19.1　矩形 学案 2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

2.矩形的判定 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并证明矩形的判定定理 抽象能力、几何直观 2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题 几何直观、运算能力 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 矩形的判定 文字语言 符号语言 图形 有一个角是 的平行四边形  ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD=90°, ∴▱ABCD是矩形 对角线 的平行四边形  ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, ∴▱ABCD是矩形 有三个角是 的四边形  ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形 1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件( ) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再补充一个条件,如∠A= 度时,就能推出四边形ABCD是矩形.  3.木匠做一个矩形木框,长为80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm,则这个木框 (填“合格”或“不合格”).  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】矩形的判定 【典例1】(教材再开发·P105例6补充) 如图,AD为△ABC的一条中线,点E为BC的延长线上一点,以AD,DE为一组邻边作平行四边形ADEF,请你添加一个条件(不再添加其他线条和字母),使得四边形ADEF是矩形. (1)你添加的条件是_____________ ;  (2)请根据你添加的条件,写出证明过程. 【举一反三】 1.(2024·绵阳模拟)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 2.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°. (1)求证:△ABF≌△DEC; (2)求证:四边形BCEF是矩形. 【重点2】矩形的判定和性质的综合应用 【典例2】(教材再开发·P107习题19.1T3补充)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连结DF,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. 【举一反三】 (2024·乐山期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上, BE=DF,AC=EF. (1)求证:四边形AECF是矩形; (2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的长. 【技法点拨】 矩形性质与判定的综合应用 (1)利用矩形的性质可证明线段相等或角相等、互相平分、直线平行等. (2)证明四边形是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·抽象能力)如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其数学依据是( ) A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 2.(3分·几何直观、推理能力)下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.AB=AD C.AC=BD D.AB⊥BC 3.(3分·推理能力、运算能力)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O, ∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,则四边形ABCD是 形.  4.(5分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足为点F.求证:四边形AECF是矩形. 5.(6分·几何直观、推理能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠AOB=60°,AB=2,求四边形OBEC的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1　矩形 1.矩形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别和联系. 抽象能力、几何直观 2.探索并证明矩形的特殊性质,会用矩形的性质解决简单的问题. 几何直观、推理能力、运算能力 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 一、矩形定义:有一个角是　直角　的平行四边形.  二、矩形的性质 1.具有平行四边形的所有性质. 2. 角:四个角都是　直角　.  ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D. 3.对角线:对角线　相等　.  ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. 4.对称性:矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.在矩形ABCD中,对角线AC=6,另一条对角线BD=(D) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=70°,则∠ABO=(A) A.55° B.60° C.65° D.70° 3.已知矩形的一条对角线为13,一边长为5,则另一边长为　12　.  4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是　80°　.  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 【重点】矩形的性质 【典例】(教材再开发·P100练习T3拓展)如图,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE∥AC交BC延长线于点E. (1)求证:BC=CE; (2)若∠E=30°,求∠BOC的度数. 【自主解答】(1)∵四边形ABCD为矩形,∴AD∥BE,AD=BC, ∵DE∥AC,∴四边形ACED为平行四边形,∴AD=CE,∴BC=CE; (2)∵AC∥DE,∴∠ACB=∠E=30°, ∵四边形ABCD为矩形,∴OC=OB,即△BOC是等腰三角形, ∴∠OBC=∠OCB=30°,∴∠BOC=120°. 【举一反三】 1.(2024·北京期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2,则AC长为(B) A.2 B.4 C.4 D.8 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E.若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=(A) A.22.5° B.30° C.45° D.67.5° 3.如图,矩形ABCD中,BE,DF分别垂直对角线AC于点E,F,已知BE=DF=3, AE=CF=4,则AF= 　.  4.(2024·绵阳模拟)如图,四边形ABCD为矩形,对角线AC上的点E和点F满足AE=CF.证明:四边形EBFD为平行四边形. 【证明】在矩形ABCD中,AB=CD,AB∥CD,则∠BAE=∠DCF. 在△ABE和△CDF中,, ∴△ABE≌△CDF(S.A.S.),∴∠AEB=∠CFD,BE=DF,∴∠BEF=∠DFE, ∴BE∥DF,∴四边形EBFD为平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上, ∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为(C) A.130° B.120° C.110° D.100° 2.(4分·推理能力、运算能力)小米同学在喝水时想到了这样一个问题:如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与AD的交点为E,当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时,∠CED的大小为(C) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.27° B.37° C.53° D.63° 3.(4分·推理能力、运算能力)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,点E在边AD上,且EO⊥AC,若AB=6,AC=10,则△EDC的周长是　14　.  4.(8分·推理能力)如图,已知矩形ABCD,点E在CB的延长线上,点F在BC的延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连结AF交EH于点G,GE=GH. 求证:BE=CF. 【证明】∵FH⊥EF,∴∠HFE=90°,∵GE=GH,∴FG=EH=GE=GH, ∴∠E=∠GFE,∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°, ∴△ABF≌△DCE(A.A.S.),∴BF=CE,∴BF-BC=CE-BC,即BE=CF. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十三” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.矩形的判定 课时学习目标 素养目标达成 1.探索并证明矩形的判定定理 抽象能力、几何直观 2.能应用矩形的判定解答简单的证明题和计算题 几何直观、运算能力 基础主干落实　　起步起势 向上向阳 新知要点 对点小练 矩形的判定 文字语言 符号语言 图形 有一个角是　直角　的平行四边形  ∵四边形ABCD是平行四边形, ∠BAD=90°, ∴▱ABCD是矩形 对角线 　相等　的平行四边形  ∵四边形ABCD是平行四边形,AC=BD, ∴▱ABCD是矩形 有三个角是　直角　的四边形  ∵∠BAD=∠ABC=∠BCD=90°, ∴四边形ABCD是矩形 1.四边形ABCD的对角线AC,BD互相平分,要使它成为矩形,可添加条件(B) A.AB=CD B.AC=BD C.AB∥CD D.AC⊥BD 2.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD=BC,若再补充一个条件,如∠A=　90　度时,就能推出四边形ABCD是矩形.  3.木匠做一个矩形木框,长为80 cm,宽为60 cm,对角线的长为100 cm,则这个木框　合格　(填“合格”或“不合格”).  重点典例研析　　学贵有方 进而有道 【重点1】矩形的判定 【典例1】(教材再开发·P105例6补充) 如图,AD为△ABC的一条中线,点E为BC的延长线上一点,以AD,DE为一组邻边作平行四边形ADEF,请你添加一个条件(不再添加其他线条和字母),使得四边形ADEF是矩形. (1)你添加的条件是_____________　;  (2)请根据你添加的条件,写出证明过程. 【自主解答】(1)添加的条件是AB=AC; 答案:AB=AC(答案不唯一) (2)∵AB=AC,AD是BC边上的中线, ∴AD⊥BC, ∴∠ADE=90°, ∵四边形ADEF是平行四边形, ∴四边形ADEF是矩形. 【举一反三】 1.(2024·绵阳模拟)如图,在▱ABCD中,E为BC的中点,连结AE并延长交DC的延长线于点F,连结BF,AC,若AD=AF,求证:四边形ABFC是矩形. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC,∴∠BAE=∠CFE,∠ABE=∠FCE, ∵E为BC的中点,∴EB=EC,∴△ABE≌△FCE(A.A.S.),∴AB=CF. ∵AB∥CF,∴四边形ABFC是平行四边形, ∵AD=AF,∴BC=AF, ∴四边形ABFC是矩形. 2.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AC=FD,∠CEF=90°. (1)求证:△ABF≌△DEC; (2)求证:四边形BCEF是矩形. 【证明】(1)∵AB∥DE,∴∠A=∠D, ∵AC=FD,∴AC-CF=DF-CF,即AF=DC,在△ABF与△DEC中,, ∴△ABF≌△DEC(S.A.S.); (2)∵△ABF≌△DEC,∴EC=BF,∠ECD=∠BFA, ∴∠ECF=∠BFC,∴EC∥BF,∴四边形BCEF是平行四边形, ∵∠CEF=90°,∴四边形BCEF是矩形. 【重点2】矩形的判定和性质的综合应用 【典例2】(教材再开发·P107习题19.1T3补充)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC于点E,延长BC至点F,使CF=BE,连结DF,AF与DE交于点O. (1)求证:四边形AEFD为矩形; (2)若AB=3,OE=2,BF=5,求DF的长. 【解析】(1)∵BE=CF,∴BE+CE=CF+CE, 即BC=EF,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC,∴AD=BC=EF, 又∵AD∥EF,∴四边形AEFD为平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF=90°, ∴平行四边形AEFD为矩形; (2)由(1)知,四边形AEFD为矩形,∴DF=AE,AF=DE=2OE=4, ∵AB=3,BF=5,∴AB2+AF2=BF2,∴△BAF为直角三角形,∠BAF=90°, ∴S△BAF=AB×AF=BF×AE,∴AB×AF=BF×AE,即3×4=5AE, ∴AE=,∴DF=AE=. 【举一反三】 (2024·乐山期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD上, BE=DF,AC=EF. (1)求证:四边形AECF是矩形; (2)若CE=2BE且AE=BE,已知AB=,求AC的长. 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∵BE=DF,∴AD-DF=BC-BE,即AF=EC, ∴四边形AECF是平行四边形,∵AC=EF,∴平行四边形AECF是矩形; (2)∵四边形AECF是矩形,∴∠AEC=∠AEB=90°,∵AE=BE,AB=, ∴AE=BE=1,∴CE=2BE=2,∴AC===. 【技法点拨】 矩形性质与判定的综合应用 (1)利用矩形的性质可证明线段相等或角相等、互相平分、直线平行等. (2)证明四边形是矩形可以直接证明三个角等于90°或者先证明是平行四边形再证明一个角是90°或对角线相等. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(3分·抽象能力)如图,用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直,只需要用绳子分别测量书架的两条对角线AC,BD的长就可以判断,其数学依据是(C) A.三个角都是直角的四边形是矩形 B.对角线互相平分的四边形是矩形 C.对角线相等的平行四边形是矩形 D.对角线互相垂直平分的四边形是矩形 2.(3分·几何直观、推理能力)下列条件中,不能判定▱ABCD为矩形的是(B) A.∠A=∠B B.AB=AD C.AC=BD D.AB⊥BC 3.(3分·推理能力、运算能力)在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O, ∠ABO+∠ADO=90°,且OB=OA,则四边形ABCD是　矩　形.  4.(5分·推理能力)如图,在平行四边形ABCD中,CE∥AF,AF⊥CD,垂足为点F.求证:四边形AECF是矩形. 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD, ∵CE∥AF,∴四边形AECF是平行四边形, ∵AF⊥CD,∴∠AFC=90°,∴四边形AECF是矩形. 5.(6分·几何直观、推理能力)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC,CE∥DB,且∠BOC+2∠OBC=180°. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若∠AOB=60°,AB=2,求四边形OBEC的面积. 【解析】(1)∵∠BOC+2∠OBC=180°,∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°, ∴∠OBC=∠OCB,∴OB=OC,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形. (2)由(1)可知,OA=OB=OC,四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°, ∵∠AOB=60°,∴△OAB是等边三角形,∴OA=AB=2, ∴AC=2OA=4,∴BC===2, ∵BE∥AC,CE∥DB,∴四边形OBEC是平行四边形, ∴S平行四边形OBEC=2S△OBC=S△ABC=BC·AB=×2×2=2. 训练升级,请使用　“课时过程性评价 二十四” 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.1　矩形 1.矩形的性质 课时学习目标 素养目标达成 1.理解矩形的概念,明确矩形与平行四边形的区别和联系. 抽象能力、几何直观 2.探索并证明矩形的特殊性质,会用矩形的性质解决简单的问题. 几何直观、推理能力、运算能力 基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 新知要点 对点小练 一、矩形定义:有一个角是 的平行四边形.  二、矩形的性质 1.具有平行四边形的所有性质. 2. 角:四个角都是 .  ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D. 3.对角线:对角线 .  ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. 4.对称性:矩形是轴对称图形,有两条对称轴,对边中点的连线所在的直线是它的对称轴. 1.在矩形ABCD中,对角线AC=6,另一条对角线BD=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=70°,则∠ABO=( ) A.55° B.60° C.65° D.70° 3.已知矩形的一条对角线为13,一边长为5,则另一边长为 .  4.若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是 .  重点典例研析　　精钻细研 学深悟透 【重点】矩形的性质 【典例】(教材再开发·P100练习T3拓展)如图,四边形ABCD为矩形,对角线交于点O,DE∥AC交BC延长线于点E. (1)求证:BC=CE; (2)若∠E=30°,求∠BOC的度数. 【举一反三】 1.(2024·北京期末)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ∠AOD=120°,AB=2,则AC长为( ) A.2 B.4 C.4 D.8 2.如图,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为点E.若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=( ) A.22.5° B.30° C.45° D.67.5° 3.如图,矩形ABCD中,BE,DF分别垂直对角线AC于点E,F,已知BE=DF=3, AE=CF=4,则AF= 4.(2024·绵阳模拟)如图,四边形ABCD为矩形,对角线AC上的点E和点F满足AE=CF.证明:四边形EBFD为平行四边形. 素养当堂测评　　(10分钟·20分) 1.(4分·推理能力、运算能力)将三角尺按如图所示放置在一张矩形纸片上, ∠EGF=90°,∠FEG=30°,∠1=130°,则∠BFG的度数为( ) A.130° B.120° C.110° D.100° 2.(4分·推理能力、运算能力)小米同学在喝水时想到了这样一个问题:如图,矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图,杯中水面与AD的交点为E,当水杯底面AB与水平面的夹角为37°时,∠CED的大小为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.27° B.37° C.53° D.63° 3.(4分·推理能力、运算能力)如图,矩形ABCD的对角线交于点O,点E在边AD上,且EO⊥AC,若AB=6,AC=10,则△EDC的周长是 .  4.(8分·推理能力)如图,已知矩形ABCD,点E在CB的延长线上,点F在BC的延长线上,过点F作FH⊥EF交ED的延长线于点H,连结AF交EH于点G,GE=GH. 求证:BE=CF. 学科网（北京）股份有限公司 $$