2025年广东省广州市中考数学二轮高频错题训练：分式与二次根式

2025年广东省广州市中考数学二轮高频错题训练：分式与二次根式 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.使分式有意义的的取值范围是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则(    ) A. B. C. D. 4.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 5.下面计算中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.式子有意义的的取值范围是(    ) A. 且 B. C. D. 且 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 7.若式子有意义，则实数的取值范围是          ． 8.若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 9.若，且，则 ______． 10.估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用，例如估算数，容易发现，即于是的整数部分是，小数部分是现记的整数部分是，小数部分是，计算的结果为          ． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.本小题分 计算：． 化简：． 12.本小题分 已知化简；若点是抛物线上的一点，求的值． 13.本小题分 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 先化简再求值：，其中使反比例函数的图象分别位于第二、四象限． 15.本小题分 如图，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形去掉一个边长为的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了． 哪种小麦的单位面积产量高？ 在试验田四周修建隔离网图中虚线部分，“丰收号”和“丰收号”小麦试验田隔离网的总造价分别为元和元，且“丰收号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收号”小麦试验田的隔离网每米造价的倍，求的值． 16.本小题分 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式例如：与，与，与等都是互为有理化因式进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： 化简： ______； ______； 计算： ______； 已知，，，试比较，，的大小，并说明理由． 17.本小题分 综合与实践：根据以下素材，探索完成任务． 问题：你了解黄金矩形吗？ 问题背景 素材一矩形就是长方形，四个角都是，两组对边平行且相等 素材二 宽与长的比是约为的矩形叫做黄金矩形黄金矩形给我们以协调、匀称的美感世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计如希腊的巴特农神庙． 素材三 我们在学习二次根式时常遇到这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简我们称之为“分母有理化”． 例如： 素材四 黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的 ______ 操作步骤 【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 【第二步】如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 【第三步】折出内侧矩形的对角线，并把折到图中所示的处． 【第四步】展平纸片，按照所得的点折出，矩形图就是黄金矩形． 解决问题 任务一 化简： 任务二 设为，请用含的式子表示，并证明矩形是黄金矩形 任务三 如图，若，连接，求点到线段的距离提示：等面积法 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了分式有意义的条件，正确记忆相关定义是解题关键；直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案． 【解答】 解：使分式有意义， ， 解得：． 故选B． 2.【答案】  【解析】解：和不是同类项，不能加减， 选项A不符合题意； ， 选项B不符合题意； ， 选项C不符合题意； ， 选项D符合题意， 故选：． 运用整式加减、分式的立方、完全平方公式和平方差公式进行逐一计算、辨别． 此题考查了整式加减、分式的立方、完全平方公式和平方差公式的计算能力，关键是能准确理解并运用以上知识，进行正确地计算． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一次函数的性质，化简二次根式，解题的关键是学会根据函数图象的位置，确定、的符号，属于常考题型． 根据一次函数图象经过的象限，判断，符号，进而得到的符号，再利用二次根式的性质化简即可． 【解答】 解：一次函数的图象经过第一、二、四象限， ，， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．据此解答． 【解答】 解：在实数范围内有意义， ， 解得：， 的取值范围是：． 故选B． 5.【答案】  【解析】解：、，不是同类项，故不能合并，所以该选项是错误的； B、，所以该选项是正确的； C、，所以该选项是错误的； D、，所以该选项是错误的； 故选：． 先根据相关性质内容逐项分析计算，即可作答． 本题考查了合并同类项、二次根式的混合运算以及单项式除以单项式等，掌握相关运算法则是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：式子有意义， ， 解得且． 故选：． 根据二次根式和分式有意义的条件讨论解答． 本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件以及特殊角的三角函数值是解题的关键． 7.【答案】且  【解析】【分析】 本题考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是令被开方数，分母． 根据二次根式和分式有意义的条件解答即可． 【解答】 解：由题意知：，， 解得：且， 故答案为：且． 8.【答案】  【解析】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案． 本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：由条件可得， ， ， ， 故答案为：． 先根据异分母分式相减得出，再把代入中化简求值即可． 本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握该知识点是关键． 10.【答案】  【解析】解  ， ， 的整数部分是，小数部分是， ，， ， 故答案为：． 11.【答案】解： ； ．  【解析】先化简，然后计算加减法即可； 先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后将分式因式分解，再约分即可． 本题考查二次根式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 12.【答案】，．  【解析】解： ； 点是抛物线上的一点， ， ， ． 先计算括号内的加法，再计算除法即可化简；再把点代入得到，则，整体代入化简的中计算即可． 此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． 13.【答案】，．  【解析】解：原式 ， 当时， 原式 ． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，代入计算即可求出值． 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 14.【答案】解：反比例函数的图象分别位于第二、四象限， ， ， ．  【解析】根据题意得出，则，然后把分式进行化简即可求得所求式子的值． 本题考查了反比例函数的性质，分式的化简求值，求得的符号是分式化简的关键． 15.【答案】解：根据题意，“丰收号”单位面积产量为； “丰收号”单位面积产量为， ， ， ， ， ， ， “丰收号”单位面积产量为高； 由图可知，“丰收号”和“丰收号”小麦的试验田的周长分别为，， 丰收号”和“丰收号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为元和元，且“丰收号”小麦试验田的隔离网每造价是“丰收号”小麦试验田的隔离网每造价的倍， ， 解得， 经检验，是方程的解， 的值为．  【解析】根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可； 用表示出两块试验田的周长，再由丰收号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收号”小麦试验田的隔离网每米造价的倍解答即可． 本题考查的是分式的混合运算，一元一次方程的应用，明确题意，正确列式是解答本题的关键． 16.【答案】解：； ； ， ， 同理：， ， ， ．  【解析】【分析】 本题考查二次根式的混合运算，掌握平方差公式的结构特征，理解二次根式分母有理化的计算方法是解题关键． 将二次根式分母有理化进行计算； 先确定分母有理化因式，然后进行计算； 利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解； 通过比较，，的倒数，然后进行，，的大小比较即可． 【解答】 解：， 故答案为：； ， 故答案为：； 原式 ， 故答案为：． 见答案． 17.【答案】解：任务一：； 任务二：设为，则，， ， 证明：如图，由折叠性质可以知道， ， ， ， 矩形是黄金矩形； 任务三：， ， ， ， ， 点到线段的距离是．   【解析】利用分母有理化进行化简； 由勾股定理求出的长，折叠性质可以求出的长．从而对矩形两边进行比较； 利用等积运算，求出点到线段的距离即可． 本题主要考查的是黄金分割和分母有理化，同时考查了三角形的面积的等积推理和勾股定理，借助图形推理是关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$