精品解析：辽宁省沈阳市东北育才学校2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

东北育才高中2024—2025学年度下学期 高一年级数学科期中考试试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件，利用复数的定义，即可求解. 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式直接计算即可. 详解】，即. 故选：C. 3. 在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件直接利用三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为在中，， 所以的面积为. 故选：D 4. 已知向量，则（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】利用数量积的坐标形式可求数量积. 【详解】因为，故， 故， 故选：C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解. 【详解】因为的三个角满足， 所以由正弦定理化简得， 设，为最大边， 由余弦定理得， 所以为钝角， 所以是钝角三角形. 故选：C. 7. 中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ） A. 7点36分 B. 7点38分 C. 7点39分 D. 7点40分 【答案】B 【解析】 【分析】设7点分时针与分针重合，在7点时，时针､分针所成的夹角为，根据时针每分钟转，分针每分钟转，可得，解方程即可. 【详解】设7点分时针与分针重合. 在7点时，时针与分针所夹的角为， 时针每分钟转，分针每分钟转， 则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转， 于是，解得（分）， 故选：B 8. 在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则设点的坐标为，然后化简计算，再根据正弦函数的性质可求出其最小值. 【详解】因为在中，， 所以以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 因为，所以点在以为圆心，2为半径圆上运动， 所以设点的坐标为， 所以，，， 所以 （其中）， 所以当时，取得最小值. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为了得到函数的图象，可将函数的图象上的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数左右平移规则判断求解即可. 【详解】将函数的图象上的点向左平行移动个单位长度， 得函数的图象，故A正确B错误； 将函数的图象上的点向右平行移动个单位长度得函数 ， 故C正确D错误. 故选：AC 10. 如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数解析式为 C. D. 函数在区间上单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的图象，求出最小正周期判断A；利用五点法求出解析式判断B；利用对称性求解判断C；利用正弦函数的单调性判断D. 【详解】对于A，观察图象得，函数的最小正周期为，A错误； 对于B，由图象，得，解得，由选项A，得， 由，得，而，则，，B正确； 对于C，，函数的图象关于点对称， 则，C正确； 对于D，函数在上单调递增，而， 则函数在上单调递增，又， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 故选：BCD 11. 在中，，点D为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦定理求出判断A，根据等积法求出上的高判断B，取的中点，连接，则由余弦定理可求，故可判断C，根据等积法可求出角平分线长后判断D. 【详解】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则， 可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数模的公式分别求出分子分母的值，从而可得答案. 【详解】因为, , 所以. 故答案为：. 13. 已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量数量积及共线的定理的坐标表示即可求解. 【详解】因为，且与的夹角为锐角, 所以，且，解得且， 所以实数的范围是. 故答案为：. 14. 已知函数，若至少存在两个实数，使得，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得出为的最大值点和最小值点，然后结合函数周期与区间长度的关系进行分类讨论，再根据正弦函数的性质列出不等式组求解的取值范围. 【详解】因为，所以与一个为函数的最大值，一个为函数的最小值，即为的最大值点和最小值点. 函数的周期，已知，即，解得. 当，即，解得时，满足条件. 当时，等价于在区间至少存在一组最大值点和最小值点. 因为左端点，分情况讨论： 当且时： 解可得，即； 解可得，即，所以. 当且时： 解可得，即； 解可得，即，又因为，所以. 综上，的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）若锐角满足，求的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由角的终边过点得,利用诱导公式和二倍角公式可得结果； （2）由得，由，利用两角差的正弦公式可得结果. 【详解】（1）由角的终边过点得， 所以. （2）因为锐角满足，所以.由得 ， 所以. 16. 如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. （1）当时，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意先求出，再结合平面向量基本定理将和用表示，然后利用向量数量积的运算律计算即可； （2）根据题意结合平面向量基本定理将和用表示，然后化简计算，再结合可求出的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 因为在平行四边形中，， 所以，， 因为，， 所以 ； 【小问2详解】 因为，， 所以， ， 所以 ， 因为，所以， 得， 所以的取值范围为. 17. 已知复数z和它的共轭复数满足. （1）求复数z； （2）若是关于x的方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 【答案】（1） （2）方程的另一个根为，验证见解析 【解析】 【分析】（1）设，再根据复数的加减法运算结合复数相等得定义即可得解； （2）先将代入方程，求出，再因式分解即可求出方程的另一个根，再根据复数的加法个乘法运算即可得及出结论. 【小问1详解】 设，则， 由，得，即， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 因为是关于x的方程的一个根， 所以，即， 所以， 则，即， 解得或， 所以方程的另一个根为， 因为, 所以此方程的两个根满足韦达定理. 18. 已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. （1）求的长； （2）若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 【答案】（1）删去条件见解析； （2）删去条件见解析； 【解析】 【分析】（1）若删去条件②或条件③，由余弦定理易得出两解，不满足题意，删去条件①，在中和中分别利用余弦定理建立关系可求解，删去条件④，在中，由余弦定理有，在中，，由求得即可. （2）先结合条件得到条件②和条件③不可删去，再证明条件条件①和条件④可以相互推理得到，再利用正弦定理边化角并利用两角差的正弦公式与辅助角公式化简解析式，再利用正弦函数的性质求解的取值范围，最后求解周长的取值范围即可. 【小问1详解】 删去①，设， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得， 联立方程解得，所以；符合题意， 删去②，则在中，由余弦定理有， 即，解得或， 则或4，有2解，不满足题意； 删去③，在中，由余弦定理可得， 即，解得或2，有2解，不满足题意； 删去④，设，在中， 由余弦定理有， 同理，在中，由余弦定理得， 因为，所以， 解得，得到；符合题意， 综上，的长为. 【小问2详解】 首先，我们作出符合题意的图，连接， 由上问得条件②，条件③删去后都不符合题意，则我们保留条件②③， 我们先删去条件④，由题意得；；均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 因为，所以解得，得到了条件④， 我们再删去条件①，由题意得；，均成立， 由上问得，在中，由余弦定理得， 解得（负根舍去），得到了条件①， 则不论删去条件①还是条件④，都不影响最终结果，故我们直接用所有条件求解即可， 设四边形的周长为，则， 由圆的性质得，在中，由正弦定理得， 得到，， 则， 即， 得到， 即， 因为，所以， 则，得到， 故，即四边形的周长的取值范围为. 19. 对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. （1）若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； （2）若与具有关系，求k的取值范围； （3）若函数与具有关系，且距离最近两个点的距离为，求的值. 【答案】（1）与具有关系，与不具有关系， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正余弦函数的值域可得，结合定义即可判断，根据辅助角公式和余弦函数的最值结合定义即可下结论； （2）根据三角函数与二次函数的性质可得、，则，结合新定义即可求解； （3）由题意可得，即，作出图象，结合图象求解即可. 【小问1详解】 与具有关系，理由如下： 当时，，， 当，，当时，， 此时，则与具有关系； 与不具有关系，理由如下： ， 所以与不具有关系； 【小问2详解】 ， ， 因为，则当时，，则， 所以，则； 【小问3详解】 由题意可得，所以， 所以，，所以， 如图所示： 若，则，满足条件，所以，； 若，则，不合题意； 综上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 东北育才高中2024—2025学年度下学期 高一年级数学科期中考试试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 在中，其内角对边分别为，若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 15 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在中，若，则的形状是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 7. 中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（ ） A. 7点36分 B. 7点38分 C. 7点39分 D. 7点40分 8. 在中，.P为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 为了得到函数的图象，可将函数的图象上的点（ ） A. 向左平行移动个单位长度 B. 向右平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 10. 如图是某地一天从6点到14点的气温变化曲线，该曲线近似满足函数：，其中：.则下列说法正确的有（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数解析式为 C. D. 函数区间上单调递增 11. 在中，，点D为边上一动点，则（ ） A. B. 当为边上的高线时， C. 当为边上的中线时， D. 当为角A的角平分线时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _____. 13. 已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数，若至少存在两个实数，使得，则实数取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点． （1）求的值； （2）若锐角满足，求的值． 16. 如图，在平行四边形中，，若M，N分别是边上的点，且满足，其中. （1）当时，求值； （2）求的取值范围. 17. 已知复数z和它的共轭复数满足. （1）求复数z； （2）若是关于x方程的一个根，求方程的另一个根，并验证此方程的两个根是否满足韦达定理. 18. 已知中，点D是边的中点.且①；②；③；④. （1）求的长； （2）若四边形为圆内接四边形，求四边形的周长的取值范围. 上面问题的条件有多余，现请你在①，②，③，④中删去一个，并将剩下的三个作为条件解答这个问题，要求答案存在且唯一.你删去的条件是______，请写出用剩余条件解答本题的过程. 19. 对于定义在相同定义域D上的函数以及实数k，给出如下两个关系： ①若存在使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点； ②若存在，使得，则称函数与具有关系，且称点和为函数和的点. （1）若，；，，判断与是否具有关系，是否具有关系.若具有求出相应的点或点，若不具有，说明理由； （2）若与具有关系，求k的取值范围； （3）若函数与具有关系，且距离最近的两个点的距离为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$