精品解析：福建省福州市闽侯县第一中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

2024—2025学年闽侯一中第二学期第二次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：5月26日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的计算公式即可求解. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数，再代入求出导函数值. 【详解】，所以， 所以 则. 故选：B. 4. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 【答案】A 【解析】 【分析】先根据回归方程求出时的预报值，再运用残差计算公式计算即可. 【详解】把代入，可得生长高度y的估计值为， 则样本的残差的绝对值为. 故选：A. 5. 已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行计算. 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数在给定区间上为增，可判断导函数在此期间上恒为非负数，将问题转化为不等式恒成立问题，即可求解. 【详解】由可得， 因函数在上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立，故得，解得. 故选：B. 7. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据等比数列的定义求出数列的通项，再利用累加法求出数列的通项，代值即得. 【详解】因数列是公比为3的等比数列，且， 则数列的首项为，， ， 故. 故选：D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递减，即可求解. 【详解】由，得到， 令，则， 所以（为常数），又，则， 所以，得到，又，当时，， 所以在区间上单调递减，又，所以， 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】设，利用通项公式求得含的系数判断A，利用赋值法求解判断BD，结合二项式系数的单调性及系数的正负判断系数最大项即可判断C. 【详解】设，则， 二项式的展开式通式，由，选项A正确； 令，则，选项B正确； 因为，当时，系数为正， 所以系数最大的是，选项C正确； 令，则，令， 则，，选项D错误. 故选：ABC. 10. 已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）. A. . B. 数列为等比数列. C. . D. . 【答案】BC 【解析】 【分析】由直接代入得到，再代入得可判断A，构造等比数列，通过递推式变形，发现数列是公比为2的等比数列可判断出B，结合B选项得到的通项公式，从而得到和的通项公式，直接代入通项公式验证CD选项. 【详解】构造等比数列，两边加1得:， 所以数列是首项为，公比为 2的等比数列， 由等比数列通项公式得：，，， 由，首项得，选项A错误； 由可知是公比为2的等比数列，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D错误； 故选：BC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据条件，利用极值的定义，即可求解；对于B，根据条件将问题转化成求的最大值，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解；对于C，通过取即可求解；对于D，根据条件，转化成在上单调，即可求解. 【详解】对于选项A，当时，，易知其定义域为， 因为，由，得到， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，极小值为，故选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到，所以， 令，则，令，得到， 当当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，则，得到，故选项B正确， 对于选项C，当时，，即，得到 又当时，， 所以当时，有解，故选项C错误， 对于选项D，，由题知或恒成立， 即或恒成立， 令，则，令，得到， 当时，，当时，， 则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，所以，即，故选项D正确， 故选：ABD. 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种 【答案】243 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解； 【详解】由题意，每人都有3种选择，所以总共有， 故答案为：243 13. 如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则______. 【答案】 【解析】 【分析】质点位于数轴上的位置X满足，则6次移动中需满足：1次向左5次向右、2次向左4次向右.再根据独立重复试验的概率公式计算． 【详解】由题意知，质点位于数轴上的位置X满足，则6次移动中需满足：1次向左5次向右、2次向左4次向右， 所以. 故答案为：. 14. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设出事件后，结合条件概率公式计算可求得结论. 【详解】设，分别表示第一次抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件， 设表示第二次抽到的小球的颜色是红的事件， 在甲先抽取的不是红球的条件下，甲获得奖品的概率为： . 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项与前n项和的基本量运算，列方程，求出首项与公差，即得数列通项； （2）利用错位相减法求即可. 【小问1详解】 设数列的公差为， 由题意，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以的前项和 所以 ①－②得， 故. 16. 某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. （1）该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ （2）通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 【答案】（1）作出列联表如下： 支持 不支持 合计 高学历 30 20 50 低学历 30 40 70 合计 60 60 120 没有 （2），（百万元）【解析】 【分析】（1）首先完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）首先求出，，即可求出，，从而求出回归直线方程，再代入计算可得. 【小问1详解】 由题完成列联表得： 支持 不支持 合计 高学历 30 20 50 低学历 30 40 70 合计 60 60 120 由表中的数据可得， 所以没有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关． 【小问2详解】 由， 所以，， 所以， 则， 所以关于的回归方程，当时，， 所以当投资金额为6百万元时年利润增量的预测值为（百万元）. 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值 （3） 【解析】 【分析】（1）先利用来求解，再进行检验即可； （2）利用第一问求的单调性判断最值； （3）函数，解不等式即可. 【小问1详解】 ，则， 因函数在处取得极值， 则，得， 此时，， 得或，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极小值，故. 【小问2详解】 由（1）可知在和上单调递增，在上单调递减，而， 则在区间上的最大值为和最小值. 【小问3详解】 令，则， 则与单调性相同， 因方程有三个不同的实数根， 则，得， 则实数的取值范围为. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据古典概型计算公式可得结果； （2）①利用全概率公式计算可得，再由等比数列定义计算可得；②结合通项公式以及数列单调性可得，即求得的取值范围. 【小问1详解】 设为“第4天中午选择米饭套餐”， 根据每天与前一天选择不一样的套餐，且第一天选择米饭套餐，接下来的三天中每天都只有两种选择， 因此样本空间包含个样本点， 若第一天选择米饭套餐，第4天选择米饭套餐，则第二天有两种选择，第三天的和前后两天都不能相同，仅有一种选择， 即事件中包含个样本点， 所以， 所以第4天中午选择米饭套餐的概率 【小问2详解】 ①设为“第天选择米饭套餐”，为“第天选择面食套餐”，为“第天选择西餐套餐” 根据题意，，，， 由全概率公式得： ， ∴， 因为 ∴ 因此，因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 所以 ②由①可得， 当为大于1的奇数时， 当为正偶数时， 因此，当时，，所以． 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 由题可知，则在处的切线方程为， 令，则，所以. 在处的切线方程为 令，则，所以. 所以 即 又，则，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列. （ii）证明如下： 由（ⅰ）可知，则， 要证，即证：. 因为，即证：， 即证： 构造函数，则 故在单调递增，对任意， 即，取，则有， 故只需证：， 即需证：， 构造函数，则， 故在单调递减，则， 即对任意，取， 即有， 综上，. 【解析】 【分析】（1）先求出导函数得出斜率，再点斜式得出直线方程； （2）（i）先求出切线方程，再结合等比数列定义计算证明；（ii）由（ⅰ）可知，则，构造函数，求出导函数得出函数单调性证明. 【小问1详解】 ，曲线在点处的切线斜率为，又， 则在处的切线方程为， 令，则，所以. 【小问2详解】 （i）略 （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年闽侯一中第二学期第二次月考 高中二年数学科试卷 命题教师：张平 审核教师：张丹红 考试日期：5月26日 完卷时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（共58分） 一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1. 下列导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知是函数的导函数，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 为研究某种植物的生长高度y（单位：cm）与光照时间x（单位：小时）之间的关系，研究人员随机测量了12株该种植物的光照时间和生长高度，得到的回归方程为，则样本的残差的绝对值为（ ） A. 1.05 B. 1.15 C. 1.25 D. 1.35 5. 已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，若数列是公比为3的等比数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 设，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. ，，，…，中最大的是 D. 10. 已知数列的前n项和为，首项且满足，则（ ）. A. . B. 数列为等比数列. C. . D. . 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的极小值为 B. 若存在，使得，则 C. 当时，无解 D. 若在上不存在极值，则 第Ⅱ卷 非选择题（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 今年贺岁片，《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》引爆了电影市场，小明和他的同学一行五人决定去看这三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有_________种 13. 如图所示，已知一质点从原点O出发，因外力作用每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过6次移动后，该质点位于X的位置，则______. 14. 在某抽奖活动中，设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球2个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球3个，黄球1个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个．要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束．若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品．若甲为参与者，在其第一次抽取的不是红球的条件下，获得奖品的概率为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 等差数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前n项和. 16. 某科技公司为了提升其产品的市场竞争力，每年都会投入一定的资金用于研发和市场推广. （1）该公司从管理层到基层员工中随机抽取了120名进行调研，现将120名员工的学历划分为“高学历”和“低学历”，对投入一定的资金用于研发和市场推广划分为“支持”和“不支持”，整理得到如下数据： 支持 不支持 合计 高学历 30 低学历 40 合计 60 120 请将列联表补充完整并回答：是否有的把握认为高学历群体和低学历群体对投入资金研发和市场推广的满意度有关？ （2）通过对该公司2015年至2024年每年的研发投入（单位：百万元）与年利润增量y（单位：百万元）的数据进行分析得到回归模型为：，且有. 请求出该模型中关于的回归方程并预测投资金额为6百万元时的年利润增量．参考公式及参考数据，其中，临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 . 17. 已知函数在处取得极值. （1）求实数的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. （3）若方程有三个不同的实数根，求实数的取值范围. 18. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐、面食套餐和西餐套餐三种选择．已知某同学开学第一天选择的是米饭套餐，从第二天起，每天中午会在食堂随机选择与前一天不一样的两种套餐中的一种，如此往复． （1）求该同学第4天中午选择米饭套餐的概率； （2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①求； ②当时，恒成立，求的取值范围． 19. 已知函数及其导函数的定义域均为D.设，曲线在点处的切线交轴于点.当时，设曲线在点处的切线交轴于点得到的数列为函数关于的“N数列”. （1）若是函数关于的“N数列”，求的值； （2）若是函数关于的“N数列”，记. （i）证明数列是等比数列； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $