＤＮ＋∠ＣＤＮ ＝４５°＋∠ＣＤＮ，∠ＤＨＣ＝∠ＣＢＤ＋∠ＢＣＨ＝４５°＋∠ＥＣＧ，所 以∠ＣＤＢ＝∠ＤＨＣ．所以ＣＤ＝ＣＨ． 《矩形、菱形与正方形》专项练习 １．Ｄ；　２．７５°；　３．２５°． ４．（１）因为ＡＢ∥ＤＥ，所以∠Ａ＝∠Ｄ．因为ＡＣ＝ＦＤ，所以 ＡＣ－ＣＦ＝ＤＦ－ＣＦ，即ＡＦ＝ＤＣ．在△ＡＢＦ和△ＤＥＣ中，因为 ＡＦ ＝ ＤＣ，∠Ａ ＝ ∠Ｄ，ＡＢ ＝ ＤＥ， 所 以 △ＡＢＦ ≌ △ＤＥＣ（Ｓ．Ａ．Ｓ．）． （２）因为△ＡＢＦ≌△ＤＥＣ，所以ＢＦ＝ＥＣ，∠ＢＦＡ＝∠ＥＣＤ． 所以１８０°－∠ＢＦＡ＝１８０°－∠ＥＣＤ，即∠ＢＦＣ＝∠ＥＣＦ．所以 ＥＣ∥ＢＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为∠ＣＥＦ＝９０°， 所以四边形ＢＣＥＦ是矩形． ５．Ｄ；　６．（１）６，（２）６． ７．（１）因为ＡＤ＝ＣＤ，ＢＤ⊥ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ．因为ＯＥ＝ ＯＤ，所以四边形ＡＥＣＤ是平行四边形．因为ＡＣ⊥ＢＤ，所以四边 形ＡＥＣＤ是菱形． （２）因为ＡＢ平分∠ＥＡＣ，ＣＦ⊥ＡＥ，ＯＥ⊥ＯＡ，所以ＢＦ＝ＯＢ ＝３，∠ＡＯＥ＝９０°．所以Ｒｔ△ＡＦＢ≌Ｒｔ△ＡＯＢ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＡＦ ＝ＯＡ．因为ＢＥ＝５，所以ＥＦ＝ ＢＥ２－ＢＦ槡 ２ ＝４，ＯＥ＝ＯＢ＋ ＢＥ＝８．在Ｒｔ△ＡＯＥ中，根据勾股定理，得ＯＡ２＋ＯＥ２＝ＡＥ２，即 （ＡＥ－４）２＋８２＝ＡＥ２．解得ＡＥ＝１０．因为四边形ＡＥＣＤ是菱形， 所以ＡＤ＝ＡＥ＝１０． ８．Ｂ． ９．因为ＢＧＢＥ＝ ３ ４，所以设ＢＧ＝３ｘ，则ＢＥ＝４ｘ．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以∠Ｂ＝９０°．所以ＥＧ＝ ＢＧ２＋ＢＥ槡 ２＝５ｘ． 因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＧ＝ＥＧ＝５ｘ．所以ＡＢ＝ＡＧ ＋ＢＧ＝８ｘ． （１）因为正方形ＡＢＣＤ的边长为４，所以８ｘ＝４．解得 ｘ＝ １ ２．所以ＢＧ＝３ｘ＝ ３ ２． （２）连结ＡＦ，ＥＦ，图略．因为四边形 ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＤ＝ＢＣ＝ＣＤ＝８ｘ，∠Ｃ＝∠Ｄ＝９０°．所以ＣＥ＝ＢＣ－ＢＥ＝ ４ｘ．因为ＦＧ是ＡＥ的垂直平分线，所以ＡＦ＝ＥＦ．所以ＡＤ２＋ＤＦ２ ＝ＣＥ２＋ＣＦ２，即（８ｘ）２＋ＤＦ２＝（４ｘ）２＋（８ｘ－ＤＦ）２．解得ＤＦ ＝ｘ．所以ＣＦ＝ＣＤ－ＤＦ＝７ｘ．所以ＤＦＣＦ＝ １ ７． １０．Ｂ． １１．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝ＡＢ＝４．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以四边形ＥＣＤＢ是平行四边形．所以 ＢＥ＝ＣＤ＝４．因为２ＢＯ＝４，所以ＢＯ＝２．所以ＯＥ＝ＢＥ－ＢＯ ＝２． （２）由（１），得ＯＥ＝ＯＢ＝２．因为ＣＥ∥ＤＢ，所以∠ＣＥＯ＝ ∠ＦＢＯ，∠ＥＣＯ＝∠ＢＦＯ．所以△ＣＯＥ≌△ＦＯＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＯＣ＝ＯＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是平行四边形．因为ＡＢ∥ＣＤ，ＣＦ ⊥ＣＤ，所以ＣＦ⊥ＯＢ．所以四边形ＢＣＥＦ是菱形．因为ＢＥ＝ＣＤ， ＣＦ＝ＣＤ，所以ＢＥ＝ＣＦ．所以四边形ＢＣＥＦ是正方形． 《矩形、菱形与正方形》复习自测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｂ 二、９．４；　１０．１２；　１１．槡１０或槡１３；　１２．０．５或４．５． 三、１３．因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以 ＡＣ＝ＢＤ，∠ＡＣＢ ＝４５°．因为ＣＥ＝ＢＤ，所以 ＡＣ＝ＣＥ．所以 ∠Ｅ＝∠ＣＡＥ＝ １ ２∠ＡＣＢ＝２２．５°． １４．因为∠ＡＣＢ＝９０°，ＤＥ⊥ＡＢ，ＡＤ平分∠ＣＡＢ，所以ＤＣ＝ ＤＥ，∠ＣＡＤ＝∠ＥＡＤ．所以 ９０°－∠ＣＡＤ ＝９０°－∠ＥＡＤ，即 ∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＥ．因为 ＥＦ∥ ＢＣ，所以 ∠ＡＤＣ＝∠ＥＦＤ．所以 ∠ＥＦＤ＝∠ＥＤＦ．所以ＥＦ＝ＤＥ＝ＤＣ．又因为ＥＦ∥ＤＣ，所以四 边形ＣＤＥＦ是菱形． １５．∠ＡＣＢ＝３∠ＥＣＢ．理由如下： 因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠Ｆ＝ ∠ＥＣＢ．因为∠ＧＡＦ＝∠Ｆ，所以∠ＡＧＣ＝∠Ｆ＋∠ＧＡＦ＝２∠Ｆ． 因为 ∠ＡＣＧ ＝∠ＡＧＣ，所以 ∠ＡＣＧ ＝２∠Ｆ．所以 ∠ＡＣＦ ＝ ２∠ＥＣＢ．所以∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＦ＋∠ＥＣＢ＝３∠ＥＣＢ． １６．（１）因为ＢＤ垂直平分ＡＣ，所以ＯＡ＝ＯＣ，ＡＤ＝ＣＤ，ＡＢ＝ ＢＣ．因为四边形 ＡＦＣＧ是矩形，所以 ＣＧ∥ ＡＦ．所以 ∠ＣＤＯ＝ ∠ＡＢＯ，∠ＤＣＯ＝∠ＢＡＯ．所以△ＣＯＤ≌△ＡＯＢ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以 ＣＤ＝ＡＢ．所以ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＡＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）因为Ｅ为ＡＢ的中点，ＤＥ⊥ＡＢ，所以ＡＤ＝ＤＢ．因为ＡＤ ＝ＡＢ，所以△ＡＤＢ是等边三角形．所以∠ＤＢＡ＝６０°．因为ＣＤ∥ ＡＢ，所以∠ＢＤＣ＝∠ＤＢＡ＝６０°． １７．（１）因为ＥＦ∥ＡＣ，所以∠ＥＦＤ＝∠ＯＣＤ．在△ＯＤＣ和 △ＥＤＦ中，因为∠ＯＣＤ＝∠ＥＦＤ，ＤＣ＝ＤＦ，∠ＣＤＯ＝∠ＦＤＥ，所 以△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ（Ａ．Ｓ．Ａ．）． （２）四边形ＯＣＥＦ是正方形．证明如下： 因为△ＯＤＣ≌△ＥＤＦ，所以ＯＤ＝ＥＤ．因为ＤＦ＝ＤＣ，所以 四边形ＯＣＥＦ是平行四边形．因为ＯＤ＝ＤＣ，所以ＥＤ＝ＤＣ，ＯＥ ＝ＣＦ．所以四边形 ＯＣＥＦ是矩形．因为 ∠ＢＥＣ＝４５°，所以 ∠ＤＣＥ＝４５°．所以∠ＣＤＥ＝１８０°－∠ＤＥＣ－∠ＤＣＥ＝９０°．所 以ＯＥ⊥ＣＦ．所以四边形ＯＣＥＦ是正方形． 《矩形、菱形与正方形》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｂ Ａ Ｄ Ｄ Ａ Ｄ Ｄ Ｂ 二、９．槡２－１；　１０．答案不惟一，如ＡＣ，ＢＤ互相平分； １１．１６°；　１２．６或槡４８． 三、１３．连结ＢＤ，图略．因为四边形ＡＢＣＤ是菱形，所以ＡＣ⊥ ＤＢ，ＡＤ＝ＡＢ．所以∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ．因为ＥＭ⊥ＡＣ，所以ＭＥ∥ ＢＤ．所以∠ＡＭＥ＝∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＤ＝∠ＡＥＭ．所以ＡＭ＝ＡＥ． １４．因为四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，所以ＡＤ＝ＢＣ，ＡＤ∥ ＢＣ．因为ＢＥ＝ＤＦ，所以ＡＤ－ＤＦ＝ＢＣ－ＢＥ，即ＡＦ＝ＥＣ．所以 四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为ＡＣ＝ＥＦ，所以四边形ＡＥＣＦ是 矩形． １５．（１）因为四边形 ＡＢＣＤ是矩形，所以 ＡＤ∥ ＢＣ．所以 ∠ＤＡＣ＝∠ＢＣＡ．由折叠的性质，得 ∠ＨＡＦ＝ １２∠ＤＡＣ ＝ １ ２∠ＢＣＡ＝∠ＭＣＥ．所以ＡＦ∥ＣＥ． （２）３０．理由如下： 因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＡＢ∥ＣＤ，∠Ｂ＝９０°．因为 ＡＦ∥ＣＥ，所以四边形ＡＥＣＦ是平行四边形．因为∠ＢＡＣ＝３０°， 所以∠ＡＣＢ＝９０°－∠ＢＡＣ＝６０°．所以∠ＭＣＥ＝３０°．所以ＡＥ ＝ＣＥ．所以四边形ＡＥＣＦ是菱形． １６．（１）因为ＤＥ平分∠ＡＤＢ，所以∠ＡＤＢ＝２∠ＥＤＢ．因为 ∠ＡＯＢ＝∠ＤＡＯ＋∠ＡＤＢ＝∠ＤＡＯ＋２∠ＥＤＢ＝４∠ＥＤＢ．所以 ∠ＤＡＯ＝２∠ＥＤＢ＝∠ＡＤＢ．所以ＡＯ＝ＤＯ．因为四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，所以ＡＣ＝２ＡＯ，ＢＤ＝２ＤＯ．所以ＡＣ＝ＢＤ．所以 四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）过点Ｅ作ＥＦ⊥ＢＤ于点Ｆ，图略．所以∠ＤＦＥ＝∠ＢＦＥ ＝９０°．因为四边形ＡＢＣＤ是矩形，所以ＢＤ＝２ＯＢ＝１０，ＡＢ＝ＣＤ ＝８，∠ＤＡＢ＝９０°．所以ＡＤ＝ ＢＤ２－ＡＢ槡 ２ ＝６．因为ＤＥ平分 ∠ＡＤＢ，所以ＥＦ＝ＡＥ．在Ｒｔ△ＤＡＥ和 Ｒｔ△ＤＦＥ中，因为 ＤＥ＝ ＤＥ，ＡＥ＝ＦＥ，所以Ｒｔ△ＤＡＥ≌Ｒｔ△ＤＦＥ（Ｈ．Ｌ．）．所以ＤＦ＝ＡＤ ＝６．所以ＢＦ＝ＢＤ－ＤＦ＝４．在 Ｒｔ△ＢＥＦ中，由勾股定理，得 ＥＦ２＋ＢＦ２ ＝ＢＥ２，即（８－ＢＥ）２＋４２ ＝ＢＥ２．解得ＢＥ＝５． １７．（１）因为四边形ＡＢＣＤ是正方形，所以ＡＢ＝ＣＤ，ＡＢ∥ ＣＤ，∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ＝４５°．所以∠ＣＥＯ＝∠ＡＢＯ．因为ＤＭ∥ ＢＥ，所以∠ＣＤＭ＝∠ＣＥＯ．所以∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ．在△ＡＢＯ和 △ＣＤＭ中，因为∠ＢＡＯ＝∠ＤＣＭ，ＡＢ＝ＣＤ，∠ＡＢＯ＝∠ＣＤＭ， 所以△ＡＢＯ≌△ＣＤＭ（Ａ．Ｓ．Ａ．）．所以ＯＢ＝ＭＤ． （２）因为四边形ＡＢＣＤ和四边形ＢＥＦＧ都是正方形，所以ＡＢ ＝ＢＣ，∠ＢＣＥ＝∠ＥＢＧ＝９０°，ＢＥ＝ＢＧ．所以∠ＢＥＣ＋∠ＥＢＣ ＝９０°，∠ＡＢＥ＋∠ＧＢＨ＝９０°．由（１），得∠ＢＥＣ＝∠ＡＢＥ．所以 ∠ＥＢＣ＝∠ＧＢＨ．因为ＧＨ⊥ＡＢ，所以∠ＢＨＧ＝９０°．所以△ＢＥＣ ≌△ＢＧＨ（Ａ．Ａ．Ｓ．）．所以ＢＣ＝ＢＨ．所以ＡＢ＝ＢＨ． 《数据的整理与初步处理》专项练习 １．８；　２．Ｄ；　３．Ｃ；　４．Ｄ；　５．７；　６．１２．２； ７．Ａ；　８．Ｃ；　９．－２或０；　１０．Ｄ；　１１．Ｃ． １２．（１）表格从左到右、从上到下依次填入７０，１９９．３６，８０，８０． （２）１２００×６＋１４＋５０×２０％ ＋５０×１０％１００ ＝４２０（名）． 答：七、八年级在本次知识竞赛中成绩为优秀的学生约有 ４２０名． （３）八年级学生知识竞赛的成绩更好．理由如下： 因为八年级学生知识竞赛成绩的中位数、众数均大于七年 级学生知识竞赛成绩的中位数、众数，所以八年级学生知识竞赛 的成绩更好（答案不惟一，合理即可）． 《数据的整理与初步处理》复习检测题 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案 Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ 二、９．２２．５；　１０．１３；　１１．８；　１２．２８． 三、１３．（１）小明家每天的平均用电量是：（１４６－１０４）÷７＝ ６（度）． （２）０．５６×６×３０＝１００．８（元）． 答：小明家４月份的电费约为１００．８元． １４．（１）根据题意，得ｘ＋ｙ＝２０－１－５－２＝１２，（６０＋７０ ×５＋８０ｘ＋９０ｙ＋１００×２）÷２０＝８２．解得ｘ＝５，ｙ＝７． （２）众数ａ＝９０分，中位数ｂ＝（８０＋８０）÷２＝８０（分）． １５．乙的光合作用速率更稳定．理由如下： 甲的方差为： １ ５ ×［（３５－２５） ２＋（３０－２５）２＋（２３－２５）２ ＋（１７－２５）２＋（２０－２５）２］＝４３．６； 乙的方差为： １ ５ ×［（２７－２５） ２＋（２５－２５）２＋（２６－２５）２ ＋（２４－２５）２＋（２３－２５）２］＝２． 因为４３．６＞２，所以两个大豆品种中乙的光合作用速率更 稳定． １６．（１）甲的得票分是：４０×２５％ ×２＝２０（分）； 乙的得票分是：４０×４０％ ×２＝３２（分）； 丙的得票分是：４０×３５％ ×２＝２８（分）． （２）甲的得分是：（７５＋９０＋２０）÷３＝１８５３（分）； 乙的得分是：（８０＋８０＋３２）÷３＝６４（分）； 丙的得分是：（８４＋８０＋２８）÷３＝６４（分）． 因为６４＝６４＞１８５３，所以无法确定人选． （３）甲的个人成绩是：７５×４０％ ＋９０×３５％ ＋２０×２５％ ＝ ６６．５（分）； 乙的个人成绩是：８０×４０％ ＋８０×３５％ ＋３２×２５％ ＝ ６８（分）； 丙的个人成绩是：８４×４０％ ＋８０×３５％ ＋２８×２５％ ＝ ６８．６（分）． 因为６８．６＞６８＞６６．５，所以丙将被选中． １７．（１）２０，３． （２）该班男生对篮球节目的“关注指数”是：１３２０×１００％ ＝ ６５％．因为该班级女生对篮球赛的“关注指数”比男生低５％，所 以女生对篮球赛的“关注指数”是６０％． 设该班级的女生有 ｘ人．根据题意，得 ｘ－（１＋３＋６）＝ ６０％ｘ．解得ｘ＝２５． 答：该班级的女生有２５人． （３）该班级男生收看篮球赛次数的平均数是：（１×２＋２×５ ＋３×６＋４×５＋５×２）÷２０＝３， 方差是： １ ２０×［２×（１－３） ２＋５×（２－３）２＋６×（３－３）２ ＋５×（４－３）２＋２×（５－３）２］＝１．３． 因为２＞１．３，所以该班女生收看篮球赛次数的波动幅度比 男生的大． 八年级第二学期期末综合质量检测卷（一） 一、 题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ １２ 答案 Ｄ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ｂ Ａ Ｃ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ 二、１３．ｘ＝１；　１４．－１；　１５．ｙ＝ １２ｘ；　１６．３或７． 三、１７．（１）ｘ＝７；　（２）无解． １８．（１）因为ＡＢ∥ＣＤ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＣＤ．因为ＡＣ平分 ∠ＢＡＤ，所以∠ＯＡＢ＝∠ＯＡＤ．所以∠ＯＣＤ＝∠ＯＡＤ．所以ＣＤ＝ ＡＤ．因为ＡＢ＝ＡＤ，所以ＡＢ＝ＣＤ．所以四边形ＡＢＣＤ是菱形． （２）６０． １９．（１）５２，５２．５． （２）２＋５＋８＋６＋４＋５＝３０（辆），６００×２＋５＋８＋６３０ ＝ ４２０（辆）． 答：６００辆来往车辆在该路口车速在５０～５３ｋｍ／ｈ之间的车 辆数约为４２０． ２０．（１）对于ｙ＝－６ｘ，当ｘ＝－２时，ｙ＝３；当ｙ＝－２时， ｘ＝３．所以Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２）．将Ａ（－２，３），Ｂ（３，－２）代入 ｙ＝ｋｘ＋ｂ，得 －２ｋ＋ｂ＝３， ３ｋ＋ｂ＝－２{ ．解得 ｋ＝－１， ｂ＝１{ ．所以一次函数                                                                                                                                                                                         ｙ＝ !" ! 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